2022年 數(shù)學(xué)高考題新高考Ⅱ卷

PAGE1一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（2022·新高考Ⅱ卷1題）已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x｜｜x－1｜≤1}，則A∩B＝（）A.{－1，2} B.{1，2}C.{1，4} D.{－1，4}解析：B法一由｜x－1｜≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x｜0≤x≤2}，所以A∩B＝{1，2}，故選B.法二因?yàn)??B，所以4?A∩B，故排除C、D；又－1?B，所以－1?A∩B，故排除A.故選B.2.（2022·新高考Ⅱ卷2題）（2＋2i）（1－2i）＝（）A.－2＋4i B.－2－4iC.6＋2i D.6－2i解析：D（2＋2i）（1－2i）＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故選D. 3.（2022·新高考Ⅱ卷3題）圖①是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖②是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，A.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.9解析：D法一如圖，連接OA，延長AA1與x軸交于點(diǎn)A2，則OA2＝4OD1.因?yàn)閗1，k2，k3成公差為0.1的等差數(shù)列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以CC1＝DC1·（k3－0.2），BB1＝CB1（k3－0.1），AA1＝k3BA1，即CC1＝OD1（k3－0.2），BB1＝OD1（k3－0.1），AA1＝k3OD1.又DD1OD1＝0.5，所以DD1＝0.5OD1，所以AA2＝0.5OD1＋OD1（k3－0.2）＋OD1（k3－0.1）＋k3OD1＝OD1（3k3＋0.2），所以tan∠AOA2＝AA2OA2＝OD法二設(shè)OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，則DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3.由題意，得k3＝k1＋0.2，k3＝k2＋0.1，且DD1＋CC1＋BB1＋AA1O4.（2022·新高考Ⅱ卷4題）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，則t＝（）A.－6 B.－5C.5 D.6解析：C由題意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因?yàn)椋糰，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即a·c｜a||c｜＝b·c｜b||c｜，5.（2022·新高考Ⅱ卷5題）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（）A.12種 B.24種C.36種 D.48種解析：B先將丙和丁捆在一起有A22種排列方式，然后將其與乙、戊排列，有A33種排列方式，最后將甲插入中間兩空，有C21種排列方式，所以不同的排列方式共有A6.（2022·新高考Ⅱ卷6題）若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝22cosα＋π4sinβ，則A.tan（α－β）＝1 B.tan（α＋β）＝1C.tan（α－β）＝－1 D.tan（α＋β）＝－1解析：C由題意得sinαcosβ＋sinβcosα＋cosαcosβ－sinαsinβ＝22×22（cosα－sinα）sinβ，整理，得sinα·cosβ－sinβcosα＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即sin（α－β）＋cos（α－β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故選7.（2022·新高考Ⅱ卷7題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長分別為33和43，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A.100π B.128πC.144π D.192π解析：A由題意，得正三棱臺(tái)上、下底面的外接圓的半徑分別為23×32×33＝3，23×32×43＝4.設(shè)該棱臺(tái)上、下底面的外接圓的圓心分別為O1，O2，連接O1O2，則O1O2＝1，其外接球的球心O在直線O1O2上.設(shè)球O的半徑為R，當(dāng)球心O在線段O1O2上時(shí)，R2＝32＋OO12＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；當(dāng)球心O不在線段O1O2上時(shí)，R2＝42＋OO22＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，8.（2022·新高考Ⅱ卷8題）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，則∑k=122f（kA.－3 B.