2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-函數(shù)與不等式101-110-專項訓(xùn)練【含答案】

是針角三角形，則因為所以故函數(shù)且，從而在(1，2)上有唯一解，③正確.故填①②③.【例2】已知過原點的一條直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點，分別過點A，B作軸的平行線與函數(shù)的圖象交于C，D兩點.（1）求證：點C，D和原點在同一條直線上；（2）當(dāng)BC平行于軸時，求點的坐標(biāo).【解析】本題第(1)問運(yùn)用斜率相等證明三點共線;第(2)問運(yùn)用方程思想求得點A的坐標(biāo).(1)證明:設(shè)，點A，B的橫坐標(biāo)分別為，由題意知則A，B兩，點的縱坐標(biāo)分別為.因為A，B在過點的直線上，所以點C，D坐標(biāo)分別為，因為所以O(shè)C的斜率的斜率，由此可知即O，C，D三點在同一條直線上.（2）由BC平行于軸知即代入得由知則又故點的坐標(biāo)為 【例3】已知函數(shù). (1)當(dāng)時，解不等式； (2)若關(guān)于的方程的解集中恰好只有一個元素，求的取值范圍； (3)設(shè)若對任意函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.【解析】(1)由得解得.(2)由題意得整理得，當(dāng)時經(jīng)檢驗，滿足題意;當(dāng)時經(jīng)檢驗，滿足題意;當(dāng)且時，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時是原方程的解；當(dāng)且僅當(dāng)即時是原方程的解.要使方程只有一解，則(3)取則，所以在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為.即對任意成立.因為所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，時，y有最小值由得.故a的取值范圍為.【例4】設(shè)函數(shù)實數(shù)滿足，，求a，b的值.【解析】因為所以，所以或又因為所以所以又由有意義知從而，于是.所以.從而.又所以，故解得或舍去).把代入解得所以.【例5】已知試求使方程有解的的取值范圍.【解析】由題意得，可令，由得，由圖可知方程有解的條件是一或一.因為所以或故的取值范圍是.變式訓(xùn)練1.已知函數(shù)當(dāng)時恒成立，求的取值范圍.2.設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)圖象上不同的三點，如果滿足等式的實數(shù)有且僅有一個，試求實數(shù)的取值范圍.第四章 兩域成比，端點分類 兩域是指函數(shù)的定義域和值域，對于函數(shù)若，我們稱之為兩域成比.破解這類問題的基本方法是對端點分類討論.一、根式型函數(shù)【例1】已知函數(shù)的定義域為[a，b]，值域為[a，b]，求的范圍.【解析】因為單調(diào)遞增，所以，故有兩個不同的根，令則得.二、二次型函數(shù)【例1】已知函數(shù)的定義域為[a，b]，值域為[a，b]，求的范圍.【解析】(1)在[a，b]上單調(diào)時: 當(dāng)時在[a，b]上單調(diào)遞增，可轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個不同的解， 當(dāng)時在[a，b]上單調(diào)遞減(2)得， 則所以方程在上有兩個不同的解，.(2)在[a，b]上不單調(diào)時，當(dāng)且時且，方程在區(qū)間上有解，則得所以方程有唯一解，故. 當(dāng)且即時，，則 綜上得 【例2】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，求的范圍.【解析】若在上單調(diào)遞減，則有相減得則則為方程在上的兩個根，若在上單調(diào)遞增，則有，則為方程在上的兩個根，得.綜上得變式訓(xùn)練 已知二次函數(shù)滿足且方程有等根. (1)求的解析式 (2)是否存在實數(shù)使得的定義域為[m，n]，值域為[3m，3n]?若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由.三、三次型函數(shù)【例1】已知函數(shù)若存在區(qū)間使得函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的值域為[ka，kb]，求的最小值.【解析】分析函數(shù)圖象知，極值點為3，9.