邏輯學(xué)導(dǎo)論 第9章 命題邏輯II：演繹方法

邏

輯

學(xué)導(dǎo)論（第15版）IntroductiontoLogicPPT制作湖南師范大學(xué)

彭道林

[美]歐文·M.柯匹[美]卡爾·科恩著[加]維克多·羅迪奇張建軍潘天群頓新國等譯9第9講

命題邏輯II：演繹方法條件證明第一節(jié)目錄Contents不相容性第二節(jié)簡化的真值表方法第三節(jié)運(yùn)用19個(gè)推論規(guī)則構(gòu)建形式證明第四節(jié)自然演繹系統(tǒng)第五節(jié)擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則第六節(jié)構(gòu)造更復(fù)雜的形式證明第七節(jié)有效性形式證明的構(gòu)造第八節(jié)有效性形式證明示例第九節(jié)基本的有效論證形式第十節(jié)有效性的形式證明第十一節(jié)間接證明第十二節(jié)可靠性論證與篤證性論證的辨識第十三節(jié)一、有效性的形式證明1.有效性的形式證明在命題邏輯以及謂詞邏輯中，通過運(yùn)用一系列有效演繹推論，可以從一個(gè)論證的前提演繹出它的結(jié)論，從而證明該論證是有效的。一個(gè)有效性的形式證明是關(guān)于一個(gè)論證不可能出現(xiàn)前提真而結(jié)論假的情形的一種嚴(yán)格核證。如果一個(gè)論證的前提是真的，那么此論證的有效性的證明一旦建立，就能保證它的結(jié)論也是真的。一、有效性的形式證明1.有效性的形式證明由有效的演繹推理構(gòu)成的證明，是邏輯學(xué)中核心的至關(guān)重要的組成部分。2.推論規(guī)則：一個(gè)有效的論證形式或者是作為推論規(guī)則的邏輯等價(jià)式。注：一個(gè)基本有效論證形式的任何代入例都是一個(gè)基本的有效論證（不必是特征形式）。3.基本的有效論證：作為一個(gè)基本的有效論證形式之代人例的論證。1.基本的有效論證形式：九個(gè)特殊的簡單有效論證形式之一，并將把它們用作推論規(guī)則?；拘问絧?qp?q有效論證(A·B)?[C≡(D∨E)]A·BC≡(D∨E)一、有效性的形式證明2.示例如果安德遜被提名,那么她會(huì)去波士頓;如果她去波士頓,那么她會(huì)在那兒競選;如果她在那兒競選,她會(huì)遇到道格拉斯;安德遜沒有遇到道格拉斯;或者安德遜被提名,或者某個(gè)更合適的人被選中;因此,某個(gè)更合適的人被選中。（P1）A?B（P2）B?C（P3）C?D（P4）~D（P5）A∨E?E（P1）A?B（P2）B?CA?C(假言三段論H.S.)（P3）C?DA?D(假言三段論H.S.)（P4）~D~A(否定后件式M.T.)（P5）A∨E~A?E(析取三段論D.S.)符號化一、有效性的形式證明3.有效性的形式證明定義有效性的形式證明：一個(gè)根據(jù)推論規(guī)則而得到有效的演繹推論序列，它開始于論證的前提，繼之于那些從前提有效地推出的陳述，結(jié)束于有效地推出的論證之結(jié)論。自然演繹：演繹出一個(gè)論證的結(jié)論的演繹方法，即利用推論規(guī)則成功地證明論證的有效性的方法。通過精確的一個(gè)又一個(gè)有效推論，直到推出結(jié)論，從而證明一個(gè)論證是有效的。它建立了論證的有效性，同時(shí)這種連續(xù)不斷的推論過程也正是實(shí)際推理的樣式。使用自然演繹可以為任何有效論證的有效性提供一個(gè)形式證明。二、基本的有效論證形式推論規(guī)則推論規(guī)則：即一套邏輯規(guī)則，通過使用這些規(guī)則，能證明一個(gè)有效演繹論的有效性。推論規(guī)則分為兩組：第二組則由一些基本的邏輯等價(jià)式組成。第一組由一些基本的有效論證形式組成。首先關(guān)注基本的有效論證形式。二、基本的有效論證形式1.肯定前件式(M.P.)pqp?qTTTTFFFTTFFT肯定前件式：p?qp

?q肯定前件式,英文名M.P.（ModusPonens）二、基本的有效論證形式2.否定后件式(M.T.)否定后件式,英文名M.T.（ModusTollens）pqp?q~q~pTTTFFTFFTFFTTFTFFTTT否定后件式：p?q~q

?~p二、基本的有效論證形式3.假言三段論(H.S.)假言三段論,英文名H.S.（HypotheticalSyllogism）pqrp?qq?rp?rTTTTTTTTFTFFTFTFTTTFFFTFFTTTTTFTFTFTFFTTTTFFFTTT假言三段論：p?qq?r

?p?r二、基本的有效論證形式4.析取三段論(D.S.)析取三段論,英文名D.S.（DisjunctiveSyllogism）pqp∨q~pTTTFTFTFFTTTFFFT析取三段論：p∨q~p

?q二、基本的有效論證形式5.構(gòu)造式二難(C.D.)構(gòu)造式二難,英文名C.D.(ConstructiveDilemma)構(gòu)造式二難：(p?q)?(r?s)p∨r

?q∨spqrsp?qr?s(p?q)?(r?s)p∨rq∨sTTTTTTTTTTTTFTFFTTTTFTTTTTTTTFFTTTTTTFTTFTFTTTFTFFFFTFTFFTFTFTTTFFFFFFTFFTTTTTTTTFTTFTFFTTFTFTTTTFTFTFFTTTFTFFTTTTTTTFFTFTFFTFFFFTTTTFTFFFFTTTFF二、基本的有效論證形式6.吸收律(Abs.)吸收律,英文名Abs.(Absorptivity)pqp·qp?qp?(p·q)TTTTTTFFFFFTFTTFFFTT吸收律：p?q∴p?(p?q)二、基本的有效論證形式7.簡化律(Simp.)簡化律,英文名Simp.(Simplification)簡化律：p·q

∴

p8、合取律(Conj.)合取律,英文名Conj.

(Conjunction)合取律：pq∴p?q9、附加律(Add.)附加律,英文名Add.

