高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題08 排列組合與二項(xiàng)式定理（學(xué)生版）

專題08排列組合與二項(xiàng)式定理一、填空題1．（2024新高考Ⅱ卷·14）在如圖的4×4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是．一、單選題1．（2022新高考Ⅱ卷·5）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種2．（2023新高考Ⅱ卷·3）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種二、填空題3．（2022新高考Ⅰ卷·13）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．4．（2023新高考Ⅰ卷·13）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．一、排列與排列數(shù)1、定義：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列．從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示．2、排列數(shù)的公式：．特例：當(dāng)時(shí)，；規(guī)定：．3、排列數(shù)的性質(zhì)：①；②；③．二、組合與組合數(shù)1、定義：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合．從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示．2、組合數(shù)公式及其推導(dǎo)求從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，可以按以下兩步來考慮：第一步，先求出從這個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)；第二步，求每一個(gè)組合中個(gè)元素的全排列數(shù)；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到；因此．這里，，且，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式．因?yàn)?，所以組合數(shù)公式還可表示為：．特例：．注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問題時(shí)，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題．公式常用于具體數(shù)字計(jì)算，常用于含字母算式的化簡或證明．3、組合數(shù)的主要性質(zhì)：①；②．4、組合應(yīng)用題的常見題型：=1\*GB3①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型=2\*GB3②“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型三、排列和組合的區(qū)別組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工．排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題．排列是在組合的基礎(chǔ)上對(duì)入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”．四、二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)問題1、二項(xiàng)式定理一般地，對(duì)于任意正整數(shù)，都有：，這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式．式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，2、二項(xiàng)式的展開式的特點(diǎn)：①項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；②二項(xiàng)式系數(shù)：第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次數(shù)從到，每一項(xiàng)中，，次數(shù)和均為；④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是，項(xiàng)的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）．3、兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開式：①（）②4、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；③與的次數(shù)之和為．注意：①二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)和的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的和是不能隨便交換位置的．②通項(xiàng)是針對(duì)在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是（只需把看成代入二項(xiàng)式定理）．五、二項(xiàng)式展開式中的最值問題1、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)=1\*GB3①每一行兩端都是，即；其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即．=2\*GB3②對(duì)稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即．=3\*GB3③二項(xiàng)式系數(shù)和令，則二項(xiàng)式系數(shù)的和為，變形式．=4\*GB3④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令，則，從而得到：．=5\*GB3⑤最大值：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)，的二項(xiàng)式系數(shù)，相等且最大．2、系數(shù)的最大項(xiàng)求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．六、二項(xiàng)式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題常用賦值舉例：1、設(shè)，二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，即對(duì)，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：．2、若，則①常數(shù)項(xiàng)：令，得．②各項(xiàng)系數(shù)和：令，得．③奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和（i）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為．（可簡記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）（ii）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為．（可簡記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）若，同理可得．注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．【排列組合常用結(jié)論】一、解決排列組合綜合問題的一般過程1、認(rèn)真審題，確定要做什么事；2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行，弄清楚分多少類及多少步；3、確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素；4、解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．二、常見排列組合類型及解法1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個(gè)區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對(duì)這個(gè)區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．2、錯(cuò)位排列公式3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論．4、定位、定元的排列問題，一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個(gè)不同元素排成一排，其中某k個(gè)元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個(gè)元素“捆綁在一起”，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個(gè)不同元素排成一排，其中某個(gè)元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個(gè)元素排成一排，共有種排法；然后把個(gè)元素插入個(gè)空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．一、單選題1．（2024·重慶·三模）重慶某高校去年招收學(xué)生來自成渝地區(qū)2400人，除成渝外的西部地區(qū)2000人，中部地區(qū)1400人，東部地區(qū)1800人，港澳臺(tái)地區(qū)400人.學(xué)校為了解學(xué)生的飲食習(xí)慣，擬選取40人作樣本調(diào)研，為保證調(diào)研結(jié)果的代表性，則從該校去年招收的成渝地區(qū)學(xué)生中不同的抽樣結(jié)果種數(shù)為（）A． B． C． D．2．（2024·北京·三模）已知的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B．240 C．60 D．3．（2024·陜西·三模）2024年中國足球乙級(jí)聯(lián)賽陜西聯(lián)合的主場火爆，一票難求，主辦方設(shè)定了三種不同的票價(jià)分別對(duì)應(yīng)球場三個(gè)不同的區(qū)域，五位球迷相約看球賽，則五人中恰有三人在同一區(qū)域的不同座位方式共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種4．（2024·四川成都·三模）成實(shí)外教育集團(tuán)自2000年成立以來，一直行走在民辦教育的前端，致力于學(xué)生的全面發(fā)展，對(duì)學(xué)生的教育視為終身己任，在教育事業(yè)上砥礪前行，永不止步.截至目前，集團(tuán)已開辦29所K-12學(xué)校和兩所大學(xué)，其中高中教育學(xué)校有11所.集團(tuán)擬召開綜合考評(píng)會(huì).經(jīng)考評(píng)后，11所學(xué)校得分互不相同，現(xiàn)從中任選3所學(xué)校的代表交流發(fā)言，則排名為第一名或第五名的學(xué)校代表去交流發(fā)言的概率為（