－2C.0 D.1解析：A因?yàn)閒（1）＝1，所以在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令y＝1，得f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）·f（1），所以f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）①，所以f（x＋2）＋f（x）＝f（x＋1）②.由①②相加，得f（x＋2）＋f（x－1）＝0，故f（x＋3）＋f（x）＝0，所以f（x＋3）＝－f（x），所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），所以函數(shù)f（x）的一個(gè)周期為6.在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令x＝1，y＝0，得f（1）＋f（1）＝f（1）f（0），所以f（0）＝2.令x＝1，y＝1，得f（2）＋f（0）＝f（1）f（1），所以f（2）＝－1.由f（x＋3）＝－f（x），得f（3）＝－f（0）＝－2，f（4）＝－f（1）＝－1，f（5）＝－f（2）＝1，f（6）＝－f（3）＝2，所以f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根據(jù)函數(shù)的周期性知，∑k=122f（k）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝1－1－2－1＝－3二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.（多選）（2022·新高考Ⅱ卷9題）已知函數(shù)f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ＜π）的圖象關(guān)于點(diǎn)2π3，0中心對(duì)稱，A.f（x）在區(qū)間0，B.f（x）在區(qū)間－πC.直線x＝7π6是曲線y＝f（xD.直線y＝32－x是曲線y＝f（x）解析：AD由題意，得f2π3＝sin4π3＋φ＝0，所以4π3＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝－4π3＋kπ，k∈Z.又0＜φ＜π，所以φ＝2π3.故f（x）＝sin2x＋2π3.選項(xiàng)A，當(dāng)x∈0，5π12時(shí)，u＝2x＋2π3∈2π3，3π2.由y＝sinu的圖象，知y＝f（x）在區(qū)間0，5π12上單調(diào)遞減，故正確.選項(xiàng)B，當(dāng)x∈－π12，11π12時(shí)，u＝2x＋2π3∈π2，5π2.由y＝sinu的圖象，知y＝f（x）在區(qū)間－π12，11π12內(nèi)只有1個(gè)極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤.選項(xiàng)C，當(dāng)x＝7π6時(shí)，2x＋2π3＝3π，則f7π6＝0，所以直線x＝7π6不是曲線y＝f（x）的對(duì)稱軸，故錯(cuò)誤.選項(xiàng)D，令f'（x）＝2cos2x＋2π3＝－1，得cos（2x＋2π3）＝－12，則2x＋2π3＝2π3＋2kπ，k∈Z或2x＋2π310.（多選）（2022·新高考Ⅱ卷10題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C：y2＝2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M（p，0）.若｜AF｜＝｜AM｜，則（）A.直線AB的斜率為26 B.｜OB｜＝｜OF｜C.｜AB｜＞4｜OF｜ D.∠OAM＋∠OBM＜180°解析：ACD對(duì)于A，由題意，得Fp2，0.因?yàn)椋麬F｜＝｜AM｜，且M（p，0），所以xA＝xF＋xM2＝34p，將其代入拋物線方程y2＝2px，得yA＝62p，所以A34p，62p，所以直線AB的斜率kAB＝kAF＝62p－034p－p2＝26，故A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A的分析，知直線AB的方程為y＝26x－p2，代入y2＝2px，得12x2－13px＋3p2＝0，解得x＝34p或x＝13p，所以xB＝13p，所以yB＝－63p，所以｜OB｜＝xB2＋yB2＝73p≠｜OF｜，故B不正確；對(duì)于C，由拋物線的定義及選項(xiàng)A、B的分析，得｜AB｜＝xA＋xB＋p＝1312p＋p＝2512p＞2p，即｜AB｜＞4｜OF｜，故C正確；對(duì)于D，易知｜OA｜＝334p，｜AM｜＝54p，｜OB｜＝73p，｜BM｜＝103p，則cos∠OAM＝｜OA｜211.（多選）（2022·新高考Ⅱ卷11題）如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB.記三棱錐E-ACD，F(xiàn)-ABC，F(xiàn)-ACE的體積分別為V1，V2，V3，則（）A.V3＝2V2B.V3＝V1C.V3＝V1＋V2D.2V3＝3V1解析：CD法一如圖，連接BD交AC于O，連接OE，OF.設(shè)AB＝ED＝2FB＝2，則AB＝BC＝CD＝AD＝2，F(xiàn)B＝1.因?yàn)镋D⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，所以FB⊥平面ABCD，所以V1＝VE-ACD＝13S△ACD×ED＝13×12AD×CD×ED＝13×12×2×2×2＝43，V2＝VF-ABC＝13S△ABC×FB＝13×12AB×BC×FB＝13×12×2×2×1＝23.因?yàn)镋D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以ED⊥AC，又AC⊥BD，且ED∩BD＝D，ED，BD?