【二輪復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 重難點14 圓錐曲線必考壓軸解答題全歸類（新高考專用）（原卷版）

重難點14圓錐曲線必考壓軸解答題全歸類【十一大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1軌跡方程】 4【題型2圓錐曲線的弦長問題】 5【題型3圓錐曲線的“中點弦”問題】 7【題型4斜率之和差商積問題】 8【題型5圓錐曲線中三角形（四邊形）的面積問題】 9【題型6圓錐曲線中的最值或取值范圍問題】 11【題型7圓錐曲線中的定點、定值問題】 12【題型8圓錐曲線中的定直線問題】 13【題型9圓錐曲線與向量綜合】 15【題型10圓錐曲線中的探索性問題】 16【題型11圓錐曲線新定義】 18平面解析幾何是高考數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，其中圓錐曲線是高考的必考內(nèi)容之一，常作為試卷的拔高與區(qū)分度大的試題，其思維要求高，計算量較大.從近幾年的高考情況來看，在解答題中的考查主要有三個方面：一是平面解析幾何通性通法的研究；二是圓錐曲線中的弦長、面積、最值、定點、定值或定直線等問題的求解；三是圓錐曲線中的常見模型.圓錐曲線的核心內(nèi)容概括為八個字，就是“定義、方程、位置關(guān)系”，所有的圓錐曲線有關(guān)試題都是圍繞這些核心內(nèi)容展開；試題難度較大，需要靈活求解．【知識點1動點軌跡問題】1.求動點的軌跡方程的方法

求動點的軌跡方程有如下幾種方法：(1)直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；(2)定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；(3)相關(guān)點法：用動點Q的坐標(biāo)x、y表示相關(guān)點P的坐標(biāo)x0、y0，然后代入點P的坐標(biāo)(x0,y0)所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點Q的軌跡方程；(4)參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找x、y與某一參數(shù)t得到方程，即為動點的軌跡方程；【知識點2圓錐曲線中的弦長問題】1．橢圓的弦長問題(1)定義：直線與橢圓的交點間的線段叫作橢圓的弦.

(2)弦長公式：設(shè)直線l:y=kx+m交橢圓+=1(a>b>0)于，兩點，則或.2．橢圓的“中點弦問題”(1)解決橢圓中點弦問題的兩種方法

①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決.

②點差法：利用端點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系.設(shè)，，代入橢圓方程+=1(a>b>0)，得，

①-②可得+=0，

設(shè)線段AB的中點為，當(dāng)時，有+=0.

因為為弦AB的中點，從而轉(zhuǎn)化為中點與直線AB的斜率之間的關(guān)系，這就是處理弦中點軌跡問題的常用方法.(2)弦的中點與直線的斜率的關(guān)系

線段AB是橢圓+=1(a>b>0)的一條弦，當(dāng)弦AB所在直線的斜率存在時，弦AB的中點M的坐標(biāo)為，則弦AB所在直線的斜率為，即.

3．雙曲線的弦長問題①弦長公式：直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長d.

②解決此類問題時要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

③處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問題時，利用韋達(dá)定理、點差法的解題過程中，并沒有條件確定直線與圓錐曲線一定會相交，因此，最后要代回去檢驗.

④雙曲線的通徑：

過焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點在x軸上還是在y軸上，雙曲線的通徑總等于.4．雙曲線的“中點弦問題”“設(shè)而不求”法解決中點弦問題：①過橢圓內(nèi)一點作直線，與橢圓交于兩點，使這點為弦的中點，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的這類問題中，則不能確定.要注意檢驗.

②在解決此類問題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.常用的解題技巧是如何應(yīng)用直線方程將轉(zhuǎn)化為能用韋達(dá)定理直接代換的.垂直關(guān)系有時用向量的數(shù)量關(guān)系來刻畫，要注意轉(zhuǎn)化.5．拋物線的弦長問題設(shè)直線與拋物線交于A,B兩點，則

