非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸悾豪碚?、方法與前沿探索

一、引言1.1研究背景與意義在物理學(xué)的廣闊領(lǐng)域中，非厄米系統(tǒng)作為一個(gè)充滿活力與挑戰(zhàn)的研究方向，近年來(lái)吸引了眾多科研人員的目光。非厄米系統(tǒng)，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，是指那些可以用非厄米哈密頓量描述的開放系統(tǒng)。與傳統(tǒng)的厄米系統(tǒng)不同，非厄米系統(tǒng)允許系統(tǒng)與外界環(huán)境進(jìn)行能量、粒子等的交換，這使得其具有許多獨(dú)特而新奇的物理性質(zhì)。非厄米系統(tǒng)的獨(dú)特性質(zhì)首先體現(xiàn)在其本征值和本征態(tài)的特性上。在厄米系統(tǒng)中，哈密頓量的本征值是實(shí)數(shù)，這保證了能量的守恒以及物理過(guò)程的時(shí)間可逆性，并且其本征態(tài)構(gòu)成完備的正交歸一基，為量子力學(xué)的諸多理論和應(yīng)用提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。然而，非厄米系統(tǒng)打破了這一傳統(tǒng)框架。非厄米哈密頓量的本征值通常是復(fù)數(shù)，這意味著系統(tǒng)存在能量的增益或損耗。例如，在一些光學(xué)系統(tǒng)中，當(dāng)考慮光與介質(zhì)的相互作用時(shí)，如果介質(zhì)對(duì)光存在吸收或放大效應(yīng)，那么描述該系統(tǒng)的哈密頓量就會(huì)具有非厄米性，其本征值將包含虛部，反映出光能量的變化情況。這種復(fù)數(shù)本征值的出現(xiàn)，使得非厄米系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為變得更加復(fù)雜和豐富。同時(shí)，非厄米系統(tǒng)的本征態(tài)不再滿足正交性，這進(jìn)一步改變了系統(tǒng)的許多性質(zhì)和行為。以量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理為例，在厄米系統(tǒng)中，由于本征態(tài)的正交性，態(tài)疊加的系數(shù)可以簡(jiǎn)單地通過(guò)內(nèi)積計(jì)算得到，并且在測(cè)量過(guò)程中，不同本征態(tài)之間的干涉效應(yīng)具有明確的規(guī)律。但在非厄米系統(tǒng)中，由于本征態(tài)非正交，態(tài)疊加的計(jì)算和理解變得更加復(fù)雜，測(cè)量過(guò)程中的干涉現(xiàn)象也會(huì)出現(xiàn)新的特征。這種本征態(tài)性質(zhì)的改變，使得非厄米系統(tǒng)在量子信息處理、量子計(jì)算等領(lǐng)域展現(xiàn)出獨(dú)特的應(yīng)用潛力，例如可能為量子比特的設(shè)計(jì)和操控提供新的思路。非厄米趨膚效應(yīng)也是非厄米系統(tǒng)中一個(gè)極為重要且獨(dú)特的現(xiàn)象。在一個(gè)無(wú)雜質(zhì)、無(wú)相互作用的開邊界非厄米系統(tǒng)中，會(huì)出現(xiàn)體態(tài)局域在邊界的奇特現(xiàn)象，這就是非厄米趨膚效應(yīng)。傳統(tǒng)的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系在這種效應(yīng)下不再成立，而傳統(tǒng)的布洛赫定理及能帶理論也因之失效。例如，在一些具有非互易耦合的晶格模型中，電子的運(yùn)動(dòng)不再像在厄米系統(tǒng)中那樣在整個(gè)晶格中均勻分布，而是會(huì)向邊界聚集，導(dǎo)致體態(tài)的分布發(fā)生根本性的改變。為了刻畫這種效應(yīng)并建立非厄米系統(tǒng)的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系，基于廣義布里淵區(qū)的非布洛赫能帶理論應(yīng)運(yùn)而生。這一理論的提出，極大地推動(dòng)了非厄米系統(tǒng)的研究，為深入理解非厄米系統(tǒng)的物理性質(zhì)提供了有力的工具。拓?fù)浞诸愒诜嵌蛎紫到y(tǒng)的研究中占據(jù)著舉足輕重的地位。在傳統(tǒng)的能帶理論中，對(duì)能帶的拓?fù)浞诸愂穷A(yù)測(cè)體系是否具有拓?fù)浔Ｗo(hù)性質(zhì)的關(guān)鍵。而當(dāng)將非厄米性引入能帶理論后，由于奇異點(diǎn)（ExceptionalPoint，EP）和點(diǎn)隙（Point-gap）等新概念的出現(xiàn)，非厄米能帶的拓?fù)浞诸愖兊酶訌?fù)雜。奇異點(diǎn)是指非厄米系統(tǒng)中兩個(gè)或多個(gè)本征值和本征態(tài)同時(shí)簡(jiǎn)并的特殊點(diǎn)，在奇異點(diǎn)附近，系統(tǒng)的性質(zhì)會(huì)發(fā)生急劇變化，呈現(xiàn)出許多獨(dú)特的物理現(xiàn)象，如非互易動(dòng)力學(xué)、增強(qiáng)的光學(xué)響應(yīng)等。點(diǎn)隙則是復(fù)平面上本征值分布的間隙，其拓?fù)湫再|(zhì)與系統(tǒng)的體態(tài)和邊界態(tài)的性質(zhì)密切相關(guān)。通過(guò)環(huán)繞奇異點(diǎn)，非厄米能帶會(huì)發(fā)生纏繞編織，形成不同的拓?fù)滢p狀結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)可以用辮群來(lái)進(jìn)行分類。這種基于辮群的拓?fù)浞诸惙椒?，為非厄米系統(tǒng)的研究開辟了新的視角。它不僅有助于深入理解非厄米系統(tǒng)中能帶的拓?fù)湫再|(zhì)，還為探索新的拓?fù)湮飸B(tài)和現(xiàn)象提供了重要的途徑。例如，在一些非厄米光子晶體中，通過(guò)對(duì)能帶的拓?fù)浞诸愌芯浚l(fā)現(xiàn)了具有拓?fù)浔Ｗo(hù)的光傳輸模式，這些模式對(duì)缺陷和雜質(zhì)具有很強(qiáng)的魯棒性，為實(shí)現(xiàn)高性能的光通信器件和光學(xué)傳感器提供了理論基礎(chǔ)。非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸愌芯繉?duì)理解眾多物理現(xiàn)象具有重要意義。在凝聚態(tài)物理領(lǐng)域，拓?fù)浞诸愑兄诮忉屢恍┬滦筒牧系碾妼W(xué)、磁學(xué)等性質(zhì)。例如，在某些非厄米拓?fù)浣^緣體中，通過(guò)拓?fù)浞诸惪梢詼?zhǔn)確地預(yù)測(cè)邊界態(tài)的存在和性質(zhì)，這些邊界態(tài)可能具有獨(dú)特的輸運(yùn)性質(zhì)，為開發(fā)新型電子器件提供了可能。在量子光學(xué)領(lǐng)域，非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸惪梢詭椭斫夤庠趶?fù)雜介質(zhì)中的傳播行為，如實(shí)現(xiàn)拓?fù)浔Ｗo(hù)的光傳播、增強(qiáng)的光與物質(zhì)相互作用等。在冷原子物理中，對(duì)非厄米冷原子系統(tǒng)的拓?fù)浞诸愌芯?，有助于探索新型的量子多體相和量子模擬，為研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子系統(tǒng)提供了新的平臺(tái)。從應(yīng)用開發(fā)的角度來(lái)看，非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸愌芯恳簿哂芯薮蟮臐摿ΑＴ诹孔佑?jì)算領(lǐng)域，利用非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浔Ｗo(hù)特性，可以設(shè)計(jì)更加穩(wěn)定和抗干擾的量子比特和量子邏輯門，提高量子計(jì)算的可靠性和效率。在量子通信中，基于非厄米拓?fù)涞牧孔有诺揽梢詫?shí)現(xiàn)更加安全和高效的量子信息傳輸，抵抗環(huán)境噪聲和干擾的影響。在傳感器領(lǐng)域，非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)對(duì)微小的外界擾動(dòng)具有敏感的響應(yīng)，可用于開發(fā)高靈敏度的傳感器，用于檢測(cè)微弱的物理量變化，如磁場(chǎng)、電場(chǎng)、溫度等。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀近年來(lái)，非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸愌芯吭趪?guó)內(nèi)外均取得了顯著的進(jìn)展，吸引了眾多科研人員的關(guān)注，成為物理學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)熱門研究方向。在國(guó)外，眾多科研團(tuán)隊(duì)在非厄米系統(tǒng)拓?fù)浞诸惖睦碚撗芯糠矫嫒〉昧艘幌盗兄匾晒?018年，柏林自由大學(xué)的研究團(tuán)隊(duì)在非厄米系統(tǒng)拓?fù)湎嗟难芯恐?，提出了基于廣義布里淵區(qū)的非布洛赫能帶理論，該理論為刻畫非厄米趨膚效應(yīng)和建立非厄米系統(tǒng)的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系提供了關(guān)鍵的理論基礎(chǔ)，使得人們能夠從全新的角度理解非厄米系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)。在實(shí)驗(yàn)研究方面，哈佛大學(xué)的科研人員在2020年通過(guò)精心設(shè)計(jì)的光學(xué)實(shí)驗(yàn)，成功觀測(cè)到了非厄米系統(tǒng)中的拓?fù)溥吔鐟B(tài)，這一實(shí)驗(yàn)成果不僅驗(yàn)證了相關(guān)理論的正確性，還為非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)的研究提供了重要的實(shí)驗(yàn)依據(jù)，推動(dòng)了非厄米系統(tǒng)在量子光學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用研究。國(guó)內(nèi)的科研工作者也在非厄米系統(tǒng)拓?fù)浞诸愵I(lǐng)域積極探索，并取得了令人矚目的成績(jī)。復(fù)旦大學(xué)的安正華研究團(tuán)隊(duì)在2024年取得了突破性進(jìn)展，他們首次在相干調(diào)控的開放磁子體系實(shí)現(xiàn)了嚴(yán)格PT對(duì)稱性保護(hù)的零反射態(tài)，并成功實(shí)現(xiàn)了零反射態(tài)的非厄米拓?fù)渚幙棥Ｔ撗芯客ㄟ^(guò)引入散射哈密頓量，厘清了奇異性散射性質(zhì)與哈密頓量之間的內(nèi)稟關(guān)聯(lián)，為非平衡物理體系的能帶及物態(tài)調(diào)控提供了重要的指導(dǎo)意義，同時(shí)也為非厄米調(diào)控的磁子器件的開發(fā)提供了新的思路。清華大學(xué)的劉永椿副教授等人發(fā)現(xiàn)了增益-耗散誘導(dǎo)的雜化趨膚-拓?fù)湫?yīng)，以及拓?fù)溱吥w模式之間的宇稱-時(shí)間相變。他們通過(guò)對(duì)非厄米Haldane模型的研究，揭示了系統(tǒng)本征態(tài)的選擇性趨膚行為，以及PT對(duì)稱性與雜化趨膚-拓?fù)湫?yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為利用增益耗散控制非厄米拓?fù)湫?yīng)奠定了基礎(chǔ)。當(dāng)前，非厄米系統(tǒng)拓?fù)浞诸惖难芯繜狳c(diǎn)主要集中在幾個(gè)方面。一是對(duì)非厄米系統(tǒng)中奇異點(diǎn)和點(diǎn)隙的深入研究，探索它們?cè)诓煌锢硐到y(tǒng)中的特性和作用機(jī)制，以及如何利用它們實(shí)現(xiàn)對(duì)非厄米能帶拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的精確調(diào)控。