）A． B． C． D．5．（2024·重慶九龍坡·三模）用1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則在數(shù)字1，3相鄰的條件下，數(shù)字2，4，6也相鄰的概率為（

）A． B． C． D．6．（2024·新疆喀什·三模）展開式中，的系數(shù)為（

）A．20 B．30 C．25 D．407．（2024·新疆·三模）西安、洛陽、北京、南京和開封并稱中國的五大古都.某旅游博主為領(lǐng)略五大古都之美，決定用兩個(gè)月的時(shí)間游覽完五大古都，且每個(gè)月只游覽五大古都中的兩個(gè)或三個(gè)（五大古都只游覽一次），則恰好在同一個(gè)月游覽西安和洛陽的概率為（

）A． B． C． D．8．（2024·北京·三模）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B． C．16 D．1449．（2024·河北秦皇島·三模）三人被邀請(qǐng)參加同一個(gè)時(shí)間段的兩個(gè)晚會(huì)，若兩個(gè)晚會(huì)都必須有人去，去幾人自行決定，且每人最多參加一個(gè)晚會(huì)，則不同的去法有（

）A．8種 B．12種 C．16種 D．24種10．（2024·安徽蕪湖·三模）已知A、B、C、D、E、F六個(gè)人站成一排，要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的排法共有（

）種A．186 B．264 C．284 D．33611．（2024·浙江紹興·三模）在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是10，則（

）A．0 B．1 C．2 D．412．（2024·湖北荊州·三模）已知，則被3除的余數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0二、多選題13．（2024·山西臨汾·三模）在的展開式中（

）A．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)C．有理項(xiàng)共有兩項(xiàng)D．所有項(xiàng)的系數(shù)的和為14．（2024·江西南昌·三模）已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值與的展開式中的系數(shù)相等，則實(shí)數(shù)a的值可能為（）A． B． C． D．15．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，則（

）A． B．展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C． D．的個(gè)位數(shù)字是1三、填空題16．（2024·山東煙臺(tái)·三模）展開式的中間一項(xiàng)的系數(shù)為.17．（2024·安徽合肥·三模）北京時(shí)間2024年4月26日5時(shí)04分，神舟十七號(hào)航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）順利打開“家門”，歡迎遠(yuǎn)道而來的神舟十八號(hào)航天員乘組（葉光富、李聰、李廣蘇3人）入駐“天宮”．隨后，兩個(gè)航天員乘組拍下“全家?！?，共同向全國人民報(bào)平安．若這6名航天員站成一排合影留念，葉光富不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有．18．（2024·福建福州·三模）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．19．（2024·新疆喀什·三模）小明設(shè)置六位數(shù)字的手機(jī)密碼時(shí)，計(jì)劃將的前6位數(shù)字3，1，4，1，5，9進(jìn)行某種排列得到密碼．若排列時(shí)要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間一個(gè)數(shù)字，則小明可以設(shè)置的不同密碼種數(shù)為．20．（2024·河北衡水·三模）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）21．（2024·河南·三模）若的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則的值可以是（寫出一個(gè)值即可）22．（2024·上海閔行·三模）某羽毛球俱樂部，安排男女選手各6名參加三場雙打表演賽（一場為男雙，一場為女雙，一場為男女混雙），每名選手只參加1場表演賽，則所有不同的安排方法有種.23．（2024·上?！と＃?024年重慶市高考數(shù)學(xué)科目采用新試卷結(jié)構(gòu)，我校高三年級(jí)將對(duì)來自三個(gè)班級(jí)的9名學(xué)生（每