新人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)全冊(cè)知識(shí)梳理及練習(xí)（基礎(chǔ)版）（家教補(bǔ)習(xí)復(fù)習(xí)專用）

新人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)全冊(cè)知識(shí)梳理及練習(xí)（基礎(chǔ)版）

（家教補(bǔ)習(xí)復(fù)習(xí)專用）

科目：數(shù)學(xué)

適用版本：新人教版

適用范圍：【教師教學(xué)】

新人教版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)全冊(cè)

知識(shí)點(diǎn)及鞏固練習(xí)題

有理數(shù)的意義

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握用正負(fù)數(shù)表示實(shí)際問題中具有相反意義的量；

2.理解正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念；

3.掌握有理數(shù)的分類方法，初步建立分類討論的思想.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、正數(shù)與負(fù)數(shù)

像+3、+1.5、+1,+584等大于0的數(shù)，叫做正數(shù)：像一3、一1.6、一,、-584

22

等在正數(shù)前面加“一”號(hào)的數(shù)，叫做負(fù)數(shù).

要點(diǎn)詮釋：

(1)一個(gè)數(shù)前面的“+是這個(gè)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)，“+”常省略，但“-”不能省略.

(2)用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí)，哪種為正可任意選擇，但習(xí)慣把“前進(jìn)、上

升”等規(guī)定為正，而把“后退、下降”等規(guī)定為負(fù).

(3)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線.

要點(diǎn)二、有理數(shù)的分類

(1)按整數(shù)、

正整數(shù),正整數(shù)

分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：正有理數(shù)＜

整數(shù)，0,正分?jǐn)?shù)

有理數(shù)＜貝整數(shù)

(2)按正數(shù)、有理數(shù)＜0負(fù)數(shù)

,正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)＜〔負(fù)整數(shù)

貝分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：負(fù)有理數(shù)，

與0貝分?jǐn)?shù)

要點(diǎn)詮釋：

(1)有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù).

(2)分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)可以互化，所以有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可看作分

數(shù)，但無限不循環(huán)小數(shù)不是分?jǐn)?shù)，例如》.

(3)正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)：負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)；正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù).

【典型例題】

類型一、正數(shù)與負(fù)數(shù)

?'l.（2016?廣州）中國(guó)人很早開始使用負(fù)數(shù)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的“方

程”一章，在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù).如果收入100元記作+100元.那么-80元

表示（）

A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元

【思路點(diǎn)撥】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就

用負(fù)表示.

【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，收入100元記作+100元，

則-80表示支出80元.

故選：C.

【總結(jié)升華】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，確定一

對(duì)具有相反意義的量.

舉一反三：

【有理數(shù)的意義】

【變式1］（2015?太倉(cāng)市模擬）一種大米的質(zhì)量標(biāo)識(shí)為"（50±0.5）千克”，則下列各

袋大米中質(zhì)量不合格的是（）

A.50.0千克B.50.3千克C.49.7千克D.49.1千克

【答案】【）.

解：“50±0.5千克”表示最多為50.5千克，最少為49.5千克.

【變式2］（1）如果收入300元記作+300元，那么支出500元用—

表不，0兀表不.

（2）若購(gòu)進(jìn)50本書，用-50本表示，則盈利30元如何表示？

【答案】（1）-500元；既沒有收入也沒有支出.（2）不是一對(duì)具有相反意義的

量，不能表示.

【變式3］如果60nl表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示為

A.-20mB.-40mC.20mD.40m

【答案】B

Qz.體育課上，華英學(xué)校對(duì)九年級(jí)男生進(jìn)行了引體向上測(cè)試，以能做7個(gè)

為標(biāo)準(zhǔn)，超過的次數(shù)記為正數(shù)，不足的次數(shù)記為負(fù)數(shù)，其中8名男生的成績(jī)?nèi)?/p>

下：2.-1,0,3,-2,-3.1.0

(1)這8名男生有百分之幾達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)？

(2)他們共做了多少引體向上？

【答案與解析】(1)由題意可知：正數(shù)或0表示達(dá)標(biāo)，

而正數(shù)或0的個(gè)數(shù)共有5個(gè)，所以百分率為：1xl00%=62.5%；

O

答：這8名男生有62.5%達(dá)到標(biāo)準(zhǔn).

(2)(7+2)+(7-1；+7+(7+3)+(7-2)+(7-3)+(7+1)+7=56

(個(gè))

答：他們共做了引體向上56個(gè).

【總結(jié)升華】一定要先弄清‘基準(zhǔn)”是什么.

類型二、有理數(shù)的分類

【有理數(shù)的意義356786概念的應(yīng)用例2】

▼^3.下面說法中正確的是().

A.非負(fù)數(shù)一定是正數(shù).

B.有最小的正整數(shù)，有最小的正有理數(shù).

C.一Q一定是負(fù)數(shù).

D.正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱正有理數(shù).