(Addition)附加律：p∴p∨q小結(jié)推論規(guī)則：基本有效推理形式名稱縮寫形式1.肯定前件式M.P.p?qp∴q2.否定后件式M.T.p?q~q∴~p3.假言三段論H.S.p?qq?r∴p?r4.析取三段論D.S.p∨q~p∴q小結(jié)名稱縮寫形式5.構(gòu)造式兩難C.D.(p?q)·(r?s)p∨r∴q∨s6.吸收律Abs.p?q∴p?(p?q)7.簡化律Simp.p·q∴p8.合取律Conj.pq∴p·q9.附加律Add.p∴p∨q推論規(guī)則：基本有效推理形式小結(jié)基本有效論證形式特點(diǎn)基本的論證形式的有兩大特點(diǎn)：第二，基本的有效論證形式必須被應(yīng)用到作為推論前提的整個(gè)陳述上，而不能應(yīng)用到這些陳述的部分分支陳述上。第一，它們必須被精確地使用，基本的論證形式必須與所處理的論證精確吻合，不允許有任何形式的捷徑和搪塞。演繹邏輯中的形式證明的極大效力，正是因?yàn)椋和评淼挠行圆淮嬖谌魏我稽c(diǎn)懷疑。課堂練習(xí)練習(xí)題(J?K)·(K?L)L?M∴[((J?K)·(K?L)]·(L?M)用合取律來辯護(hù)：pq∴p·q三、有效形式證明示例示例I：1.A·B2.(A∨C)?D∴A·D3.A4.A∨C5.D6.A?D

3.A1,簡化律（Simp.）

4.A∨C3，附加律

（Add.）5.D2,4，肯定前件式（M.P.）

6.A·D3,5，合取律（Conj.）

有效性的形式證明：一個(gè)根據(jù)推論規(guī)則而得到有效的演繹推論序列，它開始于論證的前提，繼之于那些從前提有效地推出的陳述，結(jié)束于有效地推出的論證之結(jié)論。在構(gòu)造有效性的形式證明之前，首先要理解和領(lǐng)會(huì)這樣的證明。三、有效形式證明示例示例II：下面是所示論證的有效性的一個(gè)形式證明，給編了號但不是前提的每行寫出理由。1.Q?R2.~S?(T?U)3.S∨(Q∨T)4.~S∴R∨U5.T?U6.(Q?R)·(T?U)7.Q∨T8.R∨U5.T?U2,4，肯定前件式

6.(Q?R)·(T?U)

1,5，合取律7.Q∨T3,4，析取三段論

8.R∨U6,7，構(gòu)造式兩難

四、

有效性形式證明的構(gòu)造示例I：（P1）A（P2）B∴(A∨C)·B謹(jǐn)記：任何證明序列的最后一行總是正在證明的論證的結(jié)論。

1.A2.B/∴(A∨C)·B3.A∨C

1,附加律（Add.）4.(A∨C)·B

2,3,合取律（Conj.）演繹邏輯的核心任務(wù)是從形式上證明實(shí)際有效的論證的有效性。有效性形式證明的構(gòu)造，要求要能熟練掌握規(guī)則，在設(shè)計(jì)證明的過程中能熟練調(diào)用所需規(guī)則。四、

有效性形式證明的構(gòu)造示例II：（P1）D?E（P2）D·F∴

E1.D?E2.D·F/∴E3.D

2,簡化律（Simp.）4.E

1,3,肯定前件式（M.P.）完整的形式證明結(jié)論E是前提1的后件，若D為真，則通過肯定前件式就能得到結(jié)論。而D為真可以由前提2通過簡化律得到。五、

構(gòu)造更復(fù)雜的形式證明示例I：（P1）A∨(B?A)（P2）~A·C∴

~B更為復(fù)雜的論證的有效性形式證明的構(gòu)造過程是一樣的：目標(biāo)都是將證明序列的最后一行構(gòu)造成該論證的結(jié)論，推理的規(guī)則也都是我們僅有的那些邏輯工具。從結(jié)論不斷反向回溯到給定的前提：通過怎樣的陳述能推出結(jié)論?這些陳述又需要通過怎樣的陳述被推出?結(jié)論~B是前提1的一個(gè)析取支的后件，若~A為真且B?A，則通過否定后件式可以得到結(jié)論；~A的真由前提2通過簡化律得到；B?A的真可以通過析取三段論得到。五、

構(gòu)造更復(fù)雜的形式證明示例I：（P1）A∨(B?A)（P2）~A·C∴

~B1.A∨(B?A)2.~A·C/∴~B3.~A

2,簡化律（Simp.）4.B?A

1,3,

析取三段論（D.S.）5.~B4,3，否定后件式（M.T.）完整的形式證明五、

構(gòu)造更復(fù)雜的形式證明示例II：（P1）A?B（P2）A∨(C·D）（P3）~B·~E∴C

1.A?B2.A∨(C·D）3.~B·~E/∴C4.~B3,

簡化律（Simp.）5.~A

1,4，

否定后件式（M.T.）6.C·D2,4，

析取三段論（D.S.）7.C5,

簡化律（Simp.）

完整的形式證明1）前提2的析取支通過簡化律可以得到結(jié)論，為此，需要C?D為真。2）C?D為真可以由前提2通過析取三段論得到，為此，需要~A為真。3）~A為真可由前提1通過否定后件式得到，為此，需要~B為真。4）~B為真恰可由前提3通過簡化律得到。五、

構(gòu)造更復(fù)雜的形式證明在形式證明的設(shè)計(jì)過程中，邏輯堅(jiān)固性是最關(guān)鍵的目標(biāo)。堅(jiān)固的證明：每一個(gè)陳述都必須是正確地得出的，即其結(jié)論是通過一個(gè)證明運(yùn)用推論規(guī)則的不間斷論證鏈條與前提相連的。六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則有效論證：如果直接從芝加哥到拉斯維加斯，那么你必須穿過密西西比河。如果你只是要沿著東海岸旅行，則不會(huì)穿過密西西比河。因此，如果你直接從芝加哥到拉斯維加斯，則你不只是要沿著東海岸旅行。已有的9個(gè)基本的有效論證形式無法證明其有效性：缺少用一個(gè)與某陳述邏輯等價(jià)的陳述來取代原陳述的能力。（P1）D?C（P2）A?~C∴D?~A符號化替換規(guī)則：該陳述的所有或部分陳述都可被替換為與其邏輯等價(jià)的陳述。六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則論證：如果直接從芝加哥到拉斯維加斯，那么你必須穿過密西西比河。如果你只是要沿著東海岸旅行，則不會(huì)穿過密西西比河。因此，如果你直接從芝加哥到拉斯維加斯，則你不只是要沿著東海岸旅行。利用邏輯等價(jià)式A?~CC?~A替換P2，再利用假言三段論便可給出證明。（P1）D?C（P2）A?~C∴D?~A替換規(guī)則有力地增強(qiáng)了推論規(guī)則。為精確地使用替換規(guī)則，通過列舉十個(gè)具體邏輯等價(jià)式來確定替換規(guī)則。所有這些邏輯等價(jià)式都是邏輯真的雙條件陳述，也是單獨(dú)的推論規(guī)則。≡T六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則編號名稱縮寫形式10德.摩根律DeM.~(p·q)

~p∨~q~(p∨q)~p·~q11交換律Com.p∨qq∨pp·qq·p12結(jié)合律Assoc.[p∨(q∨r)][(p∨q)∨r][p·(q·r)]

[(p·q)·r]13分配律Dist.[p∨(q·r)]

[(p∨q)·(p∨r)][p·(q∨r)]

[(p·q)∨(p·r)]14雙重否定律D.N.p~~p≡T≡T≡T≡T≡T≡T≡T≡T≡T替換規(guī)則：邏輯等價(jià)的真值函項(xiàng)陳述形式六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則編號名稱縮寫形式15易位律Trans.(p?q)

(~q?~p)16實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵律Impl.(p?q)

(~p∨q)17實(shí)質(zhì)等值律Equiv.(p≡q)

[(p?q)·(q?p)](p≡q)

[(p?q)∨(~p·~q)]18輸出律Exp.[(p·q)?r]

[p?(q?r)]19重言律Taut.≡T≡T≡T≡T≡T≡T≡T替換規(guī)則：邏輯等價(jià)的真值函項(xiàng)陳述形式六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則10.德·摩根律(DeM.)

