2025高考數(shù)學二輪復(fù)習-拉檔提分數(shù)列191-200-專項訓(xùn)練【含答案】

事實上，當時，即，又，所以當時，故滿足的所有的值為3，4，5【例11】已知有窮數(shù)列an共有2k項(整數(shù)首項設(shè)該數(shù)列的前項和為且其中常數(shù)(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)若數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式；(3)若(2)中的數(shù)列滿足不等式求的值.【解析】(1)止得，代入得整理得，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列.(2)若止(1)得，所以數(shù)列的通項公式是.（3）由(2)知是單調(diào)遞增數(shù)列，當時即當時即.原式左邊由得，又于是的值為1，2，3，4，5，6，7.【例12】已知在數(shù)列中且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)令數(shù)列的前項和為試比較與的大小，并證明.【解析】(1)由知，由累加法得當時，，代入得時，，故.(2)解法1：時，則，記函數(shù)，所以則所以.由于此時;此時此時由于故時，此時.綜上所述，當時當時.解法2：數(shù)學歸納法由猜想：.當時，成立；假設(shè)當時成立，即，，即時成立，故成立.綜上所述，當時，；當時，【評注】證明無上界.無上界.【例13】.設(shè)數(shù)列的前項和為已知且，，其中，為常數(shù)，(1)求與的值；(2)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)求證：不等式對任何正整數(shù)，都成立.(1)由得把分別代入得解得(2)由(1)知，即①又②②-①得即③又④④-③得，所以，又，因此數(shù)列是首項為1，公差為5的等差數(shù)列.(3)由(2)知，.考慮即因此【例14】已知正項數(shù)列滿足數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列的通項公式(2)求證：.【解析】(1)由得，所以從而(2)由得，由得得即，所以【例15】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和滿足且.(1)求的通項公式；(2)數(shù)列滿足，并記為的前項和，求證：.【解析】(1)由解得或由題設(shè)因此又由得或因為故不成立，舍去，因此，從而是公差為3，首項為2的等差數(shù)列，故的通項為(2)證法1：由可解得從而因此令則.因為故.特別地從而即證法2：證法1求得及.由二項式定理知當時，不等式成立.由此不等式有證法3：同證法1求得及.令.因為所以，人而【例16】已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若恒成立，求的取值范圍.(1)由題設(shè)知當時，；當時，，所以故數(shù)列的通項公式為(2)由(1)知，記則當時，，故有當時，要使得恒成立，即恒成立，由于，考察函數(shù)的單調(diào)性，因為顯然當時，，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞增，又因為時，，所以當時恒成立，故的取值范圍是【例17】設(shè)為等差數(shù)列的前項和，其中且.(1)求常數(shù)的值，并寫出的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為若對任意的都有成立，求的取值范圍【解析】(1)由及得.因為是等差數(shù)列，所以即，所以(2)由(1)知所以，所以，因為所以是關(guān)于的遞增數(shù)列.又因為對任意的都有成立，所以即，所以，解得，又因為所以.【例18】已知在數(shù)列中記，當時，求證：(1)(2);(3)【解析】(1)因為由題意知是方程的正根，所以又可知對任何都成立.(2)由，得因為所以由及得，所以(3)由得，所以，于是故當時，，又因為，所以【例19】已知等差數(shù)列的前項和為且(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)是否存在使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的，的值；若不存在，請說明理由.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由已知，得解得所以.(2)假設(shè)存在使得成等比數(shù)列，則.因為所以，所以整理得.因為所以解得因為，所以，此時故存在，使得成等比數(shù)列.【例20】已知數(shù)列滿足數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和為(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求證：數(shù)列為遞增數(shù)列;(3)若當且僅當時，取得最小值，求的取值范圍.【解析】(1)因為所以是等差數(shù)列.又所以因為所以又因為所以是以為首項為公比的等比數(shù)列.(2)因為，所以.當時，又，所以所以是單調(diào)遞增數(shù)列.(3)因為當且僅當時，取得最小值，所以即所以.【例21】設(shè)為等差數(shù)列的前項和，其中且.(1)求常數(shù)的值，并寫出的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，若對任意的都有，求常數(shù)的最小值.【解析】(1)解法1：由及得因為是等差數(shù)列，所以即所以解法2:設(shè)公差為，由得，即所以有解得，所以(2)由(1)知所以，①②①-②得所以要使成立，即成立.記則因為所以又所以當時，恒有故存在對任意的都有成立.【例22】設(shè)數(shù)列已知.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求證:對任意為定值;(3)設(shè)為數(shù)列的前項和，若對任意都有?求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)，又所以是以2為首項為公比的等比數(shù)列.所以.(2)，所以所以恒成立，即為定值.(3)由(1)(2)得可得，所以，所以，由得，因為，所以，當為奇數(shù)時隨的增大而遞增，則，當為偶數(shù)時隨的增大而遞減，則，所以的最大值為的最小值為2，由，得，解得，所以所求實數(shù)的取值范圍是[2，3]【例23】如圖，在平面直角坐標系中，設(shè)，有一組圓心在軸正半軸上的圓與軸的交點分別為和過圓心作垂直于軸的直線在第一象限與圓交于點(1)試求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)曲邊形(陰影所示)的面積為若對任意恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.(1)由條件可得，所以數(shù)列是等比數(shù)又因為所以，(2)因為所以，所以且，所以所以故可得實數(shù).【例24】已知常數(shù)滿足數(shù)列滿足(1)求(2)猜想的通項公式(不用給出證明)(3)求證：對成立.【解析】(1)，(2)猜想.(3)因為，所以，而由(2)知所以的符號與的符號相同，，依次類推，我們只需要證明因為，而，所以所以所以所以即【例25】已知數(shù)列的前項和是且數(shù)列滿足∈(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項和為是否存在實數(shù)，使得對任意正整