2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-函數(shù)與不等式181-190-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

十六、引入?yún)?shù)，化零為整在某些復(fù)雜的問題中，僅憑觀察難以得出匹配的系數(shù)，但利用“等”與“定”的條件，建立方程組，可解出待定系數(shù)，使代數(shù)式合理整齊，從而開辟解題捷徑.【例1】已知,且求的最小值.【解析】設(shè)則有當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)成立時(shí)上述不等式取等號(hào),即,代入解得此時(shí)故的最小值為36。（【評注】用柯西不等式法更快.）【例2】設(shè)是不全為0的實(shí)數(shù)，求的最大值.【解析】引進(jìn)待定常數(shù)則有于是有將上面三式相加，并整理得令解得于是有有故當(dāng)且時(shí)取得).【例3】已知，求的最大值?！窘馕觥苛畹?。故的最大值為。【例4】設(shè)且記，則的最小值為A.1B.C.2D.【答案】B【解析】解法1：設(shè)設(shè)令則得則,當(dāng)即即時(shí),取得最小值故選.解法2:同解法1，令由得則解法3:設(shè)記,則（利用三角函數(shù)的有界性)【例5】已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值為【答案】45【解析】因?yàn)?，所以相加得?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即或時(shí)取得最大值45.【評注】本題是三元均值不等式問題，難點(diǎn)在于每個(gè)均值不等式的系數(shù)配湊。這里是用待定系數(shù)法來確定系數(shù).事實(shí)上,設(shè)解得.十七、單調(diào)值域，端點(diǎn)代入對于單調(diào)函數(shù)求值域的相關(guān)問題，只要把區(qū)間端點(diǎn)代入即可.【例1】求函數(shù)的值域.【解析】故由于單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，因?yàn)槎x域?yàn)楣手涤驗(yàn)椤驹u注】本題也可用換元法，令，化為二次函數(shù)，對于，由于函數(shù)不單調(diào)，只能用換元法.運(yùn)用換元法時(shí),要特別注意新元的范圍.【例2】求函數(shù)的值域.【解析】由于單調(diào)遞增,單調(diào)遞增,所以單調(diào)遞增，因?yàn)槎x域?yàn)楣手涤驗(yàn)椤纠?】求函數(shù)的值域.【解析】令則在[1,2]上單調(diào)遞減.因?yàn)槎x域?yàn)閇1,2],所以值域?yàn)椤纠?】求函數(shù)的值域。【解析】由于單調(diào)遞增，單調(diào)遞增,所以單調(diào)遞增，因?yàn)槎x域?yàn)樗灾涤驗(yàn)椤纠?】求函數(shù)的值域.【解析】由于單調(diào)遞增，單調(diào)遞增,所以單調(diào)遞增，因?yàn)槎x城為所以值域?yàn)椤纠?】求函數(shù)的值域.【解析】由于單調(diào)遞增，單調(diào)遞增,所以單調(diào)性不確定，對進(jìn)行分子有理化，得單調(diào)遞減。因?yàn)槎x域?yàn)樗灾涤驗(yàn)椤纠?】求函數(shù)的值域.【解析】令，則在【-1,1】上單調(diào)遞增，因?yàn)槎x域?yàn)椤?1,1】，所以值域?yàn)椤！纠?】求函數(shù)的值城.【解析】令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以值域?yàn)??！纠?】若對任意的不等式恒成立,則的最大值為，的最小值為?！敬鸢浮俊窘馕觥慨?dāng)時(shí)恒成立，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，令，則在上單調(diào)遞增，所以，所以，則，m的最大值為n的最小值為。十八、確立主元，化繁為簡在解答多元問題時(shí)，如果不分主次來研究，問題就很難解決，如果根據(jù)具體條件和解題需要，確立主元，減少變元個(gè)數(shù)，恰當(dāng)拼湊，就可以創(chuàng)造性地使用均值不等式，從而解決問題.【例1】在中,求證.證明:當(dāng)時(shí)，原不等式顯然成立.當(dāng)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)即為正三角形時(shí),原不等式等號(hào)成立.