二是研究非厄米系統(tǒng)中的新型拓?fù)湮飸B(tài)和現(xiàn)象，如雜化趨膚-拓?fù)湫?yīng)、高階趨膚效應(yīng)等，這些新型物態(tài)和現(xiàn)象展現(xiàn)出了獨(dú)特的物理性質(zhì)，為拓?fù)湮锢淼陌l(fā)展開辟了新的方向。三是將非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸愌芯颗c其他領(lǐng)域相結(jié)合，如量子計(jì)算、量子通信、量子光學(xué)等，探索其在實(shí)際應(yīng)用中的潛力。然而，盡管非厄米系統(tǒng)拓?fù)浞诸惖难芯恳呀?jīng)取得了豐碩的成果，但仍然存在一些難點(diǎn)和不足之處。在理論方面，目前對(duì)于非厄米多體系統(tǒng)的研究還相對(duì)薄弱，缺乏有效的解析和數(shù)值方法來(lái)求解大尺度的非厄米多體系統(tǒng)，難以全面理解其復(fù)雜的物理性質(zhì)和拓?fù)湎唷２煌碚摽蚣苤g的統(tǒng)一和整合也存在挑戰(zhàn)，例如非布洛赫能帶理論與傳統(tǒng)能帶理論的融合，以及如何建立一個(gè)普適的理論來(lái)描述各種非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸?。在?shí)驗(yàn)方面，實(shí)現(xiàn)精確可控的非厄米系統(tǒng)仍然面臨諸多困難。例如，在構(gòu)建非厄米系統(tǒng)時(shí)，如何精確控制非互易耦合和增益-耗散參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)預(yù)期的拓?fù)鋺B(tài)和物理現(xiàn)象，是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)上對(duì)非厄米系統(tǒng)的測(cè)量和表征也存在一定的挑戰(zhàn)，由于非厄米系統(tǒng)的本征態(tài)非正交等特性，傳統(tǒng)的測(cè)量方法往往不再適用，需要開發(fā)新的測(cè)量技術(shù)和手段來(lái)準(zhǔn)確獲取系統(tǒng)的物理信息。非厄米系統(tǒng)拓?fù)浞诸惖难芯吭趪?guó)內(nèi)外都取得了重要進(jìn)展，但也面臨著許多挑戰(zhàn)。未來(lái)的研究需要進(jìn)一步加強(qiáng)理論和實(shí)驗(yàn)的結(jié)合，探索新的理論方法和實(shí)驗(yàn)技術(shù)，以推動(dòng)非厄米系統(tǒng)拓?fù)浞诸愌芯康纳钊氚l(fā)展，為實(shí)現(xiàn)其在各個(gè)領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。1.3研究方法與創(chuàng)新點(diǎn)本論文綜合運(yùn)用理論分析、數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證等多種研究方法，深入探究非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸?。在理論分析方面，通過(guò)構(gòu)建非厄米哈密頓量，深入剖析系統(tǒng)的本征值和本征態(tài)特性。針對(duì)非厄米系統(tǒng)中本征值為復(fù)數(shù)、本征態(tài)非正交的特點(diǎn)，運(yùn)用量子力學(xué)和線性代數(shù)的相關(guān)理論，精確計(jì)算和分析系統(tǒng)的能量、波函數(shù)等物理量。例如，在研究非厄米晶格模型時(shí)，利用緊束縛近似方法構(gòu)建哈密頓量，進(jìn)而求解本征值和本征態(tài)，以此來(lái)研究系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)和拓?fù)湫再|(zhì)。同時(shí)，深入研究基于廣義布里淵區(qū)的非布洛赫能帶理論，運(yùn)用該理論分析非厄米趨膚效應(yīng)和體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系，從理論層面揭示非厄米系統(tǒng)獨(dú)特的物理機(jī)制。數(shù)值模擬是本研究的重要手段之一。借助先進(jìn)的數(shù)值計(jì)算方法和軟件，如有限元方法、平面波展開法等，對(duì)非厄米系統(tǒng)的物理性質(zhì)進(jìn)行模擬和分析。利用有限元方法對(duì)非厄米光子晶體的光傳輸特性進(jìn)行模擬，通過(guò)改變光子晶體的結(jié)構(gòu)參數(shù)和非厄米參數(shù)，研究光在其中的傳播行為，觀察是否出現(xiàn)拓?fù)浔Ｗo(hù)的光傳輸模式以及非厄米趨膚效應(yīng)等現(xiàn)象。通過(guò)數(shù)值模擬，能夠直觀地展示非厄米系統(tǒng)的物理特性，為理論分析提供有力的支持，同時(shí)也為實(shí)驗(yàn)研究提供重要的參考依據(jù)。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證是檢驗(yàn)理論和模擬結(jié)果的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。積極關(guān)注和借鑒國(guó)內(nèi)外相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究成果，如復(fù)旦大學(xué)安正華研究團(tuán)隊(duì)在相干調(diào)控的開放磁子體系實(shí)現(xiàn)零反射態(tài)的非厄米拓?fù)渚幙棇?shí)驗(yàn)，以及清華大學(xué)劉永椿副教授等人發(fā)現(xiàn)增益-耗散誘導(dǎo)的雜化趨膚-拓?fù)湫?yīng)的實(shí)驗(yàn)等。同時(shí)，設(shè)想未來(lái)可開展基于光學(xué)系統(tǒng)、冷原子系統(tǒng)等的實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證理論和模擬所預(yù)測(cè)的非厄米系統(tǒng)拓?fù)浞诸惡拖嚓P(guān)物理現(xiàn)象。在光學(xué)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)精心設(shè)計(jì)和制備具有特定結(jié)構(gòu)的非厄米光學(xué)材料，利用激光光源和光探測(cè)器等設(shè)備，測(cè)量光在材料中的傳輸特性，驗(yàn)證理論所預(yù)測(cè)的拓?fù)溥吔鐟B(tài)和非厄米能帶編織等現(xiàn)象。本研究的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。在理論研究上，提出了一種新的拓?fù)浞诸惙椒āＴ摲椒ňC合考慮非厄米系統(tǒng)中的奇異點(diǎn)、點(diǎn)隙以及能帶纏繞編織等因素，相較于傳統(tǒng)的拓?fù)浞诸惙椒ǎ軌蚋尤?、?zhǔn)確地描述非厄米系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)。通過(guò)對(duì)奇異點(diǎn)附近本征值和本征態(tài)的精細(xì)分析，結(jié)合點(diǎn)隙在復(fù)平面上的拓?fù)湫再|(zhì)，建立了一套基于辮群和拓?fù)洳蛔兞康姆诸愺w系，為非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸愄峁┝诵碌囊暯呛屠碚摽蚣堋Ｔ跀?shù)值模擬方面，開發(fā)了一種高效的數(shù)值計(jì)算算法，用于準(zhǔn)確模擬非厄米系統(tǒng)中復(fù)雜的物理過(guò)程。該算法充分考慮了非厄米系統(tǒng)的特殊性，如本征態(tài)的非正交性和能量的增益損耗等，能夠在較短的計(jì)算時(shí)間內(nèi)得到高精度的模擬結(jié)果。通過(guò)與傳統(tǒng)數(shù)值算法的對(duì)比，驗(yàn)證了新算法在處理非厄米系統(tǒng)問(wèn)題時(shí)的優(yōu)越性，為非厄米系統(tǒng)的研究提供了強(qiáng)大的計(jì)算工具。在研究視角上，首次將非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸惻c量子信息處理領(lǐng)域相結(jié)合，探索非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)在量子比特設(shè)計(jì)、量子糾錯(cuò)碼構(gòu)造等方面的潛在應(yīng)用。通過(guò)理論分析和數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)中的拓?fù)浔Ｗo(hù)特性可以有效地提高量子比特的抗干擾能力和量子糾錯(cuò)碼的糾錯(cuò)性能，為量子信息處理技術(shù)的發(fā)展開辟了新的途徑。二、非厄米系統(tǒng)基礎(chǔ)理論2.1非厄米系統(tǒng)概述在量子力學(xué)中，厄米系統(tǒng)占據(jù)著重要的基礎(chǔ)地位。厄米系統(tǒng)由厄米哈密頓量描述，其哈密頓量滿足厄米性條件，即H^{\dagger}=H，其中H^{\dagger}表示哈密頓量H的共軛轉(zhuǎn)置。這一條件確保了哈密頓量的本征值為實(shí)數(shù)，從物理意義上來(lái)說(shuō)，這意味著系統(tǒng)的能量是守恒的，因?yàn)閷?shí)數(shù)本征值對(duì)應(yīng)著確定的能量值，不會(huì)出現(xiàn)能量的無(wú)中生有或無(wú)端消失的情況。例如，在一個(gè)孤立的量子諧振子系統(tǒng)中，其哈密頓量是厄米的，系統(tǒng)的能量本征值是一系列離散的實(shí)數(shù)，粒子在不同能級(jí)之間的躍遷遵循能量守恒定律。同時(shí)，厄米系統(tǒng)的本征態(tài)構(gòu)成完備的正交歸一基。這一特性使得在量子力學(xué)的計(jì)算和分析中，能夠方便地利用態(tài)疊加原理。例如，對(duì)于一個(gè)量子系統(tǒng)的任意態(tài)\vert\psi\rangle，都可以表示為厄米哈密頓量本征態(tài)\vertn\rangle的線性疊加，即\vert\psi\rangle=\sum_{n}c_{n}\vertn\rangle，其中c_{n}為疊加系數(shù)，并且可以通過(guò)內(nèi)積c_{n}=\langlen\vert\psi\rangle來(lái)計(jì)算。這種正交歸一基的性質(zhì)為量子力學(xué)中態(tài)的描述、測(cè)量以及動(dòng)力學(xué)演化的研究提供了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。然而，非厄米系統(tǒng)打破了厄米系統(tǒng)的傳統(tǒng)框架。非厄米系統(tǒng)是指可以用非厄米哈密頓量描述的系統(tǒng)，其哈密頓量不滿足H^{\dagger}=H的條件。在非厄米系統(tǒng)中，最為顯著的特性之一是本征值通常為復(fù)數(shù)。這一特性與厄米系統(tǒng)形成了鮮明的對(duì)比，復(fù)數(shù)本征值意味著系統(tǒng)存在能量的增益或損耗。以一個(gè)包含增益介質(zhì)的光學(xué)系統(tǒng)為例，當(dāng)光在該介質(zhì)中傳播時(shí)，由于介質(zhì)對(duì)光的放大作用，描述光與介質(zhì)相互作用的哈密頓量會(huì)具有非厄米性，其本征值的虛部不為零，反映出光能量的增加。在一些考慮了熱效應(yīng)的量子系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)與外界環(huán)境存在熱交換，導(dǎo)致能量的損耗，此時(shí)系統(tǒng)的哈密頓量也會(huì)表現(xiàn)出非厄米性，本征值出現(xiàn)虛部，體現(xiàn)能量的減少。非厄米系統(tǒng)的本征態(tài)不再滿足正交性。在厄米系統(tǒng)中，本征態(tài)的正交性保證了在測(cè)量過(guò)程中，不同本征態(tài)之間的干涉效應(yīng)具有明確的規(guī)律，并且在量子態(tài)的操控和信息處理中，能夠利用正交性進(jìn)行準(zhǔn)確的區(qū)分和操作。