2025高考數學二輪復習-拉檔提分數列201-210-專項訓練【含答案】

猜想:當時,不等式恒成立.證明:因為，所以存在實數使得恒成立,即的最小值為.解法2:由,當時，當時有,所以的最大值為所以.所以存在實數使得恒成立,即的最小值為.【例26】已知數列滿足且.(1)求證(2)設數列的前項和為求證【解析】(1)由題意得即故，由得,由得,所以.（2）由題意得,累加可得①,由和得,所以,因此②,由①②得.【例27】已知等差數列的公差為，前項和為且(1)求數列的通項公式與前項和(2)將數列的前四項抽取其中一項后,剩下三項按原來順序恰為等比數列的前三項，記數列的前項和為,若存在,使得對任意總有成立,求實數的取值范圍.【解析】(1)因為為等差數列,且,所以即又因為公差，所以,由(1)知數列的前4項為4,3,2,1,所以等比數列的前3項為4,2,1,所以,①，②，①②得，所以.，所以,所以時.，因為存在,使得對任意總有成立，所以，所以實數的取值范圍為.【例28】已知公差不為0的等差數列的首項前項和為且成等比數列.(1)求數列的通項公式及(2)記當時,比較與的大小;（3）是否存在實數,使得對任意的正整數都有成立?若存在,求的最大值;若不存在,請說明理由.【解析】（1）設公差為由成等比數列得即,求得或(舍去)，所以，(2)，因為當時即所以(3)要使恒成立,只需恒成立,即，因為又因為,所以當且僅當時等號成立),所以時,對任意的正整數不等式都成立，即實數存在，最大值為.注:本章周陽鋒老師提供了不少好題，在此深表感謝!詳解詳析第一章等差數比，題型梳理一、等差數列，經典題例1.緊扣定義、活用公式例2【變式訓練】【答案】A【解析】令，是等差數列,設公差為則故選.2.等差和式、形式多變例4【變式訓練】【解析】（1）由題知，，所以解得所以（2)解法1:因為,所以，即因為關于的一元二次方程有解,所以解得或.解法2:因為,所以，即,故故的取值范圍為或.例5【變式訓練】【答案】C【解析】得故選C.（2）【答案】A【解析】因為所以.由,得,故選.3.等差性質,靈活應用例7【變式訓練】1.【答案】B【解析】故選2.【答案】C【解析】解法1:將代得解之得故選.解法2:根據等差數列性質知也成等差數列,從而有.所以,故選C.解法3:因為所以所以點是直線上的一串點,由三點共線易知故選解法4:令得從而得到所以故選C4.和式特征，二次函數例8【變式訓練】1.【解析】解法1：設等差數列的公差為.由題意得,即.因為所以.所以.因為所以有最小值.又因為,所以或時,取最小值.解法2:同解法1,由得.由得解得.故取10或11時,取最小值.解法3:因為所以所以,所以因為,所以前10項或前11項和最小.2.【答案】5或6【解析】由題意知因為,所以根據二次函數圖象的性質,由于,所以當或時取最大值.3.【答案】B【解析】解法1:因為，所以，且所以由得所以所以故選解法2:因為，所以且,所以所以所以前6項之和取最大值，故選4.【答案】C【解析】由數列遞減,知數列遞減.故選C.5.【答案】B【解析】因為有最大值,所以,因為,所以所以,所以，又故選.5.證明等差，回到定義例9【變式訓練】1.【解析】（1）因為所以時又,所以數列是以一為首項,1為公差的等差數列.(2)由(1)知則,設函數,易知在區(qū)間和上為減函數.故當時取得最小值;當吋取得最大值3.得,則,所以是以即為首項,以2為公差的等差數列.解法2:當時，.則是以即為首項,以2為公差的等差數列.(2)由(1)知,即,當時,；當時不適合故6.數列最值，差商比值例11【變式訓練】1.【解析】(1)設等差數列的公差為,因為,所以所以,所以,得所以,所以或21時最小,最小值為630.由（1）知的前20項小于0,第21項等于0,以后各項均為正數,當時,當時綜上,2,【解析】證明:將整理得,所以數列是以1為首項,3為公差的等差數列.(2)由(1)可得所以(3)對的整數恒成立,即，對的整數恒成立,整理得令則因為,所以,即數列為單調遞增數列,所以最小.所以的取值范圍為8.抽象數列，拓展提升例14【變式訓練】【解析】不妨設則則于是故，所以.例14【拓展提升】【答案】D【解析】因為是公差為的等差數列，且，即所以即記則即在上為增函數,有唯一零點,所以所以.故選二、等比數列，典型題例1、緊扣定義，活用公式例1【拓展提升】【解析】由題意知,設,公差為,公比為,由所以,解得，由得,由得,即,則即【例2】【變式訓練】1.