【答案】D

【解析】(A)不對(duì)，因?yàn)榉秦?fù)數(shù)還包括0；(B)最小的正整數(shù)為1,但沒有最小

的正有理數(shù)；(C)不對(duì)，當(dāng)。為負(fù)數(shù)或。時(shí)，則一。為正數(shù)或0,而不是負(fù)數(shù)；

⑻對(duì)

【總結(jié)升華】一個(gè)有理數(shù)既有性質(zhì)符號(hào)，又有除性質(zhì)符號(hào)外的數(shù)值部分，兩者

合在一起才表示這個(gè)有理數(shù).

舉一反三：

【變式1】判斷題：

(1)。是自然數(shù)，也是偶數(shù)()(2)0既可以看作是正數(shù)，也可以看成

是負(fù)數(shù).()

(3)整數(shù)又叫自然數(shù).()(4)非負(fù)數(shù)就是正數(shù)，非正數(shù)就是負(fù)數(shù).

()

【答案】V,X,X,X

【變式2】下列四種說法，正確的是().

(A)所有的正數(shù)都是整數(shù)(B)不是正數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)

(C)正有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)(D)0不是最小的有理數(shù)

【答案】D

@4.請(qǐng)把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的大括號(hào)里.

1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,,023.

23

正整數(shù)集合：｛…｝,負(fù)整數(shù)集合：｛-｝,

整數(shù)集合：｛…｝,正分?jǐn)?shù)集合：｛…｝,

負(fù)分?jǐn)?shù)集合：｛…｝,分?jǐn)?shù)集合：｛…},

非負(fù)數(shù)集合:(???),非正數(shù)集合:(

【答案】正整數(shù)：1；負(fù)整數(shù)：-700；整數(shù)：1,0,-700；正分?jǐn)?shù)：0.0708,

3.14159265,0.23；

7

負(fù)分?jǐn)?shù)：-3.88,~；

分?jǐn)?shù)：0.0708,3.14159265,0.23(-3.88,--；

非負(fù)數(shù):1,0.0708,3.14159265,0,0.23；

7

非正數(shù)：-700,-3.88,0,--

正整數(shù)

正有理數(shù)

【解正分?jǐn)?shù)析】

有理數(shù)0

負(fù)有理數(shù)［負(fù)整數(shù)

【總結(jié)I負(fù)分?jǐn)?shù)升華】填數(shù)的方法有兩種：一種是逐個(gè)考

察，一一進(jìn)行填寫；二是逐個(gè)填寫相關(guān)的集合，從給出的數(shù)中找出屬于這個(gè)集

合的數(shù).此外注意幾個(gè)概念：非負(fù)數(shù)包括0和正數(shù)；非正數(shù)包括0和負(fù)數(shù).

舉一反三:

【變式】(2014秋?惠安縣期末)在有理數(shù)-］、-5、3.14中，屬于分?jǐn)?shù)的個(gè)

數(shù)共有一個(gè).

【答案】2.

類型三、探索規(guī)律

@5.某校生物教師李老師在生物實(shí)驗(yàn)室做實(shí)驗(yàn)時(shí)，將水稻種子分組進(jìn)行發(fā)

芽試驗(yàn)：第1組取3粒，第2組取5粒，第3組取7粒，第4組取9粒，….

按此規(guī)律，那么請(qǐng)你推測(cè)第n組應(yīng)該有種子是粒.

【答案】⑵+1)

【解析】第1組取3粒，第2組取5粒，第3組取7粒，第4組取9粒，…，

由此我們觀察到的粒數(shù)與組數(shù)之間有一定關(guān)系：3=2xl+l,5=2x24-1,

7=2x3+l,9=2x4+l,…，按此規(guī)律，第n組應(yīng)該有種子數(shù)（2〃+1）粒.

【總結(jié)升華】研究一列數(shù)的排列規(guī)律時(shí)，其中的數(shù)與符號(hào)往往都與序數(shù)有關(guān).

舉一反三：

【變式1】有一組數(shù)列：2,-3,2,-3,2,-3,…,根據(jù)這個(gè)規(guī)律，那么第

2010個(gè)數(shù)是：

【答案】-3

【變式2】觀察下列有規(guī)律的數(shù)：士±-1,-1,-1,…，根據(jù)其規(guī)律可知第9個(gè)數(shù)

26122030

是：

【答案喘

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.（2014?甘肅模擬）下列語(yǔ)句正確的（）個(gè)

（1）帶號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)；

（2）如果a為正數(shù)，則-a一定是負(fù)數(shù)：

（3）不存在既不是正數(shù)又不是負(fù)數(shù)的數(shù)；

（4）0C表示沒有溫度.

