專題07 《共點(diǎn)力的平衡》壓軸培優(yōu)題型訓(xùn)練【八大題型】（解析版）-2024-2025學(xué)年高中物理《壓軸挑戰(zhàn)》培優(yōu)專題訓(xùn)練（人教版2019必修第一冊(cè)）

專題07《\o"5.共點(diǎn)力的平衡"共點(diǎn)力的平衡》壓軸培優(yōu)題型訓(xùn)練【八大題型】一．共點(diǎn)力的平衡問題及求解（共22小題）二．利用平衡推論求解受力問題（共3小題）三．解析法求共點(diǎn)力的平衡（共6小題）四．圖解法解決動(dòng)態(tài)平衡問題（共3小題）五．相似三角形法解決動(dòng)態(tài)平衡問題（共2小題）六．輔助圓法解決動(dòng)態(tài)平衡問題（共3小題）七．自鎖問題（共3小題）八．力矩的平衡條件（共4小題）一．共點(diǎn)力的平衡問題及求解（共22小題）1．如圖所示，粗糙的水平地面上放置一物塊，物塊左邊受到彈簧的斜向上且與水平面成θ角的拉力作用，右側(cè)受到水平向右的拉力F作用，物塊處于靜止?fàn)顟B(tài)。若將水平向右的拉力大小變?yōu)镕+ΔF，物塊仍保持靜止，則下列說法正確的是（）A．彈簧的彈力一定變大 B．物塊受到地面的摩擦力的大小可能不變 C．地面對(duì)物塊的支持力可能變大 D．彈簧彈力和地面對(duì)物塊的支持力以及拉力F的合力一定變大【答案】B【解答】解：A、因?yàn)槔ψ優(yōu)镕+ΔF時(shí)，物塊仍處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以彈簧的伸長量不變，則彈簧的彈力不變，故A錯(cuò)誤；B、如果靜摩擦力方向向右，對(duì)物塊受力分析如圖：小物塊在水平方向上：F+f＝F彈cosθ，即：f＝F彈cosθ﹣F，隨著F的增大f逐漸減小為零，F(xiàn)再增大后摩擦力將反向增大，這時(shí)靜摩擦力方向向左，大小可以增大到和初始摩擦力大小相等，故B正確；C、在豎直方向上：mg＝F彈sinθ+FN；可見地面的支持力FN與拉力F無關(guān)，F(xiàn)彈不變化，支持力保持不變，故C錯(cuò)誤；D、彈簧彈力和地面對(duì)物體的支持力以及拉力F的合力，這三個(gè)力的合力與地面給物塊的靜摩擦力和物塊的重力的合力相平衡，由B可知摩擦力大小可能不變，故摩擦力和重力的合力大小可能不變，彈簧彈力和地面對(duì)物塊的支持力以及拉力F的合力大小可能不變，故D錯(cuò)誤。故選：B。2．輕細(xì)繩兩端分別系上質(zhì)量為m1和m2的兩小球A和B，A在P處時(shí)兩球都靜止，如圖所示，O為球心，∠COP＝60°，碗對(duì)A的支持力為N，繩對(duì)A的拉力為T，則（）A．N＞T B．N＜T C．N＝m1g D．m1＝m2【答案】D【解答】解：m2球保持靜止?fàn)顟B(tài)，對(duì)其受力分析，受重力和拉力，二力平衡，故：繩子上的彈力：T＝m2g…①對(duì)m1球受力分析，如圖：根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件：x方向：Tcos60°﹣Ncos60°＝0…②得：N＝m2g；y方向：Tsin60°+Nsin60°﹣m1g＝0…③由①②③代入數(shù)據(jù)解得：＝A、B、由于T＝m2g，N＝m2g，故N＝T，故AB錯(cuò)誤；C、由于N＝m2g，＝，故N＝m1g，故C錯(cuò)誤；D、由于＝，故m1＝m2，故D正確；故選：D。3．質(zhì)量為的小球置于傾角為30°的光滑固定斜面上，勁度系數(shù)為k＝200N/m的輕彈簧一端系在小球上，另一端固定在豎直墻上的P點(diǎn)，小球靜止于斜面上，彈簧軸線與豎直方向的夾角為30°，如圖所示。取g＝10m/s2。則（）A．彈簧對(duì)小球的拉力大小為 B．小球?qū)π泵娴膲毫Φ拇笮?0N C．彈簧的伸長量為10cm D．彈簧被剪斷的瞬間，小球受到的支持力不變【答案】C【解答】解：小球靜止于斜面上，設(shè)小球受的彈簧拉力為T，設(shè)斜面對(duì)小球的支持力為FN，設(shè)彈簧的伸長量為x，對(duì)小球受力分析如圖，則：FNsin30°＝Tsin30°FNcos30°+Tcos30°＝mgT＝kx聯(lián)立解得：FN＝T＝20N、x＝0.1m＝10cmA、小球受的彈簧拉力為T＝20N．故A錯(cuò)誤。B、斜面對(duì)小球的支持力為FN＝20N，據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)π泵娴膲毫Φ拇笮?0N．故B錯(cuò)誤。C、彈簧的伸長量x＝0.1m＝10cm，故C正確。D、彈簧被剪斷的瞬間，小球受重力、斜面對(duì)小球的支持力，有F'N＝mgcos30°，解得：F'N＝10N．支持力發(fā)生變化，故D錯(cuò)誤。故選：C。4．如圖所示，小圓環(huán)A系著一個(gè)質(zhì)量為m2的物塊并套在另一個(gè)豎直放置的大圓環(huán)上，有一細(xì)線一端拴在小圓環(huán)A上，另一端跨過固定在大圓環(huán)最高點(diǎn)B的一個(gè)小滑輪后吊著一個(gè)質(zhì)量為m1的物塊。如果小圓環(huán)、滑輪、繩子的大小和質(zhì)量以及相互之間的摩擦都可以忽略不計(jì)，繩子又不可伸長，若平衡時(shí)弦AB所對(duì)應(yīng)的圓心角為α，則兩物塊的質(zhì)量比m1：m2應(yīng)為（）A．cos B． C． D．【答案】C【解答】解：如圖對(duì)小環(huán)進(jìn)行受力分析，如圖所示，小環(huán)受上面繩子的拉力m1g，下面繩子的拉力m2g，以及圓環(huán)對(duì)它沿著OA向外的支持力，將兩個(gè)繩子的拉力進(jìn)行正交分解，它們?cè)谇芯€方向的分力應(yīng)該相等：m1gsin＝m2gcos（α﹣90）即：m1cos＝m2sinαm1cos＝2m2sincos得：m1：m2＝2sin故選：C。5．（多選）如圖所示，長度相同的光滑圓柱體甲、乙質(zhì)量分別為m1、m2，半徑分別為r1、r2，甲放在兩豎直墻壁之間，甲、乙均處于靜止?fàn)顟B(tài)．已知兩墻壁的距離剛好等于甲的直徑，且r1＝4r2，重力加速度為g，則下列說法正確的是（）A．甲對(duì)左側(cè)墻壁的壓力為零 B．乙對(duì)左側(cè)墻壁的壓力為零 C．甲對(duì)地面的壓力為m2g D．甲對(duì)右側(cè)墻壁的壓力為【答案】AD【解答】解：A、對(duì)甲受力分析，甲一定受到乙給的指向右下過圓心的作用力，則水平方向甲一定有向右的分力，當(dāng)右側(cè)墻壁對(duì)甲的作用力等于該分力時(shí)，恰好左側(cè)墻壁對(duì)甲沒有作用力，故A正確；B、對(duì)于乙，若撤去左側(cè)接觸部分墻壁，乙無法保持靜止，說明左側(cè)墻壁對(duì)乙有彈力，故B錯(cuò)誤；C、對(duì)甲、乙整體進(jìn)行受力分析如圖（2）所示，可知甲對(duì)地面的壓力F＝（m1+m2）g，故C錯(cuò)誤；D、對(duì)乙進(jìn)行受力分析，其受力如圖（1）所示，則有FN＝m1gtanθ，由幾何關(guān)系知，由圖（2）可知m1g，故D正確。故選：AD。6．（多選）如圖所示，傾角為α＝30°的粗糙斜劈放置在水平面上，連接物體a、c的輕質(zhì)細(xì)線繞過兩個(gè)光滑小滑輪，其中a和滑輪1間的細(xì)線平行于斜面，滑輪1固定在斜劈上，滑輪2下吊物體b，c穿在水平橫桿上，系統(tǒng)靜止。物體a受到斜劈的摩擦力大小為Ff1，c受到橫桿的摩擦力大小為Ff2，a，b，c三物體的質(zhì)量均為m，a與斜面c與橫桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝，β＝60°，若將c向右緩慢移動(dòng)，a物體仍處于靜止?fàn)顟B(tài)，則在該過程中，以下說法正確的是（）A．Ff1和Ff2，都將變大 B．Ff1由沿斜面向上改為沿斜面向下，F(xiàn)f2始終沿橫桿向右 C．圖中的β≤120° D．斜劈受到地面的摩擦力和橫桿受到物體c的摩擦力都變大【答案】ACD【解答】解：1．以滑輪2為研究的對(duì)象，受力如圖1：若將c向右移動(dòng)少許，兩個(gè)繩子之間的夾角β增大。由于b對(duì)滑輪的拉力不變，兩個(gè)繩子之間的夾角變大，所以看到繩子的拉力F一定變大。2．斜面的傾角為α，設(shè)物體a的質(zhì)量為m，以a為研究的對(duì)象。