2025高考數(shù)學二輪復習-拉檔提分數(shù)列21-30-專項訓練【含答案】

三.等差與等比之類比規(guī)則 等比數(shù)列與等差數(shù)列是數(shù)列中兩類最基本、最重要的數(shù)列,弄清它們的性質及相互關系很有必要.由于兩類數(shù)列在定義上只是一字之差,從數(shù)列結構上看，一個是“差”運算,一個是“商”運算.這是一種“運算”上的升級﹐由此我們可以猜想它們的其他性質也有這種對應關系.不妨用類比思想,逐個“平移”、類比、猜想、推導.下面用對稱的形式列出它們的對應性質.等差數(shù)列類比關系等比數(shù)列定義從第2項起，每一項與它的前一項的差是同一個常數(shù)數(shù)學表達式為：(1)(定義式)(2)(遞推式)差?商和?積定義從第2項起，每一項與它的前一項的比是同一個常數(shù)數(shù)學表達式為：(1)(定義式)(2)(遞推式)通項(1)(基本式)(2)(一般式)積?冪通項(1)(基本式)(2)(一般式)通項推導思想利用定義式(1)(遞推累加)累加得利用遞推式(2)(迭代法)加?乘累加?累乘通項推導思想利用定義式(1)(遞推累乘)累加得利用遞推式(2)(迭代法)公差公式差?商商?開方公比公式(當n?k為偶數(shù)時q有正負兩個值)項數(shù)公式差?商商?開方項數(shù)公式等差中項和?積等差中項等距和性質(1)(2)(公差≠0)和?積等距和性質(1)(2)(公差≠±1)前n項和思想方法：再寫一行，倒序作和和?積前n項積思想方法：再寫一行，倒序作積前n項和前n項和 通過上述類比,我們不難看到“等差”與“等比"有多么和諧的統(tǒng)一性及內(nèi)在結構上的相似性.我們學習任何知識均要站在系統(tǒng)的高度﹐注意比較知識間的聯(lián)系和區(qū)別,學會聯(lián)想、善于類比,這樣不僅有利于抓住問題本質,而且可以找到規(guī)律,簡化記憶,易于掌握.下面我們用類比思想解決問題,例如: 在等差數(shù)列{an}中,若,則有等式(n<19,n∈N')成立.類比上述性質有:在等比數(shù)列{an}中,若,則有等式(n<17,n∈N')成立.由于“等差”與“等比”只是一字之差,因而所有的性質都可以通過類比得到,在學習時可以相互轉換﹐遇到等比數(shù)列可以聯(lián)想等差數(shù)列,遇到等差數(shù)列可以聯(lián)想等比數(shù)列,這樣既可多渠道找到解決問題的方法﹐又學得快記得牢.四、數(shù)列中的類比集錦【例1】在等差數(shù)列中,若則有等式)成立,類比上述性質,相應地:在等比數(shù)列中,若則有等式成立.【答案】【解析】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，一種比較本質的認識是：等差數(shù)列一用減法定義一性質用乘法表述(若且則等比數(shù)列一用除法定義一性質用乘法表述(若且則由此,猜測本題的答案為.事實上,對等差數(shù)列如果則所以有從而對等比數(shù)列如果則有等式成立.【評注】本題是一道小巧而富于思考的妙題，主要考查觀察分析能力和抽象概括能力,考查運用類比的思想方法由等差數(shù)列得到關于等比數(shù)列的新的一般性結論.【例2】對于等差數(shù)列,有一個真命題如下：“若是等差數(shù)列,且是互不相等的正整數(shù),則”類比此命題,對于等比數(shù)列有一個真命題如下：“若是等比數(shù)列,且是互不相等的正整數(shù),則【答案】【解析】設等比數(shù)列的公比為由類比規(guī)則得【例3】定義“等和數(shù)列”如下:在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫“等和數(shù)列”這個常數(shù)叫該數(shù)列的公和.已知數(shù)列是“等和數(shù)列”,且公和為5,那么這個數(shù)列的前項和【答案】【解析】由"等和數(shù)列”的定義，易知故當為偶數(shù)時當為奇數(shù)時.【評注】本題以“等和數(shù)列”為載體,解決問題的關鍵是課本中所學的等差數(shù)列的有關知識及數(shù)學活動的經(jīng)驗.本題還考查分類討論的數(shù)學思想方法.【例4】已知命題：“若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則.”現(xiàn)已知數(shù)列為等比數(shù)列,且,若類比上述命題,則可得到.【答案】【解析】設的公差為d,則,則.類比此推導方法易知,設的公比為,由知，則，，故應填.【評注】本題從形式上難以類比出結論,但從已知結論的推導方法上不難類比得到等比數(shù)列的推導方法，從而推導出結論.所以本題更加注重研究方法和思路上的類比.【例5】已知等差數(shù)列有一個性質:若數(shù)列為等差數(shù)列,數(shù)列滿足則數(shù)列也是等差數(shù)列,類比上述命題,相應地,等比數(shù)列也有性質:若數(shù)列是等比數(shù)列則當數(shù)列滿足時,數(shù)列也是等比數(shù)列.【答案】【例6】觀察下列等式:由以上等式推測得到一個一般的結論:對于.【答案】【例7】從歸納出第個式子為.【答案】.【例8】)已知經(jīng)計算得，推測當時,有.【答案】【例9】已知數(shù)列的通項公式記試通過計算的值,推測出.【答案】【解析】【例10】觀察下列等式根據(jù)上述規(guī)律,第五個等式為.【答案】【解析】解法1:因為所給等式左邊的底數(shù)依次分別為1,右邊的底數(shù)依次分別為注意:這里故由底數(shù)內(nèi)在規(guī)律可知,第五個等式左邊的底數(shù)為1,2,3,4,5,6,右邊的底數(shù)為又左邊為立方和,右邊為平方的形式,故第五個等式為解法2:易知第五個等式的左邊為且等于441,而,故易知第五個等式為.