2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-三角函數(shù)與平面向量261-270-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

第1頁（共1頁）已知向量滿足，則的取值范圍是【例60】記，，設(shè)為平面向量，則（）A.B.C.D.【答案】【解析】令，則有從而所以故選D.【例61】若，則的最大值是【答案】2【解析】解法1：由得令，則，所以故所求最大值為2.解法2:如圖，設(shè)易知，故所求最大值為2.【例62】已知向量滿足是單位向量，則的取值范圍為【答案】【解析】根據(jù)題意作出圖形，如圖，設(shè)向量的夾角為，由，得則設(shè)則因?yàn)闉檩o助角，所以.【例63】已知向量滿足，若，則【答案】4【解析】由已知得，又，所以，即，所以因?yàn)?，所以，即所以，?【例64】已知平面上的兩個(gè)向量和滿足，且，若向量且，則的最大值為【答案】【解析】解法1:因?yàn)榍?，所以如圖，取AB的中點(diǎn)D，則，從而由，可得，則，所以，故點(diǎn)在以為圓心、1為半徑的圓上.當(dāng)O，C，D三點(diǎn)共線時(shí)最大，故的最大值為.解法2:柯西不等式法由題意得則，故，令，則，解得.得所以即的最大值為【例65】已知單位向量，向量與共面，若恒成立,則的最大值為【答案】【解析】解法1：絕對值不等式及代數(shù)變形又故且①由條件易得，且由作圖可知設(shè)與的夾角為則與的夾角為或，①式就轉(zhuǎn)化為且，等價(jià)于且，即，所以.解法2:數(shù)量積投影的意義，又故且，從而在（即）上的投影的模小于等于，在（即）上的投影的模小于等于1，由條件易得，如圖，可得設(shè)，由在上的投影的模小于等于，知點(diǎn)在直線EF，GH之間，同理可得點(diǎn)在直線HE，GF之間，即點(diǎn)在矩形EFGH內(nèi)(含邊界)，所以.解法3:坐標(biāo)法(最基本的方法)建立如圖所示的坐標(biāo)系，由單位向量，設(shè)則原題等價(jià)于:已知求的最大值.不等式等價(jià)于或或或根據(jù)線性規(guī)劃知識，畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示，可得.七、等值線的神奇功效【例66】已知是邊長為6的等邊三角形，若點(diǎn)滿足且其中則的取值范圍為【答案】【解析】如圖，令則即其中由知點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)）由于在中，且點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)）因此其中PH是邊上的高.由可得由可得，所以再由可知【例67】若點(diǎn)在以為圓心、6為半徑的上，所對的圓心角為且，則的取值范圍為【答案】【解析】如圖，令則即其由知點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)）由于在中且點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)）因此有其中PH是邊上的高.由可得由可得所以再由可知.【例68】已知的外心滿足若且則【答案】或【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，由可得故是以AC為斜邊的直角三角形，則.當(dāng)時(shí)，由得.如圖，設(shè)則.由及知三點(diǎn)共線.又由知為AC的中點(diǎn)，故所以.綜上可知，或.【評注】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.（2）用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.（3）設(shè)，則三個(gè)向量的終點(diǎn)共線等價(jià)于，再按比例放縮，這樣做簡潔快速.八、點(diǎn)積最值，妙法種種【例69】已知平面向量滿足，其中為不共線的單位向量，若對符合上述條件的任意向量，恒有，則的夾角的最小值是【答案】【解析】解法1:設(shè)的夾角為，，由，得即該式對任意恒成立，所以即，從而得，即該式對任意的恒成立，所以得所以.故所求最小值為解法2：易知，則有.若要恒成立，只要恒成立.由得，即由得，所以.故所求最小值為【例70】若向量滿足，且對任意的單位向量，，求的最大值和最小值.【解析】先求最大值.解法l：由題意知?jiǎng)t，從而，所以.平方得，所以.解法2:如圖，易知，在中，有，得.再求最小值.易得，則，從而，所以.平方得，所以.綜上知的最大值為最小值為.【例71】已知向量滿足，且對任意單位向量，恒成立，求的值.【解析】由題意知?jiǎng)t有，即也即，所以平方得該方程組恒成立，則，得【例72】設(shè)在上的投影為在軸上的投影為2，且則向量為（）A.(2，14)B.C.D.(2，8)【答案】B【解析】因?yàn)橛衷谏系耐队盀榧磁c的夾角為.由于在軸上的投影為2，故可設(shè)與軸的夾角為易知由得或.因?yàn)?，故舍去，所以故選.【例73】在中為BC的中點(diǎn)對任意的實(shí)數(shù)將的最小值設(shè)為求的最大值.【解析】根據(jù)題意建立如圖所示的坐標(biāo)系，由已知得設(shè)則古得所以.又，其中點(diǎn)G在直線PQ上，且直線，所以點(diǎn)到直線PQ的距離為：由于，得所以，即所求最大值為.九、揭示背景，直觀明了【例74】已知為線段AB上一點(diǎn)，P為直線AB外一點(diǎn)，滿足為PC上一點(diǎn)，且則的值為（）A.B.2C.D.0【答案】C【解析】易知點(diǎn)在雙曲線上，分析知點(diǎn)的軌跡是線段(圖中堅(jiān)直的藍(lán)色線段)，而是在上的投影，即從雙曲線的角度看，（切線長定理），故選【例75】若向量滿足，則的取值范圍是【答案】[2，6]【解析】如圖，設(shè)，，由阿波羅尼斯圓的相關(guān)知識即得.【例76】如圖，已知為的外心，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若求的值.【解析】由得即進(jìn)而有設(shè)外接圓的半徑為，則參考答案第一章三角基礎(chǔ)，牢固掌握一、三角線段，靈活應(yīng)用（一）函數(shù)值的大小比較例2【變式訓(xùn)練】1.【答案】2.【答案】B【解析】故選.3.【答案】D例2【拓展提升】【答案】33【解析】由正弦函數(shù)的凹凸性，知當(dāng)時(shí)，由此得，所以故滿足的正整數(shù)的值分別為10，11，12，它們的和為33.例4【拓展提升】【答案】A【解析】由運(yùn)動(dòng)過程可知，小圓的圓心始終在以為圓心、0.5為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).當(dāng)小圓運(yùn)動(dòng)到兩員相切于點(diǎn)時(shí)，則小圓與大圓的切點(diǎn)轉(zhuǎn)過的弧長等于，過小圓的圓心作MP的垂線BF，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)角度為則大員弧長，小圓弧長，所以則所以軸.又所以則點(diǎn)在軸上.又BF為的中位線，則所以點(diǎn)在軸上.最終運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示.故選(二)函數(shù)定義域的確定例6【變式訓(xùn)練】1.【答案】2.【答案】3.【答案】例6【拓展提升】1.【答案】；2.【答案