對于麥克斯韋方程組洛倫茲變換的低速極限是伽利略變換嗎

02動體介質(zhì)電動力學(xué)方程在介紹動體介質(zhì)電動力學(xué)之前，先來簡單介紹一下何謂“介質(zhì)”。介質(zhì)指的是能對電磁場進(jìn)行響應(yīng)的各類物質(zhì)。最簡單的介質(zhì)以產(chǎn)生電/磁偶極矩的方式對電磁場進(jìn)行響應(yīng)，其中電偶極子就是電荷分布缺乏中心對稱的分子，而磁偶極子在微觀上就是外層電子總角動量不為零的分子，可以看作是存在著圍繞分子中心的微觀電流。在描寫宏觀連續(xù)介質(zhì)的電磁性質(zhì)曾在香港科技大學(xué)教了10年電動力學(xué)的杜勝望老師曾對我提起，這一點他每次上課都是反復(fù)提醒，所以我們系畢業(yè)的學(xué)生大概是不會弄錯了。為什么要那么較真，反復(fù)強(qiáng)調(diào)這個概念呢？這是因為要強(qiáng)調(diào)介質(zhì)里的電磁場是獨立的，并按照統(tǒng)一(跟真空中完全一樣的)動力學(xué)規(guī)律演化的實實在在的物質(zhì)，不是依附于介質(zhì)的附庸，所以當(dāng)介質(zhì)開始運動的時候，其中的電磁場不會“月亮走我也走”，寸步不離地跟著介質(zhì)一起運動。這一點跟介質(zhì)中的聲波存在本質(zhì)的不同。在介質(zhì)中，電磁場會進(jìn)一步引起電磁響應(yīng)，即P和M，傳統(tǒng)電磁學(xué)里將P和M所對應(yīng)的極化電荷密度和分子電流密度與自由電荷產(chǎn)生的電荷/電流密度分開處理，因此定義了兩個新的場量D和H，動體介質(zhì)電動力學(xué)問題：已知一種電磁介質(zhì)，其特性在靜止時由介電函數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ來刻畫，求當(dāng)這塊介質(zhì)以勻速v相對于實驗室參照系運動時所對應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系。接下來跟前面一樣，我們把實驗室參照系記為S，把隨著介質(zhì)一起運動的參照系記為S′。由于在S′中介質(zhì)保持靜止，其電磁學(xué)特性由ε和μ來刻畫，為了解決上述動體介質(zhì)電動力學(xué)問題，只要簡單地做一個從S′系到S系的參照系變換就行。在近期的討論中，也有同學(xué)提出如果有多塊運動介質(zhì)怎么辦？其實這正是使用實驗室參照系的優(yōu)勢，不管有多少塊介質(zhì)以不同的速度運動，都可以變換到唯一的實驗室參考系來統(tǒng)一描述。下面，我們就用洛倫茲變換來解決這個問題。從前面這個特殊例子，可以知道在洛倫茲變換下，電磁場E，B和源場電荷/電流密度ρ和J都必須跟著變，這里我們先給出嚴(yán)格的洛倫茲變換下場和源的正變換和逆變換形式：閔可夫斯基于1907年得到了上述方程。