高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題12 解三角形（學(xué)生版）

專題12解三角形一、解答題1．（2024新高考Ⅰ卷·15）記內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．2．（2024新高考Ⅱ卷·15）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長(zhǎng)．一、解答題1．（2022新高考Ⅰ卷·18）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．2．（2023新高考Ⅰ卷·17）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．3．（2022新高考Ⅱ卷·18）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．4．（2023新高考Ⅱ卷·17）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．一、基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式；；．常見變形（1），，；（2），，；；；．（2）面積公式：（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R，r．）二、相關(guān)應(yīng)用（1）正弦定理的應(yīng)用=1\*GB3①邊化角，角化邊=2\*GB3②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊=3\*GB3③合分比：（2）內(nèi)角和定理：=1\*GB3①同理有：，．=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；=5\*GB3⑤在中，內(nèi)角成等差數(shù)列．三、實(shí)際應(yīng)用（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．（2）方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α（如圖②）．（3）方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．①北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）．②北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．③南偏西等其他方向角類似．（4）坡角與坡度①坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角）．②坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．【解三角形常用結(jié)論】1、方法技巧：解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無(wú)解2、在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到．3、三角形中的射影定理在中，；；．一、單選題1．（2024·貴州六盤水·三模）在中，，，，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．2．（2024·河南·三模）在中，，且交于點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．4．（2024·山西太原·三模）已知中，是的中點(diǎn)，且，則面積的最大值（

）A． B． C．1 D．25．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是（

）A． B． C． D．4二、多選題6．（2024·安徽·三模）已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中，，，，則（

）A．B．的外接圓面積為C．若，，則D．若，，則7．（2024·浙江·三模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則有兩解C．當(dāng)時(shí)，為直角三角形D．若為銳角三角形，則的取值范圍是8．（2024·河北·三模）已知內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，，則（

）A． B．的最小值為3C．若為銳角三角形，則 D．若，，則三、填空題9．（2024·新疆·三模）在中，，.則.10．（2024·江西南昌·三模）在中，，則.11．（2024·重慶九龍坡·三模）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其面積為，已知，.則；的最大值為.12．（2024·四川自貢·三模）如圖，D為的邊AC上一點(diǎn)，，，，則的最小值為.13．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，則；若，，，，則的取值范圍是．四、解答題14．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在中，記角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．(1)求角；(2)已知點(diǎn)在邊上，且，，，求的面積．15．（2024·山東青島·三模）設(shè)三角形的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、且．(1)求角的大??；(2)若，邊上的高為，求三角形的周長(zhǎng)．16．（2024·天津?yàn)I海新·三模）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，．(1)求角的大?。?2)求的值；(3)求的值．17．（2024·天津河西·三模）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)．（ⅰ）求的定義域和最小正周期；（ⅱ）求的值．18．（2024·上海·三模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求的值；(2)若，求面積的最大值．19．（2024·湖南衡陽(yáng)·三模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a、b、c，且．(1)求A；(2)如圖所示，D為平面上一點(diǎn)，與構(gòu)成一個(gè)四邊形ABDC，且，若，求AD的最大值．20．（2024·四川攀枝花·三模）請(qǐng)?jiān)冖?，②，③三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，所對(duì)的邊分別是，已知_____．(1)求角；(2)若，點(diǎn)在邊上，為的平分線，求邊長(zhǎng)的值．21．（2024·江蘇蘇州·三模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)若，求的面積;(2)若，求使得恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)的最小值.22．（2024·安徽六安·三模）在①，②，③這