A.0B.1C.2D.3

2.關(guān)于數(shù)“0”，以下各種說法中，錯(cuò)識(shí)的是（）

A.0是整數(shù)B.0是偶數(shù)

C.0是正整數(shù)D.0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)

3.如果規(guī)定前進(jìn)、收入、盈利、公元后為正，那么下列各語(yǔ)句中錯(cuò)誤的是（）

A.前進(jìn)-18米的意義是后退18米

B.收入-4萬元的意義是減少4萬元

C盈利的相反意義是虧損

D.公元-300年的意義是公元后300年

4.一輛汽車從甲站出發(fā)向東行駛50千米，然后再向西行駛20千米，此時(shí)汽車的位置是

（）

A.甲站的東邊70千米處B.甲站的西邊20千米處

C.甲站的東邊30千米處D.甲站的西邊30千米處

5.在有理數(shù)中，下面說法正確的是（

A.身高增長(zhǎng)1.2CM和體重減輕1.2版是一對(duì)具有相反意義的量

B.有最大的數(shù)

C.沒有最小的數(shù)，也沒有最大的數(shù)

D.以上答案都不對(duì)

6.下列各數(shù)是正整數(shù)的是()

A.-1B.2C,0.5D.^2

二、填空題

1.(2014秋?朝陽(yáng)區(qū)期末)如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可記

作.

11

2.在數(shù)0.5,-2-,100,0,1--45,0.1中，非負(fù)數(shù)是______________；非正數(shù)

22

是?

3.把公元2008年記作+2008,那么-2008年表示.

4.既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)的有理數(shù)是.

5.(2016春?溫州校級(jí)期中)如果向東行駛10米，記作+10米，那么向西行駛20米，記

作米.

6.是整數(shù)而不是正數(shù)的有理數(shù)是.

7.既不是整數(shù)，也不是正數(shù)的有理數(shù)是.

8.一種零件的長(zhǎng)度在圖紙上是(104卷)毫米，表示這種零件的標(biāo)準(zhǔn)尺寸是毫

米，加工要求最大不超過亳米，最小不小于亳米.

三、解答題

1.說出下列語(yǔ)句的實(shí)際意義.

(1)輸出T2t(2)運(yùn)進(jìn)-5t(3)浪費(fèi)-14元(4)上升-2m(5)

向南走-7m

2.(2014秋?晉江市期末)下面兩個(gè)圈分別表示負(fù)數(shù)集和分?jǐn)?shù)集，請(qǐng)把下列6個(gè)數(shù)填入這

兩個(gè)圈中合適的位置.

-28%,-(--1),-2014,3.14,-(+5),-0.g

負(fù)數(shù)?集,分?jǐn)?shù)案

3.(2015秋?贛州校級(jí)期末)隨著人們的生活水平的提高，家用轎車越來越多地進(jìn)入普通

家庭.小明家買了一輛小轎車，他連續(xù)記錄了7天中每天行駛的路程，以50km為標(biāo)準(zhǔn)，多

于50km的記為“+”，不足50km的記為“?”，剛好50km的記為“3”，記錄數(shù)據(jù)如下

表：

時(shí)間第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

路程

*、-8-11-140-16+41+8

(km)

(1)請(qǐng)你估計(jì)小明家的小轎車一月(按30天計(jì))要行駛多少千米？

(2)若每行駛100km需用汽油8L.汽油每升7.14元,試求小明家一年(按12個(gè)月計(jì))

的汽油費(fèi)用是多少元？

4.觀察下面依次排列的一列數(shù)，它的排列有什么規(guī)律?請(qǐng)接著寫出后面的兩個(gè)

數(shù)，你能說出第2011個(gè)數(shù)是什么嗎？

(1)1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,,,???,??.

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】B

【解析】(1)帶“-”號(hào)的數(shù)不一定是負(fù)數(shù)，如-(-2),錯(cuò)誤；

(2)如果a為正數(shù)，則-a一定是負(fù)數(shù)，正確；

(3)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，故不存在既不是正數(shù)又不是負(fù)數(shù)的

數(shù)此表述錯(cuò)誤；

(4)0C。表示沒有溫度，錯(cuò)誤.

綜上，正確的有(2),共一個(gè)

2.【答案】C

【解析】。既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，但0是整數(shù)，是偶數(shù)，是自然數(shù).

3.【答案】D

【解析】D錯(cuò)誤，公元-300年的意義應(yīng)該是公元前300年.

4.【答案】C

【解析】畫個(gè)圖形有利于問題分析，向東50千米然后再向西20千米后顯然

此時(shí)汽車在甲站的東邊30千米處.

5.【答案】C

【解析】A錯(cuò)誤，因?yàn)樯砀吲c體重不是具有相反意義的量；B錯(cuò)誤，沒有最大

的數(shù)也沒有最小數(shù)；C對(duì).

6.【答案】B

二、填空題

1.【答案】?5米

2.【答案】0.5,100,0,J01.-21,0,-45

22

【解析】正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).

3.【答案】公元前2008年

【解析】正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量.

4.【答案】0

【解析】既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的數(shù)只有零.

5.【答案】-20.

【解析】解：???向東行駛10米，記作+10米,

，向西行駛20米,記作-20米，

故答案為：-20.

