2025高考數(shù)學二輪復(fù)習-排列組合+概率統(tǒng)計131-140-專項訓練【含答案】

由加法原理知，共有(種).注意到從而公式9(其中都是正整數(shù),且).模型9一方面,可把看作二項式的展開式中含項的系數(shù).另一方面，,將展開后,按含項的系數(shù),可分類解決.第1類，的展開式中含項的系數(shù)與的展開式中含項的系數(shù)的積為第2類，的展開式中含項的系數(shù)與的展開式中含項的系數(shù)的積為；第3類，的展開式中含項的系數(shù)與的展開式中含項的系數(shù)的積為；…第類，的展開式中含項的系數(shù)與的展開式中含項的系數(shù)的積為.由加法原理知，含項的系數(shù)為,從而.【評注】1.本問題是利用二項式定理的兩種展開方式來完成模型構(gòu)造的,這也是證明組合數(shù)恒等式的常用方法.2.本題也可通過構(gòu)造模型8來解決,若令，即得公式8.3.與本模型類似的還有利用，證明朱世杰恒等式：.公式10模型10求從副不同的手套中任取只,全不配對的情況總數(shù).完成這件事，一方面可分步完成：第1步,只手套必須來自于副不同的手套,有種，并對這副手套編號；第2步,在1號手套中任選1只,有2種；第3步,在2號手套中任選1只,有2種；…第步，在號手套中任選1只,有2種；由乘法原理知,共有種.另一方面,也可分類解決,設(shè)集合為只左手套,集合為只右手套,分別從集合中取只手套,對應(yīng)蓋從集合中取不同于集合中的只手套(如圖1所示由加法原理知,不同的取法有種從而公式11.模型11(集合分拆問題)把集合分拆成兩個集合和,且,這樣的分拆共有多少種?完成這件事,一方面按集合中的元素個數(shù)進行分類:第1類,當中有0個元素(即種)時,中的元素有種,共有種；第2類,當中有1個元素(即種)時,中的元素有種,共有種；第3類,當中有2個元素(即種)時,中的元素有種,共有種；第4類,當中有3個元素(即種)時,中的元素有種,共有種；第類,當中有個元素(即種)時,中的元素有種，共有種.由加法原理知，共有(種).另一方面,可對元素實行分步解決:第1步,對于元素來說，可以只進入，也可只進入，也可進入，故有3種；第2步,對于元素來說，可以只進入，也可只進入，也可進入，故有3種；第3步,對于元素來說，可以只進入，也可只進入，也可進入，故有3種；第步,對于元素來說，可以只進入，也可只進入，也可進入，故有3種.由乘法原理知,共有種，從而公式12模型12將集合分拆成兩個集合和，即，這樣的分拆共有多少種?按集合中元素的個數(shù)進行分類:第1類,當中有0個元素(即種)時，中的元素有種,共有種；第2類,當中有1個元素(即種)時，中的元素有種,共有種；第3類,當中有2個元素(即種)時，中的元素有種,共有種；第4類,當中有3個元素(即種)時，中的元素有種,共有種；第類,當中有個元素(即種)時，中的元素有種,共有種.從而有種另一方面，可對元素實行分步解決第1步,對于元素來說，可以只進入，也可只進入，也可以和都不進,故有3種；第2步,對于元素來說，可以只進入，也可只進入，也可以和都不進,故有3種；第3步,對于元素來說，可以只進入，也可只進入，也可以和都不進,故有3種；…第步,對于元素來說，可以只進入，也可只進入，也可以和都不進,故有3種.由乘法原理知,共有種.從而.總之,排列組合問題源于生活,因而對于相關(guān)的排、組恒等式必可找到其相應(yīng)的生活原型,得到合理具體的科學解釋.同時,這樣的解決問題方式對于培養(yǎng)創(chuàng)新能力、激發(fā)學習數(shù)學的興趣、創(chuàng)設(shè)良好的人文環(huán)境都有很大的實際意義和深遠的教育意義.附錄2概念梳理，形成網(wǎng)絡(luò)隨機事件的概念剖析1.隨機事件在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,稱為隨機事件.隨機事件一般用大寫英文字母等來表示。2.確定事件（1）必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件.（2）不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件。必然事件和不可能事件合起來稱為確定事件.3.事件的概率在大量重復(fù)進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總接近于某個常數(shù),并在它附近擺動,這時就把這個常數(shù)叫作事件的概率,記作由定義可知，顯然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.4.等可能性事件的概率一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件,通常試驗中的某一事件由幾個基本事件組成.