高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題20 創(chuàng)新定義題型（學(xué)生版）

專題20創(chuàng)新定義題型一、多選題1．（2024新高考Ⅰ卷·11）造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點O.且C上的點滿足橫坐標(biāo)大于，到點的距離與到定直線的距離之積為4，則（

）A． B．點在C上C．C在第一象限的點的縱坐標(biāo)的最大值為1 D．當(dāng)點在C上時，二、解答題2．（2024新高考Ⅰ卷·19）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中一次任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．一、新定義問題“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.二、新定義問題的方法和技巧（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.一、解答題1．（2024·北京·三模）給定正整數(shù)，設(shè)數(shù)列是的一個排列，對，表示以為首項的遞增子列的最大長度，表示以為首項的遞減子列的最大長度.(1)若，，，，，求和；(2)求證：，；(3)求的最小值.2．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的前項和為，若存在常數(shù)，使得對任意都成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列具有性質(zhì)；(2)設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù)，且具有性質(zhì)．①若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，求的值；②求的最小值．3．（2024·河北保定·三模）在初等數(shù)論中，對于大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其它自然數(shù)整除的數(shù)叫做素數(shù)，對非零整數(shù)a和整數(shù)b，若存在整數(shù)k使得，則稱a整除b.已知p，q為不同的兩個素數(shù)，數(shù)列是公差為p的等差整數(shù)數(shù)列，為q除所得的余數(shù)，為數(shù)列的前n項和.(1)若，，，求；(2)若某素數(shù)整除兩個整數(shù)的乘積，則該素數(shù)至少能整除其中一個整數(shù)，證明：數(shù)列的前q項中任意兩項均不相同；(3)證明：為完全平方數(shù).4．（2024·海南·二模）設(shè)數(shù)列，如果A中各項按一定順序進(jìn)行一個排列，就得到一個有序數(shù)組．若有序數(shù)組滿足恒成立，則稱為n階減距數(shù)組；若有序數(shù)組滿足恒成立，則稱為n階非減距數(shù)組．(1)已知數(shù)列，請直接寫出該數(shù)列中的數(shù)組成的所有4階減距數(shù)組；(2)設(shè)是數(shù)列的一個有序數(shù)組，若為n階非減距數(shù)組，且為階非減距數(shù)組，請直接寫出4個滿足上述條件的有序數(shù)組；(3)已知等比數(shù)列的公比為q，證明：當(dāng)時，為n階非減距數(shù)組．5．（2024·江西九江·三模）已知數(shù)列共有項，且，若滿足，則稱為“約束數(shù)列”.記“約束數(shù)列”的所有項的和為.(1)當(dāng)時，寫出所有滿足的“約束數(shù)列”；(2)當(dāng)時，設(shè)“約束數(shù)列”為等差數(shù)列.請判斷是的什么條件，并說明理由；(3)當(dāng)時，求的最大值.6．（2024·山東青島·三模）在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標(biāo)原點，雙曲線的左、右焦點分別為的離心率為2，點為右支上一動點，直線與曲線相切于點，且與的漸近線交于兩點，當(dāng)軸時，直線為的等線.(1)求的方程;(2)若是四邊形的等線，求四邊形的面積;(3)設(shè)，點的軌跡為曲線，證明:在點處的切線為的等線7．（2024·浙江·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，如果將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，并說明理由；(2)已知函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的最大值；(3)若函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的取值范圍.8．（2024·上海·三模）設(shè)，函數(shù)的定義域為．若對滿足的任意，均有，則稱函數(shù)具有“性質(zhì)”．(1)在下述條件下，分別判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說明理由；①；

