新高考2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分講重點選填題專練第3講不等式線性規(guī)劃教學(xué)案理

PAGEPAGE1第3講不等式、線性規(guī)劃調(diào)研一不等式的性質(zhì)與解法■備考工具——————————————1．不等式的基本性質(zhì)(1)對稱性：a>b?b<a.(2)傳遞性：a>b，b>c?a>c.(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c.(4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc.(5)加法法則：a>b，c>d?a＋c>b＋d.(6)乘法法則：a>b>0，c>d>0?ac>bd.(7)乘方法則：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．(8)開方法則：a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．2．不等式的倒數(shù)性質(zhì)(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).3．分式不等式的解法(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≥0≤0，,gx≠0.))4．一元二次不等式恒成立問題的解題方法(1)圖象法：對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．(2)更換主元法：假如不等式中含有多個變量，這時選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵，即須要確定合適的變量或參數(shù)，能使函數(shù)關(guān)系更加清楚明朗．一般思路為：將已知范圍的量視為變量，而待求范圍的量看作是參數(shù)，然后借助函數(shù)的單調(diào)性或其他方法進行求解．(3)分別參數(shù)法：假如欲求范圍的參數(shù)能夠分別到不等式的一邊，那么這時可以通過求出不等式另一邊式子的最值(或范圍)來得到不等式恒成立時參數(shù)的取值范圍．一般地，a≥f(x)恒成立時，應(yīng)有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立時，應(yīng)有a≤f(x)min.■自測自評——————————————1．[2024·石家莊質(zhì)檢]已知a>0>b，則下列不等式肯定成立的是()A．a(chǎn)2<－ab B．|a|<|b|C.eq\f(1,a)>eq\f(1,b) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b解析：通解：當(dāng)a＝1，b＝－1時，滿意a>0>b，此時a2＝－ab，|a|＝|b|，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b，∴A，B，D不肯定成立．∵a>0>b，∴b－a<0，ab<0，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)>0，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)肯定成立，故選C.優(yōu)解：∵a>0>b，∴eq\f(1,a)>0>eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)肯定成立，故選C.答案：C2．[2024·贛中南五校聯(lián)考]對于隨意實數(shù)a，b，c，d，有以下四個命題：①若ac2>bc2，則a>b；②若a>b，c>d，則a＋c>b＋d；③若a>b，c>d，則ac>bc；④若a>b，則eq\f(1,a)>eq\f(1,b).其中正確的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：①ac2>bc2，則c≠0，則a>b，①正確；②由不等式的同向可加性可知②正確；③錯誤，比如令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－3，滿意a>b，c>d，但ac＝－4<bd＝－3；④錯誤，比如令a＝－1，b＝－2，滿意a>b，但eq\f(1,a)＝eq\f(1,－1)<eq\f(1,b)＝eq\f(1,－2).故選B.答案：B3．[2024·河南六市模擬]若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列結(jié)論不正確的是()A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b<b2C．a(chǎn)＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|解析：因為eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，所以b<a<0，所以b2>a2，ab<b2，a＋b<0，所以A，B，C均正確，而|a|＋|b|＝|a＋b|，故D錯誤，故選D.答案：D4．[2024·安徽六校一中月考]在區(qū)間(1,2)上不等式x2＋mx＋4>0有解，則m的取值范圍為()A．m>－4 B．m<－4C．m>－5 D．m<－5解析：記f(x)＝x2＋mx＋4，要使不等式x2＋mx＋4>0在區(qū)間(1,2)上有解，需滿意f(1)>0或f(2)>0，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.故選C.答案：C5．[2024·青島城陽一中月考]已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3)))，則不等式x2－bx－a<0的解集是()A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3)))，∴a<0，方程ax2－bx－1＝0的兩個根為－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，－eq\f(－b,a)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，eq\f(－1,a)＝eq\f(1,6)，∴a＝－6，b＝5，∴x2－bx－a<0，即x2－5x＋6<0，(x－2)(x－3)<0，∴2<x<3，故選A.答案：A6．[2024·湖北重點中學(xué)考試]已知集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|log3(x＋2)<1}，則A∩B＝()A．{x|－2<x<1} B．{x|x≤1或x≥2}C．{x|x<1} D．?解析：通解：解不等式x2－3x＋2≥0，得x≤1或x≥2，則A＝{x|x≤1或x≥2}．解不等式log3(x＋2)<1，得－2<x<1，則B＝{x|－2<x<1}，則A∩B＝{x|－2<x<1}，故選A.優(yōu)解：因為－2∈A且－2?B，故解除B、C，又0∈A且0∈B，故解除D，故選A.答案：A7．[2024·湖南四校調(diào)研]已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x2－x－2<0}，則(?RA)∩B＝()A．(－1,0] B．[－1,2)C．