初狀態(tài)：a的重力沿斜面向下的分力為mgsinα＝0.5mg，繩子拉力大小為F，則有：2Fcos30°＝mg，解得：F＝＞0.5mg，所以開始a受到的摩擦力方向沿斜面向下；當(dāng)F逐漸增大時(shí)，F(xiàn)f1也逐漸增大；3．以c為研究的對(duì)象，受力如圖2則沿水平方向：Fsin﹣Ff2＝0。由于將c向右移動(dòng)少許，細(xì)線的拉力將變大，β增大，所以Ff2＝Fsin一定增大。4．以物體a與斜劈組成的整體為研究的對(duì)象，整體受到重力、地面的支持力、繩子對(duì)a的拉力、兩根繩子對(duì)滑輪1的向下的壓力以及地面的摩擦力的作用，其中是水平方向上系統(tǒng)受到的摩擦力與a受到的繩子在水平方向的分力是相等的，即：f′＝Fsin。由于將c向右移動(dòng)少許，細(xì)線對(duì)a的拉力F變大，所以地面對(duì)斜劈的摩擦力增大。5．以b為研究對(duì)象，繩子拉力F＝；當(dāng)c打滑時(shí)，以c為研究對(duì)象，水平方向根據(jù)平衡條件可得：Fsin＝μ?（mg+Fcos），解得：β＝120°；當(dāng)a打滑時(shí)，F(xiàn)＝mgsinα+μmgcosα，解得β＝120°，所以圖中的β≤120°綜上所述，可知B錯(cuò)誤，ACD正確。故選：ACD。7．（多選）一名雜技演員在兩幢高10m的樓之間表演“高空走鋼絲”。當(dāng)他緩慢經(jīng)過鋼絲的中點(diǎn)時(shí)，鋼絲與水平方向的夾角為10°，已知演員及橫桿的總質(zhì)量為60kg，鋼絲重量不計(jì)。重力加速度為10m/s2，sin10°＝0.17，下列說法正確的有（）A．演員經(jīng)過解絲中點(diǎn)時(shí)，鋼絲上的力約為3530N B．演員經(jīng)過鋼絲中點(diǎn)時(shí)，鋼絲上的張力約為1765N C．演員經(jīng)過中點(diǎn)后又向右走了幾步停下來，此時(shí)鋼絲對(duì)演員的作用力方向朝左上方 D．如果更換一根更長的鋼絲表演，演員經(jīng)過鋼絲中點(diǎn)時(shí)，鋼絲繩上的張力會(huì)減小【答案】BD【解答】解：AB、以腳與繩子的接觸點(diǎn)為研究對(duì)象，分析受力情況，作出力圖，根據(jù)平衡條件：2Fsinθ＝mg得：F＝＝N≈1765N，故A錯(cuò)誤，B正確；C、演員經(jīng)過中點(diǎn)后又向右走了幾步停下來，此時(shí)鋼絲對(duì)演員的作用力方向仍朝豎直向上，與自身重力平衡，故C錯(cuò)誤；D、演更換一根更長的鋼絲表演，演員經(jīng)過鋼絲中點(diǎn)時(shí)，導(dǎo)致兩繩子的夾角減小，因兩繩子的合力不變，依據(jù)力的平行四邊形定則，則鋼絲繩上的張力會(huì)減小，故D正確。故選：BD。8．（多選）將一個(gè)半球體置于水平地面上，半球的中央有一光滑小孔，上端有一光滑的小滑輪，柔軟光滑的輕繩繞過滑輪，兩端分別系有質(zhì)量為m1、m2的物體（兩物體均可看成質(zhì)點(diǎn)，m2懸于空中）時(shí)，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示。已知此時(shí)m1與半球的球心O的連線與水平線成53°角（sin53°＝0.8，cos53°＝0.6），m1與半球面的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，并假設(shè)m1所受到的最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力。則在整個(gè)裝置處于靜止的前提下，下列說法正確的是（）A．無論的比值如何，地面對(duì)半球體的摩擦力都不為零 B．當(dāng)＝時(shí)，半球體對(duì)m1的摩擦力為零 C．當(dāng)＜≤5時(shí)，半球體對(duì)m1的摩擦力方向垂直于圖中的虛線向上 D．當(dāng)1≤＜時(shí)，半球體對(duì)m1的摩擦力方向垂直于圖中的虛線向下【答案】BCD【解答】解：A、對(duì)半球體m1、m2整體進(jìn)行受力分析，只受重力和支持力一對(duì)平衡力，相對(duì)地面并無運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，故不受摩擦力，故A錯(cuò)誤；B、若半球體對(duì)m1的摩擦力為零，對(duì)m1受力分析，如圖所示，將重力正交分解，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件得到：x方向：T﹣m1gcos53°＝0y方向：N﹣m1gsin53°＝0據(jù)題意：T＝m2g解得：＝，故B正確；C、當(dāng)≤＜5時(shí)，有m2g＜m1gcos53°，即繩子的拉力小于重力的下滑分量，m1有下滑趨勢(shì)，摩擦力沿切線向上，故C正確；D、當(dāng)1≤＜時(shí)，有m2g＞m1gcos53°，即繩子的拉力大于重力的下滑分力，m1有上滑趨勢(shì)，摩擦力沿切線向下，故D正確；故選：BCD。9．如圖所示，質(zhì)量為m的物塊A被輕質(zhì)細(xì)繩系住斜吊著放在傾角為30°的靜止斜面上，物塊A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ（μ＜），細(xì)繩繞過定滑輪O，左右兩邊與豎直方向的夾角α＝30°、β＝60°，細(xì)繩右端固定在天花板上，O′為細(xì)繩上一光滑動(dòng)滑輪，下方懸掛著重物B．整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，重力加速度為g，最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力，不考慮動(dòng)滑輪重力，求：（1）重物B的質(zhì)量為多少時(shí)，A與斜面間恰好沒有摩擦力作用？（2）A與斜面間恰好沒有摩擦力作用時(shí)，水平地面對(duì)斜面的摩擦力為多大？（3）重物B的質(zhì)量滿足什么條件時(shí)，物塊A能在斜面上保持靜止？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）對(duì)物體A受力分析，受拉力T、重力、支持力，根據(jù)平衡條件，沿斜面方向，有：T′cos30°＝mgsin30°解得：T′＝mg再物體B和動(dòng)滑輪整體分析，受兩個(gè)拉力和重力，根據(jù)平衡條件，有：m′g＝T＝mg故m′＝m（2）再對(duì)物體A和斜面體整體受力分析，受重力、拉力、支持力和靜摩擦力，根據(jù)平衡條件，有：f＝Tsin30°＝mg，方向向左（3）如果物體A恰好不上滑，則對(duì)A，有：平行斜面方向：T1cos30°﹣mgsin30°﹣f＝0垂直斜面方向：N+T1sin30°﹣mgcos30°＝0又有：f＝μN(yùn)解得：T1＝；如果物體A恰好不下滑，則對(duì)A，有：平行斜面方向：T2cos30°﹣mgsin30°+f＝0垂直斜面方向：N+T2sin30°﹣mgcos30°＝0又有：f＝μN(yùn)解得：T2＝；因μ＜，故T2＞0由于繩子的拉力等于物體B的重力，故物體B的質(zhì)量范圍為：≥m′≥答：（1）重物B的質(zhì)量為m時(shí)，A與斜面間恰好沒有摩擦力作用；（2）A與斜面間恰好沒有摩擦力作用時(shí)，水平地面對(duì)斜面的摩擦力為mg；（3）重物B的質(zhì)量滿足條件≥m′≥時(shí)，物塊A能在斜面上保持靜止．10．如圖所示，質(zhì)量為M的斜面體A置于粗糙水平地面上，用輕繩拴住質(zhì)量為m的小球B置于斜面上，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。已知斜面傾角θ＝30°，輕繩與斜面平行且另一端固定在豎直墻面上，不計(jì)小球與斜面間的摩擦，求：（1）斜面體A對(duì)小球B的支持力N的大小；（2）輕繩對(duì)小球B拉力T的大小；（3）地面對(duì)斜面體A的摩擦力f?！敬鸢浮恳娫囶}解答內(nèi)容【解答】解：（1）（2）對(duì)球受力分析，如圖所示：由平衡條件得：，；（3）對(duì)A、B整體受力分析可得：方向水平向右答：（1）面體A對(duì)小球B的支持力N的大小為；（2）輕繩對(duì)小球B拉力T的大小為；（3）地面對(duì)斜面體A的摩擦力f為。