【例11】]我們知道:左右兩邊分別相加,得即類比上述推理方法寫出求的過程.【解析】我們記,已知,將左右兩邊分別相加，得.由此知.【例12】觀察下列等式：照此規(guī)律,第個等式為【答案】【例13】觀察式子則可歸納出式子A. B.C. D.【答案】C【解析】用帶入選項判斷即得.【例14】將正整數(shù)按下表的規(guī)律排列:12345678910111213141516則數(shù)字2010出現(xiàn)在A.第44行第75列 B.第45行第75列C.第44行第74列 D.第45行第74列【答案】D【解析】第行有個數(shù)字,前行的數(shù)字個數(shù)為.且因此2010在第45行.又且第45行有個)數(shù)字,故2010在第列選D【例15】將個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成下表:根據(jù)規(guī)律,從2008到2010的箭頭方向依次為【答案】.【解析】觀察數(shù)表可知,位序相同的數(shù)字都是以4為公差的等差數(shù)列，故從2008至2010,其位序應與0→1→2相同，故選A.【例16】如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茨調(diào)和三角形”它是由正整數(shù)的倒數(shù)組成的,第行有個數(shù)且兩端的數(shù)均為每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如則第7行第4個數(shù)(從左往右數(shù))為A. B. C. D.【答案】A【解析】第6行從左到右各數(shù)依次為第7行從左到右各數(shù)依次，故選【例17】如圖數(shù)表滿足:1)第行首尾兩數(shù)均為;(2)表中遞推關系類似楊輝三角，下一行除首尾兩數(shù)外,每一個數(shù)都是肩上兩數(shù)之和.記第行第2個數(shù)為根據(jù)數(shù)表中上下兩行數(shù)據(jù)關系,可以得到遞推關系，并可解得通項.【答案】【解析】觀察數(shù)表知等于與其相鄰數(shù)的和，故遞推關系為，即累加得.【例18】設定義如表,數(shù)列滿足,則.123456451263【答案】5【解析】由條件知，，，可知是周期為6的數(shù)列，所以.【例19】設數(shù)列的首項且記

(1)求;(2)判斷是否為等比數(shù)列，并證明你的結論.【解析】(1).(2)因為所認.猜想是公比為的等比數(shù)列.證明如下：因為所以是首項為公比為的等比數(shù)列.【例20】給出下面的數(shù)表序列:其中表有行,第1行的個數(shù)是從第2行起,每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.（1）寫出表4，驗證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成等比數(shù)列,并將結論推廣到表不要求證明(2)每個數(shù)表中最后一行都只有一個數(shù),它們構成數(shù)列記此數(shù)列為求和.(1)表4為:【解析】它的第1,2,3,4行中數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32,它們構成首項為4,公比為2的等比數(shù)列.將這一結論推廣到表即表各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成首項為n,公侖為2的等比數(shù)列.簡證如下：首先,表的第1行是等差數(shù)列，其平均數(shù)為其次,若表的第行是等差數(shù)列，則它的第行也是等差數(shù)列.由等差數(shù)列的性質知,表的第行中的數(shù)的平均數(shù)與第行中的數(shù)的乎均數(shù)分別是由此可知,表各行中的數(shù)都成等差數(shù)列,且各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成首項為n,公比為2的等比數(shù)列. (2)表n的第1行是其平均數(shù)是.由(1)可知，它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成首項為n,公比為2的等比數(shù)列（從而它的第行中的數(shù)的平均數(shù)是),于是，表中最后一行的唯一一個數(shù)為.因此故.五、等差等比,創(chuàng)新拓展高考創(chuàng)新題向來是高考試題中最為亮麗的風景線.這類問題著重考查觀察發(fā)現(xiàn)、類比轉化以及運用數(shù)學知識分析和解決問題的能力.數(shù)列創(chuàng)新題是高考創(chuàng)新題重點考查的一種類型，下面舉例說明數(shù)列創(chuàng)新題的基本類型及求解策略.1.創(chuàng)新定義型【例1】已知數(shù)列滿足定義使為整數(shù)的數(shù)叫作“企募數(shù)”,則區(qū)間[1,2005]內(nèi)所有“企盼數(shù)”的和.【答案】2026【解析】因為所以要使為正整數(shù)，可設即令則,則區(qū)間[1,2005]內(nèi)所有“企紛數(shù)”的和【評注】本題側重考查信息加工能力，準確理解“企盼數(shù)”的定義是求解關鍵.解題時應將閱讀信息與所學知識結合起來.2.性質探求型【例2】已知數(shù)列滿足則.【答案】1【解析】由且知，從而知當時有于是知【評注】本題主要通過對數(shù)列形式的挖掘得出數(shù)列特有的性質,從而達到化歸轉化、解決問題的目的.其中性質探求是關鍵.【例3】已知是單位正方體,黑白兩只螞蟻從點發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”.白螞蟻的爬行路線是黑螞蟻的爬行路