當(dāng)已知A(-5,42),B(21,5),求x軸上點(diǎn)P到A,B距離和最小值

-4-已知A(-5,42),B(21,5),求x軸上點(diǎn)P到A,B距離和最小值主要內(nèi)容：本文通過解析幾何直線性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)法，介紹已知A(-5,42),B(21,5)求x軸上點(diǎn)P有其到A,B距離和最小值的主要步驟。?.對稱分析法根據(jù)兩點(diǎn)間直線距離最短，先找出其中1個點(diǎn)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)，再與另外一個點(diǎn)連成直線，則直線與x軸的交點(diǎn)即為所求的p點(diǎn)?！?找關(guān)于A點(diǎn)對稱步驟：A(-5,42)B(21,5) xP(eq\f(857,47),0)A1(-5,-42)此時A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A1(-5,-42)，此時直線A1B的斜率k1為：k1=eq\f(5-(-42),21+5)=eq\f(47,26),則其直線方程為:y-5=eq\f(47,26)*(x-21).令y=0，代入求出x=eq\f(857,47),所以p(eq\f(857,47),0).☆.找關(guān)于B點(diǎn)對稱步驟：A(-5,42)B(21,5) xP(eq\f(857,47),0)B1(21,-5)此時B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B1(21,-5)，此時直線B1A的斜率k2為：k2=eq\f(42-(-5),-5-21)=-eq\f(47,26),則其直線方程為:y-42=-eq\f(47,26)(x--5).令y=0，代入求出x=eq\f(857,47),所以p(eq\f(857,47),0).?.三角形分析法已知A(-5,42),B(21,5),求x軸上點(diǎn)P有其到A,B距離和最小，即問題轉(zhuǎn)化為在三角形ABP中，已知邊AB的長度c=eq\r(2045)為定值，求三角形另外兩邊BP和AP長度和的最小值。 P(x,0) A(-5,42)B(21,5)由于三角形的兩邊和大于第三邊，即BP+AP>AB，可知當(dāng)BP與AP的夾角越接近180°時，AP+PB的值最小,設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,0)，x∈(-5,21),此時AP和PB的斜率絕對值相等。又Kap=eq\f(42,-5-x)，kbp=eq\f(5,21-x)，所以：|eq\f(42,-5-x)|=|eq\f(5,21-x)|，求出x=eq\f(857,47)，其中x=eq\f(907,37)(舍去)。?.光線最短路徑分析法思路：光線總是沿傳播所耗時間最短路程傳播。B(21,5)A(-5,42) 90°-θθP(x,0)x所求點(diǎn)即為光線的入射角，光線從A點(diǎn)出發(fā)，在p點(diǎn)反射后，經(jīng)過點(diǎn)B,設(shè)PB與x軸的傾斜角為θ，則光線的入射角=反射角=90°-θ，此時PA的與x軸的傾斜角為180°-θ，根據(jù)斜率關(guān)系有：tanθ=kbp=eq\f(5,21-x),tan(180°-θ)=Kap=eq\f(42,-5-x),所以：5(-5-x)=-42(21-x),即：x=eq\f(857,47)。?.導(dǎo)數(shù)分析法設(shè)p的坐標(biāo)為p(x,0),所求距離和為d，則：d=eq\r((x+5)2+422)+eq\r((x-21)2+52),是關(guān)于x的函數(shù)，對x求導(dǎo)有d'x=eq\f(x+5,eq\r((x+5)2+422))+eq\f(x-21,eq\r((x-21)2+52)),令d'x=0，則eq\f(x+5,eq\r((x+5)2+422))=-eq\f(x-21,eq\r((x-21)2+52)),(21-x)eq\r((x+5)2+422)=(x+5)eq\r((x-21)2+52),可知-5<x<21,方程兩邊平方有:52(x+5)2=422