11．某同學(xué)表演魔術(shù)時(shí)，將一小型條形磁鐵藏在自己的袖子里，然后對(duì)著一懸掛的金屬小球指手畫腳，結(jié)果小球在他神奇的功力下飄動(dòng)起來．假設(shè)當(dāng)隱藏的小磁鐵位于小球Q的左上方某一位置C（CQ與豎直方向的夾角為θ）時(shí)，金屬小球偏離豎直方向的夾角也是θ，如圖所示．已知小球的質(zhì)量為m，該同學(xué)（含磁鐵）的質(zhì)量為M，重力加速度為g．求此時(shí)：（1）懸掛小球的細(xì)線的拉力大小為多少？（2）該同學(xué)受到地面的支持力和摩擦力大小各為多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）對(duì)小球受力分析：重力、細(xì)線的拉力和磁鐵的引力．設(shè)細(xì)線的拉力和磁鐵的引力分別為F1和F2．根據(jù)平衡條件得：水平方向：F1sinθ＝F2sinθ豎直方向：F1cosθ+F2cosθ＝mg解得，F(xiàn)1＝F2＝．（2）以人為研究對(duì)象，分析受力情況：重力Mg、地面的支持力N、靜摩擦力f和小球的引力F2′，F(xiàn)2′＝F2＝．根據(jù)平衡條件得f＝F2′sinθN＝F2′cosθ+Mg解得：N＝Mg+mgf＝mgtanθ答：（1）懸掛小球的細(xì)線的拉力大小為．（2）該同學(xué)受到地面的支持力和摩擦力大小分別為Mg+mg、mgtanθ．12．物體A放在臺(tái)式測(cè)力計(jì)上，通過跨過定滑輪的輕繩與物體B相連，B下端與輕彈簧粘連，彈簧下端與地面接觸（未拴接），整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，此時(shí)臺(tái)式測(cè)力計(jì)的示數(shù)為8.8N；已知mA＝2mB＝1kg，物塊A、B間水平距離s＝20cm，傾斜繩與水平方向的夾角θ＝37°，物塊A與臺(tái)式測(cè)力計(jì)間摩擦因數(shù)μ＝0.5．最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，A、B和滑輪視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)其余摩擦，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，g＝10m/s2（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（1）求物塊A受到的摩擦力和繩對(duì)物塊A的拉力；（2）沿豎直方向向上移動(dòng)滑輪至某個(gè)位置時(shí)，物塊A剛好要運(yùn)動(dòng)，且此時(shí)彈簧剛好離開地面．求：①此時(shí)輕繩與水平方向的夾角θ′＝？②滑輪移動(dòng)的距離和彈簧的勁度系數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由臺(tái)秤示數(shù)知物塊此時(shí)所受支持力N＝8.8N，物塊受力示意圖如下：根據(jù)平衡條件，水平方向：，豎直方向：，解得：，；（2）①分析知，此時(shí)彈簧恢復(fù)原長，彈力為0．對(duì)B受力分析，有：T1﹣mBg＝0所以：T1＝5N；設(shè)此時(shí)細(xì)線與水平方向夾角為θ′，對(duì)A，水平方向：，豎直方向：，其中：，得：sinθ′+2cosθ′＝2結(jié)合cos2θ′+sin2θ′＝1得：θ′＝53°cosθ′＝0.6，sinθ′＝0.8；②滑輪上升的高度，分析知，右端繩所短，由幾何關(guān)系知，彈簧伸長量Δx＝Δh+Δl＝20cm；由（1），對(duì)B受力分析，有T0+F0＝mBg，初始時(shí)刻彈簧處于壓縮狀態(tài)，彈力F0＝3N，末狀態(tài)彈簧恢復(fù)原長，彈力為0，所以；答：（1）物塊A受到的摩擦力為1.6N，繩對(duì)物塊A的拉力為2N；（2）①此時(shí)輕繩與水平方向的夾角θ′＝53°②滑輪移動(dòng)的距離為cm，彈簧的勁度系數(shù)為15N/m．13．如圖所示，重為12N的物塊G1在三根細(xì)繩懸吊下處于靜止?fàn)顟B(tài)，細(xì)繩BP在水平方向，細(xì)繩AP偏離豎直方向37°角，且連在重為50N的物塊G2上，物塊G2靜止于傾角為37°的斜面上（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），取g＝10m/s2．求：（1）繩PB和繩PA對(duì)P點(diǎn)的拉力分別為多大？（2）斜面對(duì)物塊G2的摩擦力和支持力分別為多大．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）分析P點(diǎn)受力，如圖甲所示：由平衡條件可得：FAcos37°＝G1，F(xiàn)Asin37°＝FB，聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：FB＝9N，F(xiàn)A＝15N，（2）再分析物塊G2的受力情況，如圖乙所示．由物體的平衡條件可得：Ff＝G2sin37°+F′B?cos37°，F(xiàn)N+F′Bsin37°＝G2cos37°，F(xiàn)′B＝FB，由以上三式并代入數(shù)據(jù)解得：Ff＝37.2N，F(xiàn)N＝34.6N．答：（1）繩PB和繩PA對(duì)P點(diǎn)的拉力分別為9N，15N，（2）斜面對(duì)物塊G2的摩擦力和支持力分別為37.2N，34.6N．14．如圖所示，物重30N，用OC繩懸掛在O點(diǎn)，OC繩能承受最大拉力為20N，再用一繩系OC繩的A點(diǎn)，BA繩能承受的最大拉力為30N，現(xiàn)用水平力拉BA，可以把OA繩拉到與豎直方向成多大角度？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：當(dāng)OA繩與豎直方向的夾角θ逐漸增大時(shí)，OA和BA繩中的拉力都逐漸增大．當(dāng)其中某一根的拉力達(dá)到它本身能承受的最大拉力時(shí)，就不能再增大角度了．結(jié)點(diǎn)A的受力如圖所示．由圖可知，OA繩的拉力總是大于AB繩的拉力，若OA繩的拉力先達(dá)到斷裂的臨界值，應(yīng)用OA的承受的最大拉力作為臨界條件求解．此時(shí)：NFAC＝G＝30N，N＜30N，所以一定是OA繩先斷．此時(shí)：即：OA偏離豎直方向的最大角度θ＝30°答：可以把OA繩拉到與豎直方向成30°角．15．如圖所示，質(zhì)量為mB＝24kg的木板B放在水平地面上，質(zhì)量為mA＝22kg的木箱A放在木板B上．一根輕繩一端拴在木箱上，另一端拴在天花板上，輕繩與水平方向的夾角為θ＝37°．已知木箱A與木板B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1＝0.5．現(xiàn)用水平向右、大小為200N的力F將木板B從木箱A下面勻速抽出（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，重力加速度g取10m/s2），則木板B與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2的大小為多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：對(duì)A受力分析如圖甲所示：由題意得：FTcosθ＝Ff1①FN1+FTsinθ＝mAg②Ff1＝μ1FN1③由①②③得：FT＝100N對(duì)A、B整體受力分析如圖乙所示，由題意得：FTcosθ+Ff2＝F④FN2+FTsinθ＝（mA+mB）g⑤Ff2＝μ2FN2⑥由④⑤⑥得：μ2＝0.3答：木板B與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2的大小為0.3．16．如圖所示，AC和BC兩輕繩共同懸掛一質(zhì)量為m的物體，若保持AC繩的方向不變，AC與豎直方向的夾角為60°，改變BC繩的方向，試求：（1）物體能達(dá)到平衡時(shí)，θ角的取值范圍。（2）θ在0～90°的范圍內(nèi)，求BC繩上拉力的最大值和最小值?！