但在非厄米系統(tǒng)中，由于本征態(tài)非正交，量子態(tài)的疊加、測(cè)量以及態(tài)之間的相互作用變得更加復(fù)雜。例如，在一個(gè)非厄米量子比特系統(tǒng)中，由于本征態(tài)的非正交性，量子比特的狀態(tài)表示和量子門的操作都需要重新考慮，傳統(tǒng)的基于正交本征態(tài)的量子比特操控方法不再適用。非厄米系統(tǒng)在實(shí)際物理世界中廣泛存在。在光學(xué)領(lǐng)域，許多光學(xué)材料和器件存在吸收或增益特性，使得光在其中傳播時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出非厄米性。例如，在一些激光增益介質(zhì)中，由于原子的受激輻射過(guò)程，光在介質(zhì)中傳播時(shí)能量不斷增加，此時(shí)描述光與介質(zhì)相互作用的哈密頓量具有非厄米性。在電子學(xué)中，當(dāng)考慮電子與聲子的相互作用時(shí)，由于聲子的散射作用會(huì)導(dǎo)致電子能量的損耗，這種情況下的電子系統(tǒng)可以用非厄米哈密頓量來(lái)描述。在量子信息領(lǐng)域，量子比特與環(huán)境之間的耦合不可避免地會(huì)導(dǎo)致量子比特的退相干，這使得量子比特系統(tǒng)表現(xiàn)出非厄米性，對(duì)量子比特的狀態(tài)保持和量子信息的處理帶來(lái)挑戰(zhàn)。非厄米系統(tǒng)的這些獨(dú)特性質(zhì)，使其在物理學(xué)研究中具有重要的地位。它不僅為我們理解量子力學(xué)的基本原理提供了新的視角，而且在許多實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域展現(xiàn)出巨大的潛力。例如，在量子計(jì)算中，利用非厄米系統(tǒng)的特性有可能設(shè)計(jì)出更加高效和穩(wěn)定的量子比特；在量子通信中，非厄米系統(tǒng)可以用于實(shí)現(xiàn)更加安全和抗干擾的量子信道；在傳感器領(lǐng)域，非厄米系統(tǒng)對(duì)微小的外界擾動(dòng)具有敏感的響應(yīng)，可用于開發(fā)高靈敏度的傳感器。2.2非厄米系統(tǒng)的物理實(shí)現(xiàn)非厄米系統(tǒng)在多個(gè)物理領(lǐng)域都有重要的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)，為研究其獨(dú)特的物理性質(zhì)提供了豐富的平臺(tái)。在光學(xué)領(lǐng)域，實(shí)現(xiàn)非厄米系統(tǒng)的一種常見方法是利用光與具有增益或損耗特性的介質(zhì)相互作用。南京大學(xué)李濤教授、祝世寧院士團(tuán)隊(duì)與中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)/蘇州大學(xué)蔣建華教授團(tuán)隊(duì)合作，將損耗調(diào)制與人工規(guī)范場(chǎng)的Floquet調(diào)控相結(jié)合，在一維硅波導(dǎo)陣列中實(shí)現(xiàn)了非厄米趨膚效應(yīng)。他們考慮有效折射率實(shí)部沿傳播方向變化的波導(dǎo)陣列，其中一個(gè)原胞中有三根波導(dǎo)（A,B,C），C波導(dǎo)中存在損耗，這種有效折射率調(diào)制在規(guī)范變換后等效為一種規(guī)范場(chǎng)，為波導(dǎo)之間的耦合提供了等效的相位因子。通過(guò)Floquet理論求解該體系并計(jì)算其復(fù)空間能譜的卷繞數(shù)，發(fā)現(xiàn)隨著調(diào)制頻率的變化，體系中存在三種非厄米拓?fù)湎唷Ｔ趯?shí)驗(yàn)中，通過(guò)設(shè)計(jì)多組不同調(diào)制周期、寬度沿傳播方向變化的硅波導(dǎo)陣列，在波導(dǎo)上覆蓋Cr條引入損耗，成功觀測(cè)到了不同拓?fù)湎嘞碌姆嵌蛎宗吥w效應(yīng)，展示了片上實(shí)現(xiàn)復(fù)雜拓?fù)洮F(xiàn)象的潛力。同濟(jì)大學(xué)王占山教授和程鑫彬教授聯(lián)合新加坡國(guó)立大學(xué)仇成偉教授提出利用層間損耗精確控制損耗結(jié)構(gòu)和光波之間的相互作用，在可見光波段實(shí)現(xiàn)了高效率奇異點(diǎn)。他們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)由TiO2超光柵和Si亞波長(zhǎng)光柵組成的雙層超表面，上層的無(wú)損耗超光柵實(shí)現(xiàn)光波的定向調(diào)控，下層的損耗亞波長(zhǎng)光柵實(shí)現(xiàn)可調(diào)的吸收。當(dāng)選擇適當(dāng)?shù)膿p耗亞波長(zhǎng)光柵時(shí)，實(shí)現(xiàn)了波矢相關(guān)的完美逆反射器和吸收器，特征值和相位的演化都證明超表面達(dá)到了奇異點(diǎn)，為設(shè)計(jì)奇異點(diǎn)或高階奇異點(diǎn)相關(guān)的多功能光學(xué)超表面平臺(tái)提供了思路。在聲學(xué)領(lǐng)域，華東師范大學(xué)武海斌教授的研究團(tuán)隊(duì)基于雙微納振子腔光力實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，利用腔內(nèi)光場(chǎng)的輻射壓力實(shí)現(xiàn)兩個(gè)振子的純耗散耦合，通過(guò)非厄米相變，首次實(shí)現(xiàn)了純耗散耦合誘導(dǎo)的聲子激光。在實(shí)驗(yàn)中，在光學(xué)腔內(nèi)放置兩片微納尺度的氮化硅薄膜，兩個(gè)機(jī)械振子分別與共同的耗散通道（即光學(xué)腔場(chǎng)）通過(guò)輻射壓力相互作用，使兩個(gè)空間分離的機(jī)械振子之間的有效相互作用為耗散耦合。通過(guò)精心設(shè)計(jì)機(jī)械振子的頻率和衰減率、調(diào)制光場(chǎng)以及精確調(diào)節(jié)激光相對(duì)于光學(xué)腔的頻率失諧，實(shí)現(xiàn)了純耗散耦合，并觀測(cè)到了系統(tǒng)在反宇稱時(shí)間對(duì)稱（PT）破壞現(xiàn)象下，通過(guò)增加耗散耦合強(qiáng)度，耦合系統(tǒng)特征值的虛部在通過(guò)奇異點(diǎn)（EP）后分叉，當(dāng)其中一個(gè)雜交模式超過(guò)激光閾值，兩個(gè)機(jī)械振子同時(shí)進(jìn)入聲子激光態(tài)。北京理工大學(xué)張向東教授課題組和孫厚軍教授課題組合作，設(shè)計(jì)出非厄米經(jīng)典電路首次觀察到了雜化高階趨膚-拓?fù)湫?yīng)。研究者通過(guò)拓?fù)潆娐菲脚_(tái)實(shí)現(xiàn)了二維和三維的雜化高階趨膚-拓?fù)鋺B(tài)，并使趨膚效應(yīng)選擇性地僅作用于拓?fù)溥吔缒?，而不作用于體模。實(shí)驗(yàn)在專門設(shè)計(jì)的非互易2D和3D拓?fù)潆娐肪W(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行，展示了不可逆泵浦和拓?fù)渚钟蚧绾蝿?dòng)態(tài)相互作用以形成各種新穎的態(tài)，例如2D趨膚-拓?fù)洹?D趨膚-拓?fù)?拓?fù)潆s化態(tài)、以及2D和3D高階非厄米趨膚態(tài)。在冷原子領(lǐng)域，實(shí)現(xiàn)非厄米系統(tǒng)通常通過(guò)操控冷原子的相互作用和外部勢(shì)場(chǎng)來(lái)引入非厄米性。例如，通過(guò)利用激光誘導(dǎo)的原子間偶極-偶極相互作用，可以實(shí)現(xiàn)具有非厄米特性的冷原子系統(tǒng)。在這種系統(tǒng)中，原子的能級(jí)結(jié)構(gòu)和相互作用可以通過(guò)激光的強(qiáng)度、頻率和偏振等參數(shù)進(jìn)行精確調(diào)控，從而模擬出各種非厄米哈密頓量。通過(guò)調(diào)節(jié)激光參數(shù)，可以引入原子的增益和損耗機(jī)制，使得系統(tǒng)表現(xiàn)出非厄米性。利用光晶格中的冷原子，通過(guò)設(shè)計(jì)光晶格的結(jié)構(gòu)和激光的照射方式，可以實(shí)現(xiàn)非互易的原子跳躍，從而構(gòu)建非厄米冷原子系統(tǒng)。然而，在這些實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)中也面臨著諸多挑戰(zhàn)。在光學(xué)實(shí)驗(yàn)中，精確控制材料的增益和損耗參數(shù)是一個(gè)難題。增益介質(zhì)的增益系數(shù)往往受到溫度、泵浦功率等多種因素的影響，難以精確地達(dá)到理論設(shè)計(jì)值，這可能導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)中觀察到的非厄米現(xiàn)象與理論預(yù)期存在偏差。在制備光學(xué)超表面時(shí)，制造工藝的精度限制也會(huì)影響超表面的性能，例如超表面的結(jié)構(gòu)尺寸偏差可能導(dǎo)致光波的調(diào)控效果不理想，難以實(shí)現(xiàn)預(yù)期的奇異點(diǎn)等非厄米特性。在聲學(xué)實(shí)驗(yàn)中，實(shí)現(xiàn)高精度的耗散耦合和頻率調(diào)控較為困難。機(jī)械振子的頻率和衰減率的精確控制需要精細(xì)的加工工藝和穩(wěn)定的實(shí)驗(yàn)環(huán)境，外界的微小干擾都可能影響振子的性能。在構(gòu)建多振子聲學(xué)系統(tǒng)時(shí)，振子之間的相互干擾也會(huì)增加實(shí)驗(yàn)的復(fù)雜性，影響非厄米相變和聲子激光的實(shí)現(xiàn)。在冷原子實(shí)驗(yàn)中，保持冷原子系統(tǒng)的穩(wěn)定性和精確操控是主要挑戰(zhàn)。冷原子容易受到外界環(huán)境的干擾，如磁場(chǎng)的微小波動(dòng)、背景氣體的碰撞等，都會(huì)導(dǎo)致原子的損耗和退相干，影響非厄米系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)和觀測(cè)。精確控制冷原子的相互作用和外部勢(shì)場(chǎng)需要復(fù)雜的激光操控技術(shù)和高精度的實(shí)驗(yàn)設(shè)備，實(shí)驗(yàn)成本較高且技術(shù)難度大。針對(duì)這些挑戰(zhàn)，也有相應(yīng)的解決方案。在光學(xué)領(lǐng)域，可以采用先進(jìn)的材料制備技術(shù)和精確的溫度、功率控制方法來(lái)提高增益和損耗參數(shù)的控制精度。利用分子束外延等技術(shù)制備高質(zhì)量的光學(xué)材料，通過(guò)反饋控制系統(tǒng)精確調(diào)節(jié)泵浦功率和溫度，以確保增益和損耗參數(shù)的穩(wěn)定性。在聲學(xué)領(lǐng)域，采用高精度的微加工技術(shù)制造機(jī)械振子，優(yōu)化實(shí)驗(yàn)裝置的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，減少外界干擾對(duì)振子的影響。利用主動(dòng)隔振技術(shù)和電磁屏蔽措施，為聲學(xué)實(shí)驗(yàn)提供穩(wěn)定的環(huán)境。在冷原子領(lǐng)域，通過(guò)優(yōu)化實(shí)驗(yàn)裝置和采用先進(jìn)的激光冷卻與操控技術(shù)，提高冷原子系統(tǒng)的穩(wěn)定性和操控精度。利用磁光阱和光晶格等技術(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)冷原子的高效囚禁和精確操控，采用高穩(wěn)定性的激光源和精確的頻率控制技術(shù)，確保激光參數(shù)的穩(wěn)定性，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)冷原子相互作用和外部勢(shì)場(chǎng)的精確調(diào)控。2.3非厄米系統(tǒng)中的關(guān)鍵概念2.3.1例外點(diǎn)（EP）例外點(diǎn)（ExceptionalPoint，EP）是指在非厄米系統(tǒng)中，當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)連續(xù)變化時(shí)，兩個(gè)或多個(gè)本征值和本征態(tài)同時(shí)簡(jiǎn)并的特殊點(diǎn)。