如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有個,即此試驗由個基本事件組成,而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一個基本事件的概率都是.如果某個事件包含的結(jié)果有個,那么事件的概率.【評注】使用公式計算時,確定的數(shù)值是關(guān)鍵，其計算方法靈活多變，沒有固定的模式，可充分利用排列組合知識中的分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，必須做到不重復(fù)不遺漏。（二）互斥事件的概念剖析1.互斥事件與對立事件（1）互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件；（2）對立事件：其中必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件。2.互斥事件的基本特征（1）互斥事件研究的是兩個事件之間的關(guān)系；（2）所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的；（3）兩個事件互斥是從試驗的結(jié)果不能同時出現(xiàn)來確定的。從集合角度來看，兩個事件互斥,則表示這兩個事件所含結(jié)果組成的集合的交集是空集.對立事件是互斥事件的一種特殊情況,是指在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件,集合的對立事件記作，從集合的角度來看,事件所含結(jié)果的集合正是全集中由事件所含結(jié)果組成集合的補集,即.【評注】對立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是對立事件.3.和事件的特性與概率計算事件至少有一個發(fā)生,則事件的和,記作.當為互斥事件時,事件是由“A發(fā)生而不發(fā)生”以及“發(fā)生而不發(fā)生”構(gòu)成的,因此當和互斥時,事件的概率滿足加法公式:(互斥且有.當計算事件的概率比較困難時,有時計算它的對立事件的概率則要容易些,為此有.對于個互斥事件,其加法公式為.【評注】分類討論思想是解決互斥事件中有一個發(fā)生的概率的重要指導思想.(三)獨立事件的概念剖析1.獨立事件與獨立重復(fù)試驗(1)相互獨立事件:事件是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個事件叫相互獨立事件.(2)獨立重復(fù)試驗:如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為,那么在次獨立重復(fù)試驗中,這個事件恰好發(fā)生次的概率為.2.相互獨立事件的基本特征（1）相互獨立是研究兩個事件之間的關(guān)系；（2)所研究的兩個事件是在兩次試驗中得到的；（3）兩個事件相互獨立是從“一個事件的發(fā)生對另一個事件的發(fā)生的概率沒有影響”來確定的.【評注】互斥事件與相互獨立事件是有區(qū)別的：兩事件互斥是指同一次試驗中兩事件不能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指不同試驗下,二者互不影響.兩個相互獨立事件不一定互斥，即可能同時發(fā)生,而互斥事件不可能同時發(fā)生.3.積事件的特性與概率計算事件與同時發(fā)生,則與的積事件,記作.當和是相互獨立事件時,事件滿足乘法公式，還要弄清的區(qū)別.表示事件與同時發(fā)生,因此它們的對立事件與不同時發(fā)生,也等價于與至少有一個發(fā)生的對立事件,即，因此有，但.(四)離散型隨機變量的分布列隨機變量:如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示,那么這樣的變量叫作隨機變量.隨機變量最常見的兩種類型,即離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量.如果對于隨機變量可能取的值,可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫作離散型隨機變量；如果隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的隨機變量叫連續(xù)型隨機變量.1.離散型隨機變量的分布列如果離散型隨機變量的可能取值為，由于試驗的每個結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率,于是隨機變量取每一個值也有一定的概率，人們常常習慣地把它們寫成表格的形式,如:這種表即為隨機變量的概率分布，簡稱為的分布列.分布列的表達式可有如下幾種:（1）表格形式；（2)一組等式；（3）壓縮為一個帶“”的等式.2.