當(dāng)時令得或當(dāng)時，由于得四、對數(shù)型函數(shù)【例1】已知函數(shù)的定義域為D，若滿足：①在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在，使在[m，n]上的值域為，那么就稱為“好函數(shù)".現(xiàn)有)是“好函數(shù)”，則的取值范圍是 A. B. C. D.【答案】C【解析】因為函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，若函數(shù)為“好函數(shù)"，則方程必有兩個不同實數(shù)根，令則方程有兩個不同的正數(shù)根，選.【例2】已知函數(shù)的定義域為值域為且在上為減函數(shù). (1)求證； (2)求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)由知故，由知則，由知，則，結(jié)合定義域得成立.（2）由（1）得所以是方程在上的兩個不同的根.令則所以.五、分段型函數(shù)【例1】已知函數(shù)，對于定義偶函數(shù)的定義域為當(dāng)時.(1)求;(2)若存在實數(shù)使得函數(shù)在[a，b]上的最大值為ma，最小值為mb，求非零實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)因為所以迭代函數(shù)以3為周期，.設(shè)則，所以圖象如下：(2)由得;又因為所以(否則矛盾)，當(dāng)時是減函數(shù).早題意知所以a，b是方程的兩不同實根，即在上有兩個不同的實根，則得，當(dāng)時，則在(-1，0)上是增函數(shù)，早題意知兩式相減得不合題意.綜上所述，得一第五章范圍探求，兩套秘招含參變量問題的分類討論，尤其是含參變量方程的根的分布及含參變量麗數(shù)的值域問題，一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點和重點.這類問題恰恰又是高考重點考查內(nèi)容，因而各類數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)參考資料上均頻頻出現(xiàn)這類習(xí)題.學(xué)生往往對這些習(xí)題頭痛不已，因為分類時既繁雜又易遺漏出錯.那么，是否能找到一種辦法，既可避免紛繁的分類討論，又能使運(yùn)算簡便，還能使變量間的內(nèi)在關(guān)系明確地顯示出來?為解決這個問題，本章我們提出了參數(shù)分離思想.一、求參范圍，分離為先【例1】已知關(guān)于的方程，討論當(dāng)為何值時方程有一解、兩解、無解.【解析】原方程可變換成:以下用方程思想處理很繁，且有難度，分類討論時很易漏.所以我們換個角度考慮，用參數(shù)分離思想把參數(shù)與分離在等式的兩側(cè)，然后用函數(shù)的觀點來考察.分離參數(shù)，得.令則上式化為二次函數(shù)，令，要使原方程有解，只需妥兩圖象有交，點即可，有幾個交點就有幾個解.由圖象立即可知，當(dāng)時，方程有一解;當(dāng)時，方程有一解;當(dāng)時，方程有兩解;當(dāng)時，方程無解.【評注】通過上例的分析，我們不難看到，用參數(shù)分離思想解題不僅運(yùn)算簡捷、速度快，而且當(dāng)參數(shù)變動時，方程根的變化規(guī)律一目了然，同時也弄清了變量間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，在這方面它遠(yuǎn)勝于方程思想.【例2】已知關(guān)于的方程要使方程有兩個不等的實根，則的取值如何?【解析】由題意知故可分離參數(shù)，得，令，畫出簡圖，容易看出：當(dāng)時當(dāng)時而且，因此妥使方程有兩個相同的實根，只要與的圖象有兩個不同的交點，故只妥即可.【例3】求實數(shù)的范圍，使關(guān)于的方程:（1）有兩解；（2）有一解.【解析】由題意知且，故原方程可化為即.分離參數(shù)得令作函數(shù)圖象，容易看出當(dāng)或即或時，方程有一解；當(dāng)且即且時，方程有兩解.【例4】若恒存在解集求實數(shù)的取值范圍.【解析】由題設(shè)知，，所以原不等式可化為，從而有，分離參數(shù)a，即得，令，由于在上是單調(diào)遞減函數(shù)，故所以.從而得的取值范圍為.【評注】參數(shù)分離思想除了方便地解決方程根的分布問題外，還可以妙用于解決不等式恒成立問題.變式訓(xùn)練若對任何不等式恒成立，求k，p的取值范圍.【例5】設(shè)恒成立，求的取值范圍.【解析】分離參數(shù)得一，令則令.由于函數(shù)在(0，1)上單調(diào)遞減(如圖)，所以的值域為.故要使式在(0，1)上恒成立，只需即.【例6】已知函數(shù)當(dāng)時，恒有求的取值范圍.【解析】由題意知，在時恒成立.由于故分離參數(shù)得.

令，得.令由于在上單調(diào)遞增，故從而.【評注】本題若