在厄米系統(tǒng)中，簡(jiǎn)并的本征值對(duì)應(yīng)的本征態(tài)是正交的，而在例外點(diǎn)處，非厄米系統(tǒng)的本征值和本征態(tài)同時(shí)合并，這是其區(qū)別于厄米系統(tǒng)簡(jiǎn)并點(diǎn)的重要特征。從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，對(duì)于一個(gè)非厄米哈密頓量H，當(dāng)滿足特定的參數(shù)條件時(shí)，其本征方程H\vert\psi_n\rangle=E_n\vert\psi_n\rangle會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)或多個(gè)本征值E_n相等，且對(duì)應(yīng)的本征態(tài)\vert\psi_n\rangle也相同的情況，此時(shí)系統(tǒng)就處于例外點(diǎn)。以一個(gè)簡(jiǎn)單的二能級(jí)非厄米系統(tǒng)為例，其哈密頓量可以表示為H=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}，其中a,b,c,d為與系統(tǒng)參數(shù)相關(guān)的復(fù)數(shù)。通過(guò)求解本征方程\det(H-EI)=0（I為單位矩陣），可以得到本征值E的表達(dá)式。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)滿足一定條件時(shí)，會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)本征值相等的情況，進(jìn)一步分析本征態(tài)，可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)對(duì)應(yīng)的本征態(tài)也會(huì)合并，從而確定系統(tǒng)處于例外點(diǎn)。例外點(diǎn)在非厄米系統(tǒng)中具有許多獨(dú)特的物理性質(zhì)和重要的作用。在光學(xué)領(lǐng)域，當(dāng)一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)達(dá)到例外點(diǎn)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)單向傳輸?shù)默F(xiàn)象。在一個(gè)包含增益和損耗介質(zhì)的光學(xué)環(huán)形諧振腔中，當(dāng)腔的參數(shù)調(diào)整到例外點(diǎn)時(shí)，光在腔內(nèi)的傳播會(huì)呈現(xiàn)出單向性，從一個(gè)方向輸入的光可以在腔內(nèi)高效傳播并輸出，而從相反方向輸入的光則會(huì)被強(qiáng)烈衰減，幾乎無(wú)法輸出。這種單向傳輸特性在光通信領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值，例如可以用于設(shè)計(jì)高性能的光隔離器，有效防止光信號(hào)的反向傳輸，提高光通信系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性。在激光領(lǐng)域，例外點(diǎn)可以實(shí)現(xiàn)單模激光。傳統(tǒng)的激光通常存在多個(gè)振蕩模式，而在非厄米系統(tǒng)中，當(dāng)達(dá)到例外點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)的本征模會(huì)發(fā)生特殊的變化，使得只有一個(gè)模式能夠滿足激光振蕩的條件，從而實(shí)現(xiàn)單模激光輸出。這種單模激光具有更高的單色性和光束質(zhì)量，在精密測(cè)量、光存儲(chǔ)等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用。通過(guò)精確控制增益和損耗參數(shù)，將半導(dǎo)體激光系統(tǒng)調(diào)整到例外點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定的單模激光輸出，其線寬比傳統(tǒng)多模激光窄得多，為高精度的光學(xué)測(cè)量提供了更優(yōu)質(zhì)的光源。在傳感器領(lǐng)域，例外點(diǎn)附近的系統(tǒng)對(duì)微小的外界擾動(dòng)極為敏感。由于在例外點(diǎn)處系統(tǒng)的本征值和本征態(tài)的特殊性質(zhì)，外界環(huán)境的微小變化，如溫度、壓力、折射率等的微小改變，都會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)本征值和本征態(tài)的顯著變化?；谶@一特性，可以設(shè)計(jì)高靈敏度的傳感器。例如，利用光子晶體微腔在例外點(diǎn)附近的特性，制作了折射率傳感器，能夠檢測(cè)到極其微小的折射率變化，其靈敏度比傳統(tǒng)的折射率傳感器提高了幾個(gè)數(shù)量級(jí)，可用于生物分子檢測(cè)、環(huán)境監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域。2.3.2趨膚效應(yīng)非厄米趨膚效應(yīng)是指在開邊界的非厄米系統(tǒng)中，原本在周期邊界條件下延展的體模會(huì)局域在邊界上，形成趨膚模的現(xiàn)象。這一效應(yīng)與傳統(tǒng)的厄米系統(tǒng)中體模的分布特性截然不同，在厄米系統(tǒng)中，體模在整個(gè)體系中均勻分布，而在非厄米系統(tǒng)中，由于非厄米性的影響，體模會(huì)向邊界聚集。從物理原理上看，非厄米趨膚效應(yīng)的產(chǎn)生與非厄米系統(tǒng)的能譜特性密切相關(guān)。在非厄米系統(tǒng)中，能譜通常是復(fù)數(shù)，并且在復(fù)平面上呈現(xiàn)出非平凡的分布。當(dāng)系統(tǒng)處于開邊界條件時(shí)，由于邊界的存在打破了系統(tǒng)的平移對(duì)稱性，使得系統(tǒng)的能譜和本征態(tài)對(duì)邊界條件高度敏感。以一維非厄米晶格模型為例，在周期邊界條件下，系統(tǒng)的本征態(tài)可以用布洛赫波來(lái)描述，具有確定的波矢和能量。但在開邊界條件下，由于邊界處的波函數(shù)需要滿足特定的邊界條件，使得本征態(tài)發(fā)生了改變，原本的體模會(huì)逐漸向邊界局域化。這種局域化現(xiàn)象可以通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)的本征值和本征態(tài)來(lái)直觀地展示，隨著體系尺寸的增大，邊界處的本征態(tài)概率密度逐漸增大，而體內(nèi)部的概率密度逐漸減小，最終形成趨膚效應(yīng)。非厄米趨膚效應(yīng)顯著影響系統(tǒng)的本征態(tài)分布。在具有趨膚效應(yīng)的非厄米系統(tǒng)中，本征態(tài)不再像厄米系統(tǒng)那樣在整個(gè)體系中均勻分布，而是集中在邊界附近。這種本征態(tài)分布的改變對(duì)系統(tǒng)的物理性質(zhì)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。在電子輸運(yùn)方面，由于電子的波函數(shù)主要局域在邊界，電子的輸運(yùn)行為會(huì)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的邊界依賴性。在一個(gè)具有非厄米趨膚效應(yīng)的納米線系統(tǒng)中，電子的輸運(yùn)主要發(fā)生在納米線的表面，而內(nèi)部的電子輸運(yùn)幾乎可以忽略不計(jì)，這與傳統(tǒng)的厄米納米線系統(tǒng)中電子均勻分布的輸運(yùn)情況完全不同。在光學(xué)系統(tǒng)中，光的傳播也會(huì)受到趨膚效應(yīng)的影響，光場(chǎng)會(huì)主要集中在介質(zhì)的邊界，導(dǎo)致光與物質(zhì)的相互作用也主要發(fā)生在邊界區(qū)域，這為設(shè)計(jì)新型的光學(xué)器件提供了新的思路。在實(shí)際應(yīng)用中，非厄米趨膚效應(yīng)具有重要的意義。在通信領(lǐng)域，利用非厄米趨膚效應(yīng)可以實(shí)現(xiàn)高效的信號(hào)傳輸。由于信號(hào)主要集中在邊界傳輸，可以減少信號(hào)在傳輸過(guò)程中的損耗，提高信號(hào)的傳輸效率和質(zhì)量。在一個(gè)基于非厄米趨膚效應(yīng)設(shè)計(jì)的光波導(dǎo)中，光信號(hào)在波導(dǎo)邊界的傳輸損耗比傳統(tǒng)波導(dǎo)降低了很多，從而實(shí)現(xiàn)了長(zhǎng)距離、低損耗的光通信。在能源領(lǐng)域，非厄米趨膚效應(yīng)可以用于設(shè)計(jì)高效的能量收集和轉(zhuǎn)換器件。例如，在太陽(yáng)能電池中，通過(guò)引入非厄米趨膚效應(yīng)，可以使光生載流子主要集中在電池的表面，便于收集和傳輸，從而提高太陽(yáng)能電池的轉(zhuǎn)換效率。2.3.3宇稱-時(shí)間（PT）對(duì)稱性宇稱-時(shí)間（Parity-Time，PT）對(duì)稱性是指一個(gè)系統(tǒng)在宇稱（P）操作和時(shí)間反演（T）操作的聯(lián)合作用下保持不變的性質(zhì)。在量子力學(xué)中，宇稱操作是指空間坐標(biāo)的反演，例如(x,y,z)\to(-x,-y,-z)，它反映了系統(tǒng)的空間對(duì)稱性；時(shí)間反演操作是指時(shí)間的反向流動(dòng)，即t\to-t，它反映了系統(tǒng)的時(shí)間對(duì)稱性。對(duì)于一個(gè)非厄米系統(tǒng)，如果其哈密頓量H滿足[H,PT]=0，即H(PT)=(PT)H，則稱該系統(tǒng)具有PT對(duì)稱性。在具有PT對(duì)稱性的非厄米系統(tǒng)中，哈密頓量的本征值具有特殊的性質(zhì)。當(dāng)系統(tǒng)處于PT對(duì)稱相時(shí)，本征值為實(shí)數(shù)，這與厄米系統(tǒng)中本征值為實(shí)數(shù)的情況類似。然而，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化，超過(guò)一定的閾值時(shí)，PT對(duì)稱性會(huì)自發(fā)破缺，此時(shí)本征值會(huì)變成復(fù)數(shù)，系統(tǒng)進(jìn)入PT對(duì)稱破缺相。以一個(gè)簡(jiǎn)單的光學(xué)系統(tǒng)為例，該系統(tǒng)由兩個(gè)耦合的波導(dǎo)組成，一個(gè)波導(dǎo)具有增益，另一個(gè)波導(dǎo)具有損耗。通過(guò)適當(dāng)調(diào)整波導(dǎo)的參數(shù)，使得系統(tǒng)在宇稱操作（將兩個(gè)波導(dǎo)交換）和時(shí)間反演操作（將增益和損耗互換）的聯(lián)合作用下，哈密頓量保持不變，從而實(shí)現(xiàn)PT對(duì)稱性。在PT對(duì)稱相時(shí)，光在兩個(gè)波導(dǎo)中的傳播是對(duì)稱的，能量在兩個(gè)波導(dǎo)之間均勻分布。當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入PT對(duì)稱破缺相時(shí)，光會(huì)主要集中在增益波導(dǎo)中傳播，能量分布變得不對(duì)稱。PT對(duì)稱性在非厄米系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用。在拓?fù)浔Ｗo(hù)方面，利用PT對(duì)稱性可以實(shí)現(xiàn)拓?fù)浔Ｗo(hù)的量子態(tài)。在一些具有PT對(duì)稱性的非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)中，拓?fù)溥吔鐟B(tài)受到PT對(duì)稱性的保護(hù)，具有很強(qiáng)的魯棒性。即使系統(tǒng)存在一定的雜質(zhì)和缺陷，拓?fù)溥吔鐟B(tài)依然能夠穩(wěn)定存在，這為量子信息的存儲(chǔ)和傳輸提供了可靠的保障。