平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF.因?yàn)镺E，OF?平面BDEF，所以AC⊥OE，AC⊥OF.易知AC＝BD＝2AB＝22，OB＝OD＝12BD＝2，OF＝OB2＋FB2＝3，OE＝OD2＋ED2＝6，EF＝BD2＋（ED－FB）2＝（22）2＋（2－1）2＝3，所以EF2＝OE2＋OF2，所以O(shè)F⊥OE，又OE∩AC＝O，OE，AC?平面ACE，所以O(shè)F⊥平面ACE，所以V3＝VF-ACE＝13S△ACE·OF＝13×12AC×OE×OF＝13×12×22×6×3＝2法二設(shè)AB＝ED＝2FB＝2，則V1＝13×2×2＝43，V2＝13×2×1＝23.如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO，F(xiàn)O，則FO＝3，EO＝6，EF＝3，所以S△EOF＝12×3×6＝322，所以V3＝13S△EOF·AC＝2，所以V3＝V1＋V2，2V3＝12.（多選）（2022·新高考Ⅱ卷12題）若x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則（）A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1解析：BC對(duì)于A、B：由x2＋y2－xy＝1，得（x＋y）2－3xy＝1，又xy＝（x＋y）24－（x－y）24，所以（x＋y）2－3（x＋y）24－（x－y）24＝1，即1＝（x＋y）24＋3（x－y）24≥（x＋y）24，所以－2≤x＋y≤2，所以A不正確，B正確；對(duì)于C、D：由x2＋y2－三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.（2022·新高考Ⅱ卷13題）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，則P（X＞2.5）＝.解析：因?yàn)閄～N（2，σ2），所以P（X＞2）＝0.5，所以P（X＞2.5）＝P（X＞2）－P（2＜X≤2.5）＝0.5－0.36＝0.14.答案：0.1414.（2022·新高考Ⅱ卷14題）曲線y＝ln｜x｜過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，.解析：先求當(dāng)x＞0時(shí)，曲線y＝lnx過原點(diǎn)的切線方程，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），則由y'＝1x，得切線斜率為1x0，又切線的斜率為y0x0，所以1x0＝y(tǒng)0x0，解得y0＝1，代入y＝lnx，得x0＝e，所以切線斜率為1e，切線方程為y＝1ex.同理可求得當(dāng)x＜0時(shí)的切線方程為y＝－1ex答案：y＝1exy＝－115.（2022·新高考Ⅱ卷15題）設(shè)點(diǎn)A（－2，3），B（0，a），若直線AB關(guān)于y＝a對(duì)稱的直線與圓（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是.解析：法一由題意知點(diǎn)A（－2，3）關(guān)于直線y＝a的對(duì)稱點(diǎn)為A'（－2，2a－3），所以kA'B＝3－a2，所以直線A'B的方程為y＝3－a2x＋a，即（3－a）x－2y＋2a＝0.由題意知直線A'B與圓（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共點(diǎn)，易知圓心為（－3，－2），半徑為1，所以|-3（3－a）＋(-2）×(-2）+2a｜（3－a）2＋(-2）法二易知（x＋3）2＋（y＋2）2＝1關(guān)于y軸對(duì)稱的圓的方程為（x－3）2＋（y＋2）2＝1，由題意知該對(duì)稱圓與直線AB有公共點(diǎn).設(shè)直線AB的方程為y－3＝k（x＋2），即kx－y＋3＋2k＝0，因?yàn)閷?duì)稱圓的圓心為（3，－2），半徑為1，所以｜5k+5｜k2＋(-1）2≤1，解得－43≤k≤－34，又k＝a－32，所以－43≤a答案：116.（2022·新高考Ⅱ卷16題）已知直線l與橢圓x26＋y23＝1在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且｜MA｜＝｜NB｜，｜MN｜＝23，則解析：法一設(shè)直線l的方程為xm＋yn＝1（m＞0，n＞0），分別令y＝0，x＝0，得點(diǎn)M（m，0），N（0，n）.由題意知線段AB與線段MN有相同的中點(diǎn)，設(shè)為Q，則Qm2，n2，則kAB＝0－nm－0＝－nm，kOQ＝n2m2＝nm.由橢圓中點(diǎn)弦的性質(zhì)知，kAB·kOQ＝－b2a2＝－12，即－nm·nm＝－12，整理得m2＝2n2①.又｜MN｜＝23，所以由勾股定理，得m2＋n2＝12②，由①②并結(jié)合m＞0，n法二設(shè)線段AB的中點(diǎn)為E.由｜MA｜＝｜NB｜，得E為線段MN的中點(diǎn).設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，k＜0，m＞0，則M－mk，0，N（0，m），E－m2k，m2.將y＝kx＋m代入x26＋y23＝1中并整理，得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－6＝0.由Δ＝6k2－m2＋3＞0，得m2＜6k2＋3.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2＝－4km1+2k2＝2·－m2k，解得k＝－22.