2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-函數(shù)與不等式191-200-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

二、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式時(shí)，若已知的結(jié)構(gòu)，可設(shè)出含參數(shù)的解析式，再根據(jù)已知條件列方程或方程組，求出待定的參數(shù)，從而求得的解析式．【例1】設(shè)是一次函數(shù)，且，求的解析式．【解析】設(shè)，則，比較系數(shù)得，解得或，所以或．【例2】設(shè)二次函數(shù)滿足，且其圖象在軸上的截距為1，在軸上截得的線段長(zhǎng)為，求的解析式．【解析】利用待定系數(shù)法，設(shè)，然后找關(guān)于的方程組求解，得．【例3】若函數(shù)在定義域內(nèi)恒有，則．【答案】3【解析】由，得，整理并比較系數(shù)得．變式訓(xùn)練若，，則的值是（）A.1B.3C.15D.30【例4】設(shè)是的二次函數(shù)，，且，求函數(shù)和的解析式．【解析】設(shè)，則．由得：即．這是關(guān)于的恒等式，比較系數(shù)，得，解得所以，．【例5】已知函數(shù)（為常數(shù)），且方程有兩個(gè)實(shí)根為，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，解關(guān)于的不等式：．【解析】（1）將分別代入方程得，解得，所以．（2）不等式即為，可化為，即．當(dāng)，解集為；當(dāng)時(shí)，不等式為，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.【例6】設(shè)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為1的射線，又的圖象中有一部分是頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)的拋物線，試求函數(shù)的解析式．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)因?yàn)樯渚€過(guò)點(diǎn)，所以，即，故．（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)．因?yàn)閳?zhí)物線過(guò)點(diǎn)，所以，即，故．（3）當(dāng)時(shí)，由為偶函數(shù)知．綜上可知，．【例7】已知二次函數(shù)滿足，求的【解析】由，，得并且不能同時(shí)等于1或，所以所求函數(shù)為：或或或或或．【例8】如圖，已知拋物線和軸正半軸交于兩點(diǎn)，，為拋物線上的一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為，，.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式．【解析】（1）設(shè)，可知點(diǎn)在第三象限，故，過(guò)點(diǎn)作軸于，設(shè)點(diǎn)．因?yàn)?，，所?因?yàn)?，所以，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）將點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得，解得，.故拋物線的解析式為.三、利用奇偶對(duì)稱(chēng)法【例1】若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，．【答案】【例2】設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，在時(shí)，，則時(shí)，等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】利用數(shù)形結(jié)合，時(shí)的對(duì)稱(chēng)軸為，最小值為，又關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱(chēng)軸為且最小值為，即，故選.四、利用周期與對(duì)稱(chēng)【例1】已知定義在上的函數(shù)以4為周期，當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)的最小值.【解析】設(shè)，則，即所求最小值為．【例2】設(shè)是定義在區(qū)間上以2為周期的函數(shù)，對(duì)，用表示區(qū)間，已知當(dāng)時(shí)，，求在上的解析式．【解析】，，，則.【例3】設(shè)是定義在上的函數(shù)，且對(duì)一切均有，當(dāng)時(shí)，.求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式；求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式．【解析】由得，即.（1）當(dāng)時(shí)，.（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所?【例4】已知為偶函數(shù)，且周期為，當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)的解析式．【解析】時(shí)，，，即時(shí)，，，又所以.【例5】設(shè)是定義在上以2為周期的函數(shù)，且是偶函數(shù)，在區(qū)間上時(shí)，.（1）求當(dāng)時(shí)，的解析式；（2）若矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)在軸上，在的圖象上，求這個(gè)矩形面積的最大值．【解析】（1）設(shè)，則因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，又因?yàn)?是的周期，所以.（2）設(shè)，則，又由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，，令，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以，即，故.【例6】已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，，函數(shù)是奇函數(shù)，又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時(shí)，取得最小值.（1）求證：；（2）求在上的解析式；（3）求在上的解析式．【解析】（1）是以5為周期的周期函數(shù)，故，又是奇函數(shù)，則，所以.（2）當(dāng)時(shí)，由題意，可設(shè)，由得，解得所以.（3）是奇函數(shù)，故，又是一次函數(shù)，因此設(shè)因?yàn)?，又，?所以當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠟槠婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.所以.【例7】設(shè)函數(shù)表示實(shí)數(shù)與的給定區(qū)間內(nèi)整數(shù)之差的絕對(duì)值．（1）當(dāng)時(shí)，求的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出用絕對(duì)值符號(hào)表示的的解析式，并說(shuō)明理由；（3）用定義證明函數(shù)是偶函數(shù)；（4）若，求證：方程有且只有一個(gè)實(shí)根．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由定義知，與0距離最近，故，.（2）當(dāng)時(shí)，由定義知，為與最近的一個(gè)整數(shù)，故，.（3）對(duì)任何，函數(shù)都存在，且存在，滿足當(dāng)時(shí)，.由，得，即.由（2）的結(jié)論，，即是偶函數(shù)．（４），即．（ｉ）當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有大于1的實(shí)根；（ｉｉ）當(dāng)時(shí)，容易驗(yàn)證為方程的實(shí)根；（ｉｉｉ）當(dāng)時(shí)，方程可變形為．設(shè)則．所以當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)所以方程在上沒(méi)有實(shí)根；（ｉｖ）當(dāng)時(shí)，方程可變形為．設(shè)，明顯為減函數(shù)，所以方程在上沒(méi)有實(shí)根．綜上可知，若，方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，實(shí)根為.【例８】已知定義在上的函數(shù)，如果對(duì)任意，恒有成立，則稱(chēng)為階“縮放函數(shù)”．（１）已知函數(shù)為二階“縮放函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，，求的值；（２）已知函數(shù)為二階“縮放函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，，求證：函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)．【解析】（１）由得，由題中條件得.（２）當(dāng)時(shí)，，依題意可得方程即，解得或0與均不屬于，故當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解．因?yàn)?，所以函?shù)在上無(wú)零點(diǎn)．五、利用方程的思想若已知條件是含有及另外一個(gè)函數(shù)的等式，則可抓住等式的特征對(duì)其進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于及另外一個(gè)函數(shù)的方程組．【例1】已知函數(shù)在上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是．【答案】【解析】由得即聯(lián)立，解得，，所以切線方程為，即．變式訓(xùn)練若，求的解析式．2、若，，求的解析式．【例2】設(shè)函數(shù)滿足，其中，求的解析式．【解析】令，則，于是有得，所以．【例3】已知，其中，為奇數(shù)，試求的解析式．【解析】令，則，于是有得，即.變式訓(xùn)練已知，求的解析式．【例4】已知，求的解析式.【解析】由，知由兩式聯(lián)立消去可得．變式訓(xùn)練1、已知，求的解析式．2.已知函數(shù)滿足則的最小值為)A.B.2C.D.【例5】已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則，．【答案】；．【解析】，則有兩式相減得，所以【評(píng)注】任何一個(gè)定義域?qū)ΨQ(chēng)的函數(shù)一定能表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和．變式訓(xùn)練已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則的值為（）A.B.C.D.六、代入法求已知函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某條直線的對(duì)稱(chēng)函數(shù)時(shí)，一般用代入法．【例1】已知函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求的解析式．【解析】設(shè)為上任一點(diǎn)，且為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，解得因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以．把代入得，即.【例2】已知，當(dāng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在函