[1,2) D．(1,2]解析：通解：由題意知，?RA＝{x|x≥1或x≤－1}，又B＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，所以(?RA)∩B＝{x|1≤x<2}，故選C.優(yōu)解：因為1?A且1∈B，所以解除A，D，又－1?B，所以解除B，故選C.答案：C8．[2024·福建五校聯(lián)考]已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|y＝eq\r(－x2－2x)}，則A∩B＝()A．{x|－1<x<0} B．{x|－1<x≤0}C．{x|0<x<2} D．{x|0≤x<2}解析：因為函數(shù)y＝eq\r(－x2－2x)有意義，所以－x2－2x≥0，解得－2≤x≤0，所以集合B＝{x|－2≤x≤0}．又集合A＝{x|－1<x<2}，所以A∩B＝{x|－1<x≤0}．故選B.答案：B調(diào)研二基本不等式■備考工具——————————————1．基本不等式及有關(guān)結(jié)論(1)基本不等式：假如a>0，b>0，則eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立，即正數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．(2)重要不等式：a∈R，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．(3)幾個常用的重要結(jié)論①eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a與b同號，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)；②a＋eq\f(1,a)≥2(a>0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時取等號)，a＋eq\f(1,a)≤－2(a<0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－1時取等號)；③ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)；④eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a，b>0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)．2．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，則(1)假如積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2eq\r(p)(簡記：積定和最小)．(2)假如x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值eq\f(s2,4)(簡記：和定積最大)．■自測自評——————————————1．[2024·天津卷]已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋eq\f(1,8b)的最小值為________．解析：由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋eq\f(1,8b)＝23b－6＋eq\f(1,23b)≥2eq\r(23b－6×\f(1,23b))＝2×2－3＝eq\f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)23b－6＝eq\f(1,23b)，即b＝1時等號成立．答案：eq\f(1,4)2．[2024·南京調(diào)研]已知實數(shù)x>0，y>0，且滿意xy＋x＋2y＝4，則x＋2y的最小值為________．解析：解法一：(拼湊法)∵xy＋x＋2y＝4，∴x(y＋1)＋2y＝4，∴x(y＋1)＋2(y＋1)＝6，即(x＋2)(y＋1)＝6，∴(x＋2)(2y＋2)＝12.∵x>0，y>0，∴x＋2>2,2y＋2>2.∴(x＋2)＋(2y＋2)≥2eq\r(x＋22y＋2)＝2eq\r(12)＝4eq\r(3).當(dāng)且僅當(dāng)x＋2＝2y＋2，即x＝2eq\r(3)－2，y＝eq\r(3)－1時取“＝”．∴x＋2y≥4eq\r(3)－4.即(x＋2y)min＝4eq\r(3)－4.解法二：(判別式法)令x＋2y＝t，則t>0,2y＝t－x，∴x·eq\f(t－x,2)＋t＝4.整理得x2－tx＋8－2t＝0，由Δ≥0，得t2－4(8－2t)≥0，(t＋4)2≥48.∵t>0，∴t＋4≥4eq\r(3)，∴t≥4eq\r(3)－4.即x＋2y的最小值為4eq\r(3)－4.方法3：(解不等式法)∵x>0，y>0，∴4＝x＋2y＋eq\f(1,2)·x·2y≤x＋2y＋eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))2.∴(x＋2y)2＋8(x＋2y)－32≥0.解得x＋2y≥4eq\r(3)－4.答案：4eq\r(3)－43．[2024·東北三省四市一模]已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，則x＋y的最小值為()A．8 B．9C．12 D．6解析：由題意可得eq\f(4,y)＋eq\f(1,x)＝1，則x＋y＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,y)＋\f(1,x)))＝5＋eq\f(4x,y)＋eq\f(y,x)≥5＋2eq\r(\f(4x,y)×\f(y,x))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3，y＝6時等號成立，故x＋y的最小值為9.選B.答案：B4．已知x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為________．解析：記t＝x＋2y，由不等式恒成立可得m2＋2m<tmin.因為eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，所以t＝x＋2y＝(x＋2y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y).而x>0，y>0，所以eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥2eq\r(\f(4y,x)×\f(x,y))＝4.(當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝2y時等號成立)．所以t＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋4＝8，即tmin＝8.故m2＋2m<8，即(m－2)(m＋4)<0，解得－4<m<2.所以實數(shù)m的取值范圍為(－4,2)．答案：(－4,2)5．若a，b∈R，ab>0，則eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值為________．