高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題16 雙曲線（學(xué)生版）

專題16雙曲線一、填空題1．（2024新高考Ⅰ卷·12）設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作平行于軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為．一、填空題1．（2023新高考Ⅰ卷·16）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為．一、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）．用集合表示為．注意：（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線僅為雙曲線中的一支．（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以和為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線．（3）時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：=1\*GB3①條件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用．二、雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形A2A2焦點(diǎn)坐標(biāo)，，對(duì)稱性關(guān)于，軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱頂點(diǎn)坐標(biāo)，，范圍實(shí)軸、虛軸實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為離心率漸近線方程令，焦點(diǎn)到漸近線的距離為令，焦點(diǎn)到漸近線的距離為點(diǎn)和雙曲線的位置關(guān)系共焦點(diǎn)的雙曲線方程共漸近線的雙曲線方程切線方程為切點(diǎn)為切點(diǎn)切線方程對(duì)于雙曲線上一點(diǎn)所在的切線方程，只需將雙曲線方程中換為，換成便得．切點(diǎn)弦所在直線方程為雙曲線外一點(diǎn)為雙曲線外一點(diǎn)點(diǎn)為雙曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為，，．則弦長(zhǎng)，，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù)．通徑通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長(zhǎng)為焦點(diǎn)三角形雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的成為焦點(diǎn)三角形，設(shè)，，，則，，焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是等軸雙曲線等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線離心率兩漸近線互相垂直漸近線方程為方程可設(shè)為．【雙曲線常用結(jié)論】1、雙曲線的通徑過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長(zhǎng)為．2、點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系對(duì)于雙曲線，點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部，等價(jià)于．點(diǎn)在雙曲線外部，等價(jià)于結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析．3、雙曲線?？夹再|(zhì)性質(zhì)1：雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)；性質(zhì)2：雙曲線上的任意點(diǎn)到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；4、雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為（可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面積越大）5、雙曲線的切線點(diǎn)在雙曲線上，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的切線方程為．若點(diǎn)在雙曲線外，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)切點(diǎn)弦方程為一、單選題1．（2024·甘肅蘭州·三模）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江紹興·三模）已知，為曲線：的焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則曲線的離心率B．若，則曲線的離心率C．若曲線上恰有兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得，則D．若，則曲線上存在四個(gè)不同的點(diǎn)，使得3．（2024·安徽·三模）過(guò)雙曲線的下頂點(diǎn)作某一條漸近線的垂線，分別與兩條漸近線相交于兩點(diǎn)，若,則C的離心率為（

）A． B． C． D．34．（2024·全國(guó)·三模）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，且離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線l與C的一條漸近線垂直相交于點(diǎn)D，則（

）A． B． C．2 D．35．（2024·四川成都·三模）已知雙曲線（，）的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線漸近線上一點(diǎn)且滿足，過(guò)作軸的垂線交漸近線于點(diǎn)，已知，則其離心率為（

）A．2 B． C． D．6．（2024·山西陽(yáng)泉·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線的右支上有一點(diǎn)與雙曲線的左支交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且滿足，若，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．7．（2024·寧夏銀川·三模）已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線E的右支交于A，B兩點(diǎn)，若，且雙曲線E的離心率為，則（

）A． B． C． D．8．（2024·湖南永州·三模）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線分別交雙曲線左、右兩支于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，平分，其中一條漸近線與線段交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．9．（2024·天津河西·三模）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（

）A． B． C． D．410．（2024·浙江杭州·三模）已知雙曲線上存在關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的兩點(diǎn)A，B，以及雙曲線上的另一點(diǎn)C，使得為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題11．（2024·河北邯鄲·三模）已知雙曲線，則（

）A．的取值范圍是 B．的焦點(diǎn)可在軸上也可在軸上C．的焦距為6 D．的離心率的取值范圍為12．（2024·河北保定·三模）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與的左支相交于，兩點(diǎn)，若，且，則（

）A． B．C．的離心率為 D．直線的斜率為13．（2024·貴州貴陽(yáng)·三模）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)，斜率為正的漸近線為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，交雙曲線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是雙曲線上任意一點(diǎn)，若，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的共軛雙曲線方程為C．當(dāng)點(diǎn)位于雙曲線右支時(shí)，D．點(diǎn)到兩漸近線的距離之積為14．（2024·山西呂梁·三模）已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，兩曲線有公共焦點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，，以下結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．若，則15．（2024·重慶·三模）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上點(diǎn)，且的內(nèi)切圓圓心為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．直線PF1的斜率為C．的周長(zhǎng)為 D．的外接圓半徑為三、填空題16．（2024·湖北荊州·三模）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則C的漸近線方程為．17．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，曲線上的點(diǎn)滿足，，，則雙曲線的離心率為．18．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與的右支交于，兩點(diǎn)，若，則．19．（2024·浙江金華·三模）若圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長(zhǎng)為2，則雙曲線的離心率為.20．（2024·山東煙臺(tái)·三模）已知雙曲線：（，）的漸近線方程為，其右焦點(diǎn)為F，若直線與在第一象限的交點(diǎn)為P且軸，則實(shí)數(shù)k的值為.21．（2024·河南鄭州·三模）已知雙曲線的離心率為分別是它的兩條漸近線上的兩點(diǎn)（不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合），點(diǎn)在雙曲線上且的面積為6，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為．22．（2024·上海奉賢·三模）若曲線得右頂