~(p·q)~p∨~q

~(p∨q)~p·~q≡T≡T德.摩根律有兩個(gè)變體：第二個(gè)變體斷言：如果我們否定兩個(gè)命題中有命題為真，則邏輯等價(jià)于斷言這兩個(gè)命題都假（對析取的否定與析取支的否定的合取邏輯等價(jià)）。第一個(gè)斷言：如果我們否定兩個(gè)都為真的命題則與斷言或者其中一個(gè)為假，或者另一個(gè)為假邏輯等價(jià)（對合取的否定與合取支的否定的析取邏輯等價(jià)）。這兩個(gè)雙條件句都是重言式，即兩個(gè)實(shí)質(zhì)等值式都總是為真，因此不可能有錯(cuò)誤的替換例。六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則11.交換律(Com.)

p∨qq∨p

p·qq·p≡T≡T這兩個(gè)等式斷言：對合取或析取命題而言，其支命題之間的順序?qū)ζ錄]有影響。通過簡化律和交換律，可以很方便地證明已知為真的合取式中的任意合取支為真。規(guī)則7即簡化律，允許從合取式p?q推出p，但是不允許推出q?，F(xiàn)在根據(jù)交換律，則能用q?p替換p?q。六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則12.結(jié)合律(Assoc.)

[p∨(q∨r)][(p∨q)∨r]

[p·(q·r)][(p·q)·r]≡T≡T如果這三陳述是被分組了的析取支，等價(jià)式仍然成立：p和析取式qVr與析取式pVq或r邏輯等價(jià)。如果已知三個(gè)不同的命題都為真，則斷言p與q和r的合取一道為真與斷言p和q的合取與r一道為真是邏輯等價(jià)的。13.雙重否定律(D.N.)

p

~~p

≡T六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則14.分配律(Dist.)

[p∨(q·r)][(p∨q)·(p∨r)][p·(q∨r)][(p·q)∨(p·r)]≡T≡T分配律有兩個(gè)變體：第二個(gè)變體斷言：一個(gè)陳述與另外兩個(gè)陳述所組成的析取式的合取邏輯等價(jià)于第一個(gè)陳述與第二個(gè)陳述組成的合取式或者第一個(gè)陳述與第三個(gè)陳述組成的合取式。第一個(gè)變體斷言：一個(gè)命題與另外兩個(gè)命題組成的合取式的析取邏輯等價(jià)于第一個(gè)陳述與第二個(gè)陳述組成的析取式和第一個(gè)陳述與第三個(gè)陳述組成的析取式的合取。該規(guī)則被稱為分配律源于它分配了這三個(gè)陳述中的第一個(gè)，分別展示了它與后兩個(gè)陳述之間的邏輯關(guān)系。（真值表證明）六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則分配律第一個(gè)變體真值表[p∨(q?r)][(p∨q)?(p∨r)]pqrq?rp∨qp∨rp∨(q?r)(p∨q)?(p∨r)p∨(q?r)≡(p∨q)?(p∨r)TTTTTTTTTTTFFTTTTTTFTFTTTTTTFFFTTTTTFTTTTTTTTFTFFTFFFTFFTFFTFFTFFFFFFFFT≡T六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則分配律第二個(gè)變體真值表[p?(q∨r)][(p?q)∨(p?r)]pqrq∨rp?qp?rp?(q∨r)(p?q)∨(p?r)[p?(q∨r)]≡[(p?q)∨(p?r)]TTTTTTTTTTTFTTFTTTTFTTFTTTTTFFFFFFFTFTTTFFFFTFTFTFFFFTFFTTFFFFTFFFFFFFFT≡T六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則如果任何條件陳述為真，則如果它的后件為假，則其前件必定為假。這個(gè)邏輯等價(jià)式允許將任何條件陳述顛倒過來。15.易位律(Trans.)

(p?q)

(~q?~p)

≡T因此，任何條件陳述邏輯等價(jià)于斷言其后件的否定蘊(yùn)涵其前件的否定的條件陳述。六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則如果兩個(gè)陳述具有相同的基本形式，即它們都是析取式或都是蘊(yùn)涵式，則能更容易將其結(jié)合起來處理。實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵的定義非常重要。16.實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵律(Impl.)

(p?q)(~p∨q）

≡T如果一個(gè)陳述是析取式，另一個(gè)是蘊(yùn)涵式，則可以運(yùn)用該規(guī)則，將其中一個(gè)陳述轉(zhuǎn)化為另一種形式，這將是很方便的。六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則17.實(shí)質(zhì)等值律(Equiv.)

(p≡q)[(p·q)∨(~p·~q)]

(p≡q)[(p?q)·(q?p)]≡T≡T實(shí)質(zhì)等值律有兩個(gè)變體：第二個(gè)變體斷言：它們實(shí)質(zhì)等值的陳述邏輯等價(jià)于它們互相蘊(yùn)涵的陳述。因?yàn)槿绻麅蓚€(gè)陳述都為真（或假），則一個(gè)必定實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵另一個(gè)。第一個(gè)變體斷言：斷言它們實(shí)質(zhì)等值(用三杠號“≡”)，就與斷言它們或者都為真或者都為假邏輯等價(jià)。該規(guī)則的兩個(gè)變體斷言了實(shí)質(zhì)等值的兩個(gè)基本含義。（見真值表）六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則實(shí)質(zhì)等值律第一個(gè)變體真值表(p≡q)[(p?q)∨(~p?~q)]pqp?q~p?~q(p?q)∨(~p?~q)p≡q[(p≡q)]≡[(p?q)∨(~p?~q)]TTTFTTTTFFFFFTFTFFFFTFFFTTTT≡T六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則實(shí)質(zhì)等值律第二個(gè)變體真值表(p≡q)[(p?q)?(q?p)]pqp?qq?p(p?q)?(q?p)p≡q(p≡q)≡[(p?q)?(q?p)]TTTTTTTTFFTFFTFTTFFFTFFTTTTT≡T六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則如果某人斷言兩個(gè)命題的合取蘊(yùn)涵第三個(gè)命題，這就邏輯等價(jià)于斷言如果這兩個(gè)命題的其中之一為真，則另一個(gè)陳述的真必定蘊(yùn)涵第三個(gè)陳述。該替換規(guī)則陳述了一個(gè)稍為反思就非常明確的邏輯雙條件句。18.輸出律(Exp.)[(p?q)?r]

