2020年 數(shù)學(xué)高考題江蘇卷

PAGE1一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.1.（2020·江蘇高考）已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{0，2，3}，則A∩B＝.解析：由交集的定義可得A∩B＝{0，2}.答案：{0，2}2.（2020·江蘇高考）已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝（1＋i）（2－i）的實(shí)部是.解析：復(fù)數(shù)z＝（1＋i）（2－i）＝3＋i，實(shí)部是3.答案：33.（2020·江蘇高考）已知一組數(shù)據(jù)4，2a，3－a，5，6的平均數(shù)為4，則a的值是.解析：由平均數(shù)公式可得4+2a＋（3－a）+5+65答案：24.（2020·江蘇高考）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是.解析：將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)共有36種情況，其中點(diǎn)數(shù)和為5的情況有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4種，則所求概率為436＝1答案：15.（2020·江蘇高考）如圖是一個(gè)算法流程圖.若輸出y的值為－2，則輸入x的值是.解析：由流程圖可得y＝2x，x>0，x+1，x≤0，則當(dāng)y＝－2答案：－36.（2020·江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x2a2－y25＝1（a＞0）的一條漸近線方程為y＝5解析：由雙曲線的一條漸近線方程為y＝52x得ba＝52，則該雙曲線的離心率e＝ca＝答案：37.（2020·江蘇高考）已知y＝f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x23，則f（－8）的值是解析：由題意可得f（－8）＝－f（8）＝－823＝－（23）23＝－答案：－48.（2020·江蘇高考）已知sin2π4＋α＝23，則sin2解析：因?yàn)閟in2π4＋α＝23，所以1－cosπ2+2α2＝23答案：19.（2020·江蘇高考）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是cm3.解析：正六棱柱的體積為6×34×22×2＝123（cm3），圓柱的體積為π×0.52×2＝π2（cm3），則該六角螺帽毛坯的體積為123答案：123－π10.（2020·江蘇高考）將函數(shù)y＝3sin2x＋π4的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度，解析：將函數(shù)y＝3sin2x＋π4的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝3sin2x－π6＋π4＝3sin2x－π12的圖象，由2x－π12＝π2＋kπ，k∈Z，得對(duì)稱軸方程為x答案：x＝－511.（2020·江蘇高考）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列{an＋bn}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－n＋2n－1（n∈N*），則d＋q的值是.解析：法一當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＋b1＝1①，當(dāng)n≥2時(shí)，an＋bn＝Sn－Sn－1＝2n－2＋2n－1，則a2＋b2＝4②，a3＋b3＝8③，a4＋b4＝14④，②－①得d＋b1（q－1）＝3⑤，③－②得d＋b2（q－1）＝4⑥，④－③得d＋b3（q－1）＝6⑦，⑥－⑤得b1（q－1）2＝1，⑦－⑥得b2（q－1）2＝2，則q＝2，b1＝1，d＝2，所以d＋q＝4.法二由題意可得S1＝a1＋b1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＋bn＝Sn－Sn－1＝2n－2＋2n－1，易知當(dāng)n＝1時(shí)也成立，則a1＋（n－1）d＋b1qn－1＝dn＋a1－d＋b1qn－1＝2n－2＋2n－1對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，則d＝2，q＝2，d＋q＝4.法三由等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的特征可得等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Hn＝n2－n，等比數(shù)列{b2}的前n項(xiàng)和Tn＝2n－1，則d＝2，q＝2，d＋q＝4.答案：412.（2020·江蘇高考）已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），則x2＋y2的最小值是.解析：法一由5x2y2＋y4＝1得x2＝15y2－y25，則x2＋y2＝15y2＋4y25≥215y2·4y25＝45，當(dāng)且僅當(dāng)法二4＝（5x2＋y2）·4y2≤（5x2＋y2）+4y222＝254（x2＋y2）2，則x2＋y2≥45，當(dāng)且僅當(dāng)5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝310，y答案：413.