專題09 豎直面內的圓周運動模型（原卷版）-【模型與方法】2025屆高考物理熱點模型與方法歸納

2/17專題09豎直面內的圓周運動模型目錄TOC\o"1-3"\h\u一．一般圓周運動的動力學分析 1二．豎直面內“繩、桿（單、雙軌道）”模型對比分析 1三．豎直面內圓周運動常見問題與二級結論 2三.過拱凹形橋模型 14一．一般圓周運動的動力學分析如圖所示，做圓周運動的物體，所受合外力與速度成一般夾角時，可將合外力沿速度和垂直速度分解，則由牛頓第二定律，有：vvFFτFn，aτ改變速度v的大小，an改變速度v的方向，作一般曲線運動的物體，處理軌跡線上某一點的動力學時，可先以該點附近的一小段曲線為圓周的一部分作曲率圓，然后即可按一般圓周運動動力學處理。vvFFτFn，aτ改變速度v的大小，an改變速度v的方向，，ρ為曲率圓半徑。二．豎直面內“繩、桿（單、雙軌道）”模型對比分析輕繩模型（沒有支撐）輕桿模型（有支撐）常見類型過最高點的臨界條件由mg＝meq\f(v2,r)得v臨＝eq\r(gr)由小球能運動即可得v臨＝0對應最低點速度v低≥對應最低點速度v低≥繩不松不脫軌條件v低≥或v低≤不脫軌最低點彈力F低-mg=mv低2/rF低=mg+mv低2/r，向上拉力F低-mg=mv低2/rF低=mg+mv低2/r，向上拉力最高點彈力過最高點時，v≥eq\r(gr)，FN＋mg＝meq\f(v2,r)，繩、軌道對球產生彈力FN＝meq\f(v2,r)-mg向下壓力(1)當v＝0時，FN＝mg，FN為向上支持力(2)當0＜v＜eq\r(gr)時，－FN＋mg＝meq\f(v2,r)，FN向上支持力，隨v的增大而減小(3)當v＝eq\r(gr)時，FN＝0(4)當v＞eq\r(gr)時，FN＋mg＝meq\f(v2,r)，FN為向下壓力并隨v的增大而增大在最高點的FN圖線取豎直向下為正方向取豎直向下為正方向三．豎直面內圓周運動常見問題與二級結論【問題1】一個小球沿一豎直放置的光滑圓軌道內側做完整的圓周運動，軌道的最高點記為A和最低點記為C，與原點等高的位置記為B。圓周的半徑為要使小球做完整的圓周運動，當在最高點A的向心力恰好等于重力時，由可得①對應C點的速度有機械能守恒得②當小球在C點時給小球一個水平向左的速度若小球恰能到達與O點等高的D位置則由機械能守恒得③小結：(1).當時小球能通過最高點A小球在A點受軌道向內的支持力由牛頓第二定律④(2).當時小球恰能通過最高點A小球在A點受軌道的支持力為0由牛頓第二定律。⑤(3).當時小球不能通過最高點A小球在A點，上升至DA圓弧間的某一位向右做斜拋運動離開圓周，且v越大離開的位置越高，離開時軌道的支持力為0在DA段射重力與半徑方向的夾角為則、(4).當時小球不能通過最高點A上升至CD圓弧的某一位置速度減為0之后沿圓弧返回。上升的最高點為C永不脫離軌道【問題2】常見幾種情況下物體受軌道的作用力(1)從最高點A點靜止釋放的小球到達最低點C：由機械能守恒在C點由牛頓運動定律：得⑥(2)從與O等高的D點（四分之一圓?。┨庫o止釋放到達最低點C：由機械能守恒在C點由牛頓運動定律：得⑦(3)從A點以初速度釋放小球到達最低點由機械能守恒在C點由牛頓運動定律：得⑧1．（2025·廣西柳州·模擬預測）如圖為一小朋友在一個空心水泥管里玩“踢球”游戲，將該過程簡化為豎直面內半徑為r的固定圓環(huán)，在圓環(huán)的最低點有一質量為m的小球，現給小球一水平向右的瞬時速度v．小球沿圓環(huán)內側運動，重力加速度為g，不計小球與圓環(huán)間的摩擦。下列說法正確的是（

