統(tǒng)計(jì)軟件SAS講義T平方測(cè)驗(yàn)與多元方差分析

統(tǒng)計(jì)測(cè)驗(yàn)StatisticalTest

單個(gè)樣本平均數(shù)的ｔ測(cè)驗(yàn)——測(cè)驗(yàn)?zāi)硺颖舅鶃碜缘目傮w平均數(shù)（

）是否與某已知總體的平均數(shù)（

0）有顯著差異的統(tǒng)計(jì)測(cè)驗(yàn)。

測(cè)驗(yàn)的步驟:1.設(shè)假設(shè)H0:=vsH

0A:

02.計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：t3.此統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n1的t分布，可以在tx0s/n分布表上查得出現(xiàn)此值的概率。當(dāng)tt0.05時(shí)，判定與

0的差異顯著；若tt0.01則差異極顯著。第一節(jié)T平方測(cè)驗(yàn)T-SquareTest

現(xiàn)在依然是討論第一個(gè)常見例子:1.產(chǎn)品檢驗(yàn):某產(chǎn)品某個(gè)技術(shù)指標(biāo)值為

0,現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中抽取大小為n的樣本，測(cè)得樣本平均數(shù)為x，標(biāo)準(zhǔn)差為s，試測(cè)驗(yàn)該批產(chǎn)品的該技術(shù)指標(biāo)平均數(shù)

是否與已知的

0間有顯著差異。

只是現(xiàn)在不再是單個(gè)變量而是多個(gè)變量了，即：1.產(chǎn)品檢驗(yàn):某產(chǎn)品m個(gè)技術(shù)指標(biāo)值為m維向量

0,現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中抽取大小為n的樣本，測(cè)得樣本平均數(shù)向量為x，方差協(xié)方差向量為Ｓ，試測(cè)驗(yàn)該批產(chǎn)品的這些技術(shù)指標(biāo)平均數(shù)向量

是否與已知的

0間有顯著差異。第一節(jié)T平方測(cè)驗(yàn)T-SquareTest

如果考察的有m項(xiàng)指標(biāo)，統(tǒng)計(jì)量用矩陣形式表示為：T2n(x0)S1(x0)其中(x0)為m1維，其轉(zhuǎn)置陣為1m維，S1是方差協(xié)方差矩陣的逆陣，mm維。T2是一個(gè)數(shù)字。因?yàn)镾Q/(n1),S1(n1)Q1此統(tǒng)計(jì)量又可以用平方和乘積和矩陣Q表示為：T2n(n1)(x0)Q1(x0)

此統(tǒng)計(jì)量服從HotellingＴ2分布。算出Ｔ2后，與Ｔ2分布表值比較，便可以判斷差異是否顯著。

極少統(tǒng)計(jì)書提供HotellingT2分布表。第一節(jié)T平方測(cè)驗(yàn)T-SquareTest

如果考察的有m項(xiàng)指標(biāo)，統(tǒng)計(jì)量用矩陣形式表示為：T2n(x0)S1(x0)其中(x0)為m1維，其轉(zhuǎn)置陣為1m維，S1是方差協(xié)方差矩陣的逆陣，mm維。T2是一個(gè)數(shù)字。因?yàn)镾Q/(n1),S1(n1)Q1此統(tǒng)計(jì)量又可以用平方和乘積和矩陣Q表示為：T2n(n1)(x0)Q1(x0)

統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)Ｔ2分布與Ｆ分布有如下關(guān)系：nm2n(nm)1FT(x0)S(x0)m(n1)m(n1)第一節(jié)T平方測(cè)驗(yàn)T-SquareTest

或：nm2n(nm)1FT(x0)S(x0)m(n1)m(n1)n(nm)1(x0)Q(x0)m此F統(tǒng)計(jì)量服從df1m,df2nm的F分布。此統(tǒng)計(jì)量又可以用平方和乘積和矩陣Q表示為：T2n(n1)(x0)Q1(x0)

統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)Ｔ2分布與Ｆ分布有如下關(guān)系：nm2n(nm)1FT(x0)S(x0)m(n1)m(n1)第一節(jié)T平方測(cè)驗(yàn)T-SquareTest

或：nm2n(nm)1FT(x0)S(x0)m(n1)m(n1)n(nm)1(x0)Q(x0)m此F統(tǒng)計(jì)量服從df1m,df2nm的F分布。特別地，當(dāng)m1時(shí)，此式與前面的t2n(x0)2(s2)1完全一致。