[p?(q?r)]

≡T如所有其他替換規(guī)則一樣，通過真值表，這個(gè)邏輯等價(jià)式能很容易獲得確定。六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則輸出律真值表[(p?q)?r][p?(q?r)]pqrp?q(p?q)?rq?rp?(q?r)[(p?q)?r]≡[p?(q?r)]TTTTTTTTTTFTFFFTTFTFTTTTTFFFTTTTFTTFTTTTFTFFTFTTFFTFTTTTFFFFTTTT≡T六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則它們斷言任何陳述與它和其自身組成的析取式邏輯等價(jià)，任何陳述與它和它自身組成的合取式邏輯等價(jià)。這條規(guī)則的兩個(gè)變體是顯然的，但是非常有效。19.重言律(Taut.)p(p∨p)

p(p·p)≡T如果通過推理得到某個(gè)命題和其自身的析取為真，利用這條規(guī)則就能推出所討論的命題為真。合取式也能如此做相似的處理?！訲六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則例：（P1）~D?(~E?~F)（P2）~(F·~D)?~G∴G?E9個(gè)基本的有效論證形式和10個(gè)替換規(guī)則之間有一個(gè)重要的差異！九個(gè)基本的有效論證形式它們只能應(yīng)用于整個(gè)陳述，也就是一個(gè)證明中的一整行。十個(gè)替換規(guī)則的任何一個(gè)都可以應(yīng)用到整個(gè)陳述或一個(gè)陳述的部分分支陳述上。1.~D?(~E?~F）2.~（F·~D)?~G/∴G?E3.~D?(F?E）1，Trans.4.（~D·F)?E3，Exp.5.（F·~D)?E4，Com.6.G?(F·~D）2，Trans.7.G?E6,5，H.S.形式證明易位律、輸出律、交換律可以用于分支陳述（第3行、第4行、第5行），而簡化律不適用于第6行的后件。六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則它們組成了一個(gè)完全的、緊湊且容易掌握的自然演繹系統(tǒng)，運(yùn)用它們，即可對于任何有效的真值函項(xiàng)論證構(gòu)建起有效性的形式證明。9個(gè)基本的有效論證形式和10條替換規(guī)則都是真值函項(xiàng)邏輯中所必需的。19個(gè)規(guī)則是一個(gè)理想的折中選擇：規(guī)則列表足夠短，可以完全掌握；也足夠長，足以能有效地構(gòu)建形式證明。19個(gè)規(guī)則表中有兩個(gè)似是而非的小瑕疵：2.一些簡單且在直覺上有效的論證需要多個(gè)步驟才能獲得證明。1.并非極小集，即用它足以形式地證明復(fù)雜論證的有效性。六、擴(kuò)展推論規(guī)則：替換規(guī)則形式證明是一個(gè)能行的概念：根據(jù)給定的推論規(guī)則表，一定能在有限步驟內(nèi)機(jī)械地判定一個(gè)給定陳述序列是否構(gòu)成一個(gè)形式證明。盡管形式證明是能行的，但建構(gòu)一個(gè)形式證明不同于真值表方法，并沒有一個(gè)能行的程序。所謂機(jī)械地判定則只需要做兩件事：第二，能夠看出一個(gè)給定陳述是否有某種模式。第一，能看出在一個(gè)地方出現(xiàn)的某個(gè)陳述與在另一個(gè)地方出現(xiàn)的一個(gè)陳述是完全相同的；大略的規(guī)則：1.根據(jù)給定推論規(guī)則從給定前提著手演繹陳述；2.努力消除在前提中出現(xiàn)而在結(jié)論中不出現(xiàn)的陳述。八、運(yùn)用十九條推論規(guī)則構(gòu)建形式證明八、運(yùn)用十九條推論規(guī)則構(gòu)建形式證明例A：（P1）(D·E)?F（P2）(D?F)?G∴E?G

1.(D·E)?F2.(D?F)?G/∴E?G

3.(E·D)?F

1，交換律（Com.）

4.E?(D?F)3，輸出律（Exp.）5.E?G4,2，假言三段論（H.S.）

形式證明1）P1是前件為合取式的條件陳述，利用輸出律可以得到一個(gè)后件為條件陳述的條件陳述。2）若條件陳述的前件為E，后件為D?F，則通過假言三段論可以得到結(jié)論。3）對P1的前件使用交換律即可做到。八、運(yùn)用十九條推論規(guī)則構(gòu)建形式證明例B：（P1）A?~A∴~A

1.A?~A∴~A2.~A∨~A1，實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含律（Impl.）3.~A2，重言律（Taut.）