）A．若，小球可以通過圓環(huán)最高點B．若，小球在最低點對圓環(huán)壓力大小為4mgC．若，小球脫離圓環(huán)的位置與圓心的連線與水平方向夾角的正弦值為D．若，小球脫離圓環(huán)的位置與圓心的連線與水平方向夾角的正弦值為2．（2024·山東泰安·模擬預測）如圖所示，光滑圓環(huán)軌道豎直固定放置，軌道半徑為R。一小球從最低點以水平速度v0沿軌道運動，在某位置脫離軌道后，恰好經過圓環(huán)軌道的圓心。已知重力加速度為g，不計空氣阻力，則v0的大小為（）A． B．C． D．3．（2024·貴州·三模）某人站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為1kg的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內以手為圓心做圓周運動，其簡化示意圖如下。握繩的手離地面高度為1.0m且保持不變，現不斷改變繩長使球重復上述運動，每次繩在球運動到最低點時都恰好達到最大拉力被拉斷，球以繩斷時的速度水平飛出，通過水平距離x后落地。已知繩能承受的最大拉力為15N，重力加速度大小取，忽略手的運動半徑和空氣阻力，則x的最大值為（??）A．0.4m B．0.5m C．1.0m D．1.2m4．（2024·河北邯鄲·模擬預測）蕩秋千是一項古老的休閑體育運動。如圖所示，李明同學某次蕩秋千時，O、A兩點分別為其運動過程中的最低點和最高點，A到O的過程中，李明的身體姿勢保持不變。已知李明和座椅的總質量為m，兩根平行的秋千繩長均為L，A點時繩子與豎直方向的夾角為θ，重力加速度大小為g，空氣阻力和繩的質量忽略不計。下列說法正確的是（）A．在A位置時，該同學速度為0，處于平衡狀態(tài)B．在O位置時，該同學處于失重狀態(tài)C．在A位置時，每根秋千繩的拉力大小為D．在O位置時，每根秋千繩的拉力大小約為5．如圖所示，不可伸長的輕質細繩一端固定在O點，另一端拴住一個小球（視為質點）。在O點正下方一半繩長的地方有一枚與豎直平面垂直的釘子A。把小球拉起使細繩在水平方向伸直，由靜止開始釋放小球，當細繩碰到釘子后的瞬間（細繩未斷）（）A．小球的角速度增大到碰釘子前瞬間角速度的2倍B．細繩對小球的拉力突然減小C．小球的線速度突然增大到碰釘子前瞬間線速度的2倍D．細繩對小球的拉力增大到碰釘子前瞬間拉力的2倍6．如圖所示，用一根輕繩系著一個可視為質點的小球，輕繩的長度為L。最初小球靜止在圓軌跡的最低點A點，現在A點給小球一個初速度v0，使其在豎直平面內沿逆時針方向做圓周運動，已知B點與圓心O等高，C點是圓軌跡的最高點，重力加速度為g。不計一切阻力，下列說法正確的是（）A．小球做的是勻變速曲線運動B．若要使得小球做完整的圓周運動，小球運動到C點的速度至少是C．若小球無法做完整的圓周運動，則小球可能在C點脫離圓軌跡D．若小球無法做完整的圓周運動，則小球可能在B點和C點之間的某一點脫離圓軌跡7．如圖甲所示，陀螺可在圓軌道外側旋轉而不脫落，好像軌道對它施加了魔法，被稱為“魔力陀螺”，它可等效為圖乙所示的模型，豎直固定的磁性圓軌道半徑為R，質量為m的質點沿軌道外側做完整的圓周運動，A、C兩點分別為軌道的最高點與最低點，B、D兩點與軌道圓心等高，質點受到始終指向圓心、大小恒為2mg的磁性引力作用，不計摩擦和空氣阻力，重力加速度大小為g，下列說法正確的是（）A．若質點經過A點時的速度大小為，則此時質點受到軌道的彈力大小為mgB．若質點經過B點時的速度大小為，則此時質點受到軌道的彈力大小為mgC．