離散型隨機變量期望和方差的計算公式設(shè)離散型隨機變量的分布列為期望：它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.方差：.它反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動,集中與離散的程度.3.期望和方差的性質(zhì)（五）二項分布的概念剖析1.二項分布的定義如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率.于是得到隨機變量的概率分布如下:我們稱這樣的隨機變量服從二項分布,記作其中為參數(shù),并記.2.二項分布的特征鑒別（1）關(guān)鍵是看某一事件是否是進行次獨立重復(fù),且每次試驗只有兩種結(jié)果,如果不滿足此兩條件,隨機變量就不服從二項分布.（2)當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小,而每次抽取時又只有兩種試驗結(jié)果,此時可以把它看作獨立重復(fù)試驗,利用二項分布求其分布列.3.二項分布的期望與方差若，則.(六)幾何分布的概念剖析“”表示在第次獨立重復(fù)試驗時,事件第一次發(fā)生,如果把次試驗時事件發(fā)生記為事件不發(fā)生記為，那么根據(jù)相互獨立事件的概率乘法分式，于是得到隨機變量的分布列:我們稱這樣的服從兒何分布,并記其中(七)正態(tài)分布的概念剖析1.正態(tài)分布的定義總體密度曲線是以下函數(shù)的圖象:，①①式中的實數(shù)是參數(shù),分別表示總體的平均數(shù)與標準差,這個總體是有無限容量的抽象總體.其分布叫作正態(tài)分布,常記作①的圖象被稱為正態(tài)曲線.特別地,在函數(shù)①中,當時,正態(tài)總體稱為標準正態(tài)總體,這時,相應(yīng)的函數(shù)表達式是，②相應(yīng)的曲線稱為標準正態(tài)曲線.當我們不知道一個總體的分布時,往往是從總體中抽取一個樣本,并用樣本的頻率分布去估計總體的分布,而且隨著樣本容量越大分組的組距越小,樣本的頻率分布就更加接近總體分布.當樣本容量無限增大且分組的組距無限縮小時,頻率分布直方圖就會演變成一條光滑曲線,即反映總體分布的總體密度曲線.可以知道,反映總體分布的總體密度曲線的形狀是形形色色的,不同形狀的總體密度曲線是不同總體分布的反映,而正態(tài)分布以及反映這種分布的正態(tài)曲線是眾多的總體分布及總體密度曲線中的一類重要分布.2.正態(tài)分布的意義正態(tài)分布是概率統(tǒng)計中最重要的一種分布,其重要性我們可以從以下兩方面來理解:一方面,正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布.一般說來,若影響某一數(shù)量指標的隨機因素很多,而每個因素所起的作用都不太大,則這個指標服從正態(tài)分布.例如,產(chǎn)品尺寸是一類典型的總體,對于成批生產(chǎn)的產(chǎn)品,如果生產(chǎn)條件正常并穩(wěn)定,即工藝、設(shè)備、技術(shù)、操作、原料、環(huán)境等可以控制的條件都相對穩(wěn)定,而且不存在產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的明顯因素,那么,產(chǎn)品尺寸的總體分布就服從正態(tài)分布.又如測量的誤差；炮彈落點的分布；人的身高、體重等；農(nóng)作物的收獲量,等等,都服從或近似服從正態(tài)分布.另一方面,正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì),很多分布可以用正態(tài)分布來近似描述,另外,一些分布又可以通過正態(tài)分布來導出,因此在理論研究中正態(tài)分布也十分重要.標準正態(tài)分布若，則，，標準正態(tài)曲線是一種特殊的正態(tài)分布曲線.由于它具有非常重要的地位,已專門制作了“標準正態(tài)分布表”.對于抽象函數(shù)課本中沒有給出具體的表達式,但其幾何意義非常明顯,即由正態(tài)曲線軸、直線所圍成的圖形的面積.再由的曲線關(guān)于軸對稱,可以得出等式以及標準正態(tài)總體在任一區(qū)間內(nèi)取值概率一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化由于一般的正態(tài)總體其圖象不一定關(guān)于軸對稱,所以研究其在某個區(qū)間的概率時，無法利用標準正態(tài)分布表進行計算.這時我們自然會思考:能否將一般的正態(tài)總體轉(zhuǎn)化成標準的正態(tài)總體(0,1)進行研究.人們經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):對于任一正態(tài)總體其取值小于的概率.