現(xiàn)在可以將Ｔ2測(cè)驗(yàn)的步驟歸納以下了。第一節(jié)T平方測(cè)驗(yàn)T-SquareTest

Ｔ2測(cè)驗(yàn)的步驟：1.設(shè)假設(shè)H0:=vsH

0A:

02.計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：n(nm)1F(x0)S(x0)m(n1)n(nm)1(x0)Q(x0)m3.此統(tǒng)計(jì)量服從df1m,df2nm的F分布，可以在F分布表上查得出現(xiàn)此值的概率。當(dāng)FF

時(shí)，判定與

0的差異顯著；否判斷差異不顯著。

多元統(tǒng)計(jì)可取較低的顯著水平，例如0.1。第一節(jié)T平方測(cè)驗(yàn)T-SquareTest

Ｔ2測(cè)驗(yàn)的例子：某產(chǎn)品的四個(gè)關(guān)鍵性指標(biāo)的驗(yàn)收標(biāo)準(zhǔn)為：

0(22.75,32.75,51.50,61.50)現(xiàn)從某批產(chǎn)品中抽取n21的樣本，數(shù)據(jù)如下表。試用95%的置信度測(cè)驗(yàn)這批產(chǎn)品是否符合驗(yàn)收標(biāo)準(zhǔn)。樣號(hào)123……2021x1x3x422.8822.7422.6032.8132.5632.7451.5151.4951.5061.5161.3961.22……23.1623.13……32.7832.95……51.4851.58……61.4161.58x2x3x4(表中數(shù)據(jù)參閱課本第49頁表2.1）第一節(jié)T平方測(cè)驗(yàn)T-SquareTest

利用數(shù)據(jù)可以算出：22.821922.750.0719

32.786751.447661.3767

32.7551.5061.50

0.03670.05240.1233

x51.4476

0

51.50x0

0.05240.70170.54140.18360.25313.51102.60110.17340.3447

0.54140.71190.22810.25790.18360.22810.39240.34590.25310.25790.34590.8065

12.60113.67280.96940.0579QQ

0.17340.96944.51211.67990.34470.05791.67992.0503

于是得到：T2n(n1)(x0)Q1(x0)16.4826第一節(jié)T平方測(cè)驗(yàn)T-SquareTest

或者利用方差協(xié)方差矩陣計(jì)算：22.821922.750.0719

32.786751.447661.3767

32.7551.5061.50

0.03670.05240.1233

x51.4476

0

51.50x0

0.05240.03510.02710.09180.012770.219752.02203.46846.8943

0.02710.03560.01140.01290.09180.01140.01960.01730.01270.01290.01730.0403

152.022073.456019.38701.1572SS

3.468419.387090.241133.59866.89431.157233.598641.0056

同樣得到：T2n(x0)S1(x0)16.4826第一節(jié)T平方測(cè)驗(yàn)T-SquareTest

換算為nm221(214)FT16.48263.5026m(n1)4(211)當(dāng)df14,df2nm21417時(shí)，F(xiàn)0.052.96現(xiàn)在FF0.05，判斷x所來自的總體的與0之間有顯著差異。

如果對(duì)四個(gè)指標(biāo)分別進(jìn)行單變量的平均數(shù)t測(cè)驗(yàn)，他們的t值分別為t11.76,t20.89,t31.71,t42.81當(dāng)df21120時(shí)，t0.052.09只有第4個(gè)變量與驗(yàn)收指標(biāo)有顯著差異。

若刪除第4個(gè)指標(biāo)重作Ｔ2測(cè)驗(yàn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)T29.28,F2.78F0.05,3,183.16,與0之間無顯著差異。第二節(jié)多元方差分析MultipleANOVA基本原理單向分類的多元方差分析兩向分類（不帶互作）的多元方差分析兩向分類（帶互作）的多元方差分析任意試驗(yàn)設(shè)計(jì)資料的多元方差分析第二節(jié)多元方差分析MultipleANOVA

基本原理：多元方差分析的基本原理與單變量的方差分析的基本原理基本一致，只是將一個(gè)變量推廣到多個(gè)變量。

讓我們回顧一下關(guān)于單變量的方差分析的基本思路。在方差分析中數(shù)據(jù)的變異用方差來衡量。方差分析AnalysisofVariance(ANOVA)