|AB|==或

|AB|==(k為直線的斜率，k≠0).6．拋物線的焦點弦問題拋物線=2px(p>0)上一點A與焦點F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線=2px(p>0)的焦點弦，則焦點弦長為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標(biāo)).設(shè)過拋物線焦點的弦的端點為A,B，則四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的弦長公式為：標(biāo)準(zhǔn)方程弦長公式y(tǒng)2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=-2px(p>0)|AB|=p-(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=-2py(p>0)|AB|=p-(y1+y2)【知識點3圓錐曲線中最值或取值范圍問題的解題策略】1.處理圓錐曲線最值問題的求解方法圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.2.解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.【知識點4圓錐曲線中的定點、定值問題的解題策略】1.圓錐曲線中的定點問題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.(2)特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).2.圓錐曲線中的定值問題的解題策略圓錐曲線中的定值問題主要分兩類：一類是圓錐曲線中的定線段的長的問題；另一類是圓錐曲線中幾何圖形的面積的定值問題.(1)探求圓錐曲線中的定線段的長的問題，一般用直接求解法，即先利用弦長公式把要探求的線段表示出來，然后利用題中的條件(如直線與曲線相切等)得到弦長表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這個關(guān)系式代入弦長表達(dá)式中，化簡可得弦長為定值.(2)探求圓錐曲線中幾何圖形的面積的定值問題，一般用直接求解法，即可先利用三角形面積公式(如果是其他凸多邊形，可分割成若干個三角形分別求解)把要探求的幾何圖形的面積表示出來，然后利用題中的條件得到幾何圖形的面積表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這個關(guān)系式代入幾何圖形的面積表達(dá)式中，化簡即可.【知識點5圓錐曲線中的探索性問題的解題策略】1.圓錐曲線中的探索性問題此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再針對其表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及對參數(shù)的討論.【題型1軌跡方程】【例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知A是圓E：x-32+y2=16上的任意一點，點F-3,0，線段AF的垂直平分線交線段AE于點T．(1)求動點T的軌跡C的方程；(2)已知點Q(4,0)，過點P(1,0)的直線l與C交于M，N兩點，求證：【變式1-1】（2024·山東淄博·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點.F5,0，點Px,y是平面內(nèi)的動點.若以PF為直徑的圓與圓D(1)求C的方程;(2)設(shè)點A(1,0),M(0,t),N(0,4-t)(t≠2)，直線AM，AN分別與曲線C交于點S，T(S，T異于A)【變式1-2】（2024·遼寧·一模）已知平面上一動點P到定點F12,0的距離比到定直線x=-2023的距離小40452(1)求C的方程；(2)點A2,1,M,N為C上的兩個動點，若M,N,B恰好為平行四邊形MANB【變式1-3】（2024·山西臨汾·一模）已知M是一個動點，MA與直線l1:y=x垂直，垂足A位于第一象限，MB與直線l2:y=-x垂直，垂足(1)求動點M的軌跡E的方程；(2)設(shè)過點M的直線l與l1，l2分別相交于P，Q兩點，△APM和△BQM的面積分別為S1和S2，若S1=【題型2圓錐曲線的弦長問題】【例2】（2024·山西·模擬預(yù)測）已知F為橢圓C:x22+y2=1的右焦點，過點F且斜率為k1的直線與橢圓C(1)求AB的取值范圍；(2)過點F作直線ED與橢圓C交于點E，D，直線ED的傾斜角比直線AB的傾斜角大π4，求四邊形AEBD【變式2-1】（2024·陜西寶雞·一模）設(shè)拋物線C：y2=2pxp>0，直線x-2y+1=0(1)求p；(2)若在x軸上存在定點M，使得MA?MB=0，求定點【變式2-2】（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知雙曲線E:x2a2(1)求雙曲線E的離心率；(2)設(shè)直線y=12x-12與雙曲線E【變式2-3】（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>(1)求橢圓C的方程；(2)過點F2斜率不為0的直線l交橢圓C于P，Q兩點，記直線MP與直線MQ的斜率分別為k1，k2①直線l的方程；②△MPQ的面積【題型3圓錐曲線的“中點弦”問題】【例3】（2023·河南開封·一模）已知直線l:y=kx+2(k≠0)與橢圓C:x2a2+y2b2(1)求橢圓C的離心率；(2)若直線l與x軸，y軸分別相交于M，N兩點，且|MA|=|NB|，|【變式3-1】（2023·陜西漢中·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為(1)求拋物線C的方程；(2)已知直線l交拋物線C于M,N兩點，且點4,2為線段MN的中點，求直線【變式3-2】（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2-y2(1)求雙曲線C的方程；(2)過點P1,1的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，P能否是線段AB【變式3-3】（2023·河北承德·模擬預(yù