2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-排列組合+概率統(tǒng)計51-60-專項訓(xùn)練【含答案】

【例13】求的展開式中的常數(shù)項.【解析】的展開式的通項為，其中當(dāng)且僅當(dāng)，即或或時，得展開式中的常數(shù)項為【變式訓(xùn)練】已知的展開式中沒有常數(shù)項，且則。（五）三項展開系數(shù)【例14】在的展開式中，的系數(shù)為A.160B.240C.360D.800【答案】【解析】解法1由已知得。的展開式的通項的展開式的通項故令得或.因此的展開式中的系數(shù)為故選.解法2由已知得其展開式的通項只有當(dāng)時中的指數(shù)才可能為1，所以的展開式中含的項只能在中，因此的展開式中的系數(shù)為故選.解法3其展開式的各項是由五個因式中各選一項相乘后得到的,那么它的一次項,只需從五個因式中的一個取一次項，另四個因式各取常數(shù)項相乘得到,即共有種取法，則即為展開式中的一次項.故選B.【評注】1.對進(jìn)行變形，即都是為了將三項式的展開轉(zhuǎn)化為二項式的展開。轉(zhuǎn)化或化歸是重要的數(shù)學(xué)思想方法.2.解法3沒有使用二項展開式，而是運用建立二項式定理的思想,避免了使用公式的繁瑣。運用這種思想，我們還可以得到三項式的展開式的通項公式(其中，且。【變式訓(xùn)練8】求的展開式中的系數(shù).【例15】求的展開式中的常數(shù)項.【解析】解法因為，所以由題意，得所以即此展開式中常數(shù)項是第4項，從而解法2設(shè)此二項展開式的常數(shù)項為則。依題意得即所以常數(shù)項【例16】已知的展開式中有一項是（1）求的值；（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（3）求展開式中系數(shù)最大的項?！窘馕觥?1)易得的展開式的通項由題意可得解得故的值是11。（2）由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，展開式中二項式系數(shù)最大的項是第6項與第7項其值分別為：，。的展開式的第項的系數(shù)其中當(dāng)時。因此，當(dāng)時即;當(dāng)時即。所以，所以最大.故的展開式的第7項的系數(shù)最大，且。【評注】1.二項展開式中某項的二項式系數(shù)與該項的系數(shù)是有區(qū)別的，比如展開式中第7項的二項式系數(shù)為而第7項的系數(shù)為2.求二項展開式中二項式系數(shù)最大的項，可直接根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)完成：當(dāng)是偶數(shù)時第項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)是奇數(shù)時，第項與第項的二項式系數(shù)與相等，且同時取得最大值。3.求是已知實數(shù))的二項展開式中系數(shù)最大的項，實質(zhì)上是求由系數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的最大項，可通過比較系數(shù)法來求。當(dāng)時，有如下結(jié)論：設(shè)(1)若是整數(shù)，則；(2)若不是整數(shù),則其中是指不超過的最大整數(shù)?！咀兪接?xùn)練9】1.求的展開式里系數(shù)最大的項。2.二項式的展開式中系數(shù)最大的項是A.第項B.第項C.第項D.第項3.已知的展開式中各項系數(shù)的和比各二項式系數(shù)的和大992，求展開式中二項式系數(shù)最大的項及展開式中系數(shù)最大的項?！纠?7】求的展開式中系數(shù)最大的項?！窘馕觥坷谜归_式的通項公式,得到系數(shù)的表達(dá)式,進(jìn)而求出其最大值。設(shè)第項系數(shù)最大，則有又所以所以系數(shù)最大的項為【變式訓(xùn)練10】求的展開式中系數(shù)最大的項?！纠?8】設(shè)，若展開式中關(guān)于的一次項系數(shù)的和為11，試問為何值時，含項的系數(shù)取得最小值?【解析】和的一次項的系數(shù)分別為和所以有,解得①又的展開式中含的項為的展開式中含的項為，所以含項的系數(shù)為.將代入，得.當(dāng)或時項的系數(shù)最小，最小值為25。此時或【變式訓(xùn)練11】在的展開式中，所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為1024，求展開式的中間項?！纠?9】已知若其展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)是多少?