形式證明1）用實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含律可以從前提得到一個(gè)析取支都為~A的析取陳述。2）再用重言律即可得到結(jié)論。八、運(yùn)用十九條推論規(guī)則構(gòu)建形式證明例C：（P1）~B∨(C·D)∴B?C1.~B∨(C·D)∴B?C2.(~B∨C)·(~B∨D)1,分配律（Dist.）3.~B∨C2,簡化律（Simp.）4.B?C3,實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含律（Impl.）形式證明1）用分配律將~B分配給C和D。2）使用簡化律消除D。3）實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含律得到結(jié)論。八、運(yùn)用十九條推論規(guī)則構(gòu)建形式證明例D：（P1）A?~B（P2）~(C·~A)∴C?~B1.A?~B2.~(C·~A)/∴C?~B3.~C∨~~A2,德.摩根律（DeM.）4.C?~~A3,實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含律（Impl.）5.C?A4,雙重否定（D.N.）6.C?~B5,1,假言三段論（H.S.）形式證明1）P2用德.摩根律得到一個(gè)析取式。2）用實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含律可得到一個(gè)條件陳述。3）雙重否定和假言三段論即得到結(jié)論。八、運(yùn)用十九條推論規(guī)則構(gòu)建形式證明例E：（P1）(R∨S)?(T·U)(P2)~R?(V?~V)(P3)~T∴~V1.(R∨S)?(T·U)2.~R?(V?~V)3.~T/∴~V4.~T∨~U3，附加律（Add.）5.~(T·U)4，德.摩根律（DeM.）6.~(R∨S)1,5，否定后件式（M.T.)7.~R·~S6，德.摩根律（DeM.）8.~R8，簡化律（Simp.）9.V?~V2,8，肯定前件式（M.P.)10.~V∨~V9，實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含律（Impl.）11.~V10，重言律（Taut.）1）結(jié)論可以由P2的后件得到。2）V?~V可由肯定前件式得到（需要~R）3）~R可由P1前件的否定得到[需要~(T·U)]。4）P3通過附加律和德摩根律即可得到~(T·U)。八、運(yùn)用十九條推論規(guī)則構(gòu)建形式證明例F：如果法規(guī)是好的且被嚴(yán)格執(zhí)行,那么犯罪會(huì)減少。如果嚴(yán)格執(zhí)法會(huì)使犯罪減少，那么，我們的問題就是一個(gè)實(shí)踐問題。法規(guī)是好的。因此，我們的問題是一個(gè)實(shí)踐問題。1.(G·S)?D2.(S?D)?P3.G/∴P4.G?(S?D)1,輸出律（Exp.）5.S?D4,3,肯定前件式（M.P.)6.P2,5,肯定前件式（M.P.)符號化（P1）(G·S)?D（P2）(S?D)?P（P3）G∴P形式證明九、簡化的真值表方法無效論證不存在有效的形式證明，但并非找不到有效證明，論證即無效：2.由構(gòu)造論證的過程是非能行所導(dǎo)致。1.可能論證本身無效；完備的真值表方法（CTTM）在命題邏輯中是對確定有效或無效的一個(gè)判定程序。它是一種嚴(yán)格的方法，從不會(huì)失效，但煩瑣且低效。簡化的真值表方法（STTT）同樣絕對可靠且更高效。STTT的思路：針對結(jié)論為假(或前提皆真）建立簡化真值表。有效論證：結(jié)論為假時(shí)，至少一個(gè)前提為假（或前提皆真時(shí)，結(jié)論皆真）。無效論證：可能前提皆真而結(jié)論為假。九、簡化的真值表方法設(shè)定強(qiáng)制和非強(qiáng)制的真值指派強(qiáng)制的真值指派：通過唯一的真值指派給一個(gè)復(fù)合陳述的分支，使得該復(fù)合陳述的真值或者為真或者為假。非強(qiáng)制的真值指派：有多種可能的分支陳述的真值指派使得復(fù)合陳述的真值或真或假。A.基本技巧九、簡化的真值表方法A.基本技巧5個(gè)邏輯算子的真值表定義合取只有在兩個(gè)合取支都真時(shí)，一個(gè)合取陳述才是真的；否則它就是假的。析取只有在兩個(gè)析取支都假時(shí)，一個(gè)析取陳述才是假的；否則它就是真的。條件陳述只有在前件為真后件為假時(shí)，一個(gè)條件陳述才為假；否則它就是真的。雙條件陳述只有當(dāng)三杠號的兩邊的陳述有相同的真值時(shí)，一個(gè)雙條件陳述才為真；否則它就是假的。否定只有被否定的陳述為假時(shí)，一個(gè)否定陳述才為真；否則它就是假的。九、簡化的真值表方法根據(jù)強(qiáng)制和非強(qiáng)制的真值指派的定義，以及5個(gè)邏輯算子的真值表定義，可以得到幾個(gè)結(jié)論：合取為真、析取以及條件陳述為假，可以做出強(qiáng)制指派。合取為假、析取以及條件陳述為真，只能做出非強(qiáng)制指派。A.基本技巧否定只能做出強(qiáng)制指派。雙條件陳述只能做出非強(qiáng)制指派。九、簡化的真值表方法A.基本技巧強(qiáng)制指派須遵循的準(zhǔn)則準(zhǔn)則I如果可能，首先給結(jié)論或某個(gè)前提設(shè)定強(qiáng)制的真值指派，以作為STTT四步中的第一步。準(zhǔn)則II在給復(fù)雜的復(fù)合前提設(shè)置強(qiáng)制的真值指派之前，為前提中的簡單陳述或簡單陳述的否定設(shè)置強(qiáng)制的真值指派。九、簡化的真值表方法A.基本技巧非強(qiáng)制指派須遵循的準(zhǔn)則準(zhǔn)則III如果不存在——或不再有——強(qiáng)制的真值指派，就給結(jié)論設(shè)定非強(qiáng)制的真值指派，使得它在每一種可能的情形下都為假，或者以一種最少的方式給前提設(shè)置非強(qiáng)制的真值指派。準(zhǔn)則IV如果給兩個(gè)或多個(gè)前提設(shè)置真值指派都是同等強(qiáng)制的(如給兩個(gè)簡單陳述設(shè)定真值指派)或都是同等非強(qiáng)制的，先給左邊的陳述進(jìn)行真值指派。準(zhǔn)則V在構(gòu)造一個(gè)多行的簡化真值表時(shí)，構(gòu)造一個(gè)為假的結(jié)論（或一個(gè)為真的前提）：(a)針對復(fù)合陳述，僅利用那些能得到我們想要的真值的真值組合，以及(b)在完備的真值表中按照順序構(gòu)造它們。九、簡化的真值表方法B.STTT的四個(gè)步驟STTT的四個(gè)步驟步驟1確定是否前提為真要比結(jié)論為假的方式更少。若前提為真更少，則執(zhí)行P-序列：步驟2p、3p、4。若結(jié)論為假更少，則執(zhí)行C-序列：步驟2c、3c、4。步驟2步驟2c：使得結(jié)論為假。步驟2p：使得所有前提為真。步驟3步驟3c：盡可能使得更多的前提為真。步驟3p：使得結(jié)論為假。步驟4驗(yàn)證有效性。無效的：一旦一個(gè)真值表行所有前提皆真且結(jié)論為假，即可證明論證無效。有效的：三種情形都能證明一個(gè)論證是有效的:(a)對于所有為假的結(jié)論來說，至少有一個(gè)為假的前提；或者(b)所有前提為真的情形中，結(jié)論為真；或者(c)結(jié)論不可能為假，且/或前提不可能為真。九、簡化的真值表方法C.簡單情形中的C-序列結(jié)論只有一種情形為假的論證示例例1結(jié)論為簡單陳述的簡單論證例子例2結(jié)論為簡單陳述的復(fù)雜論證例子例3結(jié)論是一個(gè)條件陳述的論證例子例4結(jié)論是一個(gè)析取陳述的論證九、簡化的真值表方法C.簡單情形中的C-序列例1：結(jié)論為簡單陳述的簡單論證（P1）F?G（P2）F∴GFGF?G，F(xiàn)∴GTF

T

F

FTF論證有效九、簡化的真值表方法C.簡單情形中的C-序列例2：結(jié)論為簡單陳述的復(fù)雜論證（P1）（E∨F)?(G·H）（P2）（G∨H)?I（P3）E∴IEFGHI（E∨F)?(G·H）,（G∨H)?I,E∴ITTTTFTTTTTTTTTTFFT

