高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題六概率與統(tǒng)計(jì)第2講隨機(jī)變量及其分布理市賽課公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第2講隨機(jī)變量及其分布高考定位概率模型多考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、相互獨(dú)立事件、互斥事件及對(duì)立事件等；對(duì)離散型隨機(jī)變量分布列及期望考查是重點(diǎn)中“熱點(diǎn)”，多在解答題前三題位置展現(xiàn)，?？疾楠?dú)立事件概率，超幾何分布和二項(xiàng)分布期望等.1/47真題感悟(·全國(guó)Ⅰ卷)某企業(yè)計(jì)劃購(gòu)置2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰，機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，能夠額外購(gòu)置這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，假如備件不足再購(gòu)置，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決議在購(gòu)置機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)置幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：2/47以這100臺(tái)機(jī)器更換易損零件數(shù)頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換易損零件數(shù)發(fā)生概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換易損零件數(shù)，n表示購(gòu)置2臺(tái)機(jī)器同時(shí)購(gòu)置易損零件數(shù).(1)求X分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n最小值；(3)以購(gòu)置易損零件所需費(fèi)用期望值為決議依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選取哪個(gè)？3/47解

(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換易損零件數(shù)為8，9，10，11概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2，從而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；4/47所以X分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n最小值為19.(3)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)置易損零件上所需費(fèi)用(單位：元).當(dāng)n＝19時(shí)，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040.5/47當(dāng)n＝20時(shí)，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知當(dāng)n＝19時(shí)所需費(fèi)用期望值小于n＝20時(shí)所需費(fèi)用期望值，故應(yīng)選n＝19.6/47考

點(diǎn)

整

合1.條件概率2.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率P(AB)＝P(A)P(B).3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)7/474.超幾何分布8/475.離散型隨機(jī)變量分布列ξx1x2x3…xi…Pp1p2p3…pi…為離散型隨機(jī)變量ξ分布列.(2)離散型隨機(jī)變量ξ分布列含有兩個(gè)性質(zhì)：①pi≥0；②p1＋p2＋…＋pi＋…＝1(i＝1，2，3，…).(3)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量ξ數(shù)學(xué)期望或均值.9/47D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做隨機(jī)變量ξ方差.(4)性質(zhì)①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；②X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；③X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).10/47熱點(diǎn)一相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率模型[微題型1]相互獨(dú)立事件概率【例1－1】

(·北京卷)A，B，C三個(gè)班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們體育鍛煉情況，經(jīng)過(guò)分層抽樣取得了部分學(xué)生一周鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)以下表(單位：小時(shí))：11/47(1)試預(yù)計(jì)C班學(xué)生人數(shù)；(2)從A班和C班抽出學(xué)生中，各隨機(jī)選取1人，A班選出人記為甲，C班選出人記為乙.假設(shè)全部學(xué)生鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立，求該周甲鍛煉時(shí)間比乙鍛煉時(shí)間長(zhǎng)概率；(3)再?gòu)腁，B，C三個(gè)班中各任取一名學(xué)生，他們?cè)撝苠憻挄r(shí)間分別是7，9，8.25(單位：小時(shí)).這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中數(shù)據(jù)組成新樣本平均數(shù)記為μ1，表格中數(shù)據(jù)平均數(shù)記為μ0，試判斷μ0和μ1大小(結(jié)論不要求證實(shí)).12/4713/4714/47探究提升

對(duì)于復(fù)雜事件概率，要先辨析事件組成，理清各事件之間關(guān)系，并依據(jù)互斥事件概率和，或者相互獨(dú)立事件概率積公式列出關(guān)系式；含“至多”“最少”類詞語(yǔ)事件可轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件概率求解；并注意正難則反思想應(yīng)用(即題目較難也可從對(duì)立事件角度考慮).15/47[微題型2]獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率【例1－2】

一家面包房依據(jù)以往某種面包銷售統(tǒng)計(jì)，繪制了日銷售量頻率分布直方圖，如圖所表示.16/47將日銷售量落入各組頻率視為概率，并假設(shè)天天銷售量相互獨(dú)立.(1)求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天日銷售量都不低于100個(gè)且另1天日銷售量低于50個(gè)概率；(2)用X表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)天數(shù)，求隨機(jī)變量X分布列，期望E(X)及方差D(X).17/47解(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天日銷售量都不低于100個(gè)且另1天日銷售量低于50個(gè)”，所以P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.18/47分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)閄～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.探究提升

在解題時(shí)注意區(qū)分獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)基本特征：(1)在每次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；(2)在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生概率相同.19/47【訓(xùn)練1】

某超市為了解用戶購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)搜集了在該超市購(gòu)物100位用戶相關(guān)數(shù)據(jù)，以下表所表示.一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上用戶數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分種/人)11.522.5320/47已知這100位用戶中一次購(gòu)物量超出8件用戶占55%.(1)確定x，y值，并求用戶一次購(gòu)物結(jié)算時(shí)間X分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若某用戶抵達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位用戶需結(jié)算，且各用戶結(jié)算相互獨(dú)立，求該用戶結(jié)算前等候時(shí)間不超出2.5分鐘概率.(注：將頻率視為概率)21/47解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市全部用戶一次購(gòu)物結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所搜集100位用戶一次購(gòu)物結(jié)算時(shí)間可視為總體一個(gè)容量為100簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得22/47X分布列為23/4724/47熱點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量分布列[微題型1]利用相互獨(dú)立事件、互斥事件概率求分布列25/47(1)小明兩次回球落點(diǎn)中恰有一次落點(diǎn)在乙上概率；(2)兩次回球結(jié)束后，小明得分之和X分布列與數(shù)學(xué)期望.26/4727/4728/4729/4730/47可得隨機(jī)變量X分布列為：31/47探究提升

解答這類問(wèn)題使用簡(jiǎn)練、準(zhǔn)確數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述解答過(guò)程是解答得分根本確保.引進(jìn)字母表示事件可使得事件描述簡(jiǎn)單而準(zhǔn)確，或者用表格描述，使得問(wèn)題描述有條理，不會(huì)有遺漏，也不會(huì)重復(fù)；分析清楚隨機(jī)變量取值對(duì)應(yīng)事件是求解分布列關(guān)鍵.32/47[微題型2]二項(xiàng)分布33/47(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們累計(jì)得分為X，求X≤3概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問(wèn)：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分?jǐn)?shù)學(xué)期望較大？34/4735/4736/4737/47(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所取得累計(jì)得分為X1，都選擇方案乙所取得累計(jì)得分為X2，則X1，X2分布列以下：38/4739/47[微題型3]超幾何分布【例2－3】

(·合肥二模)為推進(jìn)乒乓球運(yùn)動(dòng)發(fā)展，某乒乓球比賽允許不一樣協(xié)會(huì)運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生概率；(2)設(shè)X為選出4人中種子選手人數(shù)，求隨機(jī)變量X分布列和數(shù)學(xué)期望.40/4741/47探究提升

抽取4人中，運(yùn)動(dòng)員可能為種子選手或普通運(yùn)動(dòng)員，而且只能是這兩種情況之一，符合超幾何概型特征，故可利用超幾何分布求概率.42/47【訓(xùn)練2】

(·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷)從某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得以下頻率分布直方圖：43/4744/4745/471.概率P(A|B)與P(AB