若質點經過C點時的速度大小為，則此時質點受到軌道的彈力大小為2mgD．若質點經過D點時的速度大小為，則此時質點受到軌道的彈力大小為2mg8．如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，現讓小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動。小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為，小球在最高點時的速度大小為，其圖像如圖乙所示，重力加速度g取，小球可視為質點，不計一切阻力。則下列說法正確的是（）A．小球的質量為2kgB．小球做圓周運動的半徑為2.5mC．時，在最高點桿對小球的彈力大小為40ND．時，小球的向心加速度大小為9.（多選）（2024·河北·三模）如圖所示，在豎直平面內有一固定光滑軌道，其中AB是長度為R的水平軌道，BCDE是圓心為O、半徑為R的圓弧軌道，兩軌道相切于B點。一可視為質點的小球從A點以某速度（大小未知）水平向左運動，重力加速度大小為g。下列說法正確的是（）A．當時，小球剛好過最高點D點B．當時，小球不會脫離圓弧軌道C．若小球能通過E點，則越大，小球在B點與E點所受的彈力之差越大D．小球從E點運動到A點的最長時間為10．（多選）（2024·山東·模擬預測）如圖所示，一輕繩系一質量為m小球，豎直懸掛在O點，現將小球沿圓弧拉至與O等高的A點，由靜止自由釋放。小球運動過程中經過C點時，繩與豎直方向的夾角為，以下判斷正確的是（）A．小球下擺到最低點的過程中，重力平均功率為0，細繩拉力一直增大B．小球運動至C點時，其加速度大小為C．小球運動至C點時，輕繩對小球的拉力大小為D．若小球經過C點時重力功率最大，則11．（多選）如圖甲所示，長為L輕繩一端固定在O點，另一端拴一小球。在小球靜止時給小球一個瞬時速度v，此時輕繩拉力為，圖像如圖乙所示。已知重力加速度g取，小球可視為質點，不計一切阻力。下列說法正確的是（

）A．小球的質量為1kgB．小球做圓周運動的半徑為1.0mC．當時，小球能做完整的圓周運動D．當時，小球通過最高點時受到輕繩拉力的大小為10N12．（多選）如圖，光滑管形固定圓軌道半徑為R（管徑遠小于R），小球a、b大小相同，質量均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運動。兩球先后以相同速度v通過軌道最低點，且當小球a在最低點時，小球b在最高點，以下說法正確的是（）A．速度v應滿足，才能使兩球在管內做圓周運動B．當時，小球b在軌道最高點對軌道無壓力C．當小球b在最高點對軌道無壓力時，小球a比小球b所需向心力大5mgD．只要，小球a對軌道最低點的壓力比小球b對軌道最高點的壓力大6mg13．（多選）如圖所示，有一豎直放置、內壁光滑的圓環(huán)，可視為質點的小球在豎直平面內做圓周運動，已知圓環(huán)的半徑為R，重力加速度為g，小球在最低點Q的速度為v0，不計空氣阻力，則（