（2020·江蘇高考）在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP＝9，若PA＝mPB＋32－mPC（m為常數(shù)），則解析：法一以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸的正方向，AC的方向?yàn)閥軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)CD＝λCB，λ∈[0，1]，則D（4λ，3－3λ），AD＝AC＋λCB＝λAB＋（1－λ）AC，又點(diǎn)P在AD的延長(zhǎng)線上，則可設(shè)AP＝μAD，μ＞1，又PA＝m（PB－PC）＋32PC＝mCB＋32PC，則PA＝m（AB－AC）＋32（AC－AP），12AP＝mAB＋32－mAC，則2mAB＋（3－2m）AC＝AP＝μAD＝λμAB＋μ（1－λ）AC，所以2m＝λμ，3－2m＝μ－λμ，所以μ＝3，又AP＝9，則AD＝3，所以（4λ）2＋（3－3λ）2＝9，得λ＝1825或λ＝0，則｜CD｜＝1825｜CB｜＝1825×3法二由題意可設(shè)PA＝λPD＝λ[μPB＋（1－μ）PC]＝λμPB＋（λ－λμ）PC，其中λ＞1，0≤μ≤1，又PA＝mPB＋32－mPC，所以λμ＝m，λ－λμ＝32－m，得λ＝32，即｜PA｜｜PD｜＝32，又PA＝9，則｜PD｜＝6，｜AD｜＝3，所以AD＝AC.當(dāng)D與C重合時(shí)，CD＝0，當(dāng)D不與C重合時(shí)，有∠ACD＝∠CDA，所以∠CAD＝180°－2∠ACD，在△ACD中，由正弦定理可得CDsin∠CAD＝ADsin∠ACD，則答案：185或14.（2020·江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P32，0，A，B是圓C：x2＋y－122＝36上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足PA＝PB解析：法一連接CA，CB，則CA＝CB，連接CP，由PA＝PB且CA＝CB得AB的垂直平分線是直線CP，設(shè)圓心C到AB的距離為d（0≤d＜6），易知當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離為d＋PC＝d＋1，AB＝236－d2，△PAB的面積S＝12AB（d＋1）＝12×236－d2（d＋1）＝36（d+1）2－d2（d+1）2，令d＋1＝t，t∈[1，7），則S＝36t2-(t－1）2t2，令f（t）＝36t2－（t－1）2t2＝－t4＋2t3＋35t2，t∈[1，7），則f'（t）＝－4t3＋6t2＋70t＝－2t（t－5）（2t＋7），由f'（t）＝0，得t＝5，則當(dāng)t∈[1，5）時(shí)，f'（t）＞0，f（t）單調(diào)遞增，當(dāng)t∈（5，7）時(shí)，f'（t法二如圖，連接CA，CB，則CA＝CB，連接PC，由PA＝PB且CA＝CB，得AB的垂直平分線是直線CP.當(dāng)AB經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，△PAB的面積S＝12×12×1＝6.當(dāng)AB在點(diǎn)C的左上方時(shí)，記直線PC與AB的交點(diǎn)為D，設(shè)∠ACD＝θ，θ∈0，π2，則AB＝2AD＝12sinθ，CD＝6cosθ，則△PAB的面積S＝12AB·PD＝12×12sinθ（6cosθ＋1）＝36sinθcosθ＋6sinθ，則S'＝36cos2θ－36sin2θ＋6cosθ＝36cos2θ＋6cosθ＝6（12cos2θ＋cosθ－6），由S'＝0得cosθ＝23舍去cosθ＝－34，且當(dāng)0＜cosθ＜23時(shí)，S'＜0，S單調(diào)遞減；當(dāng)23＜cosθ＜1時(shí)，S'＞0，S單調(diào)遞增，所以當(dāng)cosθ＝23時(shí)，S取得最大值，且Smax＝36×1－2答案：105二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分14分）（2020·江蘇高考）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn).（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1.證明：（1）因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)，所以EF∥AB1.又EF?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.（2）因?yàn)锽1C⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C?平面AB1C，AC?平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C，又因?yàn)锳B?平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.16.（本小題滿分14分）（2020·江蘇高考）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a＝3，c＝2，B＝45°.（1）求sinC的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得cos∠ADC＝－45，求tan∠DAC的值解：（1）在△ABC中，因?yàn)閍＝3，c＝2，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝9＋2－2×3×2cos45°＝5，所以b＝5.