對于這個公式,課本中不加證明地給出,只用了“事實上,可以證明”這兒個字說明.這表明,對等式的來由不作要求,只要會用它求正態(tài)總體在某個特定區(qū)間的概率即可.小概率事件和假設(shè)檢驗的基本思想小概率事件通常指發(fā)生的概率小于0.3\%的事件,因為對于這類事件來說，在大量重復(fù)試驗中,平均每試驗20次,才能發(fā)生1次,所以認為在一次試驗中該事件是“不可能”發(fā)生的.這種認識便是進行推斷的出發(fā)點.關(guān)于這一點我們要有以下兩個方面的認識:一是這里的“不可能”發(fā)生是針對一次試驗來說的,因為試驗次數(shù)多了,該事件當然是很可能發(fā)生的；二是當我們運用小概率事件“不可能”發(fā)生的原理進行推斷時,我們也有的犯錯誤的可能.就是說,這里在概率的意義上所作的推理與過去確定性數(shù)學中的“若,則”式的推理有所不同.課本是借助于服從正態(tài)分布的有關(guān)零件尺寸的例子來介紹假設(shè)檢驗的基本思想.進行假設(shè)檢驗一般分三步：第一步,提出統(tǒng)計假設(shè).課本例子里的統(tǒng)計假設(shè)是這個工人制造的零件尺寸服從正態(tài)分布第二步,確定一次試驗中的取值是否落人范圍.第三步,作出推斷.如果,接受統(tǒng)計假設(shè)；如果由于這是小概率事件,就拒絕統(tǒng)計假設(shè).上面這種拒絕統(tǒng)計假設(shè)的推理,與我們過去學習過的反證法有類似之處.事實上,用反證法證明一個問題時,先否定待證命題的結(jié)論,這本身看成一個新的命題,從它出發(fā)進行推理,如果出現(xiàn)了矛盾,就把這個矛盾歸因于前述新命題不正確,從而將它否定.否定了新命題,也就等于證明了原命題的結(jié)論.(八)幾何概型的概念剖析1.幾何概型如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的長度、面積或體積成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.2.幾何概型的概率計算在兒何概型中,事件的概率的計算公式為.3.古典概型與幾何概型區(qū)別古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的,但古典概型要求基本事件有有限個,幾何概型要求基本事件有無限個.4.幾何概型的特征幾何概型有兩個特征:(1)試驗結(jié)果有無限個；(2)每個結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的.事件可以理解為區(qū)域的某一子區(qū)域,事件的概率只與區(qū)域的度量(長度、面積或體積)成正比,而與的位置和形狀無關(guān).【評注】解決幾何概型的概率問題，關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機事件對應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機事件的概率.(九)線性回歸1.回歸分析對于兩個變量,當自變量取值一定時,因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫作相關(guān)關(guān)系或回歸關(guān)系.2.回歸直線方程設(shè)與是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量,且相應(yīng)于個觀測值的個點大致分布在某一條直線的附近,就可以認為對的回歸函數(shù)的類型為直線型其中我們稱這個方程為對的回歸直線方程.3.相關(guān)關(guān)系研究兩個變量間的相關(guān)關(guān)系是學習本節(jié)的目的.對于相關(guān)關(guān)系我們可以從以下三個方面加以認識:（1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同.函數(shù)關(guān)系中的兩個變量間是一種確定性關(guān)系.例如正方形面積與邊長之間的關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系.即對于邊長的每一個確定的值,都有面積的唯一確定的值與之對應(yīng).相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,即相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系.例如人的身高與年齡；商品的銷售額與廣告費等都是相關(guān)關(guān)系.(2)函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系,也可能是伴隨關(guān)系.例如有人發(fā)現(xiàn),對于在校兒童,身高與閱讀技能有很強的相關(guān)關(guān)系.