6.【答案】負(fù)整數(shù)和0

【解析】整數(shù)包括正整數(shù)和負(fù)整數(shù)，又因?yàn)椴皇钦龜?shù)，所以只能是負(fù)整數(shù)和0.

7.【答案】負(fù)分?jǐn)?shù)

【解析】不是整數(shù)，則只能是分?jǐn)?shù)，又不是正數(shù)，所以只能是負(fù)分?jǐn)?shù).

8.【答案】10,10.03,9.98

【解析】10二嚷表示的數(shù)的范圍為：大于（10?0.02）,而小于（10+0.03）,即大于

9.98而小于10.03.

三、解答題

1.【解析】⑴輸出-12t表示輸入12t；

(2)運(yùn)進(jìn)5t表示運(yùn)出5t;

(3)浪費(fèi)T4元表示節(jié)約14元；

(4)上升-2m表示下降2m；

(5)向南走-7用表示向北走7m.

提示：“一”表示相反意義的量.

2?【解析】

負(fù)數(shù)集分?jǐn)?shù)集

3?【解析】

解⑴50X7-8-11-14-16+41+8_

7

50X30=1500(km).

答：小明家的小轎車一月要行駛1500千米；

(2)1^22,X8X7.14X12=10281.6(元)，

100

答：小明家一年的汽油費(fèi)用是10281.6元.

4.【解析】⑴9,-10,…，2011,…

數(shù)軸與相反數(shù)(基礎(chǔ))

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解數(shù)軸的概念及三要素；

2.理解有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的關(guān)系，并會(huì)借助數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大小;

3.會(huì)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，并能借助數(shù)軸理解相反數(shù)的概念及幾何意義;

4.掌握多重符號(hào)的化簡(jiǎn).

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、數(shù)軸

1.定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.

要點(diǎn)詮釋：

(1)原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的二要素，二者缺一不口J.

(2)長(zhǎng)度單位與單位長(zhǎng)度是不同的，單位長(zhǎng)度是根據(jù)需要選取的代表“1”的線段，而長(zhǎng)

度單位是為度量線段的長(zhǎng)度而制定的單位.有km、m、dm、cm等.

(3)原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度可以根據(jù)實(shí)際靈活選定，但一經(jīng)選定就不能改動(dòng).

2.數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系：任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都

表示有理數(shù)，還可以表示其他數(shù)，比如乃.

要點(diǎn)詮釋：

(1)一般地，數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示正數(shù)，左邊的點(diǎn)表示負(fù)數(shù)；反過來也對(duì)，即正數(shù)用

數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)數(shù)用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，零用原點(diǎn)表示.

(2)在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

要點(diǎn)二、相反數(shù)

1.定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；0的相反數(shù)是0.

要點(diǎn)詮釋：

(1)“只”字是說僅僅是符號(hào)不同，其它部分完全相同.

(2)“0的相反數(shù)是0”是用反數(shù)定義的一部分，不能漏掉.

(3)相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能說是相反數(shù).

(4)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上號(hào)即可.

2.性質(zhì):

(1)互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩旁，且與原點(diǎn)的距離相等(這

兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).

(2)互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0.

要點(diǎn)三、多重符號(hào)的化簡(jiǎn)

多重符號(hào)的化簡(jiǎn)，由數(shù)字前面“-”號(hào)的個(gè)數(shù)來確定，若有偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為正，

如一{-卜(一4)]}=4；若有奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù),如-{+[-(-4)]}=-4.

要點(diǎn)詮釋：

(1)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“+”，仍然與原數(shù)相同，如+5=5,+(-5)=-5.

(2)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“一”，就成為原數(shù)的相反數(shù).如一(一3)就是一3的相

反數(shù)，因此，一(-3)=3.

【典型例題】

類型一、數(shù)軸的概念

C1.如圖所示是幾位同學(xué)所畫的數(shù)軸，其中正確的是()

-2-1012-3-2-10123T-2012一0

(1)(2)(3)(4)

A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.只有(2)D.⑴⑵⑶⑷

【答案】C

【解析】對(duì)數(shù)軸的三要素掌握不清.(1)中忽略了單位長(zhǎng)度，相鄰兩整點(diǎn)之間的距離不一

致；(3)中負(fù)有理數(shù)的標(biāo)記有錯(cuò)誤；(4)圖中漏畫了表示方向的箭頭.

【總結(jié)升華】數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、

正方向、單位長(zhǎng)度缺一不可.

類型二、相反數(shù)的概念

^^2.(2015.宜賓).』的相反數(shù)是(

)

5

A.5B.1C.-1D.-5

55

【思路點(diǎn)撥】解決這類問題的關(guān)鍵是抓住互為相反數(shù)的特征“只有符號(hào)不同”，所以只要

將原數(shù)的符號(hào)變?yōu)橄喾吹姆?hào)，艮]可求出其相反數(shù).

【答案】B

【總結(jié)升華】求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只改變這個(gè)數(shù)的符號(hào)，其他部分都不變.

