2025高考數(shù)學二輪復習-排列組合+概率統(tǒng)計11-20-專項訓練【含答案】

#組成種不同信號.注：此種情況也可按兩面旗的顏色分類求解：若兩面旗顏色相同，則有3種信號；若顏色不同，則有種信號，同樣得出有9種不同信號.③若升三面旗，則升每面旗時，均有三種顏色可供選擇，故可組成的不同信號有種.注：此種情況也可按三面旗的顏色分類求解：若三面旗顏色相同，則有3種信號；若有兩種顏色，則不同的信號有（種）；若有三種顏色，則不同的信號有（種）.同樣得出不同的信號有3+18+6=27（種）.綜上所述，可組成的不同信號共有3++=39（種）.（十九）青蛙跳步問題【例25】如圖所示，已知ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點A處，它每次可隨意地跳到相鄰的兩頂點之一，若在5次之內(nèi)（包括5次）跳到D點，則停止跳動.若在5次之內(nèi)不能跳到D點，則跳完5次也停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共有多少種？【解析】解法1分為兩類：若跳完3次停止，則不同跳法有2種；若跳完5次停止，則不同跳法有25—2X22=24（種）.由分類加法可知，不同跳法共有2+24=26（種）.解法2把按順時針跳動記為“一1",按逆時針跳動記為“+1".若跳完3次到達點D,則有（一1,—1,—1）或（1,1,1）,共2種；若跳完5次到達點D,則有2（—2）=6（種）；若跳完5次沒有到達點D,則有2（）=18（種）.共有2+6+18=26（種）.【孌式訓練4】1.三個人傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第1次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲的手中，則不同的傳球方式共有種.如圖8所示，設三棱柱,的所有棱長都為1米，有一個小蟲從頂點A開始按以下規(guī)則前進：在每一個頂點處等可能選擇通過這個頂點的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，則它爬了4米之后恰好位于頂點A的情況有種.（二十）印刷排版問題【例26］有11名工人，其中5人只會排版,4人只會印刷，還有2名工人既會排版又會印刷，現(xiàn)在從這11名工人中選出4人排版,4人印刷，不同的選法有種.【答案】185【解析】畫出韋恩圖，如圖9所示：分三種情況討論.(1)從只會印刷的4人當中任選2人,有種，兩種都會的人去印刷,有種,從只會排版的5人當中選4人,有種，此時有種.(2)從只會印刷的4人中任選3人,有種，從兩種都會的2人中選1人去印刷,有種;另外1人與只會排版的5人合在一起,這6人中任選4人去排版,有種，此時有種.(3)將只會印刷的4人都選出,有種，從其余的7人中任選4人去排版,有種，此時有種.綜上可知種故共有185種不同的選法.【評注】排列組合問題經(jīng)常要對問題進行分類，分類的情形可能會不同，但必須做到不重復不遺漏.本題以只會印刷的4人作為分類點進行分類討論，比較容易處理.（二十一）骰子拋擲問題【例27］反復拋擲一個骰子，依次記錄每一次骰子落地時向上的點數(shù)，當記有三個不同點數(shù)時停止拋擲，若拋擲五次恰好停止，則這五次的所有不同的記錄結果有（ ）.A.360種 B.600種 C.840種 D.1680種【答案】C【解析】從六個數(shù)中任選一個數(shù)依次放入五個格子，結果恰好有三種數(shù)，且放入最后一格中的數(shù)與前四格中的兩種數(shù)不同.因為前四個格子中有兩種數(shù)，所以對這兩種數(shù)進行分類：若兩種數(shù)各有兩個，則不同的記錄結果有（種）；若有一種數(shù)有三個，另一種數(shù)有一個，則不同的記錄結果有（種）.綜上所述，不同的記錄結果共有360+480=840（種）.（二十二）環(huán)狀排列問題【例28】北京市的周邊供游客旅游的景點有8個，如圖10所示.為了防止假期景點過于擁擠，規(guī)定每名游客一次只能游玩4個景點，而且一次游玩景點中至多有2個相鄰（如：選擇A,B,E,F這4個景點也是允許的），那么游客現(xiàn)在要分兩次把8個景點游完，不同的選擇方法共有（）.A.60種 B.42種 C.30種 D.14種【答案】C【解析】將環(huán)形分段，把連續(xù)的景點數(shù)作為一個數(shù)字，那么一次游玩4個景點的情況有“4”“3+1’"2+2”“2+1+1'"1+1+1+1"四種.