《十字相乘法》導(dǎo)學(xué)案

《十字相乘法》導(dǎo)學(xué)案一、教材分析1、教材版本：滬教版（上海）。2、冊數(shù)與章節(jié)：七年級第一學(xué)期，第九章整式，第5節(jié)因式分解中的9.15十字相乘法。3、教材內(nèi)容主旨整式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，而十字相乘法是因式分解中一種非常重要且實(shí)用的方法。它在簡化代數(shù)式、求解方程等方面有著廣泛的應(yīng)用。通過學(xué)習(xí)十字相乘法，能讓同學(xué)們更好地理解整式之間的關(guān)系，提高代數(shù)式運(yùn)算的能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)分式、方程等知識奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。二、學(xué)情分析1、知識基礎(chǔ)同學(xué)們在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的乘法運(yùn)算，對單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式等有了一定的了解。例如，對于\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\)這樣的式子已經(jīng)熟悉，這為理解十字相乘法的原理提供了知識鋪墊。但對于將一個二次三項(xiàng)式逆向分解成兩個一次式的乘積，可能會存在一定的思維難度。2、能力水平七年級的學(xué)生正處于從具體運(yùn)算向形式運(yùn)算過渡的階段，邏輯思維能力還在逐步發(fā)展。在學(xué)習(xí)十字相乘法時，可能會在觀察式子的系數(shù)特征、尋找合適的分解組合等方面遇到困難。他們需要通過大量的實(shí)例練習(xí)來提高對這種方法的掌握程度。3、學(xué)習(xí)特點(diǎn)這個年齡段的學(xué)生對新鮮事物充滿好奇心，但注意力集中的時間有限。所以在教學(xué)過程中，要采用多樣化的教學(xué)方法，如有趣的實(shí)例引入、小組競賽等，來激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣并保持他們的注意力。三、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能目標(biāo)理解十字相乘法的概念和原理，能夠熟練運(yùn)用十字相乘法對二次三項(xiàng)式\(ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)進(jìn)行因式分解。例如，對于\(x^{2}+5x+6\)，能夠準(zhǔn)確地分解為\((x+2)(x+3)\)。能通過十字相乘法解決一些簡單的代數(shù)式求值和方程求解問題。比如，在方程\(x^{2}3x10=0\)中，先將左邊因式分解為\((x5)(x+2)=0\)，進(jìn)而求出方程的解\(x=5\)或\(x=2\)。2、過程與方法目標(biāo)通過對具體二次三項(xiàng)式的分析、分解過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的能力。例如，在分析\(2x^{2}+7x+3\)時，觀察系數(shù)\(2\)、\(7\)、\(3\)之間的關(guān)系，嘗試不同的組合，從而歸納出十字相乘法的一般步驟。經(jīng)歷從整式乘法到因式分解的逆向思維過程，提高學(xué)生的逆向思維能力。讓學(xué)生明白乘法與因式分解是互逆的恒等變形。3、情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)讓學(xué)生在探索十字相乘法的過程中，體驗(yàn)成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。例如，當(dāng)學(xué)生成功分解出一個較復(fù)雜的二次三項(xiàng)式時，會獲得成就感。培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和勇于探索的精神。在尋找系數(shù)分解組合的過程中，需要耐心和細(xì)心，這有助于養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。四、教學(xué)重難點(diǎn)1、教學(xué)重點(diǎn)十字相乘法的原理和步驟。理解如何將二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分解成兩個數(shù)的乘積，并且這四個數(shù)交叉相乘再相加后等于一次項(xiàng)系數(shù)。例如，對于\(3x^{2}+8x+4\)，二次項(xiàng)系數(shù)\(3=1\times3\)，常數(shù)項(xiàng)\(4=2\times2\)，通過十字交叉相乘\(1\times2+3\times2=8\)（一次項(xiàng)系數(shù)），從而得到\((x+2)(3x+2)\)。運(yùn)用十字相乘法對二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。能夠準(zhǔn)確、快速地對各種形式的二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解，包括二次項(xiàng)系數(shù)不為\(1\)的情況。2、教學(xué)難點(diǎn)對二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行合理分解。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)有多種分解方式時，如何準(zhǔn)確地找到滿足十字相乘條件的分解組合。比如\(6x^{2}+7x5\)，二次項(xiàng)系數(shù)\(6=1\times6=2\times3\)，常數(shù)項(xiàng)\(5=(1)\times5=1\times(5)\)，要從中找出正確的組合\(2\times5+3\times(1)=7\)（一次項(xiàng)系數(shù)）。當(dāng)二次三項(xiàng)式中的系數(shù)為分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)時的十字相乘法運(yùn)用。