在△ABC中，由正弦定理bsinB＝得5sin45°＝2所以sinC＝55（2）在△ADC中，因?yàn)閏os∠ADC＝－45，所以∠ADC為鈍角而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C為銳角.故cosC＝1－sin2C＝255，則因?yàn)閏os∠DAC＝－45所以sin∠ADC＝1－costan∠ADC＝sin∠ADCcos從而tan∠ACD＝tan（180°－∠ADC－C）＝－tan（∠ADC＋C）＝－tan＝－－34＋17.（本小題滿分14分）（2020·江蘇高考）某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，OO'為鉛垂線（O'在AB上）.經(jīng)測(cè)量，左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離h1（米）與D到OO'的距離a（米）之間滿足關(guān)系式h1＝140a2；右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離h2（米）與F到OO'的距離b（米）之間滿足關(guān)系式h2＝－1800b3＋6b.已知點(diǎn)B到OO'的距離為40（1）求橋AB的長(zhǎng)度；（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO'的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上（不包括端點(diǎn)）.橋墩EF每米造價(jià)k（萬元），橋墩CD每米造價(jià)32k（萬元）（k＞0），問O'E為多少米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低解：（1）作AA1，BB1，CD1，EF1都與MN垂直，A1，B1，D1，F(xiàn)1是相應(yīng)垂足.由條件知，當(dāng)O'B＝40時(shí)，BB1＝－1800×403＋6×40＝160，則AA1＝由140O'A2＝160，得O'A＝所以AB＝O'A＋O'B＝80＋40＝120（米）.（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OO'為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖所示）.設(shè)F（x，y2），x∈（0，40），則y2＝－1800x3＋6xEF＝160－y2＝160＋1800x3－6x因?yàn)镃E＝80，所以O(shè)'C＝80－x.設(shè)D（x－80，y1），則y1＝140（80－x）2所以CD＝160－y1＝160－140（80－x）2＝－140x2＋4記橋墩CD和EF的總造價(jià)為f（x），則f（x）＝k160+1800x3＝k1800x3－380x2f'（x）＝k3800x2－340x＝令f'（x）＝0，得x＝20.x（0，20）20（20，40）f'（x）－0＋f（x）↘極小值↗所以當(dāng)x＝20時(shí)，f（x）取得最小值.答：（1）橋AB的長(zhǎng)度為120米；（2）當(dāng)O'E為20米時(shí)，橋墩CD和EF的總造價(jià)最低.18.（本小題滿分16分）（2020·江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：x24＋y23＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，直線AF1（1）求△AF1F2的周長(zhǎng)；（2）在x軸上任取一點(diǎn)P，直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，求OP·QP的最小值；（3）設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S1，S2，若S2＝3S1，求點(diǎn)M的坐標(biāo).解：（1）設(shè)橢圓E：x24＋y23＝1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b，則a2＝4，b2＝3，c2＝1.所以△AF1F2的周長(zhǎng)為2a＋2c＝6.（2）橢圓E的右準(zhǔn)線為x＝4.設(shè)P（x，0），Q（4，y），則OP＝（x，0），QP＝（x－4，－y），OP·QP＝x（x－4）＝（x－2）2－4≥－4，在x＝2時(shí)取等號(hào).所以O(shè)P·QP的最小值為－4.（3）因?yàn)闄E圓E：x24＋y23＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，則F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0所以直線AB：3x－4y＋3＝0.設(shè)M（x，y），因?yàn)镾2＝3S1，所以點(diǎn)M到直線AB距離等于點(diǎn)O到直線AB距離的3倍.由此得｜3x－4y則3x－4y＋12＝0或3x－4y－6＝0.由3x－4y＋12=0，x24＋y23由3x－4y－6=0，x24＋y23=1，得7x2－代入直線l：3x－4y－6＝0，對(duì)應(yīng)分別得y＝0或y＝－127因此點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）或－219.