高中數(shù)學復習專題06 導數(shù)及其應用（學生版）

專題06導數(shù)及其應用一、填空題1．（2024新高考Ⅰ卷·13）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則.一、單選題1．（2022新高考Ⅰ卷·7）設，則（

）A． B． C． D．2．（2023新高考Ⅱ卷·6）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．二、多選題3．（2022新高考Ⅱ卷·12）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．4．（2023新高考Ⅱ卷·11）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．三、填空題5．（2022新高考Ⅰ卷·15）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是．6．（2022新高考Ⅱ卷·14）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為，．一、導數(shù)的運算1、求導的基本公式基本初等函數(shù)導函數(shù)（為常數(shù)）2、導數(shù)的四則運算法則（1）函數(shù)和差求導法則：；（2）函數(shù)積的求導法則：；（3）函數(shù)商的求導法則：，則．3、復合函數(shù)求導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)，的導數(shù)間關系為：4、切線問題（1）在點的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關鍵．（2）過點的切線方程設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．二、單調(diào)性基礎問題1、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題=1\*GB3①若在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；=2\*GB3②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞減．三、討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）求根作圖得結論（如能直接求出導函數(shù)等于0的根，并能做出導函數(shù)與x軸位置關系圖，則導函數(shù)正負區(qū)間段已知，可直接得出結論）；（4）未得結論斷正負（若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數(shù)整體的正負）；（5）正負未知看零點（若導函數(shù)正負難判斷，則觀察導函數(shù)零點）；（6）一階復雜求二階（找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導）；求二階導往往需要構造新函數(shù)，令一階導函數(shù)或一階導函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導．（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導正負判斷一階導函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段）；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負）；然后再求有效根；（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關系）；（5）導數(shù)圖像定區(qū)間；四、極值與最值1、函數(shù)的極值函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．求可導函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗在方程的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近為正，在右側附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，在右側附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．注：①可導函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導函數(shù)的變號零點，即，且在左側與右側，的符號導號．②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導的，如函數(shù)，在極小值點是不可導的，于是有如下結論：為可導函數(shù)的極值點；但為的極值點．2、函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．導函數(shù)為（1）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．【導數(shù)及其應用常用結論】1、恒成立和有解問題（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域為，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域為，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解（5）對于任意的，總存在，使得；（6）對于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對于任意的，使得；（8）若存在，對于任意的，使得；（9）對于任意的，使得；（10）對于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．一、單選題1．（2024·河北保定·三模）曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西西安·三模）已知函數(shù)則在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．3．（2024·河北保定·三模）已知二次函數(shù)（且）的圖象與曲線交于點P，與x軸交于點A（異于點O），若曲線在點P處的切線為l，且l與AP垂直，則a的值為（

）A． B． C． D．4．（2024·貴州六盤水·三模）已知曲線的一條切線方程為，則實數(shù)（）A． B． C．1 D．25．（2024·湖南長沙·二模）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．16．（2024·貴州黔東南·二模）已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．0 B． C．1 D．7．（2024·福建泉州·二模）在等比數(shù)列中，是函數(shù)的兩個極值點，若，則t的值為（

）A． B． C．4 D．58．（2024·天津和平·三模）已知函數(shù)（，且），，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個極大值點，則的取值范圍為（

）A． B．． C． D．9．（2024·遼寧·二模）已知正實數(shù)，記，則的最小值為（

）A． B．2 C．1 D．10．（2024·新疆喀什·三模）已知，，，則（

）A． B． C． D．11．（2024·安徽合肥·三模）已知函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，若滿足：，，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題12．（2024·河北衡水·三模）已知函數(shù)，是函數(shù)的一個極值點，則下列說法正確的是（

）A． B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．過點能作兩條不同直線與相切 D．函數(shù)有5個零點13．（2024·重慶·三模）若函數(shù)既有極小值又有極大值，則（）A． B． C． D．14．（2024·山西太原·三模）已知是函數(shù)的極值點，若，則下列結論正確的是（

）A．的對稱中心為 B．C． D．15．（2024·河北·三模）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．的圖象關于直線對稱． B．的圖象關于點對稱．C． D．三、填空題16．（2024·上?！と＃┰O曲線和曲線在它們的公共點處有相同的切線，則的值為.17．（2024·上?！と＃┤艉瘮?shù)在上存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是．18．（2024·上海閔行·三模）早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經(jīng)知道算術中項，幾何中項以及調(diào)和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術中項，幾何中項的定義與今天大致相同.若，則的最小值為.19．（2024·廣東·三模）設實數(shù)x、y、z、t滿足不等式，則的最小值為.20．（2024·浙江紹興·三模）若，且，則的最小值是．21．（2024·河北·三模）已知對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．22．（2024·