然而學會新詞并不能使兒童馬上長高,而是涉及第三個因素一一年齡,當兒童長大一些,他們的閱讀能力會提高,而且由于長大身高也會高些.（3）函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有著密切聯(lián)系,在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化.例如正方形面積S與其邊長間雖然是一種確定性關(guān)系,但在每次測量邊長時,由于測量誤差等原因，其數(shù)值大小又表現(xiàn)出一種隨機性.而對于具有線性關(guān)系的兩個變量來說,當求得其回歸直線后,我們又可以用一種確定性的關(guān)系對這兩個變量間的關(guān)系進行估計.相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實生活中大量存在，從某種意義上講,函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系是一種更為一般的情況.因此研究相關(guān)關(guān)系,不僅可以使我們處理更為廣泛的數(shù)學應(yīng)用問題,還可以使我們對函數(shù)關(guān)系的認識上升到一個新的高度.4.回歸分析本節(jié)所研究的回歸分析是回歸分析中最簡單,也是最基本的一種類型：一元線性回歸分析.對于線性回歸分析,我們要注意以下幾個方面:（1）回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法.兩個變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提.（2)散點圖是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量基礎(chǔ)上的,對于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù),可先作散點圖，在圖上看它們有無關(guān)系,關(guān)系的密切程度,再進行相關(guān)回歸分析.（3)求回歸直線方程,應(yīng)注意到,只有在散點圖大至呈線性時,求出的回歸直線方程才有實際意義,否則,求出的回歸直線方程毫無意義.5.相關(guān)系數(shù)有時散點圖中的各點并不集中在一條直線的附近,仍可以按照求回歸直線方程的步驟求得回歸直線方程.顯然這種情形下求得的回歸直線方程沒有實際意義.那么,在什么情況下求得的回歸直線方程才能對相應(yīng)的一組觀測數(shù)據(jù)具有代表意義？課本中不加證明地給出了相關(guān)系數(shù)的公式.相關(guān)系數(shù)公式的作用在于我們對一組數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度可作出定量的分析,而不是僅憑畫出散點圖,直覺地從散點圖的形狀粗淺地得出數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度.線性相關(guān)性檢驗相關(guān)性檢驗是一種假設(shè)檢驗,它給出了一個具體檢驗與之間線性相關(guān)與否的具體辦法.限于要求，中學階段只要求掌握這種檢驗方法的操作步驟，而不要求對這種方法包含的原理進行深入研究.其具體檢驗的步驟如下：（1）在課本的附表3中查出與顯著性水平0.05與自由度(為觀測值組數(shù))相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值（2）根據(jù)公式，計算r的值.（3)檢驗所得結(jié)果.如果,那么可以認為與之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著,從而接受統(tǒng)計假設(shè).如果表明一個發(fā)生的概率不到的事件在一次試驗中竟發(fā)生了.這個小概率事件的發(fā)生使我們有理由認為與之間不具有線性相關(guān)關(guān)系的假設(shè)是不成立的,拒絕這一統(tǒng)計假設(shè)也就是表明可以認為與之間具有線性相關(guān)關(guān)系.有了相關(guān)性檢驗方法后,我們對一組數(shù)據(jù)作線性回歸分析,只需先對這組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性進行檢驗.如若具有線性相關(guān)性,則可依據(jù)求回歸直線方程的方法進行求解,而不必像前面那樣,先畫散點圖,再依照散點圖呈線性后求回歸直線方程.這樣就使得回歸直線方程更能真實地反映實際情況，具有應(yīng)用于實際的價值.（十）最小二乘法記回歸直線方程為稱為變量對變量的回歸直線方程,其中a,b叫作回歸系數(shù).