（本小題滿分16分）（2020·江蘇高考）已知關(guān)于x的函數(shù)y＝f（x），y＝g（x）與h（x）＝kx＋b（k，b∈R）在區(qū)間D上恒有f（x）≥h（x）≥g（x）.（1）若f（x）＝x2＋2x，g（x）＝－x2＋2x，D＝（－∞，＋∞），求h（x）的表達(dá)式；（2）若f（x）＝x2－x＋1，g（x）＝klnx，h（x）＝kx－k，D＝（0，＋∞），求k的取值范圍；（3）若f（x）＝x4－2x2，g（x）＝4x2－8，h（x）＝4（t3－t）x－3t4＋2t2（0＜｜t｜≤2），D＝[m，n]?[－2，2]，求證：n－m≤7.解：（1）由條件f（x）≥h（x）≥g（x），得x2＋2x≥kx＋b≥－x2＋2x，取x＝0，得0≥b≥0，所以b＝0.由x2＋2x≥kx，得x2＋（2－k）x≥0，此式對(duì)一切x∈（－∞，＋∞）恒成立，所以（2－k）2≤0，則k＝2，此時(shí)2x≥－x2＋2x恒成立，所以h（x）＝2x.（2）h（x）－g（x）＝k（x－1－lnx），x∈（0，＋∞）.令u（x）＝x－1－lnx，則u'（x）＝1－1x，令u'（x）＝0，得x＝x（0，1）1（1，＋∞）u'（x）－0＋u（x）↘極小值↗所以u(píng)（x）min＝u（1）＝0.則x－1≥lnx恒成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)k≥0時(shí)，h（x）≥g（x）恒成立.另一方面，f（x）≥h（x）恒成立，即x2－x＋1≥kx－k恒成立，也即x2－（1＋k）x＋1＋k≥0恒成立.因?yàn)閗≥0，函數(shù)y＝x2－（1＋k）x＋1＋k的圖象的對(duì)稱軸x＝1+k2＞所以（1＋k）2－4（1＋k）≤0，解得－1≤k≤3.因此，k的取值范圍是0≤k≤3.（3）證明：①當(dāng)1≤t≤2時(shí)，由g（x）≤h（x），得4x2－8≤4（t3－t）x－3t4＋2t2，整理得x2－（t3－t）x＋3t4－2t令Δ＝（t3－t）2－（3t4－2t2－8），則Δ＝t6－5t4＋3t2＋8.記φ（t）＝t6－5t4＋3t2＋8（1≤t≤2），則φ'（t）＝6t5－20t3＋6t＝2t（3t2－1）（t2－3）＜0恒成立，所以φ（t）在[1，2]上是減函數(shù)，則φ（2）≤φ（t）≤φ（1），即2≤φ（t）≤7.所以不等式（*）有解，設(shè)解為x1≤x≤x2，因此n－m≤x2－x1＝Δ≤7.②當(dāng)0＜t＜1時(shí)，f（－1）－h(huán)（－1）＝3t4＋4t3－2t2－4t－1.設(shè)v（t）＝3t4＋4t3－2t2－4t－1，則v'（t）＝12t3＋12t2－4t－4＝4（t＋1）（3t2－1），令v'（t）＝0，得t＝33當(dāng)t∈0，33時(shí)，v'（t）＜0，v（t當(dāng)t∈33，1時(shí)，v'（t）＞0，v（tv（0）＝－1，v（1）＝0，則當(dāng)0＜t＜1時(shí)，v（t）＜0.（或證：v（t）＝（t＋1）2（3t＋1）（t－1）＜0.）則f（－1）－h(huán)（－1）＜0，因此－1?（m，n）.因?yàn)閇m，n]?[－2，2]，所以n－m≤2＋1＜7.③當(dāng)－2≤t＜0時(shí)，因?yàn)閒（x），g（x）均為偶函數(shù)，因此n－m≤7也成立.綜上所述，n－m≤7.20.（本小題滿分16分）（2020·江蘇高考）已知數(shù)列{an}（n∈N*）的首項(xiàng)a1＝1，前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)λ與k是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)n，均有Sn+11k－Sn1k＝λan+11（1）若等差數(shù)列{an}是“λ～1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列{an}是“33～2”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（3）對(duì)于給定的λ，是否存在三個(gè)不同的數(shù)列{an}為“λ～3”數(shù)列，且an≥0？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由.解：（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}是“λ～1”數(shù)列，則Sn＋1－Sn＝λan＋1，即an＋1＝λan＋1，也即（λ－1）an＋1＝0，此式對(duì)一切正整數(shù)n均成立.若λ≠1，則an＋1＝0恒成立，故a3－a2＝0，而a2－a1＝－1，這與{an}是等差數(shù)列矛盾.所以λ＝1.（此時(shí)，任意首項(xiàng)為1的等差數(shù)列都是“1～1”數(shù)列）（2）因?yàn)閿?shù)列{an}（n∈N*）是“33～2”數(shù)列，所以Sn+1－Sn＝33an+1，即Sn+1－Sn＝33Sn+1－Sn，因?yàn)閍n＞0，令Sn+1Sn＝bn，則bn－1＝33bn2－1，即（bn－1）2＝13解得bn＝2，即Sn+1Sn＝2，也即Sn+1Sn＝4，所以數(shù)列因?yàn)镾1＝a1＝1，所以Sn＝4n－1.則an＝1（3）設(shè)各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列{an}（n∈N*）為“λ～3”數(shù)列，則Sn+113－Sn13＝λan+1因?yàn)閍n≥0，而a1＝1，所以Sn＋1≥Sn＞0，則3Sn+1Sn－令3Sn+1Sn＝cn，則cn－1＝λ3cn3－1（cn≥1），即（cn－1）3＝λ3（cn3①若λ≤0或λ＝1，則（*）只有一解為cn＝1，即符合條件的數(shù)列{an}只有一個(gè).