敬鸢浮恳娫囶}解答內(nèi)容【解答】解：（1）改變BC繩的方向時(shí)，AC繩的拉力TA方向不變，兩繩拉力的合力F與物體的重力平衡，重力大小和方向均保持不變，如圖所示，經(jīng)分析可知，θ最小為0°，此時(shí)TA＝0；且θ必須小于120°，否則兩繩的合力不可能豎直向上。所以θ角的取值范圍是0°≤θ＜120°。（2）θ在0～90°的范圍內(nèi)，由圖知，當(dāng)θ＝90°時(shí)，TB最大，。當(dāng)兩繩垂直，即θ＝30°時(shí)，TB最小，。答：（1）物體能達(dá)到平衡時(shí)，θ角的取值范圍為0°≤θ＜120°；（2）θ在0～90°的范圍內(nèi)，BC繩上拉力的最大值和最小值分別。17．如圖所示，AB、BC、CD和DE為質(zhì)量可忽略的等長細(xì)線，長度均為5m，A、E兩端懸掛在水平天花板上，AE＝14m，B、D是質(zhì)量均為m＝7kg的相同小球，質(zhì)量為M的重物掛于C點(diǎn)，平衡時(shí)C點(diǎn)離天花板的垂直距離為7m，試求重物質(zhì)量M．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)AB與豎直方向的夾角為θ，則由幾何關(guān)系可知：（7﹣5sinθ）2+（7﹣5cosθ）2＝52解得：sinθ+cosθ＝解得：sinθ＝0.6；或sinθ＝0.8由圖可知，夾角應(yīng)小于45°，故0.8舍去；則由幾何關(guān)系可知，BC與水平方向的夾角也為θ；設(shè)AB繩的拉力為T，則對(duì)整體分析可知：2Tcos37°＝Mg+2mg設(shè)BC繩的拉力為N；則有：N＝對(duì)B球分析可知：Tsinθ＝Ncosθ聯(lián)立解得：M＝18kg；答：M的質(zhì)量為18kg．18．如圖所示，兩滑塊放在光滑的水平面上，中間用一細(xì)線相連，輕桿OA、OB擱在滑塊上，且可繞鉸鏈O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，兩桿長度相等，夾角為θ，當(dāng)豎直向下的力F作用在鉸鏈上時(shí)，求：（1）沿OA、OB方向桿受到的壓力是多大？（2）滑塊間細(xì)線的張力為多大？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）對(duì)O點(diǎn)受力分析，如圖．對(duì)兩個(gè)細(xì)桿的作用力進(jìn)行合成，則由平衡條件有：2Ncos＝F得：N＝由牛頓第三定律知：沿OA、OB方向桿受到的壓力為：F1＝N＝（2）滑塊間細(xì)線的張力為：F2＝F1sin＝tan；答：（1）沿OA、OB方向桿受到的壓力是．（2）滑塊間細(xì)線的張力為tan．19．如圖甲所示，一根輕質(zhì)且伸長量不計(jì)的細(xì)長繩兩端系在豎直墻上A、D兩點(diǎn)，繩上B點(diǎn)下端掛兩個(gè)各為G＝10N的重物，AB、BD繩和墻的夾角α＝30°，β＝60°。（1）求圖甲中AB、BD兩段繩中的拉力T1、T2各是多大？（2）如把圖甲改成圖乙，B、C兩點(diǎn)處各懸掛G＝10N的重物，AB、CD繩和墻的夾角仍是α＝30°，β＝60°，求BC繩中的拉力T3多大？BC繩與豎直方向的夾角θ是多大？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）圖甲中，以結(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象，由平衡條件得豎直方向有T1cosα+T2cosβ＝2G水平方向有T1sinα＝T2sinβ解得T1＝10N，T2＝10N（2）圖乙中，設(shè)AB、BD兩段繩中的拉力分別為T4、T5。以兩個(gè)物體和BC繩整體為研究對(duì)象，分析受力情況，由平衡條件得：豎直方向有T4cosα+T5cosβ＝2G水平方向有T4sinα＝T5sinβ解得T4＝10N，T5＝10N以B點(diǎn)為研究對(duì)象，由平衡條件得：T4sinα＝T3sinθT4cosα＝T3cosθ+G解得T3＝10N，θ＝60°答：（1）AB、BD兩段繩中的拉力T1、T2各是10N和10N。（2）BC繩中的拉力T3是10N；BC繩與豎直方向的夾角θ是60°。20．如圖所示，三個(gè)物塊疊放在水平桌面上，小球P重20N，掛在c繩下端，a繩一端系在物塊3上，b繩一端系在水平天花板上，現(xiàn)用水平向左的拉力F作用在物塊2上，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，a繩水平，b繩與水平方向成45°角．求：（1）物塊1與物塊2間的摩擦力大?。唬?）a、b繩中的拉力各是多大．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）對(duì)物體1受力分析，受重力和支持力，假如受水平方向的摩擦力，則不能保持平衡，故物體1與物體2間的摩擦力為0；（2）取繩子的連接點(diǎn)受力分析，受到三根繩子的三個(gè)拉力，如圖根據(jù)平衡條件，有：x方向：T2cos45°＝T1y方向：T2sin45°＝mg解得：T1＝mg＝20N，T2＝20．即a繩中的拉力為20N，b繩中的拉力為20N．答：（1）物塊1與物塊2間的摩擦力大小為零；（2）a繩中的拉力為20N，b繩中的拉力為20N．21．如圖所示，質(zhì)量為2kg的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面傾角θ為37°．質(zhì)量為1kg的光滑球放在三棱柱和光滑豎直墻壁之間，A和B都處于靜止?fàn)顟B(tài)，求地面對(duì)三棱柱的支持力和摩擦力各為多少？（g＝10m/s2，sin37°＝cos37°＝）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：選取A和B整體為研究對(duì)象，它受到重力（M+m）g，地面支持力N，墻壁的彈力F和地面的摩擦力f的作用（如圖所示），整體處于平衡狀態(tài)．根據(jù)平衡條件有：豎直方向：N﹣（M+m）g＝0…①水平方向：F＝f…②解得：N＝（M+m）g＝（2+1）×10＝30N…③再以B為研究對(duì)象，它受到重力mg，三棱柱對(duì)它的支持力NB，墻壁對(duì)它的彈力F的作用（如圖所示），B球處于平衡狀態(tài)，根據(jù)平衡條件有：NBcosθ＝mg…④NsinθB＝F…⑤解得F＝mgtanθ…⑥所以有：f＝F＝mgtanθ＝1×10×0.75＝7.5N．答：地面對(duì)三棱柱支持力為30N，摩擦力為7.5N．22．如圖所示，質(zhì)量M＝2kg的木塊套在水平桿上，并用輕繩與質(zhì)量m＝kg的小球相連。今用跟水平方向成α＝30°角的力F＝10N拉著小球帶動(dòng)木塊一起向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中M、m相對(duì)位置保持不變，g取10N/kg。求：（1）運(yùn)動(dòng)過程中輕繩對(duì)小球的拉力大小及輕繩與水平方向夾角θ；（2）木塊與水平桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ?！敬鸢浮恳娫囶}解答內(nèi)容【解答】解：（1）以球?yàn)檠芯繉?duì)象，其受力如圖所示據(jù)共點(diǎn)力平衡條件得Fcos30°﹣FTcosθ＝0①Fsin30°+FTsinθ＝mg②聯(lián)立①②式，代入數(shù)據(jù)解得：FT＝N，θ＝30°。（2）以木塊M為研究對(duì)象，其受力如圖所示據(jù)共點(diǎn)力平衡條件得FTcos30°﹣Ff＝0③FN﹣Mg﹣FTsin30°＝0④Ff＝μFN⑤聯(lián)立③④⑤式，代入數(shù)據(jù)解得：μ＝0.35答：（1）運(yùn)動(dòng)過程中輕繩對(duì)小球的拉力大小為N，輕繩與水平方向夾角θ為30°；（2）木塊與水平桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.35。二．利用平衡推論求解受力問題（共3小題）23．（多選）如圖所示，一木板B放在粗糙的水平地面上，木板A放在B的上面，A的右端通過輕質(zhì)彈簧秤固定在直立的墻壁上，用F向右拉動(dòng)B，使它以速度v運(yùn)動(dòng)，這時(shí)彈簧秤示數(shù)為T，下面的說法中正確的是（）A．木塊A給木板B的滑動(dòng)摩擦力的大小等于T B．