F論證有效九、簡化的真值表方法C.簡單情形中的C-序列BWGSCP（B?W）·（G?~S）,（~B·~G）?（C·P）,~W,P∴C?~GFFTFTTFTFTTTTFTFFFTTTTT

TFTTFFT例3：結(jié)論為條件陳述的論證（P1）（B?W)·(G?~S）（P2）（~B·~G)?(C·P）（P3）~W（P4）P∴C?~G論證無效九、簡化的真值表方法C.簡單情形中的C-序列XY（X∨Y）?（X·Y）,~（X∨Y）,∴~X∨~YTTTTTTTTT

FTTTFTFFT

論證有效例4：結(jié)論為析取陳述的論證（P1）（X∨Y)?(X·Y）（P2）~（X∨Y）∴~X∨~Y九、簡化的真值表方法D.多種真值組合下結(jié)論為假當(dāng)結(jié)論為簡單陳述的合取或是簡單陳述的雙條件陳述時(shí)，結(jié)論為假必定是非強(qiáng)制真值指派。因此，需要先選擇是執(zhí)行C-序列還是P-序列。結(jié)論有多種可能為假的論證示例例5一個(gè)論證的結(jié)論是簡單陳述的合取——執(zhí)行C-序列例6一個(gè)論證的結(jié)論是簡單陳述的合取——執(zhí)行P-序列例7一個(gè)論證的結(jié)論是簡單陳述的雙條件陳述——執(zhí)行C-序列九、簡化的真值表方法D.多種真值組合下結(jié)論為假例5：結(jié)論為合取的C-序列（P1）M∨N（P2）(M∨N)?O（P3）(M∨N)?P∴O·PMNOPM∨N,（M∨N）?O,（M∨N）?P,∴O·PFFFTFFFFFFTFFFFTTFFTFFFFFFF

FFFTF

FFFTFFFFFFTF

FFF

FFFTT

FFFTFTFF論證有效結(jié)論為假有3種方式，前提為真多于3種——C序列九、簡化的真值表方法D.多種真值組合下結(jié)論為假JKGHJ∨K,~J,G?H,G∴H·KFTTTFTT

TFTTTTTTT論證有效例6：結(jié)論為合取的P-序列（P1）J∨K（P2）~J（P3）G?H（P4）G∴H·K結(jié)論為假有3種方式，前提為真僅1種——P序列九、簡化的真值表方法D.多種真值組合下結(jié)論為假TUVWXT·(U∨V）,T?[U?（W·X）],（T·V）?~（W∨X）,∴W≡XTFTTFTTFFTTTFTTFFTTTFFTTFTFFTFTFT

TTFFT

TTFTFFT

TTTFFFTTFFT論證有效例7：結(jié)論為簡單陳述的雙條件陳述的論證（C序列）（P1）T·（U∨V）（P2）T?[U?(W·X)]（P3）（T·V)?~(W∨X）∴W≡X十、不相容性從“有效性”的定義可以推出：如果一種真值指派能使得一個(gè)論證的所有前提為真而結(jié)論為假，那么，這表明該論證是無效的。如果不可能對一個(gè)論證的簡單分支陳述進(jìn)行這種真值指派，即不可能使得它的前提為真而結(jié)論為假，那么該論證必定有效。一個(gè)怪異的推論：任何前提不相容的論證一定有效。十、不相容性論證：如果飛機(jī)的引擎出了故障，它就降落在本德了。如果飛機(jī)的引擎沒有出故障，它就降落在克利夫蘭了。飛機(jī)沒有降落在本德或克利夫蘭。因此，飛機(jī)必定降落在丹佛了。前提的互不相容使得沒有真值指派能使它們都真，也就沒有所有前提為真而結(jié)論為假這樣一行。（P1）A?B（P2）~A?C（P3）~(B∨C)∴D符號化此類論證對應(yīng)的條件陳述前件為假，因而是重言式，故論證有效。完備的真值表能確立它的有效性，同時(shí)也能構(gòu)造出有效性的形式證明。十、不相容性前提不相容論證的完備的真值表P1P2P3∴ABCD~AB∨CA?B~A?C~（B∨C）DTTTTFTTTFTTTTFFTTTFFTTFTFTTTFTTTFFFTTTFFTFTTFTFTFTTFTFFTFTFFTFFTFFFTTTTFFFFFFTTFFTTTTTTTFTFTTFTTTTFFFTFTTTTFFTFTFFTTTFFFFFTTTTTTFTFFTFTTTTFFFFFTTFTFTTFFFFTFTFTF真值表能確證論證有效。十、不相容性論證：如果飛機(jī)的引擎出了故障，它就降落在本德了。如果飛機(jī)的引擎沒有出故障，它就降落在克利夫蘭了。飛機(jī)沒有降落在本德或克利夫蘭。因此，飛機(jī)必定降落在丹佛了。（P1）A?B（P2）~A?C（P3）~(B∨C)∴D符號化1.A?B2.~A?C3.~(B∨C)/∴D4.~B·~C3,DeM.5.~B4,Simp.6.~A1,5,M.T.7.C2,6,M.P.8.~C·~B4,Com.9.~C8,Simp.10.C∨D7,Add.11.D10,9,D.S.有效性形式證明的構(gòu)造：十、不相容性論證：今天是星期天。今天不是星期天。因此，月亮是新鮮奶酪做的。（P1）S（P2）~S∴M符號化有效性形式證明的構(gòu)造1.S2.~S/∴D3.S∨M1,附加律4.M2,3，析取三段論不相容的前提可以有效推出任何結(jié)論：該論證更簡單地表明了問題的精髓——其公然不相容的前提可以有效地推出一個(gè)不相干且荒謬的結(jié)論。十、不相容性有效論證的前提蘊(yùn)含結(jié)論：既有“實(shí)質(zhì)”蘊(yùn)涵意義上的，也有邏輯或“嚴(yán)格”意義上的。一個(gè)古老難題：一個(gè)不可抗拒的力量遇到一個(gè)不可移動(dòng)的物體，會(huì)發(fā)生什么事?正確答案：“任何事”！有不相容陳述作為前提的論證能邏輯地推出任何結(jié)論。因含有不相容前提的的論證總是有效但結(jié)論并不可靠。楚人有鬻盾與矛者，譽(yù)之曰：“吾盾之堅(jiān)，物莫能陷也?！庇肿u(yù)其矛曰：吾矛之利，于物無不陷也?！被蛟唬阂宰又?，陷子之盾，何如？”其人弗能應(yīng)也。十一、條件證明條件證明概述條件證明的假設(shè)論證形式為：p/∴q（假設(shè)，C.P.）.........q