（此數(shù)列為1，0，0，0，…）②若λ＞1，則（*）化為（cn－1）cn2＋因?yàn)閏n≥1，所以cn2＋λ3+2λ3－1cn＋1＞0，則（即符合條件的數(shù)列{an}只有一個(gè).（此數(shù)列為1，0，0，0，…）③若0＜λ＜1，則cn2＋λ3+2λ3－1cn＋1＝0的兩根分別在（0，1）與（1，＋∞）內(nèi)，則方程（*）有兩個(gè)大于或等于1的解：其中一個(gè)為1所以Sn＋1＝Sn或Sn＋1＝t3Sn.由于數(shù)列{Sn}從任何一項(xiàng)求其后一項(xiàng)均有兩種不同結(jié)果，所以這樣的數(shù)列{Sn}有無數(shù)多個(gè)，則對(duì)應(yīng)的{an}有無數(shù)多個(gè).綜上所述，能存在三個(gè)各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列{an}為“λ～3”數(shù)列，λ的取值范圍是0＜λ＜1.數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題）21.[選做題]本題包括A、B、C三小題，請(qǐng)選定其中兩小題作答.若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.[選修4-2：矩形與變換]（本小題滿分10分）平面上點(diǎn)A（2，－1）在矩陣M＝a1－1b對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）求矩陣M的逆矩陣M－1.解：（1）因?yàn)閍1所以2a－1=3，－2－b＝－4，（2）因?yàn)镸＝21－12，det（M）＝2×2－1×（－1）＝5≠0，所以M可逆，B.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)Aρ1，π3在直線l：ρcosθ＝2上，點(diǎn)Bρ2，π6在圓C：ρ＝4sinθ上（其中ρ≥0（1）求ρ1，ρ2的值；（2）求出直線l與圓C的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).解：（1）由ρ1cosπ3＝2，得ρ1＝4；ρ2＝4sinπ6＝又（0，0）即0，π6也在圓C上，因此ρ2（2）由ρcosθ=2，ρ=4sinθ，得4sinθcosθ因?yàn)棣选?，0≤θ＜2π，所以θ＝π4，ρ＝22所以公共點(diǎn)的極坐標(biāo)為22C.[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）設(shè)x∈R，解不等式2｜x＋1｜＋｜x｜＜4.解：當(dāng)x＞0時(shí)，原不等式可化為2x＋2＋x＜4，解得0＜x＜23當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，原不等式可化為2x＋2－x＜4，解得－1≤x≤0；當(dāng)x＜－1時(shí)，原不等式可化為－2x－2－x＜4，解得－2＜x＜－1.綜上，原不等式的解集為x|-[必做題]第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22.（本小題滿分10分）（2020·江蘇高考）在三棱錐A-BCD中，已知CB＝CD＝5，BD＝2，O為BD的中點(diǎn)，AO⊥平面BCD，AO＝2，E為AC的中點(diǎn).（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點(diǎn)F在BC上，滿足BF＝14BC，設(shè)二面角F-DE-C的大小為θ，求sinθ的值解：（1）連接OC，因?yàn)镃B＝CD，O為BD中點(diǎn)，所以CO⊥BD.又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC.以{OB，OC，OA}為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.因?yàn)锽D＝2，CB＝CD＝5，AO＝2，所以B（1，0，0），D（－1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2）.因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以E（0，1，1）.則AB＝（1，0，－2），DE＝（1，1，1），所以｜c(diǎn)os＜AB，DE＞｜＝｜AB·DE｜｜因此，直線AB與DE所成角的余弦值為1515（2）因?yàn)辄c(diǎn)F在BC上，BF＝14BC，BC＝（－1，2，0所以BF＝14BC＝又DB＝（2，0，0），故DF＝DB＋BF＝74設(shè)n1＝（x1，y1，z1）為平面DEF的一個(gè)法向量，則DE·n取x1＝2，得y1＝－7，z1＝5，所以n1＝（2，－7，5）.設(shè)n2＝（x2，y2，z2）為平面DEC的一個(gè)法向量，又DC＝（1，2，0），則DE·n取x2＝2，得y2＝－1，z2＝－1，所以n2＝（2，－1，－1）.故｜c(diǎn)osθ｜＝｜n1·n2所以sinθ＝1－cos23.（本小題滿分10分）（2020·江蘇高考）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn.（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn＋qn與2pn－1＋qn－1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E（Xn）（用n表示）.解：（1）p1＝C11C31·C31C31＝1p2＝C11C31·C31C31·p1＋C21C31·C11C31·q1＋0·q2＝C21C31·C31C31·p1＋C21C31·C21C31＋C11（2）當(dāng)n≥2時(shí)，pn＝C11C31·C31C31·pn－1＋C21C31·C11C31·qn－1＋0·（1－pn－1－qn＝C21C31·C31C31·pn－1＋C21C31·C21C31＋C11C31·C11C2×①＋②，得2pn＋qn＝23pn－1＋49qn－1－19qn－1＋23＝13（2pn－1＋qn－從而2pn＋qn－1＝13（2pn－1＋qn－1－1又2p1＋q1－1＝13所以2pn＋qn＝1＋1313n－1＝1＋13n由②，有qn－35＝－19qn－1－35所以qn＝115－19n－1＋由③，有pn＝121+13n－qn＝310－故1－pn－qn＝310－19n－1213Xn的概率分布Xn012P1－pn－qnqnpn則E（Xn）＝0×（1－pn－qn）＋1×qn＋2×pn＝1＋13n，n∈N前沿?zé)狳c(diǎn)——新高考數(shù)學(xué)考情分析2024年新高考真題（含考情分析）及高考最新動(dòng)向?qū)崟r(shí)更新請(qǐng)掃碼獲取縱觀近年來新高考數(shù)學(xué)試題，試題貫徹落實(shí)了高考改革的總體要求，實(shí)施“德智體美勞”全面發(fā)展的教育方針，聚焦核心素養(yǎng)，突出關(guān)鍵能力考查，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，充分發(fā)揮考試的引導(dǎo)作用.試題突出數(shù)學(xué)本質(zhì)、重視理性思維、堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則.通過設(shè)計(jì)真實(shí)問題情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；穩(wěn)步推進(jìn)改革，科學(xué)把握必備知識(shí)與關(guān)鍵能力的關(guān)系，體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的高考考查要求.一、突出主干知識(shí)、筑牢能力基礎(chǔ)以2023年新高考Ⅰ、Ⅱ卷為例，對(duì)各試題所考查的主干知識(shí)分析如下：題型題號(hào)各試題所考查的知識(shí)點(diǎn)分布及考查角度2023年新高考Ⅰ卷2023年新高考Ⅱ卷單選題1集合的交集運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法及幾何意義2復(fù)數(shù)運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)由集合間的關(guān)系求參數(shù)3向量垂直、數(shù)量積運(yùn)算分層隨機(jī)抽樣、計(jì)數(shù)原理4由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)5橢圓的離心率問題由直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)6圓的切線問題由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)7等差數(shù)列充要條件的判定半角公式8三角函數(shù)中和、差、倍角公式的應(yīng)用等比數(shù)列的概念、前n項(xiàng)和及性質(zhì)多選題9樣本數(shù)字特征圓錐的體積、側(cè)面積和截面面積10以實(shí)際問題為背景考查對(duì)數(shù)大小比較直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的概念及性質(zhì)11抽象函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)函數(shù)的極值及應(yīng)用12以正方體內(nèi)嵌入某幾何體考查對(duì)稱性、空間位置關(guān)系獨(dú)立事件的概率、二項(xiàng)分布模型填空題13計(jì)數(shù)原理向量的數(shù)量積、模14四棱臺(tái)的體積四棱臺(tái)的體積15三角函數(shù)中由零點(diǎn)個(gè)數(shù)求ω范圍直線與圓的位置關(guān)系16雙曲線幾何性質(zhì)、平面向量三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答題17正弦定理、三角恒等變換正、余弦定理、三角恒等變換18線線平行的證明及由二面角求線段長(zhǎng)度等差數(shù)列、數(shù)列的奇偶項(xiàng)問題19利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式統(tǒng)計(jì)圖表、概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)交匯問題20等差數(shù)列的概念、性質(zhì)及前n項(xiàng)和空間線面位置關(guān)系、二面角的正弦值21概率與數(shù)列的交匯問題直線與雙曲線的位置關(guān)系、定直線問題22以拋物線為背景，考查不等式及函數(shù)的最值以三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用從上表可以看出，試題所考查知識(shí)范圍及思想方法90％以上都源于教材主干知識(shí)，由此在一輪復(fù)習(xí)備考中更應(yīng)重視必備知識(shí)的系統(tǒng)梳理、基本能力的逐點(diǎn)夯實(shí).