木塊A給木板B的滑動(dòng)摩擦力的大小等于F C．若木板以2v的速度運(yùn)動(dòng)，木塊A受到的摩擦力的大小等于T D．若2F的力作用在木板上，木塊A受到的摩擦力的大小等于2T【答案】AC【解答】解：A、木板在抽出過程中相對(duì)于地面做直線運(yùn)動(dòng)，這時(shí)彈簧秤示數(shù)為T，因木塊是處于平衡，那么木塊A給木板B的滑動(dòng)摩擦力的大小等于T，故A正確，B錯(cuò)誤；BC、若長木板以2v的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)滑動(dòng)摩擦力公式，木塊A受滑動(dòng)摩擦力的大小跟木板運(yùn)動(dòng)的速度大小和所受的其它力的大小無關(guān)，受到的摩擦力大小仍等于T，故C正確；D、若用2F的力作用在長木板上，此時(shí)木塊A仍受到是滑動(dòng)摩擦力，根據(jù)滑動(dòng)摩擦力大小公式Ff＝μFN，動(dòng)摩擦因數(shù)與壓力均不變，所以此時(shí)A所受的摩擦力的大小仍等于T，故D錯(cuò)誤。故選：AC。24．如圖所示，物體A重40N，物體B重20N，A與B、A與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.5，當(dāng)用水平力F向右勻速拉動(dòng)物體A時(shí)，試求：（1）B物體所受的滑動(dòng)摩擦力的大小和方向；（2）地面所受滑動(dòng)摩擦力的大小和方向。（3）求拉力F的大小。【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）物體B相對(duì)物體A向左滑動(dòng)，物體A給物體B的滑動(dòng)摩擦力方向向右，由平衡條件：豎直方向：N＝GB所以：F1＝μGB＝0.5×20N＝10N（2）地面相對(duì)物體A向左運(yùn)動(dòng)，物體A給地面的滑動(dòng)摩擦力方向向右，由平衡條件：豎直方向：N＝GA+GB所以：F2＝μ（GA+GB）＝0.5（20+40）N＝30N；方向向右；（3）地面對(duì)A的摩擦力水平向左，F(xiàn)2＝30N，B對(duì)A的摩擦力水平向左，f＝F1﹣10N，A做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得：F＝F2+f＝30+10＝40N答：（1）B物體所受的滑動(dòng)摩擦力的大小為10N，方向向右；（2）地面所受滑動(dòng)摩擦力的大小為30N，方向向右。（3）拉力F的大小為40N。25．如圖所示，原長分別為L1＝0.1m和L2＝0.2m、勁度系數(shù)分別為k1＝100N/m和k2＝200N/m的輕質(zhì)彈簧豎直懸掛在天花板上。兩彈簧之間有一質(zhì)量為m1＝0.2kg的物體，最下端掛著質(zhì)量為m2＝0.1kg的另一物體，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)。g＝10N/kg（1）這時(shí)兩個(gè)彈簧的總長度為多大？（2）若用一個(gè)質(zhì)量為M的平板把下面的物體豎直緩慢地向上托起，直到兩個(gè)彈簧的總長度等于兩彈簧的原長之和，求這時(shí)平板施加給下面物體m2的支持力多大？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）勁度系數(shù)為k1輕質(zhì)彈簧設(shè)它的伸長量為x1，根據(jù)胡克定律有（m1+m2）g＝k1x1勁度系數(shù)為k2輕質(zhì)彈簧設(shè)它的伸長量為x2，根據(jù)胡克定律有：m2g＝k2x2這時(shí)兩個(gè)彈簧的總長度為：L＝L1+L2+x1+x2代入數(shù)據(jù)得：L＝0.335m；（2）用一個(gè)平板把下面的物體豎直緩慢地向上托起，直到兩個(gè)彈簧的總長度等于兩彈簧的原長之和時(shí)，下面的彈簧應(yīng)被壓縮x，上面的彈簧被拉伸x。以m1為對(duì)象，根據(jù)平衡關(guān)系有（k1+k2）x＝m1g以m2為對(duì)象，設(shè)平板對(duì)m2的支持力為FN，根據(jù)平衡關(guān)系有FN＝k2x+m2g代入數(shù)據(jù)得：FN＝2.33N或者答：1）這時(shí)兩個(gè)彈簧的總長度為0.335m（2）若用一個(gè)質(zhì)量為M的平板把下面的物體豎直緩慢地向上托起，直到兩個(gè)彈簧的總長度等于兩彈簧的原長之和，求這時(shí)平板施加給下面物體m2的支持力2.33N或者。三．解析法求共點(diǎn)力的平衡（共6小題）26．半圓柱體P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的豎直擋板MN在半圓柱體P和擋板MN之間放有一個(gè)光滑均勻的小圓柱體Q，整個(gè)裝置處于靜止，如圖所示為這個(gè)裝置的截面圖．現(xiàn)使MN保持豎直并且緩慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，P始終保持靜止．在此過程中，下列說法中正確的是（）A．MN對(duì)Q的彈力逐漸減小 B．P對(duì)Q的彈力先減小后增大 C．Q所受的合力逐漸增大 D．地面對(duì)P的摩擦力逐漸增大【答案】D【解答】解：A、B、C以小球Q為研究對(duì)象，分析受力情況如圖，使MN保持豎直并且緩慢地向右平移的過程中，Q的合力保持為零，由共點(diǎn)力平衡條件得MN對(duì)Q的彈力F2＝Gtanα，P對(duì)Q的彈力F1＝使MN保持豎直并且緩慢地向右平移的過程中，α增大，則tanα增大，cosα減小，所以F2增大，F(xiàn)1增大。故ABC均錯(cuò)誤。D、再對(duì)整體分析可知，水平方向上兩物體只受F2及摩擦力，由二力平衡可知，地面對(duì)P的摩擦力大小逐漸增大。故D正確。故選：D。27．如圖所示，三根輕繩OA、OB、OC結(jié)于O點(diǎn)，OA和OB繩的另一端系于水平天花板上，OC繩C端與一重物相連，OA繩和OB繩的夾角為100°、OA繩與OC繩的夾角為120°。整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，OA繩、OB繩、OC繩上的拉力分別記為F1、F2、F3，則F1、F2、F3的大小關(guān)系正確的是（）A．F1＜F2＜F3 B．F1＜F3＜F2 C．F2＜F3＜F1 D．F3＜F1＜F2【答案】A【解答】解：對(duì)節(jié)點(diǎn)O進(jìn)行受力分析如圖所示根據(jù)正弦定理可知F1＜F2＜F3，故A正確，BCD錯(cuò)誤。故選：A。28．春節(jié)期間，人們掛起紅燈籠，來營造一種喜慶的氛圍．如圖所示，輕繩a、b將燈籠懸掛于O點(diǎn)保持靜止，繩a與水平方向的夾角為θ，繩b水平?，F(xiàn)保持O點(diǎn)位置不變，b繩緩慢逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到豎直，則（）A．輕繩a的作用力減小，輕繩b的作用力先減小后增大 B．輕繩a、b的作用力均減小 C．輕繩a、b的作用力均增大 D．輕繩a的作用力不變，輕繩b的作用力先減小后增大【答案】A【解答】解：以結(jié)點(diǎn)O為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，受a、b繩的拉力以及下面繩子的拉力，下面繩子的拉力等于燈籠的重力，結(jié)點(diǎn)O平衡，受力分析如圖所示O點(diǎn)位置不變，則Ta方向不變，b繩緩慢逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到豎直過程中，由上圖可知，Tb先減小后增大，Ta一直減小，BCD錯(cuò)誤，A正確。故選：A。29．某材料放置如圖，在豎直墻壁的左側(cè)水平地面上放置一個(gè)邊長為a、質(zhì)量為M＝4kg的正方體ABCD，在墻壁和正方體之間放置半徑R＝0.5m、質(zhì)量為m的光滑球，正方體和球均保持靜止。球的球心為O，OC與豎直方向的夾角為θ，正方體的棱長a＞R，正方體與水平地面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5。已知重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，最大靜摩擦力約等于滑動(dòng)摩擦力。