新課標2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第一部分基醇點自主練透第3講算法與平面向量練習(xí)理新人教A版

PAGE1-第3講算法與平面對量一、選擇題1．(2024·廣東六校第一次聯(lián)考)在△ABC中，D為AB的中點，點E滿意eq\o(EB,\s\up6(→))＝4eq\o(EC,\s\up6(→))，則eq\o(ED,\s\up6(→))＝()A．eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))解析：選A．因為D為AB的中點，點E滿意eq\o(EB,\s\up6(→))＝4eq\o(EC,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選A．2．(2024·武昌區(qū)調(diào)研考試)已知向量a＝(2，1)，b＝(2，x)不平行，且滿意(a＋2b)⊥(a－b)，則x＝()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．1或eq\f(1,2)解析：選A．因為(a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因為向量a＝(2，1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)，因為向量a，b不平行，所以x≠1，所以x＝－eq\f(1,2)，故選A．3．(2024·廣州市綜合檢測(一))a，b為平面對量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，則a，b夾角的余弦值等于()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)解析：選B．設(shè)b＝(x，y)，則有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－2x＝0,4－2y＝8))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－2))，故b＝(1，－2)，|b|＝eq\r(5)，|a|＝2eq\r(5)，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2－8,\r(5)×2\r(5))＝－eq\f(3,5)，故選B．4．(2024·湖南省五市十校聯(lián)考)已知向量a，b滿意|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，則|a＋b|＝()A．eq\r(6) B．eq\r(5)C．2 D．eq\r(3)解析：選A．由題意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋1＋4)＝eq\r(6).故選A．5．(2024·湖南省五市十校聯(lián)考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，其中t∈Z.若輸入的n＝5，則輸出的結(jié)果為()A．48 B．58C．68 D．78解析：選B．輸入的n＝5，則a＝28＝7×4；n＝7，a＝38＝7×5＋3；n＝9，a＝48＝7×6＋6；n＝11，a＝58＝7×8＋2.退出循環(huán)，輸出的結(jié)果為58.故選B．6．已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝|b|＝2，則a在a－b方向上的投影為()A．1 B．eq\r(3)C．eq\f(\r(6)－\r(2),2) D．eq\f(\r(6)＋\r(2),2)解析：選B．由向量的數(shù)量積公式可得a·(a－b)＝|a||a－b|cos〈a，a－b〉，所以a在a－b方向上的投影|a|cos〈a，a－b〉＝eq\f(a·(a－b),|a－b|)＝eq\f(|a|2－a·b,\r(|a|2＋|b|2－2a·b)).又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝2×2×cos120°＝－2，所以|a|cos〈a，a－b〉＝eq\f(4－(－2),\r(4＋4－2×(－2)))＝eq\r(3)，故選B．7．(2024·湖南省湘東六校聯(lián)考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為63，則推斷框中應(yīng)填入的條件為()A．i≤4 B．i≤5C．i≤6 D．i≤7解析：選B．初始值，S＝1，i＝1，第一次循環(huán)，S＝3，i＝2；其次次循環(huán)，S＝7，i＝3；第三次循環(huán)，S＝15，i＝4；第四次循環(huán)，S＝31，i＝5，第五次循環(huán)，S＝63，i＝6，此時退出循環(huán)，輸出S＝63.結(jié)合選項知推斷框中應(yīng)填入的條件為i≤5，故選B．8．(一題多解)(2024·貴陽模擬)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝()A．8 B．12C．16 D．20解析：選D．法一：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則a·b＝0，a2＝16，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a＋a))＝eq\f(3,4)a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a＋\f(3,4)a＋\f(1,2)b))＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)a＋\f(3,2)b))＝eq\f(5,4)a2＋eq\f(3,2)a·b＝eq\f(5,4)a2＝20，故選D．法二：以A為坐標原點建立平面直角坐標系(如圖所示)，設(shè)AD＝t(t>0)，則B(4，0)，C(2，t)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)t))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝(4，0)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((2，t)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)t))))＝(4，0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,2)t))＝20，故選D．9．(2024·蓉城名校第一次聯(lián)考)已知n等于執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果S，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(n)的綻開式中常數(shù)項是()A．