）A．小球運動到最低點Q時，處于超重狀態(tài)B．小球的速度越大，則在P、Q兩點小球對圓環(huán)內壁的壓力差越大C．當時，小球在P點受內壁壓力為D．當時，小球一定能通過最高點P14．（多選）如圖所示，傾角45°的光滑軌道AB和水平軌道BC平滑相連，右側是光滑的半圓軌道CDE，半徑R=0.4m。一可視為質點的質量為m=0.2kg的滑塊從軌道AB上高度處由靜止釋放?；瑝K與BC間的動摩擦因數μ=0.5，重力加速度g取10m/s2，滑塊恰好能通過最高點E之后，恰好落到B點。下列選項中正確的是（）A．水平軌道BC的長度為0.8mB．滑塊釋放點的高度為h0=1.0mC．如果增加釋放點的高度h0，滑塊有可能垂直打到斜面上D．如果將釋放點的高度調整為，滑塊在半圓軌道CDE上運動過程中有可能脫離軌道15．（多選）如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內做圓周運動，管道半徑為R，小球半徑為r，R遠大于r，且r略小于管道內徑，重力加速度為g，則下列說法正確的是（

）A．小球通過最高點時的最小速度B．小球通過最高點時的最小速度C．小球在水平線ab以下的管道中運動時，內側管壁對小球一定無作用力D．小球在水平線ab以上的管道中運動時，外側管壁對小球一定無作用力16．（2024·北京海淀·二模）如圖所示，不可伸長的輕繩一端固定在距離水平地面高為h的O點，另一端系有質量為m，可視為質點的小球，將小球拉至O點正上方的A點，給其一水平方向的初速度，使其恰好通過A點后，在豎直平面內以O點為圓心做半徑為r的圓周運動。當小球運動到最低點B時，繩恰好被拉斷，小球水平飛出。不計空氣阻力及繩斷時的能量損失，重力加速度為g。求：（1）小球初速度的大小。（2）繩能承受拉力的最大值。（3）小球落地時的速度大小v。17．（2024·湖南·模擬預測）如圖所示，豎直平面內的光滑軌道由兩部分拼接而成，其中MNP為半徑半圓弧軌道，PQ為半徑的圓軌道，將質量的小球A從M點正上方的某點由靜止釋放，小球無碰撞地從M點進入軌道后，與靜止在軌道最低點N處的小球B發(fā)生彈性正碰，小球A反彈后恰好能回到M點，小球B沿軌道運動到Q點水平飛出后又恰好經過M點。兩小球均可視為質點，不計空氣阻力，取重力加速度大小，求：（1）兩小球碰撞后小球B的速度大小（2）小球B經過Q點時對軌道的壓力大小。18．（2024·遼寧大連·二模）如圖所示，豎直平面內的軌道由直軌道AB和半圓弧軌道BC平滑連接組成，C點為半圓弧軌道最高點。小球從直軌道上的A點由靜止開始滑下，A點距軌道最低點的豎直高度為，滑到軌道底端后又滑上半徑為的半圓弧軌道（不考慮經過連接處的速率變化），小球質量為。（）（1）若接觸面均光滑，求小球滑到C點時速度和對軌道的壓力。（2）若接觸面不光滑，小球運動到C點時對軌道的壓力為1N，求全過程中克服摩擦力做的功。19．如圖所示，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直平面內，O為圓心、a、b、c、d為圓形軌道上的點，其中ac為豎直直徑，b與圓心等高，d和圓心的連線與水平方向的夾角為。一小球靜止在圓形軌道底端a點，某時刻小球獲得一個水平向右的瞬時初速度（未知），已知重力加速度為g，回答下列問題：(1)若使小球運動過程中不脫離軌道，求小球的初速度的范圍；(2)若小球在d點脫軌，求小球的初速度；(3)以d點為坐標原點，水平方向為x軸（向右為正），豎直方向為y軸（向上為正）建立平面直角坐標系。若小球仍在d點脫軌，求小球脫離軌道后的運動軌跡方程。20．如圖所示，光滑豎直圓軌道ABCD與光滑的水平軌道平滑連接，圓弧軌道A、D為最低點，位置稍錯開。輕質彈簧左側與墻面拴接，右側與物塊不拴接。已知物塊的質量為，物塊將彈簧壓縮后，使彈簧儲存的彈性勢能。解除彈簧鎖定，物塊被彈出后進入圓軌道。已知物塊可以看做質點，不計空氣阻力，g取。求：(1)物塊離開彈簧時的速度大??；(2)為保證物塊在運動中不脫離軌道，求圓軌道半徑R的取值范圍。21．