綜上所述，原不等式成立.【評注】變形后選擇為主元，先把看作常量，∠C看作變量，把，這兩個(gè)變量集中到中，然后利用的最大值為1將其整體消元,最后再回到這個(gè)主元，變中求定.【例2】對任意的,已知恒成立,求的最大值.【解析】,可寫作其中,設(shè)令,則則,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí),故所求最大值為2.【評注】變形后選擇為主元，再反解系數(shù)，反代，獲得成功.十九、有界夾逼,創(chuàng)造等式例1.已知實(shí)數(shù)x,y滿足則xy的最小值為答案解析則有即得故xy的最小值為.變式訓(xùn)練設(shè)的內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c,若則的面積為例2已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)求常數(shù)a,b,c,使不等式對一切實(shí)數(shù)都成立,并求函數(shù)的最小值.解析的圖象過,點(diǎn)則,對一切實(shí)數(shù)都成立，則有即所以即的最小值為0.例3若x,y滿足則答案又,所以,即所以二十、無序最值,分類討論例1設(shè)函數(shù)若存在唯一的整數(shù)x，使得求的取值范圍.解析先理解題中條件“存在唯一的整數(shù)x,使得這個(gè)條件等價(jià)于“除了一個(gè)非零整數(shù)外,對其他整數(shù)均有即對于除一個(gè)非零整數(shù)外的其他整數(shù),均有或容易作出的圖象,又的圖象恒過點(diǎn)由時(shí)對至多一個(gè)不成立知,再結(jié)合的圖象知，唯一的解只可能是一2或1,從而得到的取值范圍是例2已知不等式對一切都成立,則的最小值是答案解析考慮不等式兩邊分別對應(yīng)函數(shù)與其中的圖象是一條直線,且橫截距為所以求出當(dāng)函數(shù)的圖象在直線下方(或上方)時(shí)的橫截距的最大值即可.函數(shù)的圖象如下：容易看出橫截距的最大值為所以的最小值為評注嚴(yán)格地書寫步驟時(shí),可以在不等式中令是題中不等式為,不等式恒成立必有從而得到再去驗(yàn)證當(dāng)時(shí),不等式恒成立.等號(hào)在時(shí)可取到,從而得到的最小值為例3已知函數(shù)當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上均為增函數(shù),則的取值范圍是解析對函數(shù)求導(dǎo)得,由題意知二次函數(shù)在與上的函數(shù)值非負(fù).設(shè)則于是問題轉(zhuǎn)化為對任意求的取值范圍.先考慮此二次函數(shù)的判別式，從而得到的限制條件為可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)是可行域中的點(diǎn)的斜率，求出交點(diǎn)即可得所求范圍為例1設(shè)二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為對任意不等式恒成立,則的最大值為答案解析由題意知對任意題中已說明是二次函數(shù),故所以有整理得從而有于是.記因?yàn)橐笞畲笾?所以只需要考慮有當(dāng)時(shí)取到等號(hào).故所求最大值為變式訓(xùn)練1.求函數(shù)的值域.2.求雨數(shù)的值域.第七章函數(shù)解析式的求法求函數(shù)解析式是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一,需引起重視.本章主要幫助考生在深刻理解函數(shù)定義的基礎(chǔ)上,掌握求函數(shù)解析式的幾種方法,逐漸培養(yǎng)并形成創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問題的能力.換元法(配湊)已知f[g(x)]的解析式,欲求f(x),我們常設(shè)t=g(x),求得x=g^{-1}(t),然后代人f[g(x)]的解析式，從而得到f(t)的解析式,即為f(x)的解析式.用換元法有困難時(shí)(如t=g(x),g(x)不存在反函數(shù)),可把g(x)看成一個(gè)整體,把右邊變?yōu)橛蒰(x)組成的式子,再換元求出f(x)的解析式.例1已知求的解析式.解析令則因?yàn)閯t所以例2已知求的解析式.解法1:換元法令則,解法2:配湊法故,即.例3已知求的解析式.答案評注這里值得注意的是所求解析式的定義域的等價(jià)性,即的定義域應(yīng)是的值域.例4若則函數(shù)答案例5若則函數(shù)答案例6已知函數(shù)滿足其中