【解析】因為所以，解出或.當(dāng)時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是和，可得的系數(shù)，的系數(shù)。當(dāng)時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是，可得的系數(shù).【變式訓(xùn)練12】1.在的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是多少?2.在的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是多少?3.寫出在的展開式中，系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項.【例20】若的展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項.【解析】由解出假設(shè)最大項為則，所以即化簡得到又，所以展開式中系數(shù)最大的項為則?！咀兪接?xùn)練13】在的展開式中,系數(shù)最大的項是多少?(七)奇偶系數(shù)等和【例21】若的展開式中偶數(shù)項系數(shù)和為-256，求的值。【解析】設(shè)的展開式中各項系數(shù)依次為令則有①令則有②由①-②得即.由題意得，【例22】在的二項展開式中，含的奇次冪的項之和為，當(dāng)時，?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)①則②由①-②得所以的展開式的奇次冪的項之和為.當(dāng)時，.【例23】設(shè)含有10個元素的集合的全部子集數(shù)為，其中由3個元素組成的子集數(shù)為，則?！敬鸢浮俊窘馕觥恳驗?，所以.二、二項式中的賦值技巧賦值法是給代數(shù)式(方程或函數(shù)表達(dá)式)中的某些字母賦予一定的特殊值，從而達(dá)到便于解決問題的目的。實際上，賦值法所體現(xiàn)的是從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想，在高考題中屢見不鮮，特別是在二項式定理中的應(yīng)用尤為明顯.（一）定理回顧二項式定理：上式中的與可以是任意的數(shù)或表達(dá)式。當(dāng)取一些特殊值或表達(dá)式時，可以得到許多恒等式。（二）賦值范例（1）令得（2），得（3），得（4），得①（5）得②進(jìn)而由①+②可得由①－②得【例24】求證【解析】由二項式定理知，。令得【例25】求的值.【解析】原式在的展開式中，令得即因為，所以所以【變式訓(xùn)練14】1.。2.。3.已知則。【例26】若.（1）求展開式中各項系數(shù)的和;（2）求的值.【解析】（1）利用賦值法，令得（2）令得①+②得，故【例27】（其中）的展開式中各項系數(shù)的和為256，求項的系數(shù).【解析】，設(shè)①由題意得在①式中，令得解得.因為的展開式中項為故所求系數(shù)為54【例28】設(shè)則【答案】1【解析】.可見上式左邊的兩個式子分別是已知的展開式中取1和-1時的表達(dá)式.當(dāng)時，有.當(dāng)時，有.所以.【例29】若則。【答案】【解析】由二項式的展開式可知為正為負(fù)，于是在所給的展開式中，令，得【例30】且則?！敬鸢浮俊窘馕觥吭谥?，令得.由題意得即解得.【例31】已知則的值為【答案】【解析】解析對原式兩邊求導(dǎo)，得.令得令得.故【例32】求多項式的展開式中各項系數(shù)的和.【解析】令多項式為利用多項式的系數(shù)的和等于這一條性質(zhì)求解。設(shè)。其各項系數(shù)的和即為又所以各項系數(shù)的和為16.【例33】設(shè)是定義在上的一個給定的函數(shù)，函數(shù)，其中(1)當(dāng)時，求；(2)當(dāng)時，求.【解析】（1）（2）利用.由得.已知的通項公式可化為【例34】若二項式則【答案】【解析】由題意得【評注】本題利用了【例35】已知是等比數(shù)列，公比為，設(shè)（其中），且如果存在，求公比的取值范圍.【解析】由已知，可得，所以如果存在，則或即或，所以且【評注】本題是關(guān)于二項式定理的一個綜合題,其中以二項式基本知識為核心，穿插數(shù)列與極限的有關(guān)知識，有一定的靈活性。三、二項式定理的綜合應(yīng)用二項式定理的綜合應(yīng)用主要有：誤差估計、余數(shù)探求、整除研究、不等證明等，體現(xiàn)了二項式定理的貢獻(xiàn)和作用。（一）誤差估計【例36】求的近似值，使誤差小于0.001.【解析】【評注】展開式的第三項第三項之后的絕對值就更小了，所以從第三項起可以忽略不計?！纠?7】計算：(精確到0.001)【解析】所以【例38】