p?qC.P.19個(gè)推論規(guī)則可以證明任何有效的真值函項(xiàng)論證的有效性。但有些證明很長并且難以構(gòu)想。新的規(guī)則，即條件證明（C.P.）可以縮短和簡化許多證明。條件證明：一種技術(shù)性的方法，通過假設(shè)條件陳述的前件，并從假設(shè)中推導(dǎo)出后件，從而得到一個(gè)條件陳述。十一、條件證明A.條件證明的辯護(hù)及其解釋令論證I：P為前提的合取，A?C為結(jié)論。（P1）P∴A?C此論證有效當(dāng)且僅當(dāng)它對應(yīng)的條件陳述P?（A?C）[陳述1]為重言式。根據(jù)輸出律，該條件陳述與（P·A）?C[陳述2]邏輯等價(jià)。陳述2對應(yīng)論證II：（P1）P（P2）A∴C論證I有效，當(dāng)且僅當(dāng)論證II有效。在論證I的前提集P中加入前提A之后，若能有效演繹推導(dǎo)出C，則可證明A?C。每一個(gè)有效論證都對應(yīng)著一個(gè)重言的條件陳述：前件是論證前提的合取，后件是論證的結(jié)論。十一、條件證明B.條件證明的步驟條件證明：1.（A∨B)?(C·D）2.（D∨E)?F/∴A?F3.A/∴F（假設(shè)，C.P.）4.A∨B3，附加律5.C·D1,4，肯定前件式6.D·C5，

交換律7.D6，

簡化律8.D∨E7，

附加律9.F2,8，肯定前件式10.A?F3-9，C.P.論證：（P1）（A∨B）?（C·D）（P2）（D∨E）?F∴A?F謹(jǐn)記：在假設(shè)轄域內(nèi)推導(dǎo)出的陳述不能在轄域線范圍之外！十一、條件證明B.條件證明的步驟僅用19條規(guī)則的證明：1.（A∨B）?（C?D）2.（D∨E）?F/∴A?F3.~（C?D）?~（A∨B）1，易位律

4.（C?D）∨~（A∨B）3，

實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含律5.（C?D）∨（~A·~B）4，德·摩根律6.[（C?D）∨~A]·[（C?D）∨~B）]5,分配律7.（C?D）∨~A6，簡化律8.~A∨（C?D）7，交換律9.（~A∨C）?（~A∨D）8,分配律10.（~A∨D）?（~A∨C）9，交換律11.~A∨D10，簡化律12.A?D11,實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含律13.~（D∨E）∨F2，實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含律14.（~D·~E）∨F13，德·摩根律15.F∨（~D·~E）14，交換律16.（F∨~D）·（F∨~E）

14，分配律17.F∨~D16，簡化律18.~D∨F17，交換律19.D?F18，

實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含律20.A?F12,19，假言三段論

論證：（P1）（A∨B）?（C·D）（P2）（D∨E）?F∴A?F僅用19個(gè)規(guī)則需要20行！使用條件證明僅需要10行，且非常容易執(zhí)行。十一、條件證明B.條件證明的步驟例1：（P1）（H?P）·（S?W）∴（H∨S）?（P∨W）1.（H?P）·（S?W）

/∴（H∨S）?（P∨W）2.H∨S/∴P∨W（假設(shè)，C.P.）3.P∨W1,2，

構(gòu)造式二難4.（H∨S）?（P∨W）2-3，C.P.僅需要4行！僅用19條規(guī)則的證明：1.（H?P）·（S?W）/∴（H∨S）?（P∨W）2.H?P

1，簡化律3.~H∨P2，實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含律4.（~H∨P）∨W3，附加律

5.~H∨（P∨W）4，結(jié)合律

6.（P∨W

）∨~H5，交換律7.（S?W）·（H?P）1，交換律8.S?W7，簡化律9.~S∨W8，實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含律10.（~S∨W）∨P9，結(jié)合律11.~S∨（W∨P）10，交換律12.~S∨（P∨W）11，交換律13.（P∨W）∨~S12，交換律14.[（P∨W

）∨~H]·[（P∨W）∨~S]13，合取律15.（P∨W

）∨（~H·~S）14，分配律16.（~H·~S）∨（P∨W

）15，交換律

17.~（H∨S）∨（P∨W

）16，德·摩根律18.（H∨S）?（P∨W）17，實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含律

僅用19個(gè)規(guī)則需要18行，并且非常困難。十一、條件證明B.條件證明的步驟例2：（P1）（L?H）·（Q?S）∴（L·Q）?（H·S）條件證明不僅比僅用19個(gè)規(guī)則的證明短，并且非常容易執(zhí)行。條件證明：1.（L?H）·（Q?S）/∴（L·Q）?（H·S）2.L·Q/∴H·S（假設(shè)C.P.）3.L?H1.簡化律4.L2.簡化律5.H3.4.肯定前件式6.（Q?S）·（L?H）

1.交換律7.Q?S6.簡化律8.Q·L2.交換律9.Q8.交換律10.S7.9.肯定前件式11.H·S

7.10合取律12.（L·Q）?（H·S）

2-11.C.P.十一、條件證明C.條件證明的嵌套論證I：（P1）A?（B?C）（P2）B?（C?D）∴A?（B?D）條件證明的規(guī)則亦可用于條件證明之中：即在一個(gè)條件證明的轄域線內(nèi)，可以嵌套另外一個(gè)有條件的子證明及其轄域線。論證II：（P1）A?（B?C）（P2）B?（C?D）（P3）A∴（B?D）論證III：（P1）A?（B?C）（P2）B?（C?D）（P3）A（P4）B∴D十一、條件證明C.條件證明的嵌套條件證明：1.A?（B?C）2.B?（C?D）/∴A?（B?D）3.

A/

∴（B?D）（假設(shè)C.P.）4.

B/

∴D（假設(shè)C.P.）5.

B?C1,3，肯定前件式6.C5,4，肯定前件式7.C?D2,4，肯定前件式8.D7,6，肯定前件式9.B?D4-8，C.P.10.A?（B?D）3-9，C.P.論證I：（P1）A?（B?C）（P2）B?（C?D）∴A?（B?D）十一、條件證明D.結(jié)論不是條件陳述的論證論證I：（P1）（A∨C）?（C·D）（P2）（D∨E)?F∴~A∨F條件證明可以用來證明所有結(jié)論并非條件陳述的論證的有效性。論證II：（P1）（A∨C）?（C·D）（P2）（D∨E)?F∴~（A·~F）論證III：（P1）（A∨C）?（C·D）（P2）（D∨E)?F∴A?F十一、條件證明D.結(jié)論不是條件陳述的論證結(jié)論為等值陳述的論證：（P1）（C∨D)?(E?F）

（P2）[E?(E·F)]?G（P3）G?[(~H∨~~H)?(C·H)]∴C≡G條件證明：1.（C∨D)?(E?F）2.[E?(E·F)]?G3.G?[(~H∨~~H)?(C·H）]/∴C≡G4.C/∴G（假設(shè)C.P.）5.C∨D4，