方差分析的基本思路:將試驗(yàn)數(shù)據(jù)的總變異分解為已知的若干可控因子引起的變異，扣除這些可控因子引起的變異后，把剩余的變異當(dāng)作為由誤差引起的，再將要考察的因子引起的變異與誤差引起的變異比較，如果待考察的因子引起的變異顯著地大于誤差引起的變異，便判定該因子對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著的效應(yīng)，拒絕H0，,接受HA；否則，判定該因子對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)沒有顯著的效應(yīng)，接受H0，拒絕HA。第二節(jié)多元方差分析MultipleANOVA

在多元方差分析中，要計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量是：Qe

QhQe其中，Qe為誤差平方和－乘積和矩陣；Qh為欲測(cè)驗(yàn)此

統(tǒng)計(jì)量服從

(m,n1,n2)的

分布。其中m為變量數(shù)，n1為Qe矩陣的自由度，n2為Qh矩陣的自由度，

為顯著水準(zhǔn)?？煽匾蛩氐钠椒胶停朔e和矩陣。

注意：這里的

中，誤差項(xiàng)放在分子，而在一元方差分析中的F統(tǒng)計(jì)量中，誤差放在分母。所以，F(xiàn)越大越顯著，而

則越小越顯著。第二節(jié)多元方差分析MultipleANOVA

很少統(tǒng)計(jì)書提供

分布表。不斷有人研究

分布與其它分布的關(guān)系。國(guó)外大多數(shù)統(tǒng)計(jì)軟件上采用Rao提出的近似公式。該公式把

轉(zhuǎn)換為F：11/tut2F1/t

mn2

它近似服從F

(mn2,ut2)分布。其中un1n2(mn21)/2;當(dāng)m2n2250時(shí)，t(m2n224)(m2n225),否則t1(mn22)/4當(dāng)ut2不為整數(shù)時(shí)，用最接近的整數(shù)查F表。

注意：當(dāng)轉(zhuǎn)換為F后，又變成F越大越顯著了。單向分類的多元方差分析One-wayMANOVA

舉例子說明此法的步驟:

有一個(gè)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的作物品種x1x2x3x42607540671310853059品種試驗(yàn)，五個(gè)品種(A1,A2,A3,A4,A5),三次重復(fù)，對(duì)每個(gè)品種記錄了四項(xiàng)指標(biāo)（產(chǎn)量指標(biāo)x,抗性指標(biāo)x,質(zhì)量指標(biāo)x3,經(jīng)濟(jì)指標(biāo)x4)。數(shù)據(jù)如右表，現(xiàn)欲綜合考慮這四個(gè)指標(biāo)，看這五個(gè)品種之間是否有顯著的差異。32064394120012234172310993518260112371112………………………………………27011039245170653716270653221單向分類的多元方差分析One-wayMANOVA一、分別對(duì)四個(gè)變量進(jìn)行單向分類平方和分解:變異df平方和來源x1x2x3x4品種間48266.6737916.67總變異143092.404158.007250.4019.0667308.667327.7333551.73494.674046.40誤差10總變異1446183.33二、分別對(duì)兩兩變量間進(jìn)行乘積和分解:變異乘積和來源dfxxxxxxxxxxxx121314232434品種間4-540.005935.00總變異14-40.00-686.67-726.674653.33426.675080.0018.40-1164.73462.3384.267-44.667誤差10總變異14314.00332.405395.00-702.4039.600三、用上述品種間平方和及品種間乘積和構(gòu)成Qh：?jiǎn)蜗蚍诸惖亩嘣讲罘治鯫ne-wayMANOVA變異df平方和來源x1x2x3x4品種間48266.6737916.67總變異143092.404158.007250.4019.0667308.667327.7333551.73494.674046.40誤差10總變異1446183.33變異乘積和來源dfxxxxxxxxxxxx121314232434品種間4-540.005935.00總變異14-40.00-686.67-726.674653.33426.675080.0018.40-1164.73462.3384.267-44.667誤差10總變異14314.00332.405395.00-702.4039.600

8266.67-540.0040.004653.33

-540.003092.4018.40-1164.73

40.0018.4019.066784.267

4653.33-1164.7384.2673551.73

Qh

40.0018.4019.066784.267

單向分類的多元方差分析One-wayMANOVA變異df平方和來源x1x2x3x4品種間48266.6737916.67總變異143092.404158.007250.4019.0667308.667327.7333551.73494.674046.40誤差10總變異1446183.33變異乘積和來源dfxxxxxxxxxxxx121314232434品種間4-540.005935.00總變異14-40.00-686.67-726.674653.33426.675080.0018.40-1164.73462.3384.267-44.667誤差10總變異14314.00332.405395.00-702.4039.600四、用上述誤差平方和及誤差乘積和構(gòu)成：Qe單向分類的多元方差分析One-wayMANOVA變異df平方和來源x1x2x3x4品種間48266.6737916.67總變異143092.404158.007250.4019.0667308.667327.7333551.73494.674046.40誤差10總變異1446183.33變異乘積和來源dfxxxxxxxxxxxx121314232434品種間4-540.005935.00總變異14-40.00-686.67-726.674653.33426.675080.0018.40-1164.73462.3384.267-44.667誤差10總變異14314.00332.405395.00-702.4039.600