（1）若θ＝30°、m＝3kg，求正方體受到地面的摩擦力大小；（2）若θ＝30°，保持球的半徑不變，只增大球的質(zhì)量，為了不讓正方體出現(xiàn)滑動(dòng)，求光滑球質(zhì)量的最大值；（3）改變正方體到墻壁之間的距離，當(dāng)正方體的右側(cè)面BC到墻壁的距離小于某個(gè)值L時(shí)，無論球的質(zhì)量是多少，球和正方體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，且球沒有落到地面，求L的值。【答案】（1）若θ＝30°、m＝3kg，正方體受到地面的摩擦力大小為22.5N；（2）光滑球質(zhì)量的最大值為8kg；（3）無論球的質(zhì)量是多少，球和正方體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，且球沒有落到地面，L的值為0.724m?！窘獯稹拷猓海?）以球?yàn)檠芯繉?duì)象，受力如圖1所示圖1小球受力平衡可知N2＝mgtanθ代入數(shù)據(jù)解得N2＝22.5N以正方體和球整體為研究對(duì)象，受力如圖2所示圖2對(duì)整體受力分析可得Ff＝N2Ff＝22.5N（2）以正方體和球整體為研究對(duì)象，豎直方向受重力（m+M）g和地面的支持力FN，水平方向受墻壁的彈力N2和地面的摩擦力Ff，根據(jù)平衡條件FN＝（m+M）gμFN＝N2m＝8kg（3）根據(jù)無論m多大，球和正方體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，要滿足條件mgtanθ≤μ（m+M）g當(dāng)m→∞時(shí)通過幾何關(guān)系解得L＝R+Rsinθ代入數(shù)據(jù)得答：（1）若θ＝30°、m＝3kg，正方體受到地面的摩擦力大小為22.5N；（2）光滑球質(zhì)量的最大值為8kg；（3）無論球的質(zhì)量是多少，球和正方體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，且球沒有落到地面，L的值為0.724m。30．木塊A、B質(zhì)量分別為mA＝5kg和mB＝7kg，與原長為l0＝20cm、勁度系數(shù)為k＝100N/m輕彈簧相連接，A、B系統(tǒng)置于水平地面上靜止不動(dòng)，此時(shí)彈簧被壓縮了5cm．已知A、B與水平地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ＝0.2，可認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，現(xiàn)用水平推力F＝2N作用在木塊A上，如圖所示（g取10m/s2），（1）求此時(shí)A，B受到的摩擦力的大小和方向；（2）當(dāng)水平推力不斷增大，求B即將開始滑動(dòng)時(shí)，A、B之間的距離（3）若水平推力隨時(shí)間變化滿足以下關(guān)系F＝2+t（N），求A、B都仍能保持靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)間，并作出在A開始滑動(dòng)前A受到的摩擦力fA﹣t圖象．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）A、B與地面間的最大靜摩擦力分別為：fmA＝μmAg＝0.2×50N＝10NfmB＝μmBg＝0.2×70N＝14N根據(jù)胡克定律得，彈簧的彈力大小為：F彈＝kx＝100×0.05N＝5N當(dāng)F＝2N時(shí)，F(xiàn)彈﹣F＝5N﹣2N＝3N＜fmA，F(xiàn)彈＜fmB，所以A、B兩物體都保持靜止?fàn)顟B(tài)．木塊A所受摩擦力的大小是fA＝F彈﹣F＝5N﹣2N＝3N，方向水平向右木塊B所受的摩擦力大小是fA＝F彈＝5N，方向水平向左．（2）B即將開始滑動(dòng)時(shí)，有：kx＝fmB可得：x＝0.14m所以B即將開始滑動(dòng)時(shí)，A、B之間的距離為：S＝l0﹣x＝0.2﹣0.14＝0.06m（3）A即將開始滑動(dòng)時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大值，由平衡條件得：F﹣F彈＝fmA結(jié)合F＝2+t（N），得：t＝26s對(duì)A，當(dāng)F＜F彈時(shí)，有fA＝F彈﹣F＝5﹣（2+t）＝3﹣t（N），方向水平向右（0＜t＜6s）當(dāng)F＝F彈時(shí)，有fA＝F彈﹣F＝0，此時(shí)t＝6s當(dāng)F＞F彈時(shí)，有fA＝F﹣F彈＝（2+t）﹣5＝t﹣3（N），方向水平向左（6s＜t≤26s）取水平向右為正方向，作出在A開始滑動(dòng)前A受到的摩擦力fA﹣t圖象如圖．答：（1）此時(shí)A受到的摩擦力的大小是3N，方向水平向右；B受到的摩擦力的大小是5N，方向水平向左；（2）當(dāng)水平推力不斷增大，B即將開始滑動(dòng)時(shí)，A、B之間的距離是0.06m．（3）A、B都仍能保持靜止?fàn)顟B(tài)的時(shí)間是26s，在A開始滑動(dòng)前A受到的摩擦力fA﹣t圖象如圖．31．如圖所示，在外力F的作用下通過兩根輕繩將質(zhì)量為m的物體懸掛并處于靜止?fàn)顟B(tài)．其中繩OB水平，繩OA和豎直方向的夾角為30°．（1）若要使OB繩伸直但張力為零，則力F的最小值為多少？（2）若要使OA、OB繩張力大小相同，則力F的最小值是多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）對(duì)結(jié)點(diǎn)O受力分析，受重力mg，OA繩子的拉力T以及拉力F，三力平衡，將繩子的拉力T和拉力F合成，其合力與重力平衡，如圖當(dāng)拉力F與繩子的拉力T垂直時(shí)，拉力F最小，最小值為Fmin＝mgsin30°＝；（2）設(shè)OA、OB繩張力大小為T，則兩個(gè)拉力T的合力方向與水平方向的夾角為30°，運(yùn)用上題的結(jié)論可知：當(dāng)F與此合力垂直時(shí)F最小，此時(shí)力F與水平方向的夾角為60°．根據(jù)平衡條件得：豎直方向有：Tcos30°+Fsin60°＝mg水平方向有：T+Tsin30°＝Fcos60°解得：F＝．答：（1）若要使OB繩伸直但張力為零，則力F的最小值為．（2）若要使OA、OB繩張力大小相同，則力F的最小值是．四．圖解法解決動(dòng)態(tài)平衡問題（共3小題）32．如圖所示，在豎直放置的穹形支架上，一根長度不變且不可伸長的輕繩通過輕質(zhì)光滑滑輪懸掛一重物G?，F(xiàn)將輕繩的一端固定于支架上的A點(diǎn)，另一端從B點(diǎn)沿支架緩慢地向C點(diǎn)靠近（C點(diǎn)與A點(diǎn)等高）。則在此過程中繩中拉力大?。ǎ〢．先變大后不變 B．先變大后變小 C．先變小后不變 D．先變小后變大【答案】A【解答】解：當(dāng)輕繩的右端從B點(diǎn)移到直桿最上端D時(shí)，設(shè)兩繩的夾角為2θ．以滑輪為研究對(duì)象，分析受力情況，作出力圖如圖1所示。根據(jù)平衡條件得2Fcosθ＝mg得到繩子的拉力F＝所以在輕繩的右端從B點(diǎn)移到直桿最上端時(shí)D的過程中，θ增大，cosθ減小，則F變大；當(dāng)輕繩的右端從直桿最上端的D點(diǎn)移到C點(diǎn)時(shí)，設(shè)兩繩的夾角為2α。設(shè)繩子總長為L，兩直桿間的距離為s，由數(shù)學(xué)知識(shí)得到sinα＝，L、S不變，則α保持不變。再根據(jù)平衡條件可知，兩繩的拉力F保持不變。所以繩中拉力大小變化的情況是先變大后不變。故BCD錯(cuò)誤，A正確。故選：A。33．一根細(xì)線上端固定，下端系著一個(gè)質(zhì)量為m的小球。給小球施加拉力F，使小球平衡后細(xì)線跟豎直方向的夾角為θ，如圖所示。則拉力F（）A．方向可能在圖中Ⅰ區(qū)內(nèi) B．方向可能在圖中Ⅱ區(qū)內(nèi) C．最小值為mgcosθ D．