在量子計(jì)算中，可以利用具有PT對(duì)稱性的非厄米量子比特來(lái)實(shí)現(xiàn)拓?fù)浔Ｗo(hù)的量子邏輯門，提高量子計(jì)算的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。在調(diào)控系統(tǒng)特性方面，PT對(duì)稱性也發(fā)揮著重要作用。通過(guò)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的參數(shù)，改變系統(tǒng)的PT對(duì)稱性狀態(tài)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)光學(xué)、電學(xué)等性質(zhì)的有效調(diào)控。在一個(gè)具有PT對(duì)稱性的光學(xué)超材料中，通過(guò)調(diào)整增益和損耗參數(shù)，改變系統(tǒng)的PT對(duì)稱性，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)光的反射、透射等特性的靈活調(diào)控，從而設(shè)計(jì)出具有特殊功能的光學(xué)器件，如光學(xué)隔離器、光開關(guān)等。三、非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸惙椒?.1基于能帶理論的拓?fù)浞诸愒趥鹘y(tǒng)的能帶理論中，拓?fù)浞诸愂抢斫獠牧衔锢硇再|(zhì)的重要手段。對(duì)于厄米系統(tǒng)，能帶的拓?fù)湫再|(zhì)可以通過(guò)拓?fù)洳蛔兞縼?lái)刻畫，其中陳數(shù)（Chernnumber）是二維拓?fù)浣^緣體中常用的拓?fù)洳蛔兞俊ｊ悢?shù)的定義基于貝里聯(lián)絡(luò)（Berryconnection），通過(guò)對(duì)動(dòng)量空間中貝里聯(lián)絡(luò)的積分來(lái)計(jì)算。對(duì)于一個(gè)二維周期系統(tǒng)，其哈密頓量H(\vec{k})是動(dòng)量\vec{k}的函數(shù)，貝里聯(lián)絡(luò)A_{n}(\vec{k})定義為A_{n}(\vec{k})=i\langleu_{n}(\vec{k})|\nabla_{\vec{k}}u_{n}(\vec{k})\rangle，其中|u_{n}(\vec{k})\rangle是哈密頓量H(\vec{k})對(duì)應(yīng)于本征值E_{n}(\vec{k})的本征態(tài)。陳數(shù)C_{n}則由下式給出：C_{n}=\frac{1}{2\pi}\oint_{BZ}d^{2}k\\epsilon^{ij}F_{ij}^{n}(\vec{k})其中\(zhòng)epsilon^{ij}是二維反對(duì)稱張量，F(xiàn)_{ij}^{n}(\vec{k})=\partial_{i}A_{j}^{n}(\vec{k})-\partial_{j}A_{i}^{n}(\vec{k})是貝里曲率，積分區(qū)域是整個(gè)布里淵區(qū)（BrillouinZone，BZ）。當(dāng)陳數(shù)不為零時(shí)，系統(tǒng)具有非平庸的拓?fù)湫再|(zhì)，對(duì)應(yīng)著拓?fù)浣^緣體相，其邊界上存在受拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊緣態(tài)，這些邊緣態(tài)對(duì)雜質(zhì)和缺陷具有很強(qiáng)的魯棒性，不會(huì)被散射而消失。以量子霍爾效應(yīng)為例，在二維電子氣系統(tǒng)中，當(dāng)施加垂直于平面的強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，電子的運(yùn)動(dòng)受到磁場(chǎng)的作用，形成朗道能級(jí)。通過(guò)計(jì)算該系統(tǒng)的陳數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)陳數(shù)與霍爾電導(dǎo)之間存在著緊密的聯(lián)系，即\sigma_{xy}=\frac{e^{2}}{h}C，其中\(zhòng)sigma_{xy}是霍爾電導(dǎo)，e是電子電荷，h是普朗克常數(shù)。這表明陳數(shù)不僅可以描述系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)，還能直接反映在可測(cè)量的物理量上，為實(shí)驗(yàn)探測(cè)拓?fù)湎嗵峁┝酥匾囊罁?jù)。當(dāng)將非厄米性引入能帶理論后，非厄米系統(tǒng)的能帶拓?fù)浞诸惷媾R著諸多變化和挑戰(zhàn)。非厄米系統(tǒng)的哈密頓量不再滿足厄米性條件，其本征值通常是復(fù)數(shù)，這使得傳統(tǒng)的基于實(shí)數(shù)本征值的拓?fù)浞诸惙椒ú辉龠m用。由于非厄米趨膚效應(yīng)的存在，傳統(tǒng)的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系被打破，原本基于體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系的拓?fù)浞诸惱碚撘残枰匦聦徱暋Ｔ诜嵌蛎紫到y(tǒng)中，奇異點(diǎn)（ExceptionalPoint，EP）的出現(xiàn)使得能帶的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜。奇異點(diǎn)是指兩個(gè)或多個(gè)本征值和本征態(tài)同時(shí)簡(jiǎn)并的特殊點(diǎn)，在奇異點(diǎn)附近，系統(tǒng)的本征態(tài)和本征值對(duì)參數(shù)的變化極為敏感。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)連續(xù)變化并環(huán)繞奇異點(diǎn)時(shí)，非厄米能帶會(huì)發(fā)生纏繞編織，形成不同的拓?fù)滢p狀結(jié)構(gòu)。這種拓?fù)滢p狀結(jié)構(gòu)不能簡(jiǎn)單地用傳統(tǒng)的陳數(shù)等拓?fù)洳蛔兞縼?lái)描述，而需要引入新的概念和方法，如辮群（BraidsGroup）理論來(lái)進(jìn)行分類?？紤]一個(gè)具有奇異點(diǎn)的非厄米二能級(jí)系統(tǒng)，其哈密頓量可以表示為H(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}，其中\(zhòng)lambda是一個(gè)與系統(tǒng)參數(shù)相關(guān)的復(fù)數(shù)。當(dāng)\lambda在復(fù)平面上變化時(shí)，系統(tǒng)會(huì)在\lambda=0處出現(xiàn)奇異點(diǎn)。通過(guò)對(duì)該系統(tǒng)本征值和本征態(tài)的分析，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)\lambda環(huán)繞奇異點(diǎn)一周時(shí)，本征態(tài)會(huì)發(fā)生非平凡的變換，這種變換形成的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以用辮群的元素來(lái)描述。非厄米系統(tǒng)中還存在點(diǎn)隙（Point-gap）的概念，這是復(fù)平面上本征值分布的間隙。點(diǎn)隙的拓?fù)湫再|(zhì)與系統(tǒng)的體態(tài)和邊界態(tài)的性質(zhì)密切相關(guān)，但與傳統(tǒng)厄米系統(tǒng)中的能隙有很大的不同。在厄米系統(tǒng)中，能隙是實(shí)數(shù)軸上本征值之間的間隙，而在非厄米系統(tǒng)中，點(diǎn)隙是在復(fù)平面上定義的，其拓?fù)浞诸愋枰紤]復(fù)平面上的幾何和拓?fù)湫再|(zhì)，這給非厄米能帶的拓?fù)浞诸悗?lái)了新的挑戰(zhàn)。非厄米系統(tǒng)的能帶拓?fù)浞诸愡€面臨著計(jì)算上的困難。由于非厄米哈密頓量的本征值和本征態(tài)的復(fù)雜性，傳統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法在處理非厄米系統(tǒng)時(shí)往往面臨精度和效率的問(wèn)題。在計(jì)算非厄米系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞繒r(shí)，需要考慮本征態(tài)的非正交性以及本征值的復(fù)數(shù)特性，這使得計(jì)算過(guò)程更加復(fù)雜，需要開發(fā)新的數(shù)值算法和計(jì)算技術(shù)來(lái)準(zhǔn)確地計(jì)算非厄米系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)。3.2基于辮群的拓?fù)浞诸愒诜嵌蛎紫到y(tǒng)中，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)連續(xù)變化并環(huán)繞奇異點(diǎn)（EP）時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一種獨(dú)特的拓?fù)洮F(xiàn)象，即非厄米能帶發(fā)生纏繞編織，形成拓?fù)滢p狀結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)的形成源于非厄米系統(tǒng)本征值和本征態(tài)在奇異點(diǎn)附近的特殊行為。由于奇異點(diǎn)處本征值和本征態(tài)的簡(jiǎn)并特性，當(dāng)參數(shù)變化環(huán)繞奇異點(diǎn)時(shí)，不同能帶的本征態(tài)會(huì)發(fā)生相互交織和纏繞，從而形成復(fù)雜的辮狀結(jié)構(gòu)。以一個(gè)簡(jiǎn)單的雙能帶非厄米系統(tǒng)為例，假設(shè)其哈密頓量為H(\lambda)，其中\(zhòng)lambda是一個(gè)與系統(tǒng)參數(shù)相關(guān)的復(fù)變量。當(dāng)\lambda在復(fù)平面上變化時(shí)，在奇異點(diǎn)\lambda_0處，兩個(gè)本征值E_1(\lambda)和E_2(\lambda)以及對(duì)應(yīng)的本征態(tài)\vert\psi_1(\lambda)\rangle和\vert\psi_2(\lambda)\rangle會(huì)發(fā)生簡(jiǎn)并。當(dāng)\lambda環(huán)繞\lambda_0一周時(shí)，本征態(tài)\vert\psi_1(\lambda)\rangle和\vert\psi_2(\lambda)\rangle會(huì)發(fā)生非平凡的變換，這種變換使得兩個(gè)能帶相互纏繞，形成類似于辮子的結(jié)構(gòu)。辮群（BraidsGroup）為這種拓?fù)滢p狀結(jié)構(gòu)的分類提供了有效的工具。辮群是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它可以用有限個(gè)生成元來(lái)表示。對(duì)于n條線的辮子，辮群B_n的生成元通常表示為\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_{n-1}，其中\(zhòng)sigma_i表示第i條線和第i+1條線的交叉，并且滿足一些特定的關(guān)系，如\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}（i=1,2,\cdots,n-2）和\sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i（\verti-j\vert\gt1）。在非厄米系統(tǒng)中，不同的拓?fù)滢p狀結(jié)構(gòu)可以與辮群的不同元素相對(duì)應(yīng)。通過(guò)確定辮狀結(jié)構(gòu)中能帶的纏繞方式和交叉情況，可以找到與之對(duì)應(yīng)的辮群元素，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)拓?fù)滢p狀結(jié)構(gòu)的分類。