二、注重試題情境創(chuàng)設(shè)、牢記育人宗旨1.關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)2023年新高考Ⅰ卷第10題以當(dāng)今社會(huì)熱點(diǎn)“噪聲污染問題”為背景命制試題，目的是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)、關(guān)注民生，用所學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)踐情境下的實(shí)際問題.（多選）（2023·新高考Ⅰ卷）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)Lp＝20×lgpp0，其中常數(shù)p0（p0＞0）是聽覺下限閾值，p是實(shí)際聲壓.聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車1060～90混合動(dòng)力汽車1050～60電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1，p2，p3，則（）A.p1≥p2 B.p2＞10p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p22.弘揚(yáng)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化2022年新高考Ⅱ卷第3題以中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為背景命制出以等差數(shù)列為考查點(diǎn)的試題，此類試題不但能考查學(xué)生的閱讀理解能力、直觀想象能力及知識(shí)運(yùn)用能力，而且還能以優(yōu)秀傳統(tǒng)文化精髓陶冶情操.（2022·新高考Ⅱ卷）圖①是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖②是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，A.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.93.展示現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)水平2021年新高考Ⅱ卷第4題以我國(guó)航天事業(yè)的重要成果北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為試題情境命制立體幾何問題，在考查學(xué)生的空間想象能力和閱讀理解、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注我國(guó)社會(huì)現(xiàn)實(shí)與經(jīng)濟(jì)、科技進(jìn)步與發(fā)展，增強(qiáng)民族自豪感與自信心.（2021·新高考Ⅱ卷）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為α，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為S＝2πr2（1－cosα）（單位：km2），則S占地球表面積的百分比約為（）A.26％ B.34％C.42％ D.50％4.體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值2022年新高考Ⅰ卷第4題以我國(guó)的重大建設(shè)成就“南水北調(diào)”工程為背景命制出以四棱臺(tái)體積公式為考查點(diǎn)的立體幾何試題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.（2022·新高考Ⅰ卷）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為（7≈2.65）（）A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3三、重視能力考查、使素養(yǎng)評(píng)價(jià)科學(xué)有據(jù)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生能力的要求是數(shù)學(xué)“六大核心素養(yǎng)”的集中展示.要檢驗(yàn)學(xué)生核心素養(yǎng)高低，必須通過解決數(shù)學(xué)問題來體現(xiàn).（多選）（2023·新高考Ⅰ卷）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體C.底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體素養(yǎng)評(píng)價(jià)本題為多選題，以正方體內(nèi)嵌入其他幾何體為背景考查學(xué)生不同的素養(yǎng)層級(jí)，由A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)設(shè)計(jì)的問題不同，對(duì)應(yīng)解決問題所需核心素養(yǎng)也逐漸提升，本題真