又因?yàn)椋麺N｜＝m答案：x＋2y－22＝0四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（2022·新高考Ⅱ卷17題）已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為2的等比數(shù)列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.（1）證明：a1＝b1；（2）求集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的個(gè)數(shù).解：（1）證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2－b2＝a3－b3得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1，由a2－b2＝b4－a4得a1＋d－2b1＝8b1－（a1＋3d），即a1＝5b1－2d，將d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1.（2）由（1）知an＝a1＋（n－1）d＝a1＋（n－1）×2b1＝（2n－1）a1，bn＝b1·2n－1，由bk＝am＋a1得b1·2k－1＝（2m－1）a1＋a1，由a1＝b1≠0得2k－1＝2m，由題知1≤m≤500，所以2≤2m≤1000，所以k＝2，3，4，…，10，共9個(gè)數(shù)，即集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}＝{2，3，4，…，10}中元素的個(gè)數(shù)為9.18.（2022·新高考Ⅱ卷18題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝32，sinB＝1（1）求△ABC的面積；（2）若sinAsinC＝23，求b解：（1）由S1－S2＋S3＝32，得34（a2－b2＋c2）＝32，即a2－b2＋c2又a2－b2＋c2＝2accosB，所以accosB＝1.由sinB＝13，得cosB＝223或cosB＝－223（舍去），所以ac則△ABC的面積S＝12acsinB＝12×324×（2）由sinAsinC＝23，ac＝324及正弦定理知b2sin2即b2＝94×19＝14，得b19.（2022·新高考Ⅱ卷19題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70）的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1％，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6％.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50），求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.解：（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡x＝10×（5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002）＝47.9.（2）由于患者的年齡位于區(qū)間[20，70）是由患者的年齡位于區(qū)間[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70）組成的，且相互獨(dú)立，所以所求概率P＝1－（0.001＋0.002＋0.006＋0.002）×10＝0.89.（3）設(shè)從該地區(qū)任選一人，年齡位于區(qū)間[40，50）為事件A，患這種疾病為事件B，則P（A）＝16％，由頻率分布直方圖知這種疾病患者年齡位于區(qū)間[40，50）的概率為0.023×10＝0.23，結(jié)合該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1％，可得P（AB）＝0.1％×0.23＝0.00023，所以從該地區(qū)任選一人，若年齡位于區(qū)間[40，50），則此人患這種疾病的概率為P（B｜A）＝P（AB）P20.（2022·新高考Ⅱ卷20題）如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E為PB的中點(diǎn).（1）證明：OE∥平面PAC；（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值.解：（1）證明：如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接DP，DO，DE.因?yàn)锳P＝PB，所以PD⊥AB.因?yàn)镻O為三棱錐P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC，因?yàn)锳B?平面ABC，所以PO⊥AB.又PO，PD?平面POD，且PO∩PD＝P，所以AB⊥平面POD.因?yàn)镺D?平面POD，所以AB⊥OD，又AB⊥AC，所以O(shè)D∥AC，因?yàn)镺D?平面PAC，AC?平面APC，所以O(shè)D∥平面PAC.因?yàn)镈，E分別為BA，BP的中點(diǎn)，所以DE∥PA，因?yàn)镈E?平面PAC，PA?平面PAC，所以DE∥平面PAC.又OD，DE?平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面PAC.又OE?平面ODE，所以O(shè)E∥平面PAC.（2）連接OA，因?yàn)镻O⊥平面ABC，OA，OB?