2025高考數(shù)學二輪復習-拉檔提分數(shù)列170-180-專項訓練【含答案】

與對數(shù)函數(shù)有機結(jié)合[例10]已知函數(shù).(1)當時，把已知函數(shù)的圖象與直線的交點橫坐標依次記為求證(2)對于每一個值,設為已知函數(shù)圖象上與軸距離為1的兩點,求證:取任意一個正整數(shù)時,以為直徑的圓都與一條定直線相切,并求出這條定直線的方程和切點坐標.解析(1)原函數(shù)可化為,由可得即.則(2)為曲線上與軸距離為1的,點,設則,又的中點到軸的距離為故以為圓心為直徑的圓與軸相切，所以這條定直線為又因為圓心在軸上,所以切點為(0,0).6.與分式函數(shù)有機結(jié)合例11對任意函數(shù)可按圖示構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器,其工作原理如下：(1)輸入數(shù)據(jù)經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出;(2)若則發(fā)生器結(jié)束工作;若則將反貴回輸入端，再輸出并依此規(guī)律繼續(xù)下去.現(xiàn)定義.(1)若輸入則由發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列請寫出數(shù)列的所有項;（2)若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列,試求輸入的初始數(shù)據(jù)的值;(3)(理)若輸入時,產(chǎn)生的無窮數(shù)列滿足:對任意正整數(shù)$n,$均有，求的取值范圍(文)是否存在,在輸入數(shù)據(jù)時,該數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個各項均為負數(shù)的無窮數(shù)列?若存在，求出的值;若不存在,請說明理由.解析(1)的定義域為,計算知數(shù)列只有三項:(2)令得即或,即當或時，故時時.(3)理解不等式得或要使則或,又若則故不合題意若則且依此類推，可得數(shù)列的所有項都有.綜上所述由得.(文)設止得由得;由得.因為所以同時使為負數(shù)的不存在,故所求不存在.7.與分段函數(shù)有機結(jié)合設函數(shù)的圖象是自原點出發(fā)的一條折線,當時,該圖象是斜率為的線段(其中正常數(shù)).設數(shù)列由定義.(1)求和的表達式$;的解析式，并寫出定義域當時,函數(shù)的圖象是斜率為1的線段，止得.又,當時,$凵$函數(shù)的圖象是斜率為的線段，故止即得.由函數(shù)圖象中的第段線段斜率為可得又,所以即是首項為$1,$公比為的等比數(shù)列.因為所以.當時,由(1)知即當時當即時,止(1)知,故為求定義域,要對進行討論當時當時.所以當時的定義域為;當時的定義域為.8.與反函數(shù)有機結(jié)合[(例13)已知函數(shù)的反函數(shù)為若數(shù)列的前項和為對所有大于1的自然數(shù)都有且,求數(shù)列的通項公式.解析因為又,所以,所以.因此累加可得,所以所以，即故數(shù)列的通項公式為拓展提升1.已知函數(shù)若在數(shù)列中求數(shù)列的通項公式.2.已知數(shù)列是遞增數(shù)列試確定的取值范圍.9.與抽象函數(shù)有機結(jié)合例設函數(shù)的定義域為,當時,,且對于任意的實數(shù)有成立.又數(shù)列滿足且(1)求證:是上的減函數(shù);(2)求的值;（3)若不等式對一切均成立,求的最大值.解析(1)止題設,令可得故當時,則且故得,從而可得設且則故從而即所以函數(shù)在上是減函數(shù).(2)止得,即.止的單調(diào)性,有即,因此,是首項為1,公差為2的等差數(shù)列，從,而(3)設則且對恒成立.則有即,故,因此,即的最大值為.10.與對勾函數(shù)有機結(jié)合若定義在(0,1)上的函數(shù)滿足且對任意的有則A.對任意的正數(shù),存在使得B.存在正數(shù)對任意的使得C.對任意的且有D.對任意的且有則對給定的正數(shù)$M,$只要取定了的值,必有正整數(shù)使得取對數(shù)得,故存在使得故選數(shù)列解幾，有機結(jié)合1.與拋物線的有機結(jié)合【例1】如圖,已知點列在曲線上,點列在軸上,,,為等腰直角三角形（1）求(2)求證：解析(1)十題意有即即從而可得則累加得,所認(2)例如圖,已知實數(shù),曲線與直線的交點為異于原點),在曲線上取一點過點作平行于軸,交直線于點過點平行于軸,交曲線于點,接著過點作平行于軸,交直線于點過點作平行于軸,交曲線于點如此下去,可以得到點設點的坐標為(1)試用表示,并證明;(2)求證且(3)當時,求證.解析,點的坐標滿足方程組所以解得,故,因為所以,故.(2)止已知,即所以,因為所以\下面用數(shù)學歸納法證明.(i)當時成立(ii)假設當時,有成立,則當時,所以所以當時命題也成立，止(1)(ii)知成立.(3)當時,,$$所以.因為所以當時,止(2)知,所以有.又因為所以,故有.評注在高考中解答此題第（2）問時，若只是由圖推斷而不作嚴格證明，得分一律不超過2分。變式訓練1.在平面直角坐標系xOy中，y軸正半軸上的點列與曲線上的點列滿足直線在軸上的截距為點的橫坐標為(1)(2)求證:存在使得對任意都有2.在拋物線內(nèi)作一個半徑為1的圓,使它與拋物線有兩個切點,在圓的上方再作一個圓,使它與圓外切,同時與拋物線有兩個切點,這樣下去,得到一系列圓,試求.的方程.3.已知分別為拋物線上的點,作垂直于軸,垂直于軸,線段交拋物線于,再作垂直于軸,垂直于軸,線段交拋物線于,這樣依次下去,求矩形,…的面積之和,其中.4.設拋物線的準線交軸于點,過點的直線交拋物線于$A,B$.兩點.若直線的斜率依次為時,線段,的垂直平分線與對稱軸的交點依次是,當時,的值.【拓展提升】1.已知頂點在坐標原點,開口向上的拋物線經(jīng)過點,過點.作拋物線的切線交軸于點,過點作軸的垂線交拋物線于點,過點作拋物線的切線交軸于點,…,過點作拋物線的切線交軸于點(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,數(shù)列的前項和為求證:;(3)設若對于任意正整數(shù),不等恒成立,求正數(shù)的取值范圍.2.給定整數(shù)n≥2,設是拋物線與直線的一個交點.求證:對于任意正整數(shù).必存在整數(shù)$k≥2$,使為拋物線與直線的一個交點.2.與圓的有機結(jié)合如圖，已知在平面直角坐標系中有一系列點，對每個正整數(shù)n，以點為圓心的與軸及射線都相切，且與外切.且(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)設數(shù)列的各項為正,且滿足,求證:（3)對于(2)中的數(shù)列,當時,求證:解析(1),點列必在射線上,所以為的半徑，因為與外切，所以,解得或，因為所以即數(shù)列是等比數(shù)列，由得.(2)而,則,係加得，又所以即設,當時,，當時,,所以綜上知待證不等式成立。.(3)由得則,令則因為，所以3.與直線的有機結(jié)合例4在直角坐標平面上有一點列對一切正整數(shù)$n,$點位于函數(shù)的圖象上,且的橫坐標構(gòu)成以一為首項,-1為公差的等差數(shù)列(1)求