江蘇專用2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)2.4冪函數(shù)與二次函數(shù)教案含解析

PAGEPAGE1§2.4冪函數(shù)與二次函數(shù)考情考向分析以冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用為主，常與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)交匯命題；以二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用為主，常與方程、不等式等學(xué)問交匯命題，著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸及數(shù)形結(jié)合思想，題型一般為填空題，中檔難度．1．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1圖象性質(zhì)定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在(－∞，0]上單調(diào)遞減；在(0，＋∞)上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞增在[0，＋∞)上單調(diào)遞增在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減公共點(diǎn)(1,1)2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域RR值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調(diào)性在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞增；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減對(duì)稱性函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(b,2a)對(duì)稱概念方法微思索1．二次函數(shù)的解析式有哪些常用形式？提示(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)頂點(diǎn)式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，寫出f(x)≥0恒成立的條件．提示a>0且Δ≤0.題組一思索辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[a，b]的最值肯定是eq\f(4ac－b2,4a).(×)(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a確定了圖象的開口方向和在同始終角坐標(biāo)系中的開口大?。?√)(3)函數(shù)是冪函數(shù)．(×)(4)假如冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)肯定是原點(diǎn)．(√)(5)當(dāng)n<0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn是定義域上的減函數(shù)．(×)題組二教材改編2．[P89練習(xí)T3]已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，則k＋α＝________.答案eq\f(3,2)解析由冪函數(shù)的定義，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,\f(\r(2),2)＝k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α.))∴k＝1，α＝eq\f(1,2).∴k＋α＝eq\f(3,2).3．[P40練習(xí)T3]已知函數(shù)f(x)＝x2＋4ax在區(qū)間(－∞，6)內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是________．答案(－∞，－3]解析函數(shù)f(x)＝x2＋4ax的圖象是開口向上的拋物線，其對(duì)稱軸是x＝－2a，由函數(shù)在區(qū)間(－∞，6)內(nèi)單調(diào)遞減可知，區(qū)間(－∞，6)應(yīng)在直線x＝－2a的左側(cè)，∴－2a≥6，解得a≤－3.題組三易錯(cuò)自糾4．冪函數(shù)(a∈Z)為偶函數(shù)，且f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，則a＝________.答案5解析因?yàn)閍2－10a＋23＝(a－5)2－2，(a∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以(a－5)2－2<0，從而a＝4,5,6，又(a－5)2－2為偶數(shù)，所以只能是a＝5.5．已知函數(shù)y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，則y的最小值是______．答案－1解析函數(shù)y＝2x2－6x＋3的圖象的對(duì)稱軸為x＝eq\f(3,2)>1，∴函數(shù)y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上單調(diào)遞減，∴ymin＝2－6＋3＝－1.6．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，則f(m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”)答案>解析f(x)＝x2－x＋a圖象的對(duì)稱軸為直線x＝eq\f(1,2)，且f(1)>0，f(0)>0，而f(m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0，∴f(m－1)>0.題型一冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．已知冪函數(shù)(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為________．答案1解析由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)只有n＝1符合題意．2．若四個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是________．(用“>”連接)答案a>b>c>d解析由冪函數(shù)的圖象可知，在(0,1)上冪函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸，由題圖知a>b>c>d.3．若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．答案(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2)))解析不等式等價(jià)于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2).4．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的部分對(duì)應(yīng)值如下表，則不等式f(|x|)≤2的解集是________.x1eq\f(1,2)f(x)1eq\f(\r(2),2)答案[－4,4]解析由題意知，eq\f(\r(2),2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α，∴α＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝，∴f(|x|)＝，由≤2，得|x|≤4，故－4≤x≤4.思維升華(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式．(2)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸．(3)在比較冪值的大小時(shí)，必需結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，精確駕馭各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型二求二次函數(shù)的解析式例1(1)已知二次函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿意f(0)＝3，對(duì)?x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，則f(x)的解析式為________________．答案f(x)＝x2－2x＋3解析由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴eq\f(b,2)＝1，∴b＝2，∴f(x)＝x2－2x＋3.(2)已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，則f(x)＝________.答案x2＋2x解析設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由eq\f(4a×0－4a2,4a)＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.思維升華求二次函數(shù)解析式的方法跟蹤訓(xùn)練1(1)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，則f(x)＝________.答案x2＋2x＋1解析設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a(a≠0)，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對(duì)隨意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)＝________.