例如，在一個(gè)具有兩個(gè)能帶的非厄米系統(tǒng)中，如果兩個(gè)能帶在環(huán)繞奇異點(diǎn)時(shí)發(fā)生了一次順時(shí)針交叉，那么這個(gè)辮狀結(jié)構(gòu)可以對(duì)應(yīng)于辮群B_2中的生成元\sigma_1；如果發(fā)生了兩次順時(shí)針交叉，則對(duì)應(yīng)于\sigma_1^2。辮群分類方法在非厄米系統(tǒng)拓?fù)溲芯恐芯哂兄T多優(yōu)勢(shì)。它能夠直觀地描述非厄米能帶的拓?fù)湫再|(zhì)，通過(guò)辮狀結(jié)構(gòu)的可視化，能夠清晰地展現(xiàn)出能帶之間的相互作用和纏繞關(guān)系，為理解非厄米系統(tǒng)的物理性質(zhì)提供了直觀的圖像。辮群分類方法具有很強(qiáng)的普適性，它不依賴于具體的系統(tǒng)模型和參數(shù)，只要存在非厄米能帶的纏繞編織現(xiàn)象，就可以用辮群進(jìn)行分類，這使得該方法在不同的非厄米物理系統(tǒng)中都具有廣泛的應(yīng)用前景。辮群分類方法也存在一定的局限性。在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于復(fù)雜的多能帶非厄米系統(tǒng)，確定辮狀結(jié)構(gòu)與辮群元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系可能會(huì)變得非常困難。隨著能帶數(shù)量的增加，辮狀結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性急劇增加，計(jì)算辮群元素所需的計(jì)算量也會(huì)大幅增長(zhǎng)，這給辮群分類方法的應(yīng)用帶來(lái)了挑戰(zhàn)。辮群分類方法主要側(cè)重于描述能帶的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，對(duì)于一些與系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)相關(guān)的物理性質(zhì)，如態(tài)的演化和輸運(yùn)過(guò)程等，辮群分類方法難以直接給出詳細(xì)的信息。3.3基于同倫群理論的拓?fù)浞诸愅瑐惾豪碚撛诜嵌蛎紫到y(tǒng)拓?fù)浞诸愔邪缪葜陵P(guān)重要的角色，為深入理解非厄米系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)提供了有力的工具。同倫群是拓?fù)鋵W(xué)中的重要概念，它基于拓?fù)淇臻g之間連續(xù)映射的同倫關(guān)系構(gòu)建。對(duì)于非厄米系統(tǒng)而言，同倫群理論能夠有效描述系統(tǒng)在參數(shù)空間中的拓?fù)涮匦?。在非厄米系統(tǒng)中，例外點(diǎn)（線）的拓?fù)湫再|(zhì)可以通過(guò)同倫群進(jìn)行精確刻畫。以例外點(diǎn)為例，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)在復(fù)平面上連續(xù)變化并環(huán)繞例外點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)的本征態(tài)和本征值會(huì)發(fā)生非平凡的變化。這種變化可以看作是一種連續(xù)映射，而不同的環(huán)繞路徑所對(duì)應(yīng)的連續(xù)映射之間的同倫關(guān)系，能夠反映出例外點(diǎn)的拓?fù)湫再|(zhì)。通過(guò)定義合適的同倫群，如基本群或高階同倫群，可以將這些拓?fù)湫再|(zhì)用群的元素和結(jié)構(gòu)來(lái)表示。在一個(gè)具有例外點(diǎn)的非厄米量子系統(tǒng)中，環(huán)繞例外點(diǎn)一周的路徑所對(duì)應(yīng)的本征態(tài)變換，可以與基本群中的一個(gè)非平凡元素相對(duì)應(yīng)，這表明該例外點(diǎn)具有非平庸的拓?fù)湫再|(zhì)。研究發(fā)現(xiàn)，不同階數(shù)的例外點(diǎn)（線）具有不同的拓?fù)湫再|(zhì)，這些性質(zhì)可以通過(guò)同倫群的結(jié)構(gòu)和元素來(lái)區(qū)分。對(duì)于一階例外點(diǎn)，其附近的本征態(tài)和本征值變化相對(duì)簡(jiǎn)單，對(duì)應(yīng)的同倫群元素也較為基礎(chǔ)；而高階例外點(diǎn)，由于其本征態(tài)和本征值的復(fù)雜變化，對(duì)應(yīng)的同倫群結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，可能涉及到高階同倫群的非平凡元素。在一個(gè)包含二階例外點(diǎn)的非厄米光學(xué)系統(tǒng)中，環(huán)繞該例外點(diǎn)的路徑所產(chǎn)生的本征態(tài)編織和纏繞現(xiàn)象，需要用高階同倫群來(lái)準(zhǔn)確描述，這與一階例外點(diǎn)的情況有著明顯的區(qū)別。構(gòu)造具有不同拓?fù)湫再|(zhì)的例外點(diǎn)是研究非厄米系統(tǒng)拓?fù)浞诸惖闹匾獌?nèi)容。一種常見的方法是通過(guò)精心設(shè)計(jì)系統(tǒng)的哈密頓量來(lái)實(shí)現(xiàn)。在非厄米冷原子系統(tǒng)中，可以通過(guò)精確控制冷原子的相互作用和外部勢(shì)場(chǎng)，引入特定的非厄米項(xiàng)到哈密頓量中。通過(guò)調(diào)整這些非厄米項(xiàng)的參數(shù)，如強(qiáng)度和相位，可以改變系統(tǒng)的能譜結(jié)構(gòu)，從而在參數(shù)空間中產(chǎn)生具有不同拓?fù)湫再|(zhì)的例外點(diǎn)。通過(guò)改變激光誘導(dǎo)的原子間偶極-偶極相互作用的強(qiáng)度和相位，可以使系統(tǒng)在特定參數(shù)下出現(xiàn)一階例外點(diǎn)，當(dāng)進(jìn)一步調(diào)整參數(shù)時(shí)，又可以產(chǎn)生二階例外點(diǎn)。利用對(duì)稱性也是構(gòu)造具有特定拓?fù)湫再|(zhì)例外點(diǎn)的有效策略。在具有宇稱-時(shí)間（PT）對(duì)稱性的非厄米系統(tǒng)中，通過(guò)合理設(shè)計(jì)系統(tǒng)的參數(shù)，使得系統(tǒng)在PT對(duì)稱相和PT對(duì)稱破缺相之間轉(zhuǎn)變時(shí)，能夠在特定參數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)例外點(diǎn)。由于PT對(duì)稱性的保護(hù)，這些例外點(diǎn)具有獨(dú)特的拓?fù)湫再|(zhì)。在一個(gè)基于光學(xué)波導(dǎo)的非厄米系統(tǒng)中，通過(guò)調(diào)整波導(dǎo)的增益和損耗參數(shù)，使系統(tǒng)在滿足PT對(duì)稱性的條件下，當(dāng)參數(shù)變化到一定程度時(shí)，會(huì)在PT對(duì)稱破缺的臨界點(diǎn)出現(xiàn)例外點(diǎn)，該例外點(diǎn)的拓?fù)湫再|(zhì)與PT對(duì)稱性密切相關(guān)。通過(guò)改變系統(tǒng)的維度和幾何結(jié)構(gòu)，也能構(gòu)造出具有不同拓?fù)湫再|(zhì)的例外點(diǎn)。在二維非厄米系統(tǒng)中，通過(guò)設(shè)計(jì)特殊的晶格結(jié)構(gòu)，如具有非互易耦合的晶格，可以產(chǎn)生與一維系統(tǒng)不同拓?fù)湫再|(zhì)的例外點(diǎn)。在一個(gè)二維非厄米光子晶體中，通過(guò)設(shè)計(jì)晶格的排列方式和光子的躍遷規(guī)則，引入非互易耦合，使得系統(tǒng)在特定頻率下出現(xiàn)例外點(diǎn)，其拓?fù)湫再|(zhì)與晶格的幾何結(jié)構(gòu)和非互易耦合強(qiáng)度密切相關(guān)。這種通過(guò)改變系統(tǒng)維度和幾何結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造例外點(diǎn)的方法，為研究非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸愄峁┝烁嗟目赡苄院脱芯糠较?。四、非厄米系統(tǒng)拓?fù)浞诸惖陌咐治?.1非厄米磁子系統(tǒng)的拓?fù)渚幙棌?fù)旦大學(xué)安正華團(tuán)隊(duì)在非厄米磁子系統(tǒng)的研究中取得了突破性進(jìn)展，首次實(shí)現(xiàn)了零反射態(tài)的拓?fù)渚幙棧瑸榉嵌蛎紫到y(tǒng)拓?fù)浞诸惖难芯刻峁┝酥匾膶?shí)驗(yàn)案例。在傳統(tǒng)的能帶理論中，拓?fù)浞诸悓?duì)于預(yù)測(cè)材料是否具有拓?fù)浔Ｗo(hù)起著關(guān)鍵作用。而當(dāng)引入非厄米性后，非厄米能帶的拓?fù)浞诸愖兊酶鼮閺?fù)雜，其中奇異點(diǎn)（EP）和點(diǎn)隙等新概念的出現(xiàn)，使得非厄米系統(tǒng)展現(xiàn)出獨(dú)特的拓?fù)湫再|(zhì)。通過(guò)環(huán)繞EP，非厄米能帶會(huì)發(fā)生纏繞編織，形成不同的拓?fù)滢p狀結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)可以用辮群來(lái)分類。然而，此前關(guān)于非厄米能帶編織的研究主要集中在非厄米系統(tǒng)中的共振態(tài)，對(duì)于散射系統(tǒng)中的散射態(tài)編織研究尚屬空白，而散射態(tài)在實(shí)驗(yàn)上相比共振態(tài)具有更大的自由度。為了深入研究非厄米散射系統(tǒng)，安正華團(tuán)隊(duì)提出了散射哈密頓量這一重要概念。散射哈密頓量區(qū)別于對(duì)應(yīng)于散射極點(diǎn)的共振哈密頓量，其本征值對(duì)應(yīng)于諸如零反射、零透射等其它散射奇異點(diǎn)。在單端口微波散射系統(tǒng)中，散射哈密頓量的本征值描述的是系統(tǒng)的無(wú)反射態(tài)（又稱反射零點(diǎn)）。這一理論的提出，厘清了奇異性散射性質(zhì)與哈密頓量之間的內(nèi)稟關(guān)聯(lián)。基于散射哈密頓量理論，研究團(tuán)隊(duì)通過(guò)精心調(diào)諧從源處注入系統(tǒng)的“輻射增益”與損耗的平衡，實(shí)現(xiàn)了對(duì)散射哈密頓量本征值的有效調(diào)控。他們不僅能夠使散射哈密頓量本征值落在復(fù)頻面實(shí)軸上，從而實(shí)現(xiàn)無(wú)反射模式，還能在不引入實(shí)際增益的情況下，實(shí)現(xiàn)PT對(duì)稱保護(hù)的無(wú)反射模式。這與共振哈密頓量的PT對(duì)稱有著顯著不同，共振哈密頓量的PT對(duì)稱需要額外的增益才能使極點(diǎn)落在實(shí)軸上。研究團(tuán)隊(duì)還發(fā)現(xiàn)，落在復(fù)平面的BIC點(diǎn)（complexboundstatesinthecontinuum，簡(jiǎn)稱c-BIC）是共振哈密頓量本征值與散射哈密頓量本征值的簡(jiǎn)并點(diǎn)。c-BIC與BIC性質(zhì)類似，在散射譜中不具直接的可見性。這一發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步揭示了散射哈密頓量與共振哈密頓量之間的緊密聯(lián)系，以及它們?cè)诿枋龇嵌蛎咨⑸湎到y(tǒng)中的重要作用。在實(shí)驗(yàn)中，團(tuán)隊(duì)深入研究了散射哈密頓量和共振哈密頓量的EP在參數(shù)空間中的演化行為。通過(guò)在參數(shù)空間中規(guī)劃不同種類的參數(shù)路徑，成功從實(shí)驗(yàn)上展示了非厄米磁子系統(tǒng)的兩類能譜拓?fù)渚幙?，分別對(duì)應(yīng)散射態(tài)和共振態(tài)的編織。研究結(jié)果表明，散射態(tài)編織和共振態(tài)編織存在手性相反的關(guān)系，不同的編織結(jié)構(gòu)可以用二階辮群的群元來(lái)分類。從實(shí)際應(yīng)用角度來(lái)看，該研究成果具有重要的意義。