)測）已知斜率為k的直線l與橢圓C:x26+y23=1(1)若n=1，m=-1，求(2)若線段AB的垂直平分線交y軸于點P0,-13，且AB=4【題型4斜率之和差商積問題】【例4】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F,(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)已知過點Q且互相垂直的直線l1,l2與E分別交于點A,C與點B,D，線段AC與BD的中點分別為【變式4-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點F2的直線l1，l2分別交橢圓E于A，B兩點和C，D兩點，且直線AC和BD分別與直線QF2交于點M，N，若PM和PN的斜率分別為k【變式4-2】（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x24+y23=1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點T4,0且不與x軸重合的直線l與橢圓C交于A(1)記直線AF2，BF2的斜率分別為k1(2)設(shè)直線AF1與BF2交于點M【變式4-3】（2023·四川南充·一模）如圖，橢圓E:x25+y2=1的四個頂點為A，B，C，D，過左焦點F1(1)求四邊形ABCD的內(nèi)切圓的方程；(2)設(shè)R(1,0)，連結(jié)MR，NR并延長分別交橢圓E于P，Q兩點，設(shè)PQ的斜率為k'．則是否存在常數(shù)λ，使得k=【題型5圓錐曲線中三角形（四邊形）的面積問題】【例5】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F(1)求C的方程；(2)若點A、B在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點，且OA⊥OB，求【變式5-1】（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l與橢圓y22+x2=1相切，且與雙曲線C的左、右支分別交于A,B兩點，與雙曲線C的漸近線分別交于E,F兩點．【變式5-2】（2023·安徽合肥·三模）已知點F(0,1)，動點M在直線l：y=-1上，過點M且垂直于x軸的直線與線段MF的垂直平分線交于點P，記點P的軌跡為曲線(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過F的直線與曲線C交于A，B兩點，直線OA，OB與圓x2+y2-2y=0的另一個交點分別為【變式5-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓C：x2a2+y2b(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為A，B，直線PQ交橢圓C于P，Q兩點，記直線AP的斜率為k1，直線BQ的斜率為k2，已知k1=3k2，設(shè)△APQ和△【題型6圓錐曲線中的最值或取值范圍問題】【例6】（2023·貴州·模擬預(yù)測）已知橢圓C：x2a2+y2b(1)求橢圓C的方程；(2)若C的上頂點為E，過左焦點F1的直線交橢圓C于P，G兩點（與橢圓頂點不重合），直線EP，EG分別交直線x+y+4=0于H，Q【變式6-1】（2023·河南·三模）設(shè)雙曲線E:x2a2-y2b(1)求E的方程；(2)過F2作兩條相互垂直的直線l1和l2，與E的右支分別交于A，C兩點和B，D【變式6-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知F是拋物線C:y2=2pxp>0的焦點，過點F的直線交拋物線C(1)求拋物線C的方程；(2)若O為坐標(biāo)原點，過點B作y軸的垂線交直線AO于點D，過點A作直線DF的垂線與拋物線C的另一交點為E，AE的中點為G，求GBDG【變式6-3】（2023·四川攀枝花·一模）與雙曲線x2-y2=1(1)求橢圓C的方程；(2)過點N0,-2的直線l交橢圓C于A、B兩點，交x軸于點P，點A關(guān)于x軸的對稱點為D，直線BD交x軸于點Q.求OP+【題型7圓錐曲線中的定點、定值問題】【例7】（2023·四川成都·模擬預(yù)測）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，(1)求橢圓E的方程；(2)當(dāng)點P為橢圓E的上頂點時，過點P分別作直線PM，PN交橢圓E于M，N兩點，設(shè)兩直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，且k1+【變式7-1】（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F且傾斜角為π6的直線交拋物線于點M（M在第一象限），MN⊥(1)求p的值.(2)若斜率不為0的直線l1與拋物線C相切，切點為G，平行于l1的直線交拋物線C于P,Q兩點，且∠PGQ=π2【變式7-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線E:x2-y2=λ2(λ>0)的右頂點為A，右焦點為F，點F到E的一條漸近線的距離為2，動直線(1)求E的方程；(2)若∠FAB+∠FAC=【變式7-3】（2023·山西臨汾·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，O為坐標(biāo)原點，點P在C(1)求C的方程；(2)過橢圓C的右焦點F的直線l與C交于D，E兩點，過線段DE的中點G作直線x=4的垂線，垂足為N，記△ODE的面積為S，直線DN，EN的斜率分別為k1，k【題型8圓錐曲線中的定直線問題】【例8】（2023·山東泰安·模擬預(yù)測）已知曲線C上的動點P滿足|PF1(1)求C的方程；(2)若直線AB與C交于A、B兩點，過A、B分別做C的切線，兩切線交于點P'.在以下兩個條件①②中選擇一個條件，證明另外一個條件成立①直線AB經(jīng)過定點M4,0②點P'在定直線x=【變式8-1】（2023·安徽安慶·一模）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點．若雙曲線E:x24-y2b2=1b>0的左、右焦點分別為F1、F2，從F2