例如\(2x^{2}+3x+2\)，需要考慮系數(shù)的符號和分?jǐn)?shù)運(yùn)算的情況。五、教學(xué)方法1、講授法在講解十字相乘法的概念、原理和基本步驟時，采用講授法。教師通過簡潔明了的語言，向?qū)W生闡述十字相乘法的關(guān)鍵知識點(diǎn)。例如，解釋二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)在十字相乘中的關(guān)系，以及如何根據(jù)系數(shù)進(jìn)行分解組合。2、練習(xí)法在講解完基本知識點(diǎn)后，安排大量的練習(xí)。練習(xí)內(nèi)容包括簡單的二次三項(xiàng)式分解，如\(x^{2}+3x+2\)，逐步過渡到較復(fù)雜的情況，如\(4x^{2}4x3\)。通過練習(xí)，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，提高運(yùn)用十字相乘法的能力。3、討論法當(dāng)遇到一些有多種分解可能或者較難的二次三項(xiàng)式時，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論。例如對于\(8x^{2}+6x9\)，讓學(xué)生在小組內(nèi)討論二次項(xiàng)系數(shù)\(8\)和常數(shù)項(xiàng)\(9\)的分解方式，以及如何找到合適的十字相乘組合。通過討論，激發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)他們的合作能力。六、教學(xué)過程1、導(dǎo)入新課（5分鐘）教師先在黑板上寫出兩個整式相乘的式子\((x+3)(x+2)\)，讓學(xué)生運(yùn)用整式乘法的知識進(jìn)行計算，得到\(x^{2}+5x+6\)。然后提問：“如果現(xiàn)在給你\(x^{2}+5x+6\)這個式子，你們能不能把它還原成剛才那兩個整式相乘的形式呢？”引發(fā)學(xué)生的思考，從而引出本節(jié)課的主題——十字相乘法?？梢越Y(jié)合生活中的例子，比如把一個長方形的面積\(x^{2}+5x+6\)（假設(shè)長和寬都是整式）分解成兩個整式表示的邊長，就像把一個大的區(qū)域劃分成兩個小的區(qū)域一樣。2、講授新課（20分鐘）十字相乘法的原理講解以\(x^{2}+5x+6\)為例，教師在黑板上畫出一個十字交叉的形式。二次項(xiàng)系數(shù)\(1=1\times1\)，寫在十字交叉的左邊；常數(shù)項(xiàng)\(6=2\times3\)，寫在十字交叉的右邊。然后交叉相乘再相加，\(1\times3+1\times2=5\)（正好是一次項(xiàng)系數(shù)），所以\(x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3)\)。接著，再舉一個二次項(xiàng)系數(shù)不為\(1\)的例子，如\(2x^{2}+7x+3\)。二次項(xiàng)系數(shù)\(2=1\times2\)，常數(shù)項(xiàng)\(3=1\times3\)，通過十字交叉相乘\(1\times3+2\times1=7\)（一次項(xiàng)系數(shù)），所以\(2x^{2}+7x+3=(x+3)(2x+1)\)。總結(jié)十字相乘法的步驟第一步：把二次項(xiàng)系數(shù)分解成兩個因數(shù)的乘積，寫在十字交叉的左邊。第二步：把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個因數(shù)的乘積，寫在十字交叉的右邊。第三步：交叉相乘，將所得的積相加，如果和等于一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以寫出因式分解的結(jié)果。強(qiáng)調(diào)注意事項(xiàng)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)有多種分解方式時，要耐心嘗試，找到滿足十字相乘條件的組合。對于系數(shù)為分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)的情況，要特別注意符號的運(yùn)算。3、課堂練習(xí)（20分鐘）教師在黑板上給出以下練習(xí)題：簡單類型：\(x^{2}+4x+3\)，\(x^{2}5x+6\)，\(x^{2}+2x3\)。中等類型：\(2x^{2}+5x+3\)，\(3x^{2}7x+2\)，\(4x^{2}4x3\)。較復(fù)雜類型（可作為選做題）：\(6x^{2}+7x5\)，\(8x^{2}+6x9\)。讓學(xué)生在練習(xí)本上進(jìn)行練習(xí)，教師巡視課堂，及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題并給予指導(dǎo)。對于普遍存在的問題，如系數(shù)分解錯誤或者十字相乘計算錯誤等，教師要及時在黑板上進(jìn)行糾正和講解。4、課堂小結(jié)（10分鐘）請幾位同學(xué)站起來分享自己在本節(jié)課的收獲，包括十字相乘法的原理、步驟以及在練習(xí)過程中的注意事項(xiàng)等。教師對學(xué)生的回答進(jìn)行補(bǔ)充和總結(jié)，再次強(qiáng)調(diào)十字相乘法的重點(diǎn)和難點(diǎn)。例如，強(qiáng)調(diào)在分解系數(shù)時要全面考慮各種可能的組合，以及如何準(zhǔn)確判斷找到正確的組合。5、布置作業(yè)（5分鐘）必做題：課本上關(guān)于十字相乘法的課后練習(xí)題，如練習(xí)冊上的\(10\)道基礎(chǔ)練習(xí)題，包括二次項(xiàng)系數(shù)為\(1\)和不為\(1\)的二次三項(xiàng)式因式分解。選做題：對于學(xué)有余力的同學(xué)，可以布置一些拓展性的作業(yè)，如嘗試用十字相乘法解決一些簡單的方程\(3x^{2}+5x2=0\)，并思考十字相乘法在解決實(shí)際問題（如面積計算、利潤計算等）中的可能應(yīng)用，寫出自己的想法，字?jǐn)?shù)在\(200\)字左右。七、教學(xué)評價1、課堂表現(xiàn)評價在課堂上觀察學(xué)生的表現(xiàn)，包括是否積極參與討論、回答問題是否準(zhǔn)確、在練習(xí)過程中的專注度和完成情況等。對于積極參與的學(xué)生給予表揚(yáng)和鼓勵，對于存在問題的學(xué)生給予個別指導(dǎo)。2、作業(yè)評價根據(jù)學(xué)生的作業(yè)完成情況，了解學(xué)生對十字相乘法的