附加律6.（E?F）1,5，肯定前件式7.E?（E·F）6，

吸收律

8.G2,7，肯定前件式9.C?G4-8，C.P.10.G/∴C（假設(shè)C.P.）

11.（~H∨~~H)]?(C·H）3,10，肯定前件式12.（~H∨H）?（C·H）11，

雙重否定13.（H?H）?（C·H）12，

實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含律14.H/∴H（假設(shè)C.P.）15.H?H14，C.P.16.C·H13,15，肯定前件式17.C16，

簡化律

18.G?C10-17,C.P.19.（C?G）·（G?C）9，18,合取律20.C≡G19，實(shí)質(zhì)等值律十一、條件證明E.重言式的條件證明條件證明是證明條件式重言式最有效力的方法。由于不是在證明一個(gè)論證的有效性，而是從無前提出發(fā)證明一個(gè)重言式，所以假設(shè)想要證明的陳述的前件，推導(dǎo)它的后件，從而推導(dǎo)出一個(gè)條件式重言式。在證明了前件為真則后件必然為真之后，就證明了這個(gè)條件陳述是一個(gè)重言式，因?yàn)樗豢赡転榧佟Ｊ?、條件證明E.重言式的條件證明證明（Q?R）?[（P?Q）?（P?R）]是重言式。1.Q?R/∴（P?Q）?（P?R）

（A.C.P.）2.P?Q/∴P?R（A.C.P.）3.P?R2,1，

假言三段論4.（P?Q）?（P?R）2-3，C.P.5.（Q?R)?[（P?Q）?（P?R）]1-4，C.P.條件證明是證明條件式重言式最有效力的方法。十二、間接證明間接證明概述間接證明（L.P.）是另一種非常有力的證明方法。在間接證明中，假設(shè)一個(gè)陳述~p（或p）演繹出矛盾形式q·~q以及有效地推出此假設(shè)的否定p(或~p)。有效性的一個(gè)間接證明是間接的，因?yàn)樗峭ㄟ^引出矛盾的方式得到結(jié)論，而不是從先前的前提通過有效推論而得到結(jié)論。矛盾的演繹本質(zhì)上就是一個(gè)間接證明。十二、間接證明間接證明概述間接證明（L.P.）兩種假設(shè)的論證形式：間接證明的假設(shè)論證形式I：p/∴q（假設(shè)，L.P.）.........q·~q~pL.P.間接證明的假設(shè)論證形式II：~p/∴q（假設(shè)，L.P.）.........q·~q

pL.P.十二、間接證明A.有效性間接證明的辯護(hù)與解釋間接證明（L.P.）的方法可以用來證明任何有效論證的有效性。對于論證：P1P2∴C間接證明：1.P1

2.P2/∴C3.~C/（假設(shè)，L.P.）4....5....6.q·~q7.C3-6L.P.該論證有效當(dāng)且僅當(dāng)，它的前提的合取與結(jié)論的否定的合?。≒1·P2）·~C是一個(gè)矛盾式。從假定一個(gè)論證的結(jié)論的否定有效推得矛盾，就能證明此論證的有效性。十二、間接證明A.有效性間接證明的辯護(hù)與解釋有效論證前提集和結(jié)論否定的合取（P1·P2）·~C三種可能的矛盾式I（P1·P2）·~C，~C與P1·P2矛盾相容前提集與偶真結(jié)論一個(gè)具有相容前提集的偶真結(jié)論的有效論證，因它不可能同時(shí)前提皆真而結(jié)論為假而有效。論證例III（P1·P2）·~C，~C本身矛盾結(jié)論是重言式一個(gè)具有重言結(jié)論的有效論證，因不可能結(jié)論為假而有效。論證例IIIII（P1·P2）·~C，P1·P2本身矛盾前提集不相容一個(gè)具有不相容前提集的有效論證，因不可能前提皆真而有效。論證例III十二、間接證明A.有效性間接證明的辯護(hù)與解釋論證例I：

（P1）F?G

（P2）F∴G間接證明：1.F?G

2.F/∴G3.~G/（假設(shè)，L.P.）4.~F1,3，否定后件式5.F·~F6.G3-5，L.P.

或者間接證明：1.F?G

2.F/∴G3.~G/（假設(shè)，L.P.）4.G1,2，肯定前件式5.G·~G6.G3-5，L.P.

十二、間接證明A.有效性間接證明的辯護(hù)與解釋論證例II：

（P1）F?G

（P2）F∴H∨~H間接證明：1.F?G

2.F/∴H∨~H3.~（H∨~H）/（假設(shè)，L.P.）4.~H·~~H3，德·摩根律

5.~~H·~H4，交換律6.H·~H5，雙重否定

7.H∨~H

3-6，L.P.

十二、間接證明A.有效性間接證明的辯護(hù)與解釋論證例III：

（P1）F?G

（P2）F（P3）~G∴R間接證明：1.F?G

2.F3.~G/∴R4.~R/（假設(shè)，L.P.）5.G1,2，肯定前件式

6.G·~G3,6，合取律7.R4-6，L.P.

十二、間接證明B.間接證明的步驟有效性的間接證明，首先在轄域?qū)懮项~外加上的假定前提，可以假定一個(gè)論證的結(jié)論的否定。間接證明的方法——即

“歸謬法”，當(dāng)演繹出矛盾時(shí)則可它歸為荒謬——使我們在某些情況下能更為快速地證明有效性，增強(qiáng)了檢驗(yàn)論證的手段。若能夠從前提中演繹出矛盾形式q·~q，就可以有效地推出L.P.假設(shè)的否定，即證明了論證是有效的。十二、間接證明間接證明：1.A?(B·C）2.(B∨D)?E3.D∨A/∴E4.~E/（A.L.P.）5.~（B∨D）

2,4，

否定后件式6.~B·~D5，

德·摩根律7.~D·~B6，

交換律8.~D7，

簡化律9.A3,8，

析取三段論10.B·C1,9，

肯定前件式11.B10，

簡化律

12.~B6，

簡化律

13.B·~B11,12，合取律14.E4-13，L.P.論證：（P1）A?(B·C）（P2）(B∨D)?E（P3）D∨A∴EB.間接證明的步驟十二、間接證明直接證明：1.(H?I)·(J?K)2.(I∨K)?L3.~L/∴~(H∨J)4.~(I∨K)2,3,MT.5.~I·~K4,DeM6.~I5,Simp,7.H?I1,Simp.8.~H7,6,MT.9.(J?K)·(H?I)1,Com10.J?K9,Simp.11.~K·~I5,Com12.~K11,Simp.13.~J10,12,MT.14.~H·~J8,13，Conj.15.~(H∨J)14,DeM直接證明和間接證明比較B.間接證明的步驟間接證明：1.(H?I)·(J?K)2.(I∨K)?L3.~L/∴~(H∨J）4.~~(H∨J)/（A.L.P.）

5.H∨J4,D.N.6.I∨K1,5,C.D.7.L2,6,M.P.