因為是環(huán)形的，兩次的分段數(shù)一定相同，可以正做，也可以反做.解法1反做8個點都是互不相同的，總的對分方式有=70（種）.“4"配“4",有8種；“3+1"配“3+1”,有8X2=16（種）；“3+1"配“2+2”，有8X2=16（種）.又70-8-16-16=30,所以共有30種，故選C.解法2正做“2+2”配“2+2”，有4種；“2+1+1"配“2+1+1",有8X3=24（種）;“1+1+1+1”配“1+1+1+1”，有2種.因為2+24+4=30,所以有30種，故選C.（二十三）分行排座問題【例29］有兩排座位,前排有11個座位，后排有12個座位.現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個1；座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，則不同排法有種.【答案】346【解析】解法1從這20個可坐的座位中任選2個座位，其中這兩個人左右相鄰的坐法有17種，則有,即不同排法有346種.解法2分為三種情況：這2人都在前排，若在中間3個位置的同側，則有；種，若在中間3個位置的異側，則有種；若這2人都在后排，則有種；若這2人一前一后，則有8X12X2種.可得,故不同排法有346種.（二十四）質數(shù)連排問題【例30】將1,2,3,4,5,6,7這7個數(shù)字排成一排，則相鄰數(shù)字互質的排法有（）.A.576種 B.720種 C.864種 D.900種 \【答案】C【解析】解法1先排1,3,5,7,有種排法；再排6,根據(jù)題意，6不能排在3的兩側，則6有種排法；最后排2和4,這兩個數(shù)不能排在6的兩側，則有種排法.故相鄰數(shù)字互質的排法共有=864（種）.解法2先排1,3,5,7,有種排法；把2,4,6插入排列后的5個空位，有種排法.其中，當6與3相鄰時，先排1,5,7,再把2,4,（63）插入，共有種排法；當6,3,2相鄰時，先排1,5,7,再把4,（632）（或236）插入，共有種排法；當6,3,4相鄰時，先排1,5,7,再把4,（634）（或436）插入，共有種排法.綜上所述，所求的排法共有-（++）=864（種）.（二十五）色球排位問題【例31】將大小相同的8個小球排成一排，其中4個紅球,4個黑球，從左至右依次編號為1，2，…，8,則紅球的編號之和小于黑球的編號之和的排法有種.【答案】31【解析】不考慮編號，任選4個號碼，有種.下面考慮黑球和白球編號相等的情況:將編號分為4組：（1,8）,（2,7）,（3,6）和（4,5）,從中任選2組，有種；將編號分為2組：（1,4,6,7）和（2,3,5,8）,分別是黑球或白球的編號，有2種.除此之外，“紅球的編號之和小于黑球的編號之和"與“紅球的編號之和大于黑球的編號之和''的排法數(shù)相同，又,故紅球的編號之和小于黑球的編號之和的排法有31種.（二十六）密碼設置問題【例321一個密碼有9位，由4個自然數(shù)、3個“A”、l個“a”和1個“b”組成，其中A與A不相鄰，a和b不相鄰，數(shù)字可隨意排列，且數(shù)字之積為6,這樣的密碼有（ ）.A.10200個 B.13600個 C.40800個 D.81600個【答案】B【解析】根據(jù)題意，這4個自然數(shù)為“2,3,1,1"或“6,1,1,1",簡記為“2311”和“6111".（1） 對“2311"分兩類：把i（aAb"視為一個整體，則“2311"與6iaAb"一起排列，有（種）；按“a數(shù)字b”的順序排列，先排“2311”，再插入a，b，最后插入“AAA",有（種）.（2） 對“6111"分兩類：把“aAb"視為一個整體，則“6111”與“aAb"一起排列，有（種）;②按“a數(shù)字b”的順序排列，先排“6111",再插入a，b,最后插入“AAA”，有（種）.綜上，由加法原理得,1800+8400+600+2800=13600（個）.故這樣的密碼有13600個，選擇B.