答案x2－4x＋3解析因?yàn)閒(2－x)＝f(2＋x)對(duì)隨意x∈R恒成立，所以f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2.又因?yàn)閒(x)的圖象被x軸截得的線段長為2，所以f(x)＝0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的圖象過點(diǎn)(4,3)，所以3a＝3，即a＝1，所以f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.題型三二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)命題點(diǎn)1二次函數(shù)的圖象例2設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，且f(m)≤f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案[0,2]解析二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，則a≠0，又由－eq\f(－2a,2a)＝1得圖象的對(duì)稱軸是直線x＝1，所以a>0.所以函數(shù)的圖象開口向上，且在[1,2]上單調(diào)遞增，f(0)＝f(2)，則當(dāng)f(m)≤f(0)時(shí)，有0≤m≤2.命題點(diǎn)2二次函數(shù)的單調(diào)性例3函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案[－3,0]解析當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，滿意題意．當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)的對(duì)稱軸為x＝eq\f(3－a,2a)，由f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得－3≤a<0.綜上，a的取值范圍為[－3,0]．引申探究若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的單調(diào)減區(qū)間是[－1，＋∞)，則a＝________.答案－3解析由題意知f(x)必為二次函數(shù)且a<0，又eq\f(3－a,2a)＝－1，∴a＝－3.命題點(diǎn)3二次函數(shù)的最值例4已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－1,2]上有最大值4，求實(shí)數(shù)a的值．解f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.(1)當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上的值為常數(shù)1，不符合題意，舍去；(2)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上是增函數(shù)，最大值為f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq\f(3,8)；(3)當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上是減函數(shù)，最大值為f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.綜上可知，a的值為eq\f(3,8)或－3.引申探究將本例改為：求函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋1在區(qū)間[－1,2]上的最大值．解f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，∴f(x)的圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x＝－a.(1)當(dāng)－a<eq\f(1,2)即a>－eq\f(1,2)時(shí)，f(x)max＝f(2)＝4a＋5，(2)當(dāng)－a≥eq\f(1,2)即a≤－eq\f(1,2)時(shí)，f(x)max＝f(－1)＝2－2a，綜上，f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋5，a>－\f(1,2)，,2－2a，a≤－\f(1,2).))命題點(diǎn)4二次函數(shù)中的恒成立問題例5(1)已知二次函數(shù)f(x)滿意f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，若不等式f(x)>2x＋m在區(qū)間[－1,1]上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為____________．答案(－∞，－1)解析設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，又f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x，所以a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1.f(x)>2x＋m在區(qū)間[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1－m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－eq\f(5,4)－m，x∈[－1,1]，g(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減，所以g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，所以m<－1.(2)函數(shù)f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在區(qū)間[－1,1]上f(x)≤8恒成立，則a的最大值為________．答案2解析令ax＝t，因?yàn)閍>1，x∈[－1,1]，所以eq\f(1,a)≤t≤a，原函數(shù)化為g(t)＝t2＋3t－2，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))，明顯g(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))上單調(diào)遞增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以1<a≤2，所以a的最大值為2.思維升華解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時(shí)要留意：(1)拋物線的開口，對(duì)稱軸位置，定義區(qū)間三者相互制約，要留意分類探討；(2)要留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)．(3)由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵解題思路：一是分別參數(shù)；二是不分別參數(shù)．兩種思路的關(guān)鍵都是求函數(shù)的最值或值域．跟蹤訓(xùn)練2(1)eq\r(3－aa＋6)(－6≤a≤3)的最大值為________．答案eq\f(9,2)解析易知函數(shù)y＝(3－a)(a＋6)的兩個(gè)零點(diǎn)是3，－6，圖象的對(duì)稱軸為a＝－eq\f(3,2)∈[－6,3]，y＝(3－a)(a＋6)的最大值為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(3,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋6))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))2，則eq\r(3－a6＋a)的最大值為eq\f(9,2).(2)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇1，＋∞)，則a的值為________．答案－1或3解析由于函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1，＋∞)，所以f(x)min＝1.又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.(3)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對(duì)于滿意1<x<4的一切x值都有f(x)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析由題意得a>eq\f(2,x)－eq\f(2,x2)對(duì)1<x<4恒成立，又eq\f(2,x)－eq\f(2,x2)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，eq\f(1,4)<eq\f(1,x)<1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)－\f(2,x2)))max＝eq\f(1,2)，∴a>eq\f(1,2).數(shù)形結(jié)合思想和分類探討思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用探討二次函數(shù)的性質(zhì)，可以結(jié)合圖象進(jìn)行；對(duì)于含參數(shù)的二次函數(shù)問題，要明確參數(shù)對(duì)圖象的影響，進(jìn)行分類探討．例設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值．解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝1.