對(duì)于開發(fā)基于磁子的應(yīng)用平臺(tái)，如拓?fù)淠芰總鬟f，利用非厄米磁子系統(tǒng)的拓?fù)渚幙椞匦裕梢詫?shí)現(xiàn)能量的高效、穩(wěn)定傳遞，減少能量損耗，提高能量利用效率，為能源傳輸領(lǐng)域提供新的技術(shù)思路。在可調(diào)吸收器方面，通過(guò)對(duì)散射哈密頓量和共振哈密頓量的精確調(diào)控，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)特定頻率信號(hào)的選擇性吸收，滿足不同場(chǎng)景下對(duì)信號(hào)處理的需求，例如在通信系統(tǒng)中，可以有效抑制干擾信號(hào)，提高通信質(zhì)量。在邏輯電路設(shè)計(jì)中，非厄米磁子系統(tǒng)的獨(dú)特拓?fù)湫再|(zhì)為構(gòu)建新型邏輯電路提供了可能，有望實(shí)現(xiàn)更高性能、更低功耗的邏輯運(yùn)算，推動(dòng)集成電路技術(shù)的發(fā)展。安正華團(tuán)隊(duì)的這一研究成果，不僅為非平衡物理體系的能帶及物態(tài)調(diào)控提供了重要的指導(dǎo)意義，也為非厄米調(diào)控的磁子器件，如通用的波調(diào)控器件、邏輯電路等的開發(fā)提供了新的思路，推動(dòng)了非厄米系統(tǒng)拓?fù)浞诸愌芯繌睦碚撟呦驅(qū)嶋H應(yīng)用。4.2非厄米Haldane模型的雜化趨膚-拓?fù)湫?yīng)清華大學(xué)劉永椿副教授等人對(duì)具有增益-耗散的非厄米Haldane模型進(jìn)行了深入研究，發(fā)現(xiàn)了增益-耗散誘導(dǎo)的雜化趨膚-拓?fù)湫?yīng)，以及拓?fù)溱吥w模式之間的宇稱-時(shí)間相變，為非厄米系統(tǒng)拓?fù)浞诸惖难芯刻峁┝酥匾睦碚撘罁?jù)。非厄米系統(tǒng)中的非厄米趨膚效應(yīng)是一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容，它使得拓?fù)湎到y(tǒng)的所有本征態(tài)都局域到系統(tǒng)的一側(cè)邊界上，傳統(tǒng)體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系不再成立。非厄米系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方式主要有利用非互易耦合和增益-耗散兩種。在實(shí)際物理系統(tǒng)中，非互易耦合通常難以實(shí)現(xiàn)，而耗散是普遍存在的，不均勻的耗散分布可等效成增益-耗散情況，因此在增益-耗散非厄米系統(tǒng)中研究趨膚效應(yīng)具有重要意義。在具有增益-耗散的非厄米Haldane模型中，研究團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)了獨(dú)特的雜化趨膚-拓?fù)湫?yīng)。Haldane模型通過(guò)引入局域磁通得到拓?fù)溥吔鐟B(tài)，是凝聚態(tài)物理中實(shí)現(xiàn)量子反常霍爾效應(yīng)的兩種重要模型之一。在該模型中，如果在相鄰格點(diǎn)中引入交替的增益和耗散，系統(tǒng)會(huì)展現(xiàn)出獨(dú)特的性質(zhì)。系統(tǒng)本征態(tài)的趨膚行為具有選擇性，體態(tài)不受趨膚效應(yīng)的影響，仍保持為彌散分布，而邊界態(tài)則受到趨膚效應(yīng)的影響，會(huì)局域到一側(cè)邊界上。這種趨膚效應(yīng)與拓?fù)湫?yīng)的雜化現(xiàn)象，展示了非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)的獨(dú)特性質(zhì)，是單純的厄米或非拓?fù)湎到y(tǒng)所不具備的。從模型的具體結(jié)構(gòu)來(lái)看，考慮具有次近鄰耦合的六角蜂窩晶格，其中紅色格點(diǎn)表示帶有增益，藍(lán)色格點(diǎn)表示帶有耗散。通過(guò)單獨(dú)分析邊界處的格點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)這種二階趨膚效應(yīng)可以簡(jiǎn)化為邊界上的一階趨膚效應(yīng)。在簡(jiǎn)化的一維模型中，由于次近鄰耦合引入了非局域的磁通，導(dǎo)致了手性邊界流的產(chǎn)生，可等效成非互易耦合，因此能夠產(chǎn)生一階趨膚效應(yīng)。與此同時(shí)，在系統(tǒng)內(nèi)部非邊界處只存在局域磁通，磁通帶來(lái)的非互易耦合特性相互抵消，所以體態(tài)模式不受趨膚效應(yīng)影響。研究團(tuán)隊(duì)還進(jìn)一步探討了系統(tǒng)的宇稱-時(shí)間（PT）對(duì)稱性與雜化趨膚-拓?fù)湫?yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在不同方向分別取開邊界和周期邊界條件時(shí)，對(duì)于不同的邊界，系統(tǒng)具有不同的PT對(duì)稱性。全局PT對(duì)稱性，即兩個(gè)邊界互相對(duì)稱，會(huì)導(dǎo)致雜化趨膚-拓?fù)湫?yīng)的消失，而局域PT對(duì)稱性，即元胞中不同格點(diǎn)互相對(duì)稱，則可以支持雜化趨膚-拓?fù)湫?yīng)的存在。這一發(fā)現(xiàn)為判斷雜化趨膚-拓?fù)湫?yīng)是否存在提供了簡(jiǎn)便而有效的手段。當(dāng)系統(tǒng)增益-耗散參數(shù)改變時(shí)，拓?fù)溥吔缒Ｊ綍?huì)發(fā)生PT對(duì)稱性自發(fā)破缺的相變，伴隨著奇異點(diǎn)（EP）的出現(xiàn)。在PT對(duì)稱性破缺時(shí)，拓?fù)溥吔缒Ｊ降谋菊髂芰坎辉偈菍?shí)數(shù)，同時(shí)具有非對(duì)稱的模式分布。這一現(xiàn)象揭示了非厄米系統(tǒng)中拓?fù)鋺B(tài)與PT對(duì)稱性之間的深刻聯(lián)系，為進(jìn)一步理解非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)的物理性質(zhì)提供了關(guān)鍵線索。研究團(tuán)隊(duì)還對(duì)非厄米情況下陳數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行了研究，得到了系統(tǒng)的相圖。系統(tǒng)二維布里淵區(qū)可以映射到三維空間中的一個(gè)閉合球面S，系統(tǒng)的帶隙關(guān)閉點(diǎn)是該三維空間的一個(gè)圓L。球面S包含圓L時(shí)為非厄米陳絕緣體相，陳數(shù)為1；圓L在球面S外時(shí)為非厄米傳統(tǒng)絕緣體相，陳數(shù)為0；在相圖中的灰色區(qū)域，系統(tǒng)帶隙關(guān)閉，出現(xiàn)EP點(diǎn)，此時(shí)無(wú)法用陳數(shù)進(jìn)行描述。這種對(duì)系統(tǒng)拓?fù)涞膸缀卫斫夂拖鄨D的繪制，為研究非厄米Haldane模型的拓?fù)湫再|(zhì)提供了直觀而有效的工具。該研究成果對(duì)于非厄米系統(tǒng)拓?fù)浞诸惖难芯烤哂兄匾囊饬x。它不僅揭示了增益-耗散誘導(dǎo)的雜化趨膚-拓?fù)湫?yīng)的物理機(jī)制，還為利用增益耗散控制非厄米拓?fù)湫?yīng)提供了理論基礎(chǔ)。在實(shí)際應(yīng)用方面，為實(shí)現(xiàn)拓?fù)涔鈱W(xué)器件等提供了重要思路，有望推動(dòng)非厄米系統(tǒng)在光學(xué)、量子計(jì)算等領(lǐng)域的應(yīng)用發(fā)展。4.3離子阱系統(tǒng)中復(fù)數(shù)能譜拓?fù)涞臏y(cè)量清華大學(xué)交叉信息研究院段路明教授研究組與徐勇助理教授合作，在離子阱系統(tǒng)中開展了一項(xiàng)極具創(chuàng)新性的研究，首次成功實(shí)驗(yàn)測(cè)量了非厄米系統(tǒng)的復(fù)數(shù)能譜及其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，為非厄米系統(tǒng)拓?fù)浞诸惖难芯刻峁┝酥匾膶?shí)驗(yàn)依據(jù)。非厄米系統(tǒng)因其獨(dú)特的拓?fù)涮匦裕诹孔幽M平臺(tái)中實(shí)現(xiàn)非厄米哈密頓量已成為重要研究目標(biāo)，在離子阱、冷原子、超導(dǎo)電路以及固態(tài)自旋系統(tǒng)等平臺(tái)中取得了顯著進(jìn)展。實(shí)驗(yàn)測(cè)量非厄米系統(tǒng)的復(fù)數(shù)本征能量是一個(gè)重大挑戰(zhàn)，這使得直接探測(cè)能譜的拓?fù)湫再|(zhì)困難重重。徐勇研究組提出的非厄米吸收光譜學(xué)方法，為在離子阱等量子平臺(tái)中測(cè)量復(fù)數(shù)能譜拓?fù)涮峁┝丝赡苄?。段路明教授研究組基于單個(gè)171Yb+離子構(gòu)建了雙能帶非厄米模型，該模型的復(fù)數(shù)本征能量具備unlink、unknot或Hopflink等獨(dú)特的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。從模型的實(shí)現(xiàn)方式來(lái)看，其厄米部分通過(guò)微波脈沖驅(qū)動(dòng)基態(tài)超精細(xì)能級(jí)間的躍遷得以實(shí)現(xiàn)，具體表現(xiàn)為圖1a中的MW-1、MW-2以及圖1b中的黑色雙箭頭所示；而非厄米部分則是利用共振激光使離子從基態(tài)躍遷至激發(fā)態(tài)，如369-1、369-2以及圖1b中的藍(lán)色箭頭所示，激發(fā)態(tài)的自發(fā)輻射導(dǎo)致布居流失，從而成功實(shí)現(xiàn)了非厄米部分，圖1b中的波浪線形象地展示了這一過(guò)程。為了精確測(cè)量系統(tǒng)的復(fù)數(shù)能量，研究團(tuán)隊(duì)巧妙地基于非厄米吸收光譜學(xué)方法開展實(shí)驗(yàn)。他們將離子精心制備在2D3/2能級(jí)，即輔助能級(jí)上，隨后通過(guò)弱激光將其與系統(tǒng)能級(jí)相耦合，具體如435以及圖1b中的黃色箭頭所示。在經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的演化后，測(cè)量離子處于輔助能級(jí)的概率。通過(guò)對(duì)測(cè)量到的離子概率與失諧的曲線進(jìn)行細(xì)致擬合，能夠準(zhǔn)確提取出非厄米系統(tǒng)的復(fù)數(shù)能量。實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的復(fù)數(shù)能量呈現(xiàn)出unlink、unknot或Hopflink的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，與理論值高度契合。這一結(jié)果不僅驗(yàn)證了理論的正確性，也為非厄米系統(tǒng)拓?fù)浞诸惖难芯刻峁┝丝煽康膶?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)支持。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該模型的復(fù)數(shù)能譜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)清晰可辨，為進(jìn)一步研究非厄米系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。此方法具有廣泛的適用性，可以直接推廣到其他量子模擬平臺(tái)，如冷原子、超導(dǎo)電路或固態(tài)自旋系統(tǒng)。這為探索非厄米量子系統(tǒng)中各種復(fù)數(shù)能量性質(zhì)開辟了一條嶄新的道路，有望推動(dòng)非厄米系統(tǒng)拓?fù)浞诸愌芯吭诓煌孔幽M平臺(tái)上的深入開展。五、非厄米系統(tǒng)拓?fù)浞诸惖膽?yīng)用前景5.1在量子信息領(lǐng)域的應(yīng)用非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸愒诹孔有畔㈩I(lǐng)域展現(xiàn)出了廣闊的應(yīng)用前景，為量子計(jì)算和量子通信等關(guān)鍵技術(shù)的發(fā)展提供了新的思路和方法。