【解析】設的公差為,則，解得又則設的公比為q,則,解得,則2.【解析】（1）設數列的公比為,由成等差數列,得即由得解得(舍去)所以(2)證法1:對任意,所以對任意成等差數列.證法2:對任意,因此,對任意成等差數列.例2【拓展提升】【答案】B【解析】取三個方程都有實根,排除取則滿足條件；取則方程①無實根,方程②有實根,但方程③有實根,排除C;取則方程①無實根,且方程②無實根,但方程③有實根,排除D.故選B.【評注】若則方程①無實根,且方程②無實根,方程③也無實根,所以在得到B可能滿足條件后還要排除其他情況.2.等比和式,形式多變例3【變式訓練】【答案】例4【拓展提升】【答案】C【解析】即,由得則,則,則則有【評注】這里必須同時滿足多個條件.例5【變式訓練】1.【解析】由條件知是方程的兩根。解得或.又所以所以,從而(2)令得故2.【答案】B【解析】設的公比為,由已知得，即因為所以解得或舍去則,所以故選.3.等比性質，靈活應用例7【變式訓練】1.【答案】A【解析】由等比數列的性質知，，所以.所以.故選2.【答案】D【解析】由題意知，，，又是等比數列，故為等比數列，即為等比數列，所以,即,即故選4.證明等比,回到定義例9【變式訓練】1.【解析】(1)設成等差數列的三個正數分別為,依題意,得解得所以中的依次為由解得或舍去),故的第3項為5,公比為2,由即解得.所以是以為首項,2為公比的等比數列,其通項公式為(2)證明:數列的前項利，即所以因此是以為首項，公比為2的等比數列.2.【解析】（1）證明：數列中，，，習時,即當時,即所以是以為首項,以為公比的等比數列.(2)由(1)知,故，，，累加得,所以所以.例11【變式訓練】1.【解析】（1）因為對任意的點均在函數且均為常數)的圖象上,所以得當時，當時又因為為等比數列,所以,公比為b.所以(2)當時,則,，相減得所以,2.【解析】由題設知公差,由成等比數列，得解得或舍去).故的通項(2)由(1)知由等比數列前項和公式，得【例12】【變式訓練】1.【答案】C【解析】因為所以所以數列是以為公比的等比數列.因為所以所以故選C.2.【答案】D【解析】解法1:由等比數列前項和公式可知，，而對照兩式可知選解法2:若當時當時,兩式相減,得,符合題意,故選D.3.【答案】；【解析】解得,故該等比數列的前項和為【例13】【變式訓練】【解析】（1）設等比數列的公比為,其前項和為①將①式兩邊分別乘以得：②①②得當時,當時(2)證法假設數列為等比數列,那么+1)即得或,均與題設矛盾,故數列不可能為等比數列.證法假設數列為等比數列,那么1)即得或,均與題設矛盾，故數列不可能為等比數列.【例13】【拓展提升】【解析】在中，令可得,當時,故，，即即,又所以,即當時又,所以數列是首項和公差均為1的等差數列，于是所以，【例15】【拓展提升】【解析】由已知得,所以,因為,所以,兩邊同時取對數得即所以是以為首項，公比為2的等比數列.六、選擇、填空拉檔提分經典題【變式訓練】一、選擇題1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】B【解析】提示：.7.【答案】C【解析】由已知得所以又推出所以又由上面關系式推得故選8.【答案】B【解析】提示9.【答案】A10.【答案】A【解析】最小數為,最大數為,故選A.11.【答案】A12.【答案】C二、填空題1.【答案】【解析】（2），，從而,所以2.【答案】3.【答案】4.【答案】5.【答案】6.【答案】7.【答案】8.【答案】9.【答案】10.【答案】7111.【答案】12.【答案】13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】充分不必要17.【答案】18.【答案】②④19.【答案】20.【答案】21.【答案】22.【答案】23.【答案】24.【答案】25.【答案】【解析】由題意知由得,因此26.【答案】27.【答案】【解析】即得，28.【答案】【解析】,故29.【答案】【解析】設等比數列的公比為,由題意得所以所以新數列的前10項的和為.30.【答案】【解析】解法1:解法2：（1）若為偶數,則為偶數，故,①當仍為偶數時故②當為奇數時故(2)若為奇數,則為偶數,故必為偶數,進而得所以可得.綜上,或5或3231.【答案】②③【解析】①當時，,不等式成立，②當時，,但假設時等式成立，則成立，故②滿足條件;③，但假設成立,則成立,故③滿足