最小值為mgtanθ【答案】B【解答】解：AB、由于小球受到重力，重力的方向是豎直向下的，故重力與細(xì)線的拉力合力一定在重力與細(xì)線之間的夾角內(nèi)，若再加一個(gè)力，使小球平衡，則這三個(gè)力的合力為零，即所施加的拉力F與重力和細(xì)線拉力的合力相平衡，方向相反，所以拉力F的方向可能在圖中的Ⅱ區(qū)內(nèi)，故A錯(cuò)誤，B正確；CD、根據(jù)力的合成的平行四邊形定則，拉力F的最小值是當(dāng)拉力垂直細(xì)線的方向拉動(dòng)時(shí)的力，由圖可知，如果是其它方向的力都比該力大，因此最小的拉力為：F＝mgsinθ，故CD錯(cuò)誤；故選：B。34．一個(gè)重20N的均勻球被光滑豎直擋板擋住，靜止在傾角為α＝37°的光滑斜面上，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：（1）斜面對(duì)小球彈力的大?。唬?）擋板對(duì)小球彈力的大??；（3）把擋板緩慢轉(zhuǎn)到與斜面垂直位置放置（小球始終靜止），這一過程中擋板對(duì)小球彈力如何變化?！敬鸢浮恳娫囶}解答內(nèi)容【解答】解：（1）（2）以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，分析受力情況：重力G、斜面的彈力N2和擋板的彈力N1，由平衡條件得知，G與N1的合力與N2大小相等、方向相反，如圖，則有N1＝Gtan37°＝20×N＝15NN2＝＝25N（3）若擋板沿逆時(shí)針緩緩轉(zhuǎn)到與斜面垂直位置過程中，小球的重力不變，則由平衡條件得知，斜面和擋板對(duì)小球的彈力N1的合力不變，而斜面的彈力N2的方向不變，運(yùn)用圖解法，作出不同位置小球的受力圖，如圖1到2位置的過程，由圖擋板的作用力N1一直減小。答：（1）斜面對(duì)球彈力的大小是25N。（2）擋板對(duì)球彈力的大小是15N。（3）若擋板沿逆時(shí)針緩緩轉(zhuǎn)到與斜面垂直位置放置擋板的作用力N1一直減小。五．相似三角形法解決動(dòng)態(tài)平衡問題（共2小題）35．如圖所示，不計(jì)重力的輕桿OP能以O(shè)點(diǎn)為圓心在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，P端用輕繩PB掛一重物，另用一根輕繩通過滑輪系住P端。在力F的作用下，當(dāng)桿OP和豎直方向的夾角α（0＜α＜π）緩慢增大時(shí)，力F的大小應(yīng)（）A．恒定不變 B．逐漸增大 C．逐漸減小 D．先增大后減小【答案】B【解答】解：以P點(diǎn)為研究對(duì)象，分析受力情況，根據(jù)平衡條件得：N和F的合力與重力G大小相等、方向相反，作出力的合成圖如圖，由三角形相似法得：＝當(dāng)桿OP和豎直方向的夾角α（0＜α＜π）緩慢增大時(shí)，AP增大，而G、AO不變，得到F逐漸增大。故選：B。36．（多選）如圖所示，小球A置于固定在水平面上的光滑半圓柱體上，小球B用水平輕彈簧拉著系于豎直板上，兩小球A、B通過光滑滑輪O用輕質(zhì)細(xì)線相連，兩球均處于靜止?fàn)顟B(tài)，已知B球質(zhì)量為m。O點(diǎn)在半圓柱體圓心O1的正上方，OA與豎直方向成30°角，OA長度與半圓柱體半徑相等，OB與豎直方向成45°角，則下列敘述正確的是（）A．小球A質(zhì)量為 B．光滑半圓柱體對(duì)小球A球支持力的大小為mg C．剪斷細(xì)線OB的瞬間，小球B受到的合力為 D．若小球B緩慢下降，使小球A一直沿著半圓柱體緩慢向上運(yùn)動(dòng)，則小球A受到繩的拉力變小【答案】ACD【解答】解：AB．分別對(duì)A、B進(jìn)行受力分析如圖所示對(duì)B，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件有TOBsin45°＝FTOBcos45°＝mg解得F＝mg對(duì)A，由幾何關(guān)系可知TOA、N與豎直方向的夾角相等，夾角為30°，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件有Ncos30°+TOAcos30°＝mAgNsin30°＝TOAsin30°其中TOA＝TOB代入解得N＝故A正確，B錯(cuò)誤；C．剪斷細(xì)線OB的瞬間，細(xì)線的拉力消失，彈簧對(duì)B的彈力以及B所受重力不變，兩者的合力仍等于細(xì)線的拉力，即故C正確；D．根據(jù)共點(diǎn)力平衡和三角形定則，結(jié)合相似三角形可得若小球B緩慢下降，由于lOA不斷減小，可得小球A受到繩的拉力變小，故D正確。故選：ACD。六．輔助圓法解決動(dòng)態(tài)平衡問題（共3小題）37．（多選）不可伸長的細(xì)繩的兩端分別系于兩豎立圓環(huán)水平直徑的兩端，圖甲通過輕質(zhì)光滑滑輪懸掛重物，圖乙通過繩結(jié)在正中間懸掛重物?，F(xiàn)將兩圓環(huán)均緩慢地順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度，穩(wěn)定后各段繩的拉力變化情況正確的是（）A．a(chǎn)、b端繩上拉力仍相等，均變大 B．a(chǎn)、b端繩上拉力仍相等，均變小 C．c端繩上拉力變大、d端繩上拉力變小 D．c端繩上拉力變小、d端繩上拉力變大【答案】BC【解答】解：AB、對(duì)甲圖，繩上張力處處相等，兩邊繩與水平方向的夾角相等（“活結(jié)”模型）。設(shè)繩與水平方向的夾角為θ，a、b連線的水平距離為d，繩總長為L，有cosθ＝根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件有2Tasinθ＝mg解得Ta＝Tb＝圓環(huán)緩慢地順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度，d變小，a、b端繩上拉力仍相等，均變小，故B正確，A錯(cuò)誤；CD、對(duì)乙圖，圓環(huán)緩慢地順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度，兩繩上拉力方向都變化，但兩拉力方向夾角保持不變（“死結(jié)”模型），對(duì)結(jié)點(diǎn)受力分析，如圖所示由力的矢量三角形可知，旋轉(zhuǎn)前Tc＝Td，旋轉(zhuǎn)后，c端繩上拉力變大、d端繩上拉力變小，故C正確，D錯(cuò)誤。故選：BC。38．（多選）如圖，在水平桌面上疊放著兩個(gè)物塊B和C，輕繩繞過光滑的定滑輪O′，一端與C相連，另一端懸掛重物A。用外力F緩慢拉結(jié)點(diǎn)O，F(xiàn)方向與OO′的夾角為α＝120°且保持不變，將OO′從豎直拉至水平，兩物塊始終保持靜止，下列說法正確的是A．繩子OO′的拉力先增大后減小 B．C對(duì)B的摩擦力一直在增大 C．地面對(duì)桌子的摩擦力先減小后增大 D．桌面對(duì)B的摩擦力先增大后減小【答案】AD【解答】解：A、對(duì)結(jié)點(diǎn)O受力分析，繩子拉力和F的夾角不變，合力與懸掛物體的重力等大反向，作出受力分析圖如下，分析發(fā)現(xiàn)，隨著繩拉力T由豎直逐漸變?yōu)樗竭^程，繩拉力先增大，后減小，故A正確；B、對(duì)C分析，繩子的拉力與B對(duì)C的摩擦力為一對(duì)平衡力，等大反向。繩拉力先增大后減小，則B對(duì)C的摩擦力先增大后減小，根據(jù)牛頓第三定律，C對(duì)B的摩擦力先增大后減小，故B錯(cuò)誤；D、對(duì)B和C整體，根據(jù)平衡條件，繩子的拉力與桌面對(duì)B的摩擦力為一對(duì)平衡力，等大反向，繩拉力先增大，后減小，則桌面對(duì)B的摩擦力先增大，后減小，故D正確；C、對(duì)B和C以及桌子、懸掛物及滑輪等物體整體，根據(jù)平衡條件，F(xiàn)的水平分力與地面對(duì)桌子的摩擦力等大反向，由圖像可知，F(xiàn)的水平分力大?。▓D中F與T在圓上交點(diǎn)到G的距離）先增大后減小，則地面對(duì)桌子的摩擦力先增大后減小，故C錯(cuò)誤。故選：AD。39．（多選）如圖所示，光滑半圓形球面固定在水平面上，兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球a和b用質(zhì)量可忽略的剛性細(xì)桿相連并靜止在球面內(nèi)，已知細(xì)桿長度是半球面半徑的倍，細(xì)桿與水平面的夾角θ＝8°。現(xiàn)給b球上施加外力，使得a、b小球沿球面緩慢移動(dòng)（O、a、b始終在同一豎直平面內(nèi)），直至小球a到達(dá)與球心O點(diǎn)等高處。