②；(2)已知，且函數(shù)具有性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；(3)證明：“函數(shù)為增函數(shù)”是“對任意，函數(shù)均具有性質(zhì)”的充要條件．9．（2024·新疆喀什·三模）已知定義域為的函數(shù)滿足：對于任意的，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)判斷函數(shù)，是否具有性質(zhì)；（直接寫出結(jié)論）(2)已知函數(shù)（，），判斷是否存在，，使函數(shù)具有性質(zhì)？若存在，求出，的值；若不存在，說明理由；(3)設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，且在區(qū)間上的值域為．函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上有且只有一個零點．求證：．10．（2024·貴州六盤水·三模）若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“k類函數(shù)”(1)若，判斷是否為上的“4類函數(shù)”；(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若為上的“2類函數(shù)”且，證明：，，.11．（2024·江西南昌·三模）給定數(shù)列，若對任意m，且，是中的項，則稱為“H數(shù)列”．設(shè)數(shù)列的前n項和為(1)若，試判斷數(shù)列是否為“H數(shù)列”，并說明理由；(2)設(shè)既是等差數(shù)列又是“H數(shù)列”，且，，，求公差d的所有可能值；(3)設(shè)是等差數(shù)列，且對任意，是中的項，求證：是“H數(shù)列”．12．（2024·黑龍江·三模）如果n項有窮數(shù)列滿足，，…，，即，則稱有窮數(shù)列為“對稱數(shù)列”.(1)設(shè)數(shù)列是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，其中成等差數(shù)列，且，依次寫出數(shù)列的每一項；(2)設(shè)數(shù)列是項數(shù)為(且)的“對稱數(shù)列”，且滿足，記為數(shù)列的前項和.①若，，…，構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，且.當(dāng)為何值時，取得最大值?②若，且，求的最小值.13．（2024·安徽·三模）已知數(shù)列的前n項和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列為有窮數(shù)列；②數(shù)列為遞增數(shù)列；③，，，使得；則稱數(shù)列具有“和性質(zhì)”.(1)已知，求數(shù)列的通項公式，并判斷數(shù)列是否具有“和性質(zhì)”；（判斷是否具有“和性質(zhì)”時不必說明理由，直接給出結(jié)論）(2)若首項為1的數(shù)列具有“和性質(zhì)”.（?。┍容^與的大小關(guān)系，并說明理由；（ⅱ）若數(shù)列的末項為36，求的最小值.14．（2024·湖北荊州·三模）對于數(shù)列，如果存在一個正整數(shù)，使得對任意，都有成立，那么就把這樣的一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列，的最小值稱作數(shù)列的最小正周期，簡稱周期.(1)判斷數(shù)列和是否為周期數(shù)列，如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理由.(2)設(shè)（1）中數(shù)列前項和為，試問是否存在，使對任意，都有成立，若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由.(3)若數(shù)列和滿足，且，是否存在非零常數(shù)，使得是周期數(shù)列？若存在，請求出所有滿足條件的常數(shù)；若不存在，請說明理由.15．（2024·安徽蕪湖·三模）若數(shù)列的各項均為正數(shù)，且對任意的相鄰三項，都滿足，則稱該數(shù)列為“對數(shù)性凸數(shù)列”，若對任意的相鄰三項，都滿足則稱該數(shù)列為“凸數(shù)列”．(1)已知正項數(shù)列是一個“凸數(shù)列”，且，（其中為自然常數(shù)，），證明：數(shù)列是一個“對數(shù)性凸數(shù)列”，且有；(2)若關(guān)于的函數(shù)有三個零點，其中．證明：數(shù)列是一個“對數(shù)性凸數(shù)列”：(3)設(shè)正項數(shù)列是一個“對數(shù)性凸數(shù)列”，求證：16．（2024·湖南·二模）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.(1)若圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；(2)若點不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡(luò)曲線；(3)在（2）的條件下，過曲線上兩點作曲線的切線，其交點為.已知點，若三點不共線，探究是否成立？請說明理由.17．（2024·江蘇南通·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Γ：的離心率為，直線l與Γ相切，與圓O：相交于A，B兩點.當(dāng)l垂直于x軸時，.(1)求Γ的方程；(2)對于給定的點集M，N，若M中的每個點在N中都存在距離最小的點，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為.（?。┤鬗，N分別為線段AB與圓O上任意一點，P為圓O上一點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求；（ⅱ）若，均存在，記兩者中的較大者為.已知，，均存在，證明：.18．（2024·新疆烏魯木齊·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，重新定義兩點之間的“距離”為，我們把到兩定點的“距離”之和為常數(shù)的點的軌跡叫“橢圓”．(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點為，過作直線交于兩點，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．19．（2024·江西新余·二模）通過研究，已知對任意平面向量，把繞其起點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點P，(1)已知平面內(nèi)點，點，把點B繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到點P，求點P的坐標(biāo)：(2)已知二次方程的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，（i）求斜橢圓C的離心率；（ⅱ）過點作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線交斜橢圓C于點M、N，過原點O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點G、H，判斷是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.20．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點，滿足曲線在和處的切線重合，則稱，為曲線的“雙重切點”，直線為曲線的“雙重切線”．(1)直線是否為曲線的“雙重切線”，請說明