(1)求雙曲線E的方程；(2)設(shè)A1、A2為雙曲線E實軸的左、右頂點，若過P4,0的直線l與雙曲線C交于M、N兩點，試探究直線A1M【變式8-2】（2023·新疆·一模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過M0,1的直線交橢圓C于E、D兩點，Q為坐標(biāo)平面上一動點，直線QE、QM、QD斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列，試探究點Q【變式8-3】（2023·山東淄博·一模）已知拋物線C：y2=2pxp>0上一點P2,t到其焦點F的距離為3，A，B為拋物線C上異于原點的兩點.延長AF，BF分別交拋物線C于點M，N(1)若AF⊥BF，求四邊形(2)證明:點Q在定直線上.【題型9圓錐曲線與向量綜合】【例9】（2023·廣西玉林·模擬預(yù)測）已知點P在橢圓C:x212+y26=1，直線y=kx與橢圓D:x22λ+y2(1)求橢圓D的方程；(2)直線PA，PB分別交橢圓D于另一點M，N，若AB=mMN【變式9-1】（2023·廣西·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=2pxp>0上一點P的橫坐標(biāo)為4(1)求拋物線C的方程；(2)點A,B是拋物線C上異于原點O的不同的兩點，且滿足OA?【變式9-2】（2023·上海奉賢·一模）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為23，離心率為32，橢圓的左右焦點分別為F(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓上有一動點T，求PT?(3)設(shè)線段BC的中點為M，當(dāng)t≥2時，判別橢圓上是否存在點Q，使得非零向量OM與向量【變式9-3】（2023·安徽阜陽·三模）已知雙曲線C：y2a2-x2b2=1a>0,b>0，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點，直線l交(1)求C的方程；(2)設(shè)OD的中點為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點N，PM=λPN，MQ=【題型10圓錐曲線中的探索性問題】【例10】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓C：x2a2+y2b(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點，過點4,0的直線l與橢圓C交于M，N兩點，橢圓C上是否存在點Q，使得直線MQ,NQ與直線x=4分別交于點A，B，且點A，B關(guān)于x【變式10-1】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知拋物線Γ:x2=2py((1)求拋物線Γ的準(zhǔn)線方程；(2)若過點F的直線l與拋物線Γ交于A,B兩點，線段AB的中垂線與拋物線Γ的準(zhǔn)線交于點C，請問是否存在直線l，使得tan∠ACB【變式10-2】（2023·廣東梅州·三模）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點，右頂點分別為F，A，B0,(1)求雙曲線C的方程.(2)過點F的直線l與雙曲線C的右支相交于P，Q兩點，在x軸上是否存在與F不同的定點E，使得EP?FQ=EQ【變式10-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為2(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點P(2,0)的直線與橢圓E交于B，C兩點，過點B，C分別作直線l:x=1的垂線，垂足分別為M，N，記△BMP，△MNP，△CNP的面積分別為S1，S2，S3，試問：是否存在正數(shù)【題型11圓錐曲線新定義】【例11】（2023·廣西·模擬預(yù)測）在橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的蒙日圓上一點M，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于另一點N，若kOM，kON存在．證明：【變式11-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）定義：一般地，當(dāng)λ>0且λ≠1時，我們把方程x2a2+y2b2=λa>b>0表示的橢圓Cλ稱為橢圓x(1)當(dāng)λ=2時，若與橢圓C有且只有一個公共點的直線l1，l2恰好相交于點P，直線l(2)當(dāng)λ=e2（e為橢圓C的離心率）時，設(shè)直線PM與橢圓C交于點A,B，直線PN與橢圓C【變式11-2】（2024·河南南陽·一模）在橢圓(雙曲線)中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，該圓的圓心是橢圓(雙曲線)的中心，半徑等于橢圓(雙曲線)長半軸(實半軸)與短半軸(虛半軸)平方和(差)的算術(shù)平方根，則這個圓叫蒙日圓.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的蒙日圓的面積為13π，該橢圓的上頂點和下頂點分別為(1)證明：AP1，BP2的交點P(2)求直線AP1【變式11-3】（2023·上海奉賢·二模）已知橢圓C:x24+y2b2=1b>0，A0,b，B0,-b．橢圓C內(nèi)部的一點Tt,1(1)若橢圓C的離心率是32，求b(2)設(shè)△BTM的面積是S1，△ATN的面積是S2，若S1(3)若點U(xu,yu)，V(xv,yv)滿足1．（20