舉一反三：

【數(shù)軸和相反數(shù)例1(1)~(7)]

【變式1】填空：

(1)-(-2.5)的相反數(shù)是；⑵—是TOO的相反數(shù)；(3)-5：是

的相反數(shù)；

(4)的相反數(shù)是-1.1；(5)8.2和互為相反數(shù).(6)a和互為相

反數(shù).

(7)的相反數(shù)比它本身大，的相反數(shù)等于它本身.

【答案】(1)-2.5；(2)100：(3)5-;(4)1.1；(5)-8.2；(6)-a；(7)負(fù)

5

數(shù)，0.

【數(shù)軸和相反數(shù)例2】

【變式2】下列說法中正確的有()

①一3和+3互為相反數(shù)；②符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；③互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)必

定一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)；④乃的相反數(shù)是一3.14；⑤一個(gè)數(shù)和它的相反數(shù)不可能相

等.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)或更多

【答案】B

C3.(2016?泰安模擬)如圖，數(shù)軸上有A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)，其中表示2的相反數(shù)的

點(diǎn)是()

ABCD

-----；?------—a—ft—?--------------1------->

-4-3-2-10123456

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)D

【思路點(diǎn)撥】考查相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).根據(jù)定義，結(jié)合數(shù)

軸進(jìn)行分析.

【答案】A

【解析】解：???表示2的相反數(shù)的點(diǎn)，到原點(diǎn)的距離與2這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，并且與

2分別位于原點(diǎn)的左右兩側(cè)，

，在A,B,C,D這四個(gè)點(diǎn)中滿足以上條件的是A.

故選A.

【總結(jié)升華】本題考查了互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置特點(diǎn)：分別位于原點(diǎn)的左右

兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等.

類型三、多重符號(hào)的化簡(jiǎn)

4.化簡(jiǎn)下列各數(shù)中的符號(hào).

(1)-f-2-l(2)-(+5)(3)-(-0.25)(4)+1-1

I3jI2)

(5)](6)_(_a)

(\\1

【答案】(1)——2—=2—(2)-(+5)=-5(3)-(-0.25)=0.25

I3J3

(1A1

(4)+——=——(5)-[-(+1)]=~(-1)=1(6)-(-a)=a

I2)2

【解析】

⑴-1-2號(hào)表示一2』的相反數(shù)，而一21的相反數(shù)是2L所以J-2g=2:；

13yl33313yl3

(2)-(+5)表示+5的相反數(shù)，即-5,所以-(+5)=-5；

(3)-(-0.25)表示-0.25的相反數(shù)，而-0.25的相反數(shù)是0.25,所以-(-0.25)=0.25：

1

(4)負(fù)數(shù)前面的“+”號(hào)可以省略，所以+--=一一；

I2)2

(5)先看中括號(hào)內(nèi)-(+1)表示1的相反數(shù),即T,因此-卜(+1)]=-(-1)而-(-1)表示-1的

相反數(shù),即1,所以-b(+D]=TT)=l:(6)-(-a)表示-a的相反數(shù)，即a.

所以-(-a)=a

【總結(jié)升華】運(yùn)用多重符號(hào)化簡(jiǎn)的規(guī)律解決這類問題較為簡(jiǎn)單.即數(shù)一下數(shù)字前面有多少

個(gè)負(fù)號(hào).若有偶數(shù)個(gè)，則結(jié)果為正；若有奇數(shù)個(gè)，則結(jié)果為負(fù).

類型四、利用數(shù)軸比較大小

GA.在數(shù)軸上表示2.5,0,-1,-2.5,11,3有理數(shù)，并用“V”把它連接起

44

來.

【答案與解析】如圖所示，點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G分別表示有理數(shù)2.5,0.

-3巳-1,-2.5,13.

44

￡DCBFAG

-4-3-2-101234

由上圖可得：

31

/.-2.5<-1<--<0<1-<2,5<3

44

【總結(jié)升華】根據(jù)數(shù)軸的三要素先畫好數(shù)軸，表示數(shù)的字母要依次對(duì)應(yīng)有理數(shù)，然后根據(jù)

在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，比較大小.

舉一反三：

【變式1】有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列各式不成立的是()

---------------------1---------------1~?---------------------->

a0b

A.b-a>0B.-b<0C.-a>-bD.-ab<0

【答案】D

【數(shù)軸和相反數(shù)例4(2)]

【變式2】填空：

大于-39且小于79的整數(shù)有_____個(gè)；比3?小的非負(fù)整數(shù)是____________.

775—

【答案】11；0,1,2,3

類型五、數(shù)軸與相反數(shù)的綜合應(yīng)用(數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用)

▼6.已知數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B分別表示互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)a,biaVb）并且A、B兩點(diǎn)

間的距離是4,，求a、b兩數(shù).