平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以O(shè)A＝OB＝PA2－P易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，所以O(shè)D＝OAsin30°＝4×12＝2AB＝2AD＝2OAcos30°＝2×4×32＝43又∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°，所以在Rt△ABC中，AC＝ABtan60°＝43×3＝12.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x，y軸，以過A且垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A（0，0，0），B（43，0，0），C（0，12，0），P（23，2，3），E33所以AE＝33，1，32，AB＝（43，0，0），AC＝（0設(shè)平面AEC的法向量為n＝（x，y，z），則n·AE=0，n·AC=0，即33x＋y＋32z=0，設(shè)平面AEB的法向量為m＝（x1，y1，z1），則m·AE=0，m·AB=0，即33x1＋y1＋32所以｜c(diǎn)os＜n，m＞｜＝n·m｜設(shè)二面角C-AE-B的大小為θ，則sinθ＝1－4321.（2022·新高考Ⅱ卷21題）已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F（2，0），（1）求C的方程；（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0.過P且斜率為－3的直線與過Q且斜率為3的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①M(fèi)在AB上；②PQ∥AB；③｜MA｜＝｜MB｜.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）由題意得c＝2，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±bax＝±3x，所以ba＝又c2＝a2＋b2，聯(lián)立得a＝1，b＝3，所以雙曲線C的方程為x2－y23（2）由題意知直線PQ的斜率存在且不為0，設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋b（k≠0），將直線PQ的方程代入C的方程，整理得（3－k2）x2－2kbx－b2－3＝0，則x1＋x2＝2kb3－k2，x1x2＝－b2+33－k2所以x1－x2＝（x1＋設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（xM，yM），則y兩式相減，得y1－y2＝23xM－3（x1＋x2），又y1－y2＝（kx1＋b）－（kx2＋b）＝k（x1－x2），所以23xM＝k（x1－x2）＋3（x1＋x2），解得xM＝kb兩式相加，得2yM－（y1＋y2）＝3（x1－x2），又y1＋y2＝（kx1＋b）＋（kx2＋b）＝k（x1＋x2）＋2b，所以2yM＝k（x1＋x2）＋3（x1－x2）＋2b，解得yM＝3b2+3－k2因此，點(diǎn)M的軌跡為直線y＝3kx，其中k為直線PQ的斜率若選擇①②：因?yàn)镻Q∥AB，所以直線AB的方程為y＝k（x－2），設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），不妨令點(diǎn)A在直線y＝3x上，則由yA＝k（xA－2),yA同理可得xB＝2kk＋3，y所以xA＋xB＝4k2k2－3，yA點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足y得xM＝2k2k2－3＝xA＋故M為AB的中點(diǎn)，即｜MA｜＝｜MB｜.若選擇①③：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M即為點(diǎn)F（2，0），此時(shí)M不在直線y＝3kx上，矛盾當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，易知直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為y＝m（x－2）（m≠0），A（xA，yA），B（xB，yB），不妨令點(diǎn)A在直線y＝3x上，則由yA＝m（xA－2),yA同理可得xB＝2mm＋3，y因?yàn)镸在AB上，且｜MA｜＝｜MB｜，所以xM＝xA＋xB2＝2m2m又點(diǎn)M在直線y＝3kx上，所以6mm2－解得k＝m，因此PQ∥AB.若選擇②③：因?yàn)镻Q∥AB，所以直線AB的方程為y＝k（x－2），設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），不妨令點(diǎn)A在直線y＝3x上，則由yA＝k（xA－2),yA同理可得xB＝2kk＋3，y設(shè)AB的中點(diǎn)為C（xC，yC），則xC＝xA＋xyC＝y(tǒng)A＋y因?yàn)椋麺A｜＝｜MB｜，所以M在AB的垂直平分線上，即點(diǎn)M在直線y－yC＝－1k（x－xC），即y－6kk2與y＝3kx聯(lián)立，得xM＝2k2k2－3＝xC，y即點(diǎn)M恰為AB的中點(diǎn)，故點(diǎn)M在直線AB上.22.（2022·新高考Ⅱ卷22題）已知函數(shù)f（x）＝xeax－ex.