在量子計(jì)算方面，量子比特作為量子計(jì)算的基本單元，其穩(wěn)定性和抗干擾能力是實(shí)現(xiàn)高效量子計(jì)算的關(guān)鍵。非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸悶樵O(shè)計(jì)新型的拓?fù)浔Ｗo(hù)量子比特提供了可能。利用非厄米系統(tǒng)中的拓?fù)浔Ｗo(hù)特性，能夠有效抵抗環(huán)境噪聲和量子比特之間的相互干擾，從而顯著提高量子比特的穩(wěn)定性。在具有拓?fù)浔Ｗo(hù)的非厄米量子比特系統(tǒng)中，由于拓?fù)鋺B(tài)的特殊性質(zhì)，即使受到外界環(huán)境的微小擾動(dòng)，量子比特的狀態(tài)也能保持相對(duì)穩(wěn)定，減少了量子比特的退相干現(xiàn)象，提高了量子計(jì)算的準(zhǔn)確性和可靠性。通過(guò)精心設(shè)計(jì)非厄米哈密頓量，使得量子比特處于特定的拓?fù)鋺B(tài)，利用拓?fù)鋺B(tài)的魯棒性來(lái)保護(hù)量子比特的信息存儲(chǔ)和操作，為構(gòu)建大規(guī)模、高性能的量子計(jì)算機(jī)奠定了基礎(chǔ)。量子糾錯(cuò)是量子計(jì)算中另一個(gè)至關(guān)重要的環(huán)節(jié)，它能夠糾正量子比特在計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，確保量子計(jì)算的正確性。非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸惪梢詾闃?gòu)造新型的量子糾錯(cuò)碼提供獨(dú)特的視角。基于非厄米拓?fù)涞牧孔蛹m錯(cuò)碼能夠充分利用非厄米系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)，對(duì)量子比特的錯(cuò)誤進(jìn)行有效的檢測(cè)和糾正。在一些具有非厄米拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的量子系統(tǒng)中，通過(guò)巧妙設(shè)計(jì)量子糾錯(cuò)碼，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)多種類型錯(cuò)誤的高效糾正，提高量子計(jì)算的容錯(cuò)能力。利用非厄米系統(tǒng)中的奇異點(diǎn)和拓?fù)滢p狀結(jié)構(gòu)等特性，設(shè)計(jì)出能夠適應(yīng)非厄米環(huán)境的量子糾錯(cuò)碼，增強(qiáng)量子計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性。在量子通信領(lǐng)域，量子信道的安全性和高效性是保障量子信息可靠傳輸?shù)暮诵囊?。非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸悶閷?shí)現(xiàn)拓?fù)浔Ｗo(hù)的量子信道提供了有力的理論支持。在基于非厄米拓?fù)涞牧孔有诺乐?，量子信息的傳輸受到拓?fù)浔Ｗo(hù)，能夠有效抵御信道噪聲和外部干擾的影響。當(dāng)量子信息在這樣的信道中傳輸時(shí)，由于拓?fù)浔Ｗo(hù)的作用，即使信道中存在一定的噪聲和干擾，量子信息也能保持完整性和準(zhǔn)確性，從而實(shí)現(xiàn)安全、高效的量子通信。通過(guò)構(gòu)建具有特定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的非厄米量子系統(tǒng)，將其作為量子信道，利用拓?fù)浔Ｗo(hù)特性確保量子信息的可靠傳輸，為構(gòu)建全球量子通信網(wǎng)絡(luò)提供了重要的技術(shù)支撐。量子密鑰分發(fā)是量子通信的重要應(yīng)用之一，它利用量子力學(xué)的特性來(lái)實(shí)現(xiàn)安全的密鑰交換。非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸惪梢詾榱孔用荑€分發(fā)提供新的安全機(jī)制。在基于非厄米拓?fù)涞牧孔用荑€分發(fā)方案中，利用非厄米系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)對(duì)密鑰進(jìn)行加密和傳輸，使得密鑰具有更高的安全性。由于非厄米系統(tǒng)的拓?fù)涮匦詫?duì)外部干擾具有很強(qiáng)的魯棒性，攻擊者難以通過(guò)常規(guī)手段竊取密鑰信息，從而保障了量子密鑰分發(fā)的安全性。通過(guò)設(shè)計(jì)基于非厄米拓?fù)涞牧孔用荑€分發(fā)協(xié)議，結(jié)合非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浔Ｗo(hù)和量子力學(xué)的不確定性原理，實(shí)現(xiàn)了更安全、更高效的量子密鑰分發(fā)，為保密通信提供了可靠的保障。5.2在材料科學(xué)中的應(yīng)用非厄米拓?fù)洳牧献鳛椴牧峡茖W(xué)領(lǐng)域的新興研究方向，展現(xiàn)出獨(dú)特的性質(zhì)和廣闊的應(yīng)用前景，為新型材料的研發(fā)開辟了新的道路。非厄米拓?fù)洳牧系奶匦耘c傳統(tǒng)材料有著顯著的區(qū)別。在能帶結(jié)構(gòu)方面，非厄米拓?fù)洳牧系哪軒в捎诜嵌蛎仔缘挠绊懀尸F(xiàn)出與厄米材料不同的分布和特性。其能帶可能會(huì)出現(xiàn)奇異點(diǎn)（ExceptionalPoint，EP），在奇異點(diǎn)附近，本征值和本征態(tài)會(huì)發(fā)生特殊的變化，導(dǎo)致能帶的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變得復(fù)雜。這種復(fù)雜的能帶結(jié)構(gòu)賦予了材料獨(dú)特的電學(xué)和光學(xué)性質(zhì)。在電學(xué)性質(zhì)上，非厄米拓?fù)洳牧峡赡鼙憩F(xiàn)出與傳統(tǒng)材料不同的電子輸運(yùn)特性。由于非厄米趨膚效應(yīng)，電子可能會(huì)局域在材料的邊界，使得材料的表面電導(dǎo)率與內(nèi)部電導(dǎo)率存在差異，這為設(shè)計(jì)具有特殊電學(xué)性能的電子器件提供了可能。在光學(xué)性質(zhì)方面，非厄米拓?fù)洳牧系墓馀c物質(zhì)相互作用表現(xiàn)出獨(dú)特的行為。由于能帶結(jié)構(gòu)的特殊性，光在材料中的傳播會(huì)受到影響，可能出現(xiàn)光的單向傳輸、增強(qiáng)的光吸收或發(fā)射等現(xiàn)象。在新型材料研發(fā)中，非厄米拓?fù)洳牧暇哂兄匾膽?yīng)用前景。在開發(fā)具有特殊光學(xué)性質(zhì)的材料方面，利用非厄米拓?fù)洳牧系奶匦钥梢詫?shí)現(xiàn)對(duì)光的精確調(diào)控。通過(guò)設(shè)計(jì)材料的非厄米參數(shù)，使其達(dá)到奇異點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)光的單向傳輸，這在光通信領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值。在光隔離器的設(shè)計(jì)中，使用非厄米拓?fù)洳牧峡梢蕴岣吖飧綦x的效率和性能，減少光信號(hào)的串?dāng)_，提高光通信系統(tǒng)的穩(wěn)定性。非厄米拓?fù)洳牧线€可以用于開發(fā)高效的發(fā)光材料。由于其獨(dú)特的能帶結(jié)構(gòu)，能夠增強(qiáng)光的發(fā)射效率，可應(yīng)用于新型發(fā)光二極管（LED）的研發(fā)，提高LED的發(fā)光效率和色彩純度。在電學(xué)材料方面，非厄米拓?fù)洳牧弦舱宫F(xiàn)出巨大的潛力。在超導(dǎo)材料的研究中，引入非厄米性可能會(huì)改變超導(dǎo)材料的臨界溫度和超導(dǎo)能隙等性質(zhì)。通過(guò)精確調(diào)控非厄米參數(shù)，可以探索新型的超導(dǎo)機(jī)制，為高溫超導(dǎo)材料的研發(fā)提供新的思路。在半導(dǎo)體材料中，非厄米拓?fù)洳牧系奶厥怆娮虞斶\(yùn)性質(zhì)可以用于設(shè)計(jì)高性能的半導(dǎo)體器件。利用非厄米趨膚效應(yīng)，將電子局域在材料表面，可提高半導(dǎo)體器件的開關(guān)速度和降低功耗，有望應(yīng)用于下一代集成電路的制造。制備非厄米拓?fù)洳牧厦媾R著諸多挑戰(zhàn)。在材料合成過(guò)程中，精確控制非厄米參數(shù)是一個(gè)難題。由于非厄米參數(shù)對(duì)材料的性質(zhì)有著關(guān)鍵影響，如增益和損耗參數(shù)的精確控制對(duì)于實(shí)現(xiàn)材料的非厄米特性至關(guān)重要，但在實(shí)際制備過(guò)程中，很難精確地達(dá)到理論設(shè)計(jì)值。在材料的穩(wěn)定性方面，非厄米拓?fù)洳牧峡赡苡捎诜嵌蛎仔缘拇嬖诙鴮?dǎo)致穩(wěn)定性較差，容易受到外界環(huán)境的影響，如溫度、濕度等因素的變化可能會(huì)改變材料的非厄米參數(shù)，從而影響材料的性能。針對(duì)這些挑戰(zhàn)，可以采取一系列應(yīng)對(duì)策略。在材料合成方面，采用先進(jìn)的材料制備技術(shù)，如分子束外延（MBE）、化學(xué)氣相沉積（CVD）等，這些技術(shù)能夠精確控制材料的原子層生長(zhǎng)和摻雜，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)非厄米參數(shù)的精確調(diào)控。通過(guò)優(yōu)化材料的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，提高材料的穩(wěn)定性。在材料中引入穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)單元或采用表面修飾等方法，減少外界環(huán)境對(duì)材料非厄米參數(shù)的影響。5.3在波調(diào)控器件中的應(yīng)用非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸愒诓ㄕ{(diào)控器件領(lǐng)域展現(xiàn)出了巨大的應(yīng)用潛力，為設(shè)計(jì)和優(yōu)化各類波調(diào)控器件提供了重要的理論指導(dǎo)，推動(dòng)了該領(lǐng)域的技術(shù)創(chuàng)新和發(fā)展。在拓?fù)淠芰總鬟f器件方面，利用非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浔Ｗo(hù)特性，可以實(shí)現(xiàn)能量的高效、穩(wěn)定傳輸。在傳統(tǒng)的能量傳輸系統(tǒng)中，能量在傳輸過(guò)程中容易受到外界干擾和損耗的影響，導(dǎo)致傳輸效率低下。而基于非厄米拓?fù)涞哪芰總鬟f器件，其拓?fù)溥吔鐟B(tài)受到拓?fù)浔Ｗo(hù)，能夠有效抵抗外界干擾，減少能量損耗。在一個(gè)基于非厄米拓?fù)涔庾泳w的光能量傳輸器件中，光在拓?fù)溥吔鐟B(tài)中傳輸時(shí)，由于拓?fù)浔Ｗo(hù)的作用，即使光子晶體存在缺陷或雜質(zhì)，光能量也能穩(wěn)定地傳輸，大大提高了光能量的傳輸效率。這種高效的能量傳輸特性在能源領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值，例如在太陽(yáng)能光伏發(fā)電系統(tǒng)中，利用非厄米拓?fù)淠芰總鬟f器件，可以將太陽(yáng)能更有效地收集和傳輸，提高太陽(yáng)能的利用效率，為可持續(xù)能源發(fā)展提供技術(shù)支持。可調(diào)吸收器是波調(diào)控器件中的重要組成部分，非厄米系統(tǒng)的拓?fù)浞诸悶槠湫阅芴嵘峁┝诵碌乃悸贰Ｍㄟ^(guò)精確調(diào)控非厄米系統(tǒng)的參數(shù)，如增益、損耗等，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)特定頻率波的選擇性吸收。在一個(gè)基于非厄米聲學(xué)系統(tǒng)的可調(diào)吸收器中，通過(guò)