4

【思路點(diǎn)撥】因?yàn)閍、b兩數(shù)互為相反數(shù)（aVb）,所以表示a,b的兩點(diǎn)A、B離原點(diǎn)的距離

相等，而A、B兩點(diǎn)間的距離是41,所以A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是4』+2=21.

448

【答案與解析】

解：由題意A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都是：4!+2=2：而a<b,所以。=一2L

488

b=2-.

【總結(jié)升華】（1）理解相反數(shù)的幾何意義.（2）從相反數(shù)的意義入手，明確互為

相反數(shù)的兩數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

舉一反三：

【變式】填空：（1）數(shù)軸上離原點(diǎn)5個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)是；（2）從數(shù)軸

上觀察，-3與3之間的整數(shù)有個(gè).

【答案】（1）±5,提示：要注意兩種情況，原點(diǎn)左右各一個(gè)點(diǎn)；（2）5,提示：畫出數(shù)

軸，容易看出-3和3之間的整數(shù)是-2,-1,0,1,2共5個(gè).

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.（2015?江陰市模擬）-5的相反數(shù)是（）

A.5B.-5C.±5D.

5

2.下列說法正確的是（）

A.數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)可以表示兩個(gè)不同的有理數(shù)

B,數(shù)軸上的兩個(gè)不同的點(diǎn)表示同一個(gè)有理數(shù)

C.有的有理數(shù)不能在數(shù)軸上表示出來

D.任何一個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到與它對(duì)應(yīng)的唯一點(diǎn)

3.（2016?呼和浩特）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為（）

A.0B.-1C.1D.2

4.如圖，有理數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如下，則有（）.

a0b

(A)a>0>b(B)a>b>0(C)a<0<b(D)a<b<0

5.一個(gè)數(shù)比它的相反數(shù)小，這個(gè)數(shù)是()

A.正數(shù)B,負(fù)數(shù)C.非正數(shù)D.非負(fù)數(shù)

6.如果。+6=0,那么a,6兩個(gè)數(shù)一定是()

A.都等于0B.一正一負(fù)C.互為相反數(shù)D.互為倒數(shù)

二、填空題

1.的兩個(gè)數(shù)，叫做互為相反數(shù)；零的相反數(shù)是______.

2.(2015春?岳池縣期中)若3a-4b與7a-6b互為相反數(shù)，則a與b的關(guān)系

為.

3.(2016?岳陽(yáng))如圖所示，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)的相反數(shù)是.

4.數(shù)軸上離原點(diǎn)5個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)有個(gè)，它們表示的數(shù)是，它們之間的關(guān)

系是.

5.化簡(jiǎn)下列各數(shù)：

(/4、

(D---=________；⑵一+-=________；(3)-什[一(+3)]}=________.

、3)\5,

【數(shù)軸和相反數(shù)例4(5)】

6.已知一IVaVOVIVb,請(qǐng)按從小到大的順序排列-1,—a,0,1,—b為.

三、解答題

1.小敏的家、學(xué)校、郵局、圖書館坐落在一條東西走向的大街上，依次記為A、B、C、

D,學(xué)校位于小敏家西150米，郵局位于小敏家東100米，圖書館位于小敏家西400米.

(1)用數(shù)軸表示A、B、C、D的位置(建議以小敏家為原點(diǎn)).

(2)一天小敏從家里先去郵局寄信后.以每分鐘50米的速度往圖書館方向走了約8分

鐘.試問這時(shí)小敏約在什么位置?距圖書館和學(xué)校各約多少米？

2.已知：a是-(-5)的相反數(shù)，b比最小的正整數(shù)大4,c是最大的負(fù)整數(shù).計(jì)算:

3a+3b+c的值是多少？

3.化簡(jiǎn)下列各數(shù),再用“<”連接.

(1)-(-54)(2)-(+3.6)⑶一(+：)

4.已知3m-2與-7互為相反數(shù)，求m的值.

【答案與解析】

一、選擇題

L【答案】A

2.【答案】D

【解析】A、B、C都錯(cuò)誤，因?yàn)樗械挠欣頂?shù)都能在數(shù)軸上表示出來，但數(shù)軸上的點(diǎn)不

都表示有理數(shù)；一個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上只有一個(gè)表示它的點(diǎn).數(shù)軸上表示有理數(shù)

的點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)有理數(shù).

3.【答案】A

【解析】解：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0.

故選：A.

4.【答案】C

5.【答案】B

【解析】因?yàn)橐粋€(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)小于正數(shù)，所以選B

6.【答案】C

【解析】若〃+力=0，則。力一定互為相反數(shù)：反之，若互為相反數(shù)，則

a+b=0.

二、填空題

1.【答案】只有符號(hào)不同，零

【解析】相反數(shù)的定義

2.【答案】a二b.

【解析】?「3a-4b與7a-6b互為相反數(shù)，/.3a-4b+7a-6b=0,二.a=b.

3.【答案】2.

【解析】解：數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是-2,-2的相反數(shù)是2,

故答案為：2.