（1）當(dāng)a＝1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜－1，求a的取值范圍；（3）設(shè)n∈N*，證明：112+1＋122+2＋…＋1n2解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝xex－ex＝（x－1）ex，f'（x）＝ex＋（x－1）ex＝xex.令f'（x）＝0，得x＝0，∴當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增.（2）f'（x）＝eax＋aeaxx－ex＝（ax＋1）eax－ex，f'（0）＝0.設(shè)g（x）＝（ax＋1）eax－ex，則g'（x）＝aeax＋aeax（ax＋1）－ex＝（a2x＋2a）eax－ex，g'（0）＝2a－1.當(dāng)2a－1＞0，即a＞12時(shí)，存在δ＞0，使得當(dāng)x∈（0，δ）時(shí)，g'（x）＞0，此時(shí)f'（x）在（0，δ）上單調(diào)遞增∵f'（x）＞f'（0）＝0，∴f（x）在（0，δ）上單調(diào)遞增，∴f（x）＞f（0）＝－1，這與f（x）＜－1矛盾，故舍去.當(dāng)2a－1≤0，即a≤12時(shí)，f（x）≤xe12x令h（x）＝xe12x－則h'（x）＝e12x＋12e12x·x－ex＝e12∴h（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，此時(shí)h（x）＜h（0）＝－1符合條件.綜上可知，a的取值范圍為－∞，1（3）證明：由（2）知當(dāng)a＝12，x＞0時(shí)，xe12x－ex＜－1，∴x＜令e12x＝t，t＞1，則x＝2lnt，∴2lnt＜t－1t取t＝n+1n（n∈N*），則2lnt＝ln（n＋1）－lnn＜n+1n－nn+1＝1n2＋n，∴112+1＋122+2＋…＋1n2＋n＞ln2－ln1＋ln3－ln2＋…2024年新高考真題（含考情分析）及高考最新動(dòng)向?qū)崟r(shí)更新請(qǐng)掃碼獲取縱觀近年來新高考數(shù)學(xué)試題，試題貫徹落實(shí)了高考改革的總體要求，實(shí)施“德智體美勞”全面發(fā)展的教育方針，聚焦核心素養(yǎng)，突出關(guān)鍵能力考查，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，充分發(fā)揮考試的引導(dǎo)作用.試題突出數(shù)學(xué)本質(zhì)、重視理性思維、堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則.通過設(shè)計(jì)真實(shí)問題情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；穩(wěn)步推進(jìn)改革，科學(xué)把握必備知識(shí)與關(guān)鍵能力的關(guān)系，體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的高考考查要求.一、突出主干知識(shí)、筑牢能力基礎(chǔ)以2023年新高考Ⅰ、Ⅱ卷為例，對(duì)各試題所考查的主干知識(shí)分析如下：題型題號(hào)各試題所考查的知識(shí)點(diǎn)分布及考查角度2023年新高考Ⅰ卷2023年新高考Ⅱ卷單選題1集合的交集運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法及幾何意義2復(fù)數(shù)運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)由集合間的關(guān)系求參數(shù)3向量垂直、數(shù)量積運(yùn)算分層隨機(jī)抽樣、計(jì)數(shù)原理4由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)5橢圓的離心率問題由直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)6圓的切線問題由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)7等差數(shù)列充要條件的判定半角公式8三角函數(shù)中和、差、倍角公式的應(yīng)用等比數(shù)列的概念、前n項(xiàng)和及性質(zhì)多選題9樣本數(shù)字特征圓錐的體積、側(cè)面積和截面面積10以實(shí)際問題為背景考查對(duì)數(shù)大小比較直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的概念及性質(zhì)11抽象函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)函數(shù)的極值及應(yīng)用12以正方體內(nèi)嵌入某幾何體考查對(duì)稱性、空間位置關(guān)系獨(dú)立事件的概率、二項(xiàng)分布模型填空題13計(jì)數(shù)原理向量的數(shù)量積、模14四棱臺(tái)的體積四棱臺(tái)的體積15三角函數(shù)中由零點(diǎn)個(gè)數(shù)求ω范圍直線與圓的位置關(guān)系16雙曲線幾何性質(zhì)、平面向量三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答題17正弦定理、三角恒等變換正、余弦定理、三角恒等變換18線線平行的證明及由二面角求線段長度等差數(shù)列、數(shù)列的奇偶項(xiàng)問題19利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式統(tǒng)計(jì)圖表、概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)交匯問題20等差數(shù)列的概念、性質(zhì)及前n項(xiàng)和空間線面位置關(guān)系、二面角的正弦值21概率與數(shù)列的交匯問題直線與雙曲線的位置關(guān)系、定直線問題22以拋物線為背景，考查不等式及函數(shù)的最值以三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用從上表可以看出，試題所考查知識(shí)范圍及思想方法90％以上都源于教材主干知識(shí)，由此在一輪復(fù)習(xí)備考中更應(yīng)重視必備知識(shí)的系統(tǒng)梳理、基本能力的逐點(diǎn)夯實(shí).