10 B．20C．35 D．56解析：選B．執(zhí)行程序框圖，i＝0，S＝0，i＝0＋1＝1，滿意i<4；S＝0＋1＝1，i＝1＋1＝2，滿意i<4；S＝1＋2＝3，i＝2＋1＝3，滿意i<4，S＝3＋3＝6，i＝3＋1＝4，不滿意i<4退出循環(huán)，輸出的S＝6.所以n＝6，二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(6)的綻開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,6)x6－2r，令6－2r＝0?r＝3，所以二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(6)的綻開式的常數(shù)項為T4＝Ceq\o\al(3,6)＝20.故選B．10．在如圖所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為線段BC上的點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))的最小值為()A．12 B．15C．17 D．16解析：選B．以B為坐標原點，BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0，4)，D(2，4)，設(shè)E(x，0)(0≤x≤2)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x2－2x＋16＝(x－1)2＋15，于是當x＝1，即E為BC的中點時，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))取得最小值15，故選B．11．(2024·濟南模擬)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a，b，c依次為(sinα)sinα，(sinα)cosα，(cosα)sinα，其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，則輸出的x為()A．(cosα)cosα B．(sinα)sinαC．(sinα)cosα D．(cosα)sinα解析：選C．該程序框圖的功能是輸出a，b，c中的最大者．當α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))時，0<cosα<sinα<1.由指數(shù)函數(shù)y＝(cosα)x可得，(cosα)sinα<(cosα)cosα.由冪函數(shù)y＝xcosα可得，(cosα)cosα<(sinα)cosα，所以(cosα)sinα<(sinα)cosα.由指數(shù)函數(shù)y＝(sinα)x可得，(sinα)sinα<(sinα)cosα.所以a，b，c中的最大者為(sinα)cosα，故輸出的x為(sinα)cosα，正確選項為C．12．(一題多解)已知a，b，e是平面對量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為eq\f(π,3)，向量b滿意b2－4e·b＋3＝0，則|a－b|的最小值是()A．eq\r(3)－1 B．eq\r(3)＋1C．2 D．2－eq\r(3)解析：選A．法一：設(shè)O為坐標原點，a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以點B的軌跡是以C(2，0)為圓心，1為半徑的圓．因為a與e的夾角為eq\f(π,3)，所以不妨令點A在射線y＝eq\r(3)x(x>0)上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知|a－b|min＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|－|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)－1.故選A．法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.設(shè)b＝eq\o(OB,\s\up6(→))，e＝eq\o(OE,\s\up6(→))，3e＝eq\o(OF,\s\up6(→))，所以b－e＝eq\o(EB,\s\up6(→))，b－3e＝eq\o(FB,\s\up6(→))，所以eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝0，取EF的中點為C，則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖．設(shè)a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，作射線OA，使得∠AOE＝eq\f(π,3)，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|－|eq\o(BC,\s\up6(→))|≥eq\r(3)－1.故選A．二、填空題13．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________．解析：2a＋b＝(4，2)，因為c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14．(2024·濟南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評估)已知|a|＝|b|＝2，a·b＝0，c＝eq\f(1,2)(a＋b)，|d－c|＝eq\r(2)，則|d|的取值范圍是________．解析：不妨令a＝(2，0)，b＝(0，2)，則c＝(1，1)．設(shè)d＝(x，y)，則(x－1)2＋(y－1)2＝2，點(x，y)在以點(1，1)為圓心、eq\r(2)為半徑的圓上，|d|表示點(x，y)到坐標原點的距離，故|d|的取值范圍為[0，2eq\r(2)]．答案：[0，2eq\r(2)]15．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是7，則推斷框內(nèi)m的取值范圍是________．解析：k＝1，S＝2，k＝2，S＝2＋4＝6，k＝3，S＝6＋6＝12，k＝4，S＝12＋8＝20，k＝5，S＝20＋10＝30，k＝6，S＝30＋12＝42，k＝7，此時不滿意S＝42＜m，退出循環(huán)，所以30＜m≤42.答案：(30，42]16．在△ABC中，(eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→)))⊥eq\o(CB,\s\up6(→))，則角A的最大值為________．解析：因為(