37916.675935.00-686.67426.67

5935.004158.00314.00462.33

-686.67314.00308.667-44.667

426.67462.33-44.667494.67

Qe

-686.67314.00308.667-44.667

單向分類的多元方差分析One-wayMANOVA

分析步驟:一、分別對(duì)四個(gè)變量進(jìn)行一元的單向分類方差分析:二、分別對(duì)兩兩變量間進(jìn)行單向分類協(xié)方差分析:三、用上述品種間平方和及品種間乘積和構(gòu)成Qh：四、用上述誤差平方和及誤差乘積和構(gòu)成：Qe五、將Qh與Qe相加得和矩陣，求和矩陣的行列式值六、求出Qe的行列式值；Qe12075642509888.67本例中，QhQe274359286664740.5。用它除以和矩陣的行列式值得到:Qe1275642509888.670.0440139QhQe274359286664740.5單向分類的多元方差分析One-wayMANOVA

分析步驟:一、分別對(duì)四個(gè)變量進(jìn)行一元的單向分類方差分析:二、分別對(duì)兩兩變量間進(jìn)行單向分類協(xié)方差分析:三、用上述品種間平方和及品種間乘積和構(gòu)成Qh：四、用上述誤差平方和及誤差乘積和構(gòu)成：Qe五、將Qh與Qe相加得和矩陣，求和矩陣的行列式值六、求出Qe的行列式值；Qe12075642509888.67七、將

換算為F，并算出F的自由度，查出F

進(jìn)本例中，QhQe274359286664740.5。用它除以和矩陣的行列式值得到:0.0440139行統(tǒng)計(jì)推斷。單向分類的多元方差分析One-wayMANOVARao的換算公式：本例中，m4,n110,n2411/tut2F1/t

mn2

un1n2(mn21)/2104(441)/29.5t(m2n224)(m2n225)252/273.06(mn22)/4(441)/43.510.3597599.53.0623.5F2.45df1mn244160.35975644df2ut29.53.0623.522單向分類的多元方差分析One-wayMANOVA

統(tǒng)計(jì)結(jié)論:查表df1=16，df2=22F0.05=2.13因?yàn)镕=2.45>F0.05=2.13判斷這五個(gè)品種之間在四項(xiàng)指標(biāo)上具有顯著差異。對(duì)四個(gè)指標(biāo)進(jìn)行一元方差分析發(fā)現(xiàn)只有經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)X4的F檢驗(yàn)是顯著的。作經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)X4品種間的多重比較，發(fā)現(xiàn)品種1的均值極顯著的高于其它的品種。兩向分類的多元方差分析Two-wayMANOVA

舉例子說明此法的步驟:

有一個(gè)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的作物品區(qū)x1x2x3x4種組Ⅰ260754067品種試驗(yàn)，五個(gè)品種(A1,A2,A,A,A),三次重復(fù)，對(duì)每個(gè)品種記錄了四項(xiàng)指標(biāo)（產(chǎn)量指標(biāo)x1,抗性指標(biāo)x2,質(zhì)量指標(biāo)x3,經(jīng)濟(jì)指標(biāo)x4)。數(shù)據(jù)如右表，現(xiàn)欲綜合考慮這四個(gè)指標(biāo)，看這五個(gè)品種之間是否有顯著的差異。1Ⅱ310853059Ⅲ320643941345Ⅰ20012234172Ⅱ310993518Ⅲ2601123711………………………………………Ⅰ27011039245Ⅱ170653716Ⅲ270653221兩向分類的多元方差分析Two-wayMANOVA一、分別對(duì)四個(gè)變量進(jìn)行一元的兩向分類方差分析:變異df平方和來源x1x2x3x4品種間48266.67區(qū)組間215163.333092.401170.002988.007250.4019.067124.133184.533327.7333551.73103.60誤差822753.3346183.33391.074046.40總變異14二、分別對(duì)兩兩變量間進(jìn)行兩向分類協(xié)方差分析:變異df乘積和來源x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4品種間4-540.00區(qū)組間2315.00-40.00-575.66-111.00-726.674653.33-1121.0018.40333.00-19.00332.40-1164.73132.0084.26788.600誤差85620.005395.001547.675080.00330.33-702.40-133.26739.600總變異14三、用上述品種間平方和及品種間乘積和構(gòu)成Qh：兩向分類的多元方差分析Two-wayMANOVA變異df平方和來源x1x2x3x4品種間48266.67區(qū)組間215163.333092.4019.0673551.731170.002988.007250.40124.133184.533327.733103.60391.07誤差822753.33總變異1446183.334046.40變異df乘積和來源x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4品種間4-540.00區(qū)組間2315.00-40.00-575.66-111.00-726.674653.33-1121.0018.40333.00-19.00332.40-1164.73132.0084.26788.600誤差85620.001547.675080.00330.33-702.40-133.26739.600總變異145395.00