二、注重試題情境創(chuàng)設(shè)、牢記育人宗旨1.關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)2023年新高考Ⅰ卷第10題以當(dāng)今社會(huì)熱點(diǎn)“噪聲污染問題”為背景命制試題，目的是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)、關(guān)注民生，用所學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)踐情境下的實(shí)際問題.（多選）（2023·新高考Ⅰ卷）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)Lp＝20×lgpp0，其中常數(shù)p0（p0＞0）是聽覺下限閾值，p是實(shí)際聲壓.聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車1060～90混合動(dòng)力汽車1050～60電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1，p2，p3，則（）A.p1≥p2 B.p2＞10p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p22.弘揚(yáng)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化2022年新高考Ⅱ卷第3題以中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為背景命制出以等差數(shù)列為考查點(diǎn)的試題，此類試題不但能考查學(xué)生的閱讀理解能力、直觀想象能力及知識(shí)運(yùn)用能力，而且還能以優(yōu)秀傳統(tǒng)文化精髓陶冶情操.（2022·新高考Ⅱ卷）圖①是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖②是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，A.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.93.展示現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)水平2021年新高考Ⅱ卷第4題以我國航天事業(yè)的重要成果北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為試題情境命制立體幾何問題，在考查學(xué)生的空間想象能力和閱讀理解、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注我國社會(huì)現(xiàn)實(shí)與經(jīng)濟(jì)、科技進(jìn)步與發(fā)展，增強(qiáng)民族自豪感與自信心.（2021·新高考Ⅱ卷）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為α，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為S＝2πr2（1－cosα）（單位：km2），則S占地球表面積的百分比約為（）A.26％ B.34％C.42％ D.50％4.體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值2022年新高考Ⅰ卷第4題以我國的重大建設(shè)成就“南水北調(diào)”工程為背景命制出以四棱臺(tái)體積公式為考查點(diǎn)的立體幾何試題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.（2022·新高考Ⅰ卷）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為（7≈2.65）（）A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3三、重視能力考查、使素養(yǎng)評(píng)價(jià)科學(xué)有據(jù)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生能力的要求是數(shù)學(xué)“六大核心素養(yǎng)”的集中展示.要檢驗(yàn)學(xué)生核心素養(yǎng)高低，必須通過解決數(shù)學(xué)問題來體現(xiàn).（多選）（2023·新高考Ⅰ卷）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長均為1.4m的四面體C.底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體素養(yǎng)評(píng)價(jià)本題為多選題，以正方