是為了區(qū)分的實際值y,當膠時,變量的相應(yīng)觀察值為而直線上對應(yīng)于的縱坐標是設(shè),的一組觀察值為且回歸直線方程為當取時,的相應(yīng)觀察值為差刻畫了實際觀察值與回歸直線上相應(yīng)點的縱坐標之間的偏離程度,稱這些值為離差.我們希望這個離差構(gòu)成的總離差越小越好,這樣才能使所找的直線很貼近已知點.記回歸直線就是所有直線中取最小值的那條.這種使“離差平方和為最小”的方法,叫作最小二乘法.可以得到的計算公式為其中由此得到的直線就稱為回歸直線,其中分別為的估計值.由知,回歸直線一定過平均值點,即一定過點.（十一）值得注意的事項1.由概率的性質(zhì)可知,任一離散型隨機變量的分布列具有以下兩個性質(zhì):①②(2)若隨機變量的分布列為則稱服從二項分布,記作其中為參數(shù),并記對二項分布來說,概率分布的兩個性質(zhì)成立.①②二項分布是一種常見的離散型隨機變量的分布，它有著廣泛的應(yīng)用.2.(1)常見的抽樣方法有簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣.這三種抽樣方法的共同點都是等概率抽樣,即抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等,體現(xiàn)了這三種抽樣方法的客觀性和公平性.若樣本容量為,個體數(shù)為N,則用這三種方法抽樣時,每一個個體被抽到的概率都是.（2）三種抽樣方法的共同點、各自特點、相互聯(lián)系及適用范圍如下表：類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等從總體中逐個抽取總體中的個體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾個部分，然后按照事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣總體中的個體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣總體由差異明顯的幾部分組成3.總體密度曲線反映了總體分布，即反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率.總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率等于該區(qū)間上總體密度曲線與軸、直線和直線所圍成曲邊梯形的面積.4.（1）正態(tài)分布由參數(shù)唯一確定,如果隨機變量根據(jù)定義有.（2）正態(tài)曲線具有以下性質(zhì):①曲線在軸的上方,與軸不相交.②曲線關(guān)于直線對稱.③曲線在時位于最高點.④當時,曲線上升；當時,曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時,以軸為漸近線,向它無限靠近.⑤當一定時,曲線的形狀由確定.越大,曲線越“矮胖”,表示總體越分散；越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中.*5.(1)在“標準正態(tài)分布表”中,相應(yīng)于的值是指總體取值小于的概率,則:①；②(2)對于任一正態(tài)總體來說,取值小于的概率.(3)從理論上講,服從正態(tài)分布的隨機變量的取值范圍是,但實際上取區(qū)間以外的數(shù)值的可能性微乎其微，在實際問題中常常認為它是不會發(fā)生的.因此,往往認為它的取值是個有限區(qū)間，即區(qū)間這即為實用中的三倍標準差規(guī)則,也叫規(guī)則.在企業(yè)管理中,經(jīng)常應(yīng)用這個規(guī)則進行產(chǎn)品質(zhì)量檢查和工藝生產(chǎn)過程控制.6.線性回歸的相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同,有相關(guān)關(guān)系的兩個變量存在密切關(guān)系,但不存在確定性的函數(shù)關(guān)系.7.最小二乘法提供了一種估計的方法,但對有些數(shù)據(jù),直接使用最小二乘法是有局限性的,比如一組數(shù)據(jù)都在某直線附近,但有一個數(shù)據(jù)明顯偏離該直線了,在實際處理中,這種數(shù)據(jù)一般會先舍去,再對剩下的數(shù)據(jù)使用最小二乘法,因為那組明顯偏離直線的數(shù)據(jù)很可能是一組錯誤的數(shù)據(jù).參考答案第一章排列與組合【變式訓練1】1.【解析】解法1這里百位與個位是特殊位置,0是特殊元素.若從“元素優(yōu)先”考慮,則先按是否包含0分為兩類.第一類:有0,則0在個位,分兩步有種；0不在個位,分三步有種.第二類:無0,此時只有個位是特殊位置.先由2,4選排個位,有種,再由其余三個元素選排其余兩位,有種.由加法原理,偶數(shù)共有(個).解法2若從“位置優(yōu)先”考慮，