它的物理含義非常簡潔明了，假設(shè)一塊介質(zhì)在靜止的時候可以用介電函數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ來描述其電磁特性，那么當(dāng)它以速度v運動時，就成為了一塊具有“磁電”效應(yīng)的介質(zhì)，也就是說磁場可以誘導(dǎo)出電極化，而電場也能誘導(dǎo)出磁極化，這種磁電耦合強(qiáng)度，與介質(zhì)和真空中的光速倒數(shù)平方之差成正比，也與介質(zhì)運動的速度v成正比。當(dāng)然，在這個簡單的例子中，我們只討論了最簡單的均勻線性介質(zhì)，在閔可夫斯基之后的一百多年時間里，又有不少文獻(xiàn)討論了各種更復(fù)雜的情況，比如非均勻介質(zhì)和包括變形和轉(zhuǎn)動在內(nèi)的廣義運動介質(zhì)等。但無論是什么復(fù)雜的情況，麥克斯韋方程組的協(xié)變性都不會受介質(zhì)運動影響，運動介質(zhì)帶來的影響只能體現(xiàn)在本構(gòu)關(guān)系上，這是閔可夫斯基運動介質(zhì)電動力學(xué)理論最精髓的所在。介質(zhì)運動帶來的最低階修正正比于介質(zhì)運動速度的一次方，完全是相對論效應(yīng)。03什么是“伽利略電磁學(xué)”？上面我們以如何求運動介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為例，介紹了如何做洛倫茲變換的低速展開，即嚴(yán)格按照洛倫茲變換的步驟，同時做電磁場、源場、時空坐標(biāo)、時空坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)的變換，得到最后的表達(dá)式后，再對其中出現(xiàn)的所有v/c項做展開到一階。在大多數(shù)情況下就是把其中出現(xiàn)的γ因子近似成1而已。在筆者看來，這樣的展開毫無必要，因為哪怕不做任何近似，洛倫茲變換就已經(jīng)是線性變換了，足夠簡單了。在這個計算資源豐富的時代，做這點近似帶來的變化無非是寫程序的時候?qū)懸恍羞€是兩行，按計算器的時候按三下還是五下的區(qū)別。當(dāng)然，做了近似以后，在解析表達(dá)式上我們可以用統(tǒng)一的矢量方程描寫，不必把平行和垂直分量分開寫，看起來會簡潔一些。然而在歷史上，還有一種在洛倫茲變換線性展開的基礎(chǔ)上，針對不同的具體問題對場量再做進(jìn)一步近似的方法，稱為“伽利略電磁學(xué)”[6]，下面我們再簡單介紹一下這種近似方法和伽利略變換的關(guān)系。簡單地說，這種“伽利略電磁學(xué)”其實就是我們熟悉的準(zhǔn)靜態(tài)近似，即在某些特殊情況下，可以把動態(tài)的電磁學(xué)問題近似成靜電學(xué)或者靜磁學(xué)問題。相應(yīng)的，準(zhǔn)靜態(tài)近似也有兩種，分別對應(yīng)靜電學(xué)和靜磁學(xué)問題，稱為電極限和磁極限。對于電極限準(zhǔn)靜態(tài)近似或者“電學(xué)伽利略電磁學(xué)”來說，這類問題主要是研究與時間緩變電荷密度相關(guān)的電磁學(xué)問題。在這種情況下，我們可以把其中的縱向電場和電荷密度看作零階量，磁場強(qiáng)度和電流密度看作一階小量，而電場的橫向分量則作為二階小量被忽略掉。這樣的電場就是無旋場，可以寫作某個標(biāo)量勢的梯度，E(r,