某校科技小組參加了如圖所示的軌道游戲項目，圖中P為彈性發(fā)射裝置，AB為傾角為的傾斜軌道，BC為水平軌道，為豎直圓軌道，為足夠長的傾斜曲線軌道，各段軌道均平滑連接，AB、BC段動摩擦因數為，其余各段軌道均光滑。已知滑塊質量為，圓軌道半徑R大小可以調整，軌道AB長為1m，BC長為1.2m，彈射裝置P把滑塊以為速度水平彈出，恰好從A點沿斜面方向無碰撞進入斜面，滑塊可視為質點。g取）(1)彈射裝置P離A點的豎直高度；(2)若滑塊從A點進入軌道后運動不脫離軌道，圓軌道半徑R應滿足的條件。22．如圖所示，長為不可伸長的輕繩一端固定于點，另一端系有質量為的小球（可視為質點），使小球在豎直平面內以點為圓心做圓周運動。已知重力加速度為，忽略空氣阻力的影響。(1)若小球經過圓周最高點A點時繩對小球的拉力大小，求：小球經過圓周最高點A點時速度大??；(2)加大小球的速度后，在最低點輕繩恰好被小球拉斷，小球立即做平拋運動，落地點與點之間的水平距離，B點距水平地面的高度為（圖中未畫出），求：a.小球經過圓周最低點點時速度大??；b.輕繩能承受的最大拉力為。23．如圖所示，質量的小物塊靜置在粗糙的水平平臺的A點，在大小為3N的恒力作用下，從平臺的B點以3m/s的速度水平飛出，恰好從C點無碰撞的進入半徑為R的光滑圓形軌道。已知CF是圓形軌道的一條直徑，從F點到軌道的最高點是一個光滑圓管，，小物塊與平臺的動摩擦因數，取重力加速度。(1)若平臺AB的長度，求恒力作用的時間；(2)求BC兩點間的高度差；(3)若小物塊能夠進入圓管，試分析軌道半徑R的取值范圍。24．如圖所示，豎直平面內的圓弧形光滑管道半徑略大于小球半徑，管道中心到圓心距離為R，A端與圓心O等高，AD為水平面，B端在O的正下方，小球自A點正上方由靜止釋放，自由下落至A點時進入管道(1)如果管道與小球接觸的內側壁（圖中較小的圓周）始終對小球沒有彈力，小球釋放點距離A點的最小高度為多大?(2)如果小球到達B點時，管壁對小球的彈力大小為小球重力大小的9倍。求：a.小球運動到管道最高點E時對管道的彈力；b.落點C與A的水平距離。三.過拱凹形橋模型拱形橋圓軌外側凹形橋示意圖vv作用力最高點(失重)：FN＝G－mv2/R，可知：（1）當v=0時，即汽車靜止在最高點，FN=G；（2）當汽車的速度增大到mv2/R=mg即v=時，FN=0，汽車在橋頂只受重力G，又具水平速度v，因此開始做平拋運動；（3）當0≤v≤時，0≤FN≤mg，且速度v越大，FN越??；（4）當v>時，汽車將脫離橋面，將在最高點做平拋運動，即所謂的“飛車”。最高點(超重)：FN＝G+mv2/R可知：（1）當v=0時，即汽車靜止在最高點，FN=G；（2）當汽車的速度v≠0時，FN>mg，且速度v越大，FN越大。1．（多選）資料顯示，質量為的某型號小汽車，其輪胎的最大承重為，超過該值將會爆胎。某次汽車以的速度勻速通過一段凸凹不平的路面時，將這段路面簡化為弧形，其最高點和最低點分別為A、B，對應圓弧的半徑均為，兩圓弧的圓心連線與豎直方向間的夾角為，取，則汽車（）A．從點到點的過程中重力做功約為B．通過最高點時對路面的壓力為C．通過最低點時不會爆胎D．若以的速度勻速通過該路段時，不會脫離路面2．如圖所示，一光滑絕緣的半圓柱體固定在水平地面上，其橫截面是半徑為R的半圓。現讓質量為m、帶電量為的小球從半圓柱體頂端Q由靜止沿圓柱體表面滑下，當滑至與豎直方向的夾角為的位置P時，恰好離開半圓柱體。若在空間加上方向豎直向下的勻強電場（圖中未畫出），電場強度大小，重力加速度為g，其他條件不變，則下列說法正確的是（

）A．未加電場時，角的余弦值為B．未加電場時，小球在P