4.【答案】?jī)蓚€(gè)，±5,互為相反數(shù)

24

5.【答案】一；—；3

35

【解析】多重符號(hào)的化簡(jiǎn)是由“-”的個(gè)數(shù)來定，若“-”個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為

正，；若“一”個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù).

6.【答案】-b<-1<0<-a<1.

三、解答題

1.［解析］r---------匚［I

(1)如圖所示西，：?，I，。?，―東

-400-150050100單位：米

(2)小敏從郵局出發(fā)，以每分鐘50米的速度往圖書館方向走了約8分鐘，其路程為50X

8=400(米)，由上圖知，此時(shí)小敏位于家西300米處，所以小敏在學(xué)校與圖書館之間，且

距圖書館100米,距學(xué)校150米.

2.【解析】二飛是-(-5)的柞反數(shù),

a=-5,

?；b比最小的正整數(shù)大4,

.*.b=1+4=5,

Ye是最大的負(fù)整數(shù)，

:.c=-1,

:.3a+3b+c=3X(-5)+3X5-1,

=-15+15-1,

=-1.

3.【解析】

(1)-(-54)=54

(2)-(+3.6)=-3.6

55

3

2

將化簡(jiǎn)后的數(shù)表示在數(shù)軸上，由圖可得：-(+3.6)<-<-(-54).

4.【解析】依題意：3m-2=7,故m=3.

絕對(duì)值(基礎(chǔ))

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的求法和性質(zhì)；

2.進(jìn)一步學(xué)習(xí)使用數(shù)軸，借助數(shù)軸理解絕對(duì)值的幾何意義；

3.會(huì)求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，并會(huì)用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的大小；

4.理解并會(huì)熟練運(yùn)用絕對(duì)值的非負(fù)性進(jìn)行解題.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、絕對(duì)值

L定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|.

要點(diǎn)詮釋：

(1)絕對(duì)值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它

的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.即對(duì)于任何有理數(shù)a都有：

>(a>0)

a|=<0(a=0)

*-a(a<0)

(2)絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,

離原點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，絕對(duì)值越大；離原點(diǎn)的距離越近，絕對(duì)值越小.

(3)一個(gè)有理數(shù)是由符號(hào)和絕對(duì)值兩個(gè)方面來確定的.

2.性質(zhì)：絕對(duì)值具有非負(fù)性，即任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值總是正數(shù)或0.

要點(diǎn)二、有理數(shù)的大小比較

1.數(shù)軸法：在數(shù)軸上表示出這兩個(gè)有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右I

a

邊的數(shù)小.如：a與b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a<b.

2.法則比較法：

兩個(gè)數(shù)比較大小，按數(shù)的性質(zhì)符號(hào)分類，情況如下：

同為正號(hào)：絕對(duì)值大的數(shù)大

兩數(shù)同號(hào)

同為負(fù)號(hào)：絕對(duì)值大的反而小

兩數(shù)異號(hào)正數(shù)大于負(fù)數(shù)

正數(shù)與0:正數(shù)大于0

-數(shù)為0

負(fù)數(shù)與0：負(fù)數(shù)小于0

要點(diǎn)詮釋：

利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小的步驟：(1)分別計(jì)算兩數(shù)的絕對(duì)值；

(2)比較絕對(duì)值的大?。?3)判定兩數(shù)的大小.

3.作差法：設(shè)a、b為任意數(shù)，若a-b〉0,則a>b；若a-b=0,則a=b；若

a-b<0,avb；反之成立.

4.求商法：設(shè)a、b為任意正數(shù)，若則若則。=力；若

bb

則。<b；反之也成立.若a、b為任意負(fù)數(shù)，則與上述結(jié)論相反.

b

5.倒數(shù)比較法：如果兩個(gè)數(shù)都大于0,那么倒數(shù)大的反而小.

【典型例題】

類型一、絕對(duì)值的概念

◎1.求下列各數(shù)的絕對(duì)值.

-1-,-0.3,0,-f-3-1

2I2）

【思路點(diǎn)撥】1g，一0?3,0,-1-3；）在數(shù)軸上位置距原點(diǎn)有多少個(gè)單位長(zhǎng)

度，這個(gè)數(shù)字就是各數(shù)的絕對(duì)值.還可以用絕對(duì)值法則來求解.

【答案與解析】

解法一因?yàn)槟榈皆c(diǎn)距離是e個(gè)單位長(zhǎng)度，所以-11=11.

因?yàn)?0.3到原點(diǎn)距離是0.3個(gè)單位長(zhǎng)度，所以-0.3|=0.3

因?yàn)?到原點(diǎn)距離為0個(gè)單位長(zhǎng)度，所以|0|二0.

因?yàn)?一3g］到原點(diǎn)的距離是3,個(gè)單位長(zhǎng)度，所以/-31=31.

I2；2{2）2

解法二：因?yàn)橐回巍?,所以1號(hào)=1］

22<2J2

因?yàn)橐?.3<0,所以-0.3|=-（-0.3）=0.3.