t)=?φ(r,

t)，并且t

時刻的標(biāo)量勢場φ(r,

t)可以由同一時刻t

的電荷密度分布ρ(r,

t)通過解泊松方程來確定，相應(yīng)的磁場則由安培定律來確定，總結(jié)如下：類似的，還有另一類電磁學(xué)問題是與隨時間緩變的電流分布相關(guān)，在這類問題中，可以把磁場強(qiáng)度和電流密度看作零階量，把橫向電場看作一階小量，而把電荷密度與電場這兩者隨時間的變化率看作二階小量予以忽略

(等價于問題中電流密度的散度為零)

。這種近似就是磁極限準(zhǔn)靜態(tài)近似或者“磁學(xué)伽利略電磁學(xué)”，使得我們可以在安培定律中忽略掉位移電流的貢獻(xiàn)。在這種近似中，t

時刻的磁場強(qiáng)度H(t)完全由同一時刻t

的無散度電流分布J(r,

t)通過解瞬時靜磁學(xué)問題來得到，磁極限準(zhǔn)靜態(tài)近似下的麥克斯韋方程組如下：在凝聚態(tài)物理中，求解金屬中等離激元

(plasmon)

的方程就是典型的“電學(xué)伽利略電磁學(xué)”，而求解超導(dǎo)體中磁通運動的方程則是典型的“磁學(xué)伽利略電磁學(xué)”。那么現(xiàn)在問題來了，上述兩套準(zhǔn)靜態(tài)極限下的近似方程滿足伽利略變換嗎？關(guān)于這個問題的討論，在20世紀(jì)的許多文獻(xiàn)里是非?；靵y的。在我們給出明確的回答之前首先要澄清一下這些問題，即“當(dāng)我們在說某個方程組滿足伽利略變換的時候，我們到底在說什么”？在許多文獻(xiàn)[7，8]里，作者實際上是在說這樣一個邏輯過程。第一步，對時空坐標(biāo)做伽利略變換，然后問需要對電磁場和源場做什么樣的相應(yīng)變換可以保持變換后的方程形式不變，通過這一條件得到場和源的變換關(guān)系。這么做其實是在反推洛倫茲變換中場和源的變換方式在滿足上述準(zhǔn)靜態(tài)條件時的近似形式。但問題是源場，也就是電荷密度和電流密度，可以由微觀帶電粒子的坐標(biāo)和運動速度完全確定，所以它們的變換形式是可以通過伽利略變換直接得到的，不必通過電磁學(xué)方程不變這個條件反推。那么，只有通過上述過程反推出來的電荷密度和電流密度的變換形式與伽利略變換直接得到的一致，才可以說這樣的近似方程組滿足伽利略變換，如果不一致則說明這里面有不自洽之處，源的變換關(guān)系不能通過伽利略變換得到。先來看電極限的準(zhǔn)靜態(tài)方程組在伽利略變換下的行為，相關(guān)綜述文獻(xiàn)[9]中給出如果要求電極限的準(zhǔn)靜態(tài)方程組在伽利略變換下不變，在做時空坐標(biāo)變換的同時，場和源必須同時做如下變換，從中我們可以看出電荷密度和電流密度的變換關(guān)系與通過伽利略變換直接得到的完全一致，因此電極限下的準(zhǔn)靜態(tài)方程組的確滿足伽利略變換。這在物理上也很好理解，在這組方程下t

時刻的電磁場完全由同時刻下的電荷密度分布ρ(r,

t)和電流密度分布J(r,

t)決定，電磁場自身獨立的動力學(xué)特征被完全忽略以至于成為物質(zhì)場ρ(r,

t)和J(r,

t)的“附屬場”，從而滿足伽利略變換。對于磁極限下的準(zhǔn)靜態(tài)方程，綜述文獻(xiàn)中也給出了場和源的變換關(guān)系如下。如果要求磁極限的準(zhǔn)靜態(tài)方程組在伽利略變換下不變，在做時空坐標(biāo)變換的同時，很明顯，這里要求的源場，即電荷密度和電流密度的變換關(guān)系完全不能由伽利略變換直接得到。因此，磁極限準(zhǔn)靜態(tài)近似下的變換關(guān)系不能看作是跟伽利略變換自洽的，事實上它只能通過對洛倫茲變換做低速展開，并忽略掉上述情況下場量的高階小量才能得到。這一有趣的電和磁的不對稱性是有其深刻物理含義的，偉大的物理學(xué)家費曼在其《費曼物理學(xué)講義》第二卷第一章中系統(tǒng)地闡述了這種電磁不對稱性，并指出磁現(xiàn)象在本質(zhì)上是完全相對論性的，不存在“非相對論磁學(xué)”，我們擬另文專門展開討論這一問題。另外，我們還要指出一點，無論是電極限還是磁極限下的“伽利略電磁學(xué)”，本質(zhì)上都是在某些特殊條件下徹底忽略電磁場自身的動力學(xué)，而不是對電磁場動力學(xué)去做各種錯誤的“近似”。最后，利用變換(16)和(17)，讀者可以自己再去做一遍上文中運動介質(zhì)中的電動力學(xué)問題，會發(fā)現(xiàn)得到的結(jié)果與正確的閔可夫斯基形式(13)并不一致，這也是由于在“伽利略電磁學(xué)”中忽略電磁場動力學(xué)所導(dǎo)致的。參考文獻(xiàn)[1]EinsteinA.AnnalenderPhysik，2005，14：194[2]費曼物理學(xué)講義，13-6，/II_13.html[3]喬治·伽莫夫，羅素·斯坦納德著，吳伯澤譯.物理世界奇遇記，第一章至第五章.北京：科學(xué)出版社，2008[4]VanBladelJ.RelativityandEngineering.SpringerSeriesinElectrophysics，1984[5]TaiC.ProceedingsoftheIEEE，1964，52：685[6]RousseauxG.TheEuropeanPhysicalJournalPlus，2013，128：81[7]LeBellacM，Levy-LeblondJM.IlNuovoCimento，1973，14：217[8]deMontignyM，RousseauxG.EuropeanJournalofPhysics，2006，27：755[9]RousseauxG.TheEuropeanPhysicalJournalPlus，2013，128：81[10]大衛(wèi)·J.