當(dāng)t＋1≤1，即t≤0時(shí)，函數(shù)圖象如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為減函數(shù)，所以最小值為f(t＋1)＝t2＋1；當(dāng)t<1<t＋1，即0<t<1時(shí)，函數(shù)圖象如圖(2)所示，在對(duì)稱軸x＝1處取得最小值，最小值為f(1)＝1；當(dāng)t≥1時(shí)，函數(shù)圖象如圖(3)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為增函數(shù)，所以最小值為f(t)＝t2－2t＋2.綜上可知，f(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2＋1，t≤0，,1，0<t<1，,t2－2t＋2，t≥1.))1.冪函數(shù)(m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為________．答案2解析∵(m∈Z)的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，∴m2－4m<0，即0<m<4.又∵函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且m∈Z，∴m2－4m為偶數(shù)，∴m＝2.2．若冪函數(shù)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則m的值為________．答案1解析由題意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，解得m＝1.3．(2024·江蘇省揚(yáng)州中學(xué)月考)若函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1在(－∞，5]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案[5，＋∞)解析由題意可得－eq\f(－2a,2)≥5，解得a≥5.4．函數(shù)f(x)＝(x－2)(ax＋b)為偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(2－x)>0的解集為________________．答案{x|x>4或x<0}解析函數(shù)f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b為偶函數(shù)，則b－2a＝0，故f(x)＝ax2－4a＝a(x－2)(x＋2)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a>0.依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，不等式f(2－x)>0的解集為{x|2－x>2或2－x<－2}＝{x|x<0或x>4}．5．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a，x∈[0,1]有最大值2，則a＝________.答案2或－1解析函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，其圖象的對(duì)稱軸方程為x＝a.當(dāng)a<0時(shí)，f(x)max＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1；當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝eq\f(1±\r(5),2)(舍去)；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.綜上可知，a＝－1或a＝2.6．若關(guān)于x的不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，－2)解析不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價(jià)于a<(x2－4x－2)max，令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，所以f(x)<f(4)＝－2，所以a<－2.7．已知f(x)＝x2，g(x)＝，h(x)＝x－2，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)，g(x)，h(x)的大小關(guān)系是________________．答案h(x)>g(x)>f(x)解析分別作出f(x)，g(x)，h(x)的圖象如圖所示，可知h(x)>g(x)>f(x)．8．已知二次函數(shù)y＝f(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，49))，且方程f(x)＝0的兩個(gè)實(shí)根之差的肯定值等于7，則此二次函數(shù)的解析式是________________．答案f(x)＝－4x2－12x＋40解析設(shè)f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋49(a≠0)，方程aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋49＝0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1，x2，則|x1－x2|＝2eq\r(－\f(49,a))＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.9．已知函數(shù)f(x)＝x2－(a－1)x＋5在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上為增函數(shù)，那么f(2)的取值范圍是______．答案[7，＋∞)解析函數(shù)f(x)＝x2－(a－1)x＋5在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上為增函數(shù)，由于其圖象(拋物線)開口向上，所以其對(duì)稱軸x＝eq\f(a－1,2)或與直線x＝eq\f(1,2)重合或位于直線x＝eq\f(1,2)的左側(cè)，即應(yīng)有eq\f(a－1,2)≤eq\f(1,2)，解得a≤2，所以f(2)＝4－(a－1)×2＋5≥7，即f(2)≥7.10．已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對(duì)于隨意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))解析因?yàn)楹瘮?shù)圖象開口向上，所以依據(jù)題意只需滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＝m2＋m2－1<0，,fm＋1＝m＋12＋mm＋1－1<0，))解得－eq\f(\r(2),2)<m<0.11．已知函數(shù)(k∈Z)滿意f(2)<f(3)．(1)求k的值并求出相應(yīng)的f(x)的解析式；(2)對(duì)于(1)中得到的函數(shù)f(x)，試推斷是否存在q>0，使函數(shù)g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在區(qū)間[－1,2]上的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，\f(17,8)))？若存在，求出q的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解(1)∵f(2)<f(3)，∴－k2＋k＋2>0，解得－1<k<2.∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.當(dāng)k＝0或k＝1時(shí)，－k2＋k＋2＝2，∴f(x)＝x2.(2)假設(shè)存在q>0滿意題設(shè)，由(1)知g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．∵g(2)＝－1，∴兩個(gè)最值點(diǎn)只能在端點(diǎn)(－1，g(－1))和頂點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2q－1,2q)，\f(4q2＋1,4q)))處取得．而eq\f(4q2＋1,4q)－g(－1)＝eq\f(4q2＋1,4q)－(2－3q)＝eq\f(4q－12,4q)≥0，∴g(x)max＝eq\f(4q2＋1,4q)＝eq\f(17,8)，g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.解得q＝2.∴存在q＝2滿意題意．12．(2024·江蘇省如皋中學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，且滿意f(1－x)＝f(1＋x)．(1)求f(x)的解析式；(2)設(shè)g(x)＝xeq\r(fx)，m>0，求函數(shù)g(x)在[0，m]上的最大值．解(1)因?yàn)閳D象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，所以c＝1，因?yàn)閒(1－x)＝f(1＋x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋1.(2)因?yàn)閒(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，所以g(x)＝x|x－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x，x≥1，,x－x2，x<1.))作出函數(shù)g(x)的圖象如圖所示．當(dāng)0<m≤eq\f(1,2)時(shí)，g(x)max＝g(m)＝m－m2；當(dāng)eq\f(1,2)<m≤eq\f(1＋\r(2),2)時(shí)，g(x)max＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4)；當(dāng)m>eq\f(1＋\r(2),2)時(shí)，g(x)max＝g(m)＝m2－m，綜上，g(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－m2，0<m≤\f(1,2)，,\f(1,4)，\f(1,2)<m≤\f(1＋\r(2),2)，,m2－m，m>\f(1＋\r(2),2).))給出下面四個(gè)結(jié)論：①b2>4ac； ②2a－b＝1；③a－b＋c＝0； ④5a<b.其中正確的是_____