因?yàn)?的絕對(duì)值是它本身，所以1。1二0.

因?yàn)椤èD3；）>0,所以］一3'=3g.

【總結(jié)升華】求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值有兩種方法：一種是利用絕對(duì)值的幾何意義求

解（如方法D,一種是利用絕對(duì)值的代數(shù)意義求解（如方法2）,后種方法的具體

做法：首先判斷這個(gè)數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0.再根據(jù)絕對(duì)值的意義，確定去掉

絕對(duì)值符號(hào)的結(jié)果是它本身，是它的相反數(shù)，還是0.從而求出該數(shù)的絕對(duì)

值.

C%.（2015?畢節(jié)市）下列說法正確的是（）

A.一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定比。大

B.一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一定比它本身小

C.絕對(duì)值等于它本身的數(shù)一定是正數(shù)

D.最小的正整數(shù)是1

【答案】D.

【解析】A、一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定比。大，有可能等于0,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一定比它本身小，負(fù)數(shù)的相反數(shù)，比它本身大，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、絕對(duì)值等于它本身的數(shù)一定是正數(shù)，0的絕對(duì)值也等于其本身，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、最小的正整數(shù)是1,正確.

【總結(jié)升華】此題主要考查了絕對(duì)值以及有理數(shù)和相反數(shù)的定義，正確掌握它們的區(qū)別是

解題關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1]求絕對(duì)值不大于3的所有整數(shù).

【答案】絕對(duì)值不大于3的所有整數(shù)有-3、-2、-1、0、1、2、3.

【變式2](2015?鎮(zhèn)江)已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是4,則這個(gè)數(shù)是.

【答案】±4.

【變式3】數(shù)軸上的點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是6,則點(diǎn)A表示的數(shù)為.

【答案】6或-6

類型二、比較大小

C3.(2016春?上海校級(jí)月考)比較大小：|-衛(wèi)|_______-(-1.8)(填

4

“>”、"V”或“二”).

【思路點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)，再比較大小，即可解答.

【答案】<.

【解析】解：I-1-1|=1^1.75,-(-1.8)=1.8,

44

V1.75<1,8,

???|-1S|V-(-1.8)，

4

故答案為：V.

【總結(jié)升華】本題考查了有理數(shù)大小比較，解決本題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的化簡(jiǎn)以及多重

復(fù)號(hào)的化簡(jiǎn)方法.

舉一反三:

【絕對(duì)值比大小356845典型例題2】

【變式1】比大小：

-3--3-；-1-3.21_____-(+3.2);0.0001______-1000；

67

-1.38-1.384；-71-3.14.

【答案】>；=；>；>；<

【變式2】下列各數(shù)中，比-1小的數(shù)是()

A.0B.1C.-2D.2

【答案】C

【變式3】數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則a,-a,7的大小關(guān)系是

().

111ftI

。-10.

A.-a<a<-1B.-1<-a<a

C.a<-1<-aD.a<_a<-1

【答案】C

類型三、絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用

Cd.已知|2-m|+|n-3|=0,試求nr2n的值.

【思路點(diǎn)撥】由|a|N0即絕對(duì)值的非負(fù)性可知，|2-m|20,|n-3|20,

而它們的和為0.所以|2-m|=0,|n-3|=0.因此，2-m=0tn-3=0,所以m

=2,n=3.

【答案與解析】因?yàn)閨2-m|+|『3|=0

且|2-m|N0,|n-31>0

所以2-m|=0,|n-3|=0

BP2-m=0,n-3=0

所以m=2,n=3

故m-2n=2-2x3=-4.

【總結(jié)升華】若幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和為0,則每個(gè)數(shù)都等于0,即|4|+必|+???

十|m|=0時(shí)，貝IJa=b二…二m=0.

類型四、絕對(duì)值的實(shí)際應(yīng)用

C5.正式足球比賽對(duì)所用足球的質(zhì)量有嚴(yán)格的規(guī)定，下面是6個(gè)足球的質(zhì)

量檢測(cè)結(jié)果，用正數(shù)記超過規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)，用負(fù)數(shù)記不足規(guī)定質(zhì)量的克

數(shù).檢測(cè)結(jié)果（單位：克）：-25,+10,-20,+30,+15,-40.裁判員應(yīng)該選擇

哪個(gè)足球用于這場(chǎng)比賽呢?請(qǐng)說明理由.

【答案】因?yàn)閨+10|<|+15|〈卜20|25|<|+30|<|-40|,所

以檢測(cè)結(jié)果為+10的足球的質(zhì)量好一些.所以裁判員應(yīng)該選第二個(gè)足球用于這

場(chǎng)比賽.

【解析】根據(jù)實(shí)際問題可知，哪個(gè)足球的質(zhì)量偏離規(guī)定質(zhì)量越小，則足球的質(zhì)

量越好.這個(gè)偏差可以用絕對(duì)值表示