（二十七）微信紅包問題【例33】在某班微信群中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學同時搶4個紅包，每人最多搶1個紅包，且紅包全被搶光，4個紅包中有2個2元，2個5元（紅包中金額相同視為相同的紅包），則甲、乙兩人都搶到紅包的情況有（ ）.A.36種 B.24種 C.18種 D.9種【答案】c【解析】甲、乙兩人都搶到紅包一共有三種情況：都搶到2元的紅包，有種；都搶到5元的紅包，有種；一個搶到2元，一個搶到5元，有種.總共有++=18（種），故選C.（二十八）取球排列問題【例34】已知6個標有不同編號的乒乓球全放在兩頭有蓋子的棱柱形紙盒中，如圖11所示，若隨.機從任意一端取出1個球，分6次取完，并依次排列成一行，則不同的排列方法有種.【解析】根據(jù)題意，若隨機從一端取出1個乒乓球，則第1個球可以從左端取或從右端取，有2種取法.同理第2,3,4,5個球也有2種取法.取完第5個小球之后，只剩下1個小球，第6個位置只有1種排法.故小球的不同取法有2X2X2X2X2X1=25=32（種）.將取出的小球依次排成一行，有32種不同的排法，故答案為32.【評注】注意第6個小球的位置只有1種排法.二、元素相鄰，捆綁為一對于要求某些元素相鄰排列的問題，可先將相鄰元素捆綁并看作一個整體（元素），再與其余元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排.【例35】某小組的7名成員站成一排，其中甲、乙相鄰，且丙、丁相鄰，不同的排法共有多少種？【解析】可先將甲、乙兩元素捆綁看成一個整體，同時丙、丁也看成一個整體，再與其余元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排，如圖12所示.由分步計數(shù)原理可得，不同的排法共有（種）.【例36】若有7個人排成一排，其中甲、乙必須相鄰，而丙不能站在兩端，則不同的排法共有種.【答案】960【解析】解法1將滿足題意的排列方式分為三類.(1)若甲、乙放在左端,則有種(2)若甲、乙放在右端,則有種(3)若甲、乙不在兩端,則有種.綜上可得,種故不同的排法共有960種.解法2抹綁甲、乙,先排丙,則有種).故不同的排法共有960種.【評注】注意題目中首、尾是2個特殊位置，而甲、乙、丙是3個特殊元素，先從特殊位置入手，再考慮3個特殊元素，先特殊再一般的基本思想在本題中有明確體現(xiàn).j【例37】若有7個人排成一排，其中甲、乙不相鄰，而丙不能站在兩端，則不同的排法共有種【答案】2640【解析】先排除了甲、乙之外的5個人（含丙），有種排法.再在產(chǎn)生的6個空中插入甲、乙，則有種排法.下面分析丙在首、尾的情形.當丙在首位時，先排除了甲、乙之外的4個人，有種.再在產(chǎn)生的6個空中插入甲、乙，但不可插入在丙的前面，有種，此時共有種排法.同理，當丙在尾位時，有種排法.綜上所述，滿足條件的排法-2=2640（種）.三、元素間隔，分位插入對于要求某些元素間隔的排列，用插入法.【例38】5個男生與3個女生排成一列，要求女生不相鄰且不排在兩端,不同的排法有種.；【答案】2880【解析】先排無限制條件的5個男生，有種.由于女生不相鄰且不可排兩端，故3個女生只能分別插在5個男生之間的4個間隙中，有種（若允許女生排兩端，則有種插法）.由分步乘法原理得，共有=2880（種）.【評注】1.運用插入法時，必須分清“誰先排，誰后插”的問題.要先排無限制條件的元素，再插入必須間隔的元素.數(shù)清可插的位置數(shù)（如本例在這排男生的兩端不能插空）.運用插入法時，是以組合形式插空還是以排列形式插空要準確把握.【例39]把1,2,3,???，20這20個數(shù)分成四組，若組內(nèi)的數(shù)不少于兩個時必須是連續(xù)自然數(shù)，則有種分組方法.（用數(shù)字作答）【答案】969【解析】由于要求的組內(nèi)的數(shù)是連續(xù)的，因此不改變這20個數(shù)由小到大的順序，只需在19個間隙中不相鄰地插入3塊擋板，把20個數(shù)分隔成4段，即分成了四組，共有種分組法（這里是以組合形式插空）.【例40】馬路上有編號為1,2,3,…，9的9盞路燈，現(xiàn)要關掉其中的3盞，但不能同時關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關兩端的路燈，則滿足要求的關燈方法有種.