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)、b的質(zhì)量之比為4：3 B．a(chǎn)、b的質(zhì)量之比為5：4 C．輕桿對(duì)b的作用力逐漸增大 D．球面對(duì)a的作用力先增大后減小【答案】ACD【解答】解：AB、對(duì)輕桿，受兩個(gè)球的彈力是一對(duì)平衡力，根據(jù)牛頓第三定律，桿對(duì)a、b球作用力大小相等且方向沿桿方向；兩球都受到重力、細(xì)桿的彈力和球面的彈力的作用，過O作豎直線交ab于c點(diǎn)，如圖1所示；設(shè)球面的半徑為R，則△Oac與左側(cè)力三角形相似；△Obc與右側(cè)力三角相似；則由幾何關(guān)系可得：＝，＝即：＝由題，細(xì)桿長度是球面的半徑的倍，根據(jù)幾何知識(shí)可得圖中α＝45°，則β＝90°﹣45°﹣8°＝37°、γ＝90°﹣37°＝53°由于△acf∽△bce，所以＝＝，即＝故A錯(cuò)誤、B正確；CD、球a受力平衡，重力、T和F三力可組成矢量三角形，因?yàn)橹亓Υ笮》较虿蛔?，O點(diǎn)與球a、b所在位置始終是等邊三角形的頂點(diǎn)，可知T和F的夾角始終保持不變，即在力的矢量三角形中重力所對(duì)的T和F的夾角不變，利用輔助圓作圖2：分析可知，F(xiàn)由小于輔助圓的直徑先增大到等于輔助圓的直徑，再減小，可得球面對(duì)a的作用力F先增大后減小。同時(shí)可得輕桿對(duì)a的作用力T逐漸增大，則輕桿對(duì)b的作用力也逐漸增大，故CD正確。故選：ACD。七．自鎖問題（共3小題）40．（多選）在教室門與地面間縫隙處塞緊一個(gè)木楔（側(cè)面如圖所示），能把門卡住不易被風(fēng)吹動(dòng)。下列分析正確的是（）A．門不易被風(fēng)吹動(dòng)的原因是風(fēng)力太小 B．塞在門下縫隙處的木楔，其頂角θ無論多大都能將門卡住 C．門被卡住時(shí)，地面對(duì)木楔的支持力一定大于木楔的重力 D．門被卡住時(shí)，將門對(duì)木楔的力正交分解，水平分力大小等于地面給木楔的摩擦力大小【答案】CD【解答】解：A、門不易被風(fēng)吹動(dòng)的原因是最大靜摩擦力隨著推力增大而增大，故A錯(cuò)誤；BCD、對(duì)木楔受力分析，受重力、支持力、壓力和摩擦力，如圖所示：豎直方向：N＝Fcosθ+mg，水平方向：f＝Fsinθ，最大靜摩擦力約等于滑動(dòng)摩擦力，為：fmax＝μN(yùn)＝μ（Fcosθ+mg），考慮摩擦自鎖情況：不管多大的力F均滿足fmax≥f，即μ（Fcosθ+mg）≥Fsinθ，由于m很小，故只要μ≥tanθ即可，題中由于θ很小，故很容易滿足自鎖條件；故B錯(cuò)誤，CD正確；故選：CD。41．拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具（如圖）。設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可忽略；拖把頭與地板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為常數(shù)μ，重力加速度為g。某同學(xué)用該拖把把在水平地板上拖地時(shí)，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ。（1）分析該拖把在水平地板上拖地時(shí)，拖把頭受幾個(gè)力作用？畫出拖把頭的受力分析圖；（2）若拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，求推拖把的力的大??；（3）設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運(yùn)動(dòng)的水平推力與此時(shí)地板對(duì)拖把的正壓力的比值為λ。已知存在一臨界角θ0若θ＜θ0，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng)。求這一臨界角的正切tanθ0?！敬鸢浮浚?）分析該拖把在水平地板上拖地時(shí)，拖把頭受4個(gè)力作用，拖把頭的受力分析圖見解析；（2）若拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，推拖把的力的大小為mg；（3）這一臨界角的正切為λ?！窘獯稹拷猓海?）拖把頭受到重力、支持力、推力和摩擦力4個(gè)力的作用，處于平衡狀態(tài)，受力分析如圖（2）設(shè)該同學(xué)沿拖桿方向用大小為F的力推拖把。將推拖把的力沿豎直和水平方向分解，按平衡條件有豎直方向上：Fcosθ+mg＝N水平方向上：Fsinθ＝f式中N和f分別為地板對(duì)拖把的正壓力和摩擦力。按摩擦定律有f＝μN(yùn)聯(lián)立可得F＝mg（3）若不管沿拖桿方向用多大的力不能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng)，應(yīng)有Fsinθ≤λN這時(shí)仍滿足Fcosθ+mg＝N。聯(lián)立解得sinθ﹣λcosθ≤0上式右邊總是大于零，且當(dāng)F無限大時(shí)極限為零，有sinθ﹣λcosθ≤0使上式成立的θ角滿足θ≤θ0，這里θ0是題中所定義的臨界角，即當(dāng)θ≤θ0時(shí)，不管沿拖桿方向用多大的力都推不動(dòng)拖把。臨界角的正切為tanθ0＝λ答：（1）分析該拖把在水平地板上拖地時(shí)，拖把頭受4個(gè)力作用，拖把頭的受力分析圖見解析；（2）若拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，推拖把的力的大小為mg；（3）這一臨界角的正切為λ。42．一般課室的門上都安裝一種暗鎖，這種暗鎖由外殼A、骨架B、彈簧C（勁度系數(shù)為k）、鎖舌D（傾斜角θ＝45°，質(zhì)量忽略不計(jì)）、鎖槽E以及連桿、鎖頭等部件組成，如圖甲所示（俯視圖）．設(shè)鎖舌D與外殼A和鎖槽E之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ且最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等．有一次放學(xué)后，小明準(zhǔn)備鎖門，當(dāng)他用某力拉門時(shí)，不能將門關(guān)上，此刻暗鎖所處的狀態(tài)如圖乙所示，P為鎖舌D與鎖槽E之間的接觸點(diǎn)，彈簧由于被壓縮而縮短了x，問：（1）此時(shí)，外殼A對(duì)鎖舌D的摩擦力的方向；（2）此時(shí)，鎖舌D與鎖槽E之間的正壓力的大??；（3）當(dāng)μ滿足一定條件時(shí)，無論用多大的力，也不能將門關(guān)上（這種現(xiàn)象稱為自鎖求暗鎖能夠保持自鎖狀態(tài)時(shí)μ的取值范圍．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）鎖槽E壓縮鎖舌和彈簧，鎖舌D有向左的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，故自鎖狀態(tài)下D的下表面所受外殼A施力的靜摩擦力方向向右，設(shè)鎖舌D下表面受到的最大靜摩擦力為f1，則其方向向右．（2）設(shè)鎖舌D受鎖槽E的最大靜摩擦力為f2，正壓力為FN，下表面的正壓力為F，彈力為kx，由力的平衡條件可知：kx+f1+f2cos45°﹣FNsin45°＝0①F﹣FNcos45°﹣f2sin45°＝0②f1＝μF③f2＝μFN④聯(lián)立式①②③④，解得正壓力的大?。孩荩?）令FN趨向于∞，則有1﹣2μ﹣μ2＝0解得μ＝﹣1＝0.41⑦答：（1）自鎖狀態(tài)時(shí)D的下表面所受摩擦力的方向向右．（2）此時(shí)（自鎖時(shí)）鎖舌D與鎖槽E之間的正壓力的大小為．（3）無論用多大的力拉門，暗鎖仍然能夠保持自鎖狀態(tài)，則μ至少為0.41．八．力矩的平衡條件（共4小題）43．曉歡同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖所示的裝置探究杠桿的平衡條件，在輕質(zhì)杠桿AB的A端懸掛一個(gè)質(zhì)量為3.0kg的空桶，AO：OB＝3：1。將質(zhì)量分布均勻，重為270N的異形工件M通