8266.67-540.0040.004653.33

-540.003092.4018.40-1164.73

40.0018.4019.066784.267

4653.33-1164.7384.2673551.73

Qh

40.0018.4019.066784.267

兩向分類的多元方差分析Two-wayMANOVA變異df平方和來源x1x2x3x4品種間48266.67區(qū)組間215163.333092.401170.002988.007250.4019.067124.133184.533327.7333551.73103.60誤差822753.3346183.33391.074046.40總變異14變異df乘積和來源x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4品種間4-540.00區(qū)組間2315.00-40.00-575.66-111.00-726.674653.33-1121.0018.40333.00-19.00332.40-1164.73132.0084.26788.600誤差85620.005395.001547.675080.00330.33-702.40-133.26739.600總變異14四、用上述誤差平方和及誤差乘積和構(gòu)成：Qe兩向分類的多元方差分析Two-wayMANOVA變異df平方和來源x1x2x3x4品種間48266.67區(qū)組間215163.333092.401170.002988.007250.4019.067124.133184.533327.7333551.73103.60誤差822753.3346183.33391.074046.40總變異14變異df乘積和來源x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4品種間4-540.00區(qū)組間2315.00-40.00-575.66-111.00-726.674653.33-1121.0018.40333.00-19.00332.40-1164.73132.0084.26788.600誤差85620.005395.001547.675080.00330.33-702.40-133.26739.600總變異14

22753.335620.00-111.001547.67

5620.002988.00-19.00330.33

-111.00-19.00184.533-133.267

1547.67330.33-133.267391.07

Qe

-111.00-19.00184.533-133.267

兩向分類的多元方差分析Two-wayMANOVA

對(duì)品種間差異顯著性測(cè)驗(yàn)的分析步驟:一、分別對(duì)四個(gè)變量進(jìn)行一元的兩向分類方差分析:二、分別對(duì)兩兩變量間進(jìn)行兩向分類協(xié)方差分析:三、用上述品種間平方和及品種間乘積和構(gòu)成Qh：四、用上述誤差平方和及誤差乘積和構(gòu)成：Qe五、將Qh與Qe相加得和矩陣，求和矩陣的行列式值本例中，QhQe67691593519311.9。六、求出Qe的行列式值；Qe1329611567226.45用它除以和矩陣的行列式值得到:Qe1329611567226.450.0196422QhQe67691593519311.9兩向分類的多元方差分析Two-wayMANOVA

對(duì)品種間差異顯著性測(cè)驗(yàn)的分析步驟:一、分別對(duì)四個(gè)變量進(jìn)行一元的兩向分類方差分析:二、分別對(duì)兩兩變量間進(jìn)行兩向分類協(xié)方差分析:三、用上述品種間平方和及品種間乘積和構(gòu)成Qh：四、用上述誤差平方和及誤差乘積和構(gòu)成：Qe五、將Qh與Qe相加得和矩陣，求和矩陣的行列式值本例中，QhQe67691593519311.9。六、求出Qe的行列式值；Qe1329611567226.45用它除以和矩陣的行列式值得到0.0196422。七、將

換算為F，與F表查得的值比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。本例中F2.61F0.05,16,162.33,差異顯著。兩向分類的多元方差分析Two-wayMANOVA

對(duì)區(qū)組間差異顯著性測(cè)驗(yàn)的分析步驟:一、分別對(duì)四個(gè)變量進(jìn)行一元的兩向分類方差分析:二、分別對(duì)兩兩變量間進(jìn)行兩向分類協(xié)方差分析:三、用上述區(qū)組間平方和及區(qū)組間乘積和構(gòu)成Qh：四、用上述誤差平方和及誤差乘積