【答案】10【解析】由于要求有6盞路燈亮，3盞路燈暗，且兩端路燈不可為暗，故可在6盞亮著路燈的5個間隙中插入3盞暗燈即可，有種.【例41］從1,2,???，10這十個數(shù)中任選三個互不相鄰的自然數(shù)，不同的取法有種.【答案】56【解析】插入法未選中的數(shù)用“O”表示，選中的數(shù)用“◎"表示，把三個◎插入由七個“O"組成的8個間隔中（包含兩端），不同的取法有種.【變式訓練5】從1,2,???，10這十個數(shù)中任選三個互不相鄰的自然數(shù)，且不取最大的數(shù)也不取最小的數(shù)，有種不同的取法.4男4女排成一列，要求男女間隔，有種不同的排法.【例42】從按直線方向排列的10塊地中選2塊種植兩種作物，且A,B至少間隔6塊，有 種不同的種植方法.【答案】12【解析】解法1對作物A所種的位置進行分類：當A種在第1塊時，B只能種在第8,9,10塊上，有3種方法；當A種在第2塊時，B只能種在第9,10塊上，有2種方法；當A種在第3塊時，B只能種在第10塊上，有1種方法.由加法原理得3+2+1=6（種）.再對換A,B,可得共有12種不同的種植方法.解法2把6塊地捆綁.先在其余的4塊地中選2塊種A,B,不同的種植方法有種，再把捆綁的6塊插在之間，由于不分順序，故有1種方法.由乘法原理得，不同的種植方法有?1=12（種）.【變式訓練6】有紅、藍、黃三種顏色的球各7個，除顏色外均相同，每種顏色的7個球分別標有數(shù)字1,2,…，7,從所有的球中任取3個標號不同的球，則這3個球的三種顏色互不相同且所標數(shù)字互不相鄰的概率為.在我市的一項競賽活動中，某縣的三所學校分別有1名、2名、3名學生獲獎，這6名學生排成一排合影，要求同校的任意2名學生不能相鄰，那么不同的排法有種.（用數(shù)字作答）四、元素定序，選位不排對于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排列，再除以定序元素的全排列.或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對其余元素進行排列.【例43】有5人參加百米賽跑，若無同時到達終點的情況，則甲比乙先到有種情況.【答案】60【解析】解法1先將5人全排列，有種，由于全排列中有甲、乙的全排列種數(shù)為種，而這里只有1種是符合要求的,故要除以定序元素的全排列所以有種解法2先在5個位置中選2個位置放定序元素（甲和乙）,有種.再排列其余3人,有種.由乘法原理得,共有(種【例44】書架上原有6本不同的書，現(xiàn)要再插入3本不同的書，要求不改變原書的順序，共有種插入方法. ］【答案】504【解析】 解法1先對9本書全排列，有種，再除去6本書的全排列數(shù)故有=504（種）.解法29本書應占9個位置，而原來的6本書是定序的，故只選位置而不排列，有種，然后對要插入的3本書全排列，有種.由乘法原理得,故共有504種方法.【例45】高低不同的7人排成一排（最高的在中間，兩邊各3人，高度從中間到兩邊依次降低），則有 種不同的排法.【答案】20【解析】 如圖13所示，除去最高的1人，從其余的6人中任選3人排在最高者的一側，有=20（種）.[例46]有10個人排成一列,其中有A,B,C,D這4人,要求A,B,C在的左側,有種不同的排法.[答案解析先選4個位置,有種.讓在最右邊,其余3人全排列，有種.再排無限制的6人,有種.則故有907200種不同的排法.[例47]要編制一張演出節(jié)目單,6個舞蹈節(jié)目已排定順序,要再插入5個歌唱節(jié)目,則共有種插人方法.【答案】155440【解析】對全部的11個節(jié)目全排列，有種.已排定順序的6個舞蹈節(jié)目的全排列數(shù)有種.故滿足題意的插入方法有種【例48】某車隊有七輛車,現(xiàn)要調(diào)出四輛按一定順序出去執(zhí)行任務,要求甲、乙兩車必須參加，且甲車要先于乙車開出,那么不同的調(diào)度方法有【答案】120【解析】完成這件任務可以分成三步來考慮:第一步:從非甲、乙的五輻車中任意選出兩貫車,有種第二步:加上甲、乙兩車共四頂,將它們?nèi)帕?有種；第三步:在以上每個排列中,不是甲在前,就是乙在前,所以取其一半即可,所以有種綜上所述，不同的調(diào)度方法共有120種.五、元素分排、直排處理若個元素要分排排列，可把每排首尾相連排成一列，對于每排的特殊要求，只要分段考慮