解析：因為ab>0，所以eq\f(a4＋4b4＋1,ab)≥eq\f(2\r(4a4b4)＋1,ab)＝eq\f(4a2b2＋1,ab)＝4ab＋eq\f(1,ab)≥2eq\r(4ab·\f(1,ab))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2b2，,ab＝\f(1,2)))時取等號，故eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值是4.答案：46．[2024·天津卷]已知a∈R.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2ax＋2a，x≤1，,x－alnx，x>1.))若關(guān)于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，則a的取值范圍為()A．[0,1] B．[0,2]C．[0，e] D．[1，e]解析：解法一：當(dāng)a＝0時，不等式f(x)≥0恒成立，解除D；當(dāng)a＝e時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2ex＋2e，x≤1，,x－elnx，x>1，))當(dāng)x≤1時，f(x)＝x2－2ex＋2e的最小值為f(1)＝1>0，滿意f(x)≥0；當(dāng)x>1時，由f(x)＝x－elnx可得f′(x)＝1－eq\f(e,x)＝eq\f(x－e,x)，易得f(x)在x＝e處取得微小值(也是最小值)f(e)＝0，滿意f(x)≥0恒成立，解除A，B.故選C.解法二：若x≤1，f(x)＝x2－2ax＋2a＝(x－a)2－a2＋2a，當(dāng)a≤1時，可得f(x)的最小值為f(a)＝－a2＋2a，令f(a)≥0，解得0≤a≤2，故0≤a≤1；當(dāng)a>1時，可得f(x)的最小值為f(1)＝1≥0，滿意條件．所以a≥0.若x>1，由f(x)＝x－alnx可得f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x)，當(dāng)a≤1時，f′(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，故只需f(1)≥0，明顯成立；當(dāng)a>1時，由f′(a)＝0可得x＝a，易得f(x)的最小值為f(a)＝a－alna，令f(a)≥0，解得a≤e，故1<a≤e，所以a≤e，a的取值范圍是[0，e]．答案：C調(diào)研三線性規(guī)劃■備考工具——————————————1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域當(dāng)A>0時，區(qū)域Ax＋By＋C>0表示直線Ax＋By＋C＝0的右側(cè)；區(qū)域Ax＋By＋C<0表示直線Ax＋By＋C＝0的左側(cè)．2．線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b>0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸上截距最小時，z值最?。划?dāng)b<0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大．3．利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最值的步驟(1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平面直線系中的隨意一條直線l；(2)平移——將l平行移動，以確定最優(yōu)解所對應(yīng)的點的位置．有時須要進行目標(biāo)函數(shù)l和可行域邊界的斜率的大小比較；(3)求值——解有關(guān)方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，再代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值．■自測自評——————————————1．[2024·天津卷]設(shè)變量x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－y＋2≥0，,x≥－1，,y≥－1，))則目標(biāo)函數(shù)z＝－4x＋y的最大值為()A．2 B．3C．5 D．6解析：畫出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線－4x＋y＝0，并平移，可知當(dāng)直線過點A時，z取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,x－y＋2＝0))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，))所以點A的坐標(biāo)為(－1,1)，故zmax＝－4×(－1)＋1＝5.答案：C2．[2024·浙江卷]若實數(shù)x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4≥0，,3x－y－4≤0，,x＋y≥0，))則z＝3x＋2y的最大值是()A．－1 B．1C．10 D．12解析：作出可行域如圖中陰影部分所示，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線z＝3x＋2y過點(2,2)時，z取得最大值，zmax＝6＋4＝10.故選C.答案：C3．[2024·湖北重點中學(xué)考試]已知x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－m≤0，))若eq\f(y,x＋1)的最大值為2，則m的值為()A．4 B．5C．8 D．9解析：由題意知x≥1，y≥x，則m≥x＋y≥2，作出滿意約束條件的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．因為eq\f(y,x＋1)表示定點P(－1,0)與平面區(qū)域內(nèi)的點(x，y)連線的斜率，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過平面區(qū)域的頂點A(1，m－1)時，直線的斜率取得最大值eq\f(m－1－0,1－－1)＝2，解得m＝5.答案：B4．若變量x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥0，,x－y≤0，,x－2y＋2≥0，))則z＝(x＋2)2＋(y＋2)2的最大值為__________，最小值為________．解析：如圖所示，畫出不等式組表示的可行域，即由點O(0,0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，B(2,2)所圍成的三角形區(qū)域(包括邊界)．又點P(－2，－2)在直線BO：x－y＝0上，z＝(x＋2)2＋(y＋2)2表示可行域內(nèi)的動點(x，y)與定點P(－2，－2)間距離的平方，易知所求最大值為|PB|2＝32，最小值為點P(－2，－2)到直線AO：x＋2y＝0的距離的平方，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－2＋2×－2|,\r(12＋22))))2＝eq\f(36,5)(此時動點(x，y)在線段AO上)．答案：32eq\f(36,5)5．[2024·湖北七校聯(lián)考]已知實數(shù)x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y－2≤0，