2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.4 生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例（教師用書(shū)）教學(xué)實(shí)錄 新人教A版選修1-1

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例（教師用書(shū)）教學(xué)實(shí)錄新人教A版選修1-1科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱(chēng)）2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例（教師用書(shū)）教學(xué)實(shí)錄新人教A版選修1-1課程基本信息1.課程名稱(chēng)：2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例（教師用書(shū)）教學(xué)實(shí)錄

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高一年級(jí)（1）班

3.授課時(shí)間：2024年10月15日星期二上午第二節(jié)課

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.數(shù)學(xué)建模：通過(guò)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)建立模型、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

2.數(shù)學(xué)推理：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行邏輯推理，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力和抽象思維能力。

3.數(shù)學(xué)應(yīng)用：激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用興趣，培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)。

4.數(shù)學(xué)文化：讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，傳承數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生的人文素養(yǎng)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)，

①理解并掌握導(dǎo)數(shù)在解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用，能夠識(shí)別并建立數(shù)學(xué)模型。

②通過(guò)具體實(shí)例，學(xué)會(huì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解最值問(wèn)題，包括最大值和最小值。

③培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并利用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行分析和解決的能力。

2.教學(xué)難點(diǎn)，

①理解導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問(wèn)題中的具體應(yīng)用場(chǎng)景，包括如何從實(shí)際問(wèn)題中提取有效信息。

②掌握如何將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，包括函數(shù)的定義、約束條件的處理等。

③正確應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解最值時(shí)的計(jì)算技巧，包括導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)、單調(diào)性的判斷、極值點(diǎn)的識(shí)別等。

④在解決復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，能夠合理選擇方法，避免過(guò)度復(fù)雜或錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)模型。教學(xué)資源1.軟硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備（電腦、投影儀）、黑板、粉筆。

2.課程平臺(tái)：學(xué)校內(nèi)部教學(xué)資源平臺(tái)，用于發(fā)布教學(xué)資料和在線作業(yè)。

3.信息化資源：數(shù)學(xué)軟件（如MATLAB、Mathematica等），用于輔助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和計(jì)算。

4.教學(xué)手段：實(shí)物教具（如幾何模型、優(yōu)化問(wèn)題情境圖等），以幫助學(xué)生直觀理解抽象概念。

5.案例資料：收集整理與生活優(yōu)化問(wèn)題相關(guān)的案例，包括文字描述、圖片和實(shí)際數(shù)據(jù)。教學(xué)過(guò)程1.導(dǎo)入（約5分鐘）

激發(fā)興趣：展示一組生活中的優(yōu)化問(wèn)題圖片，如建筑設(shè)計(jì)、城市規(guī)劃、交通管理等，引導(dǎo)學(xué)生思考這些問(wèn)題是如何運(yùn)用數(shù)學(xué)解決的。

回顧舊知：簡(jiǎn)要回顧導(dǎo)數(shù)的基本概念和求導(dǎo)方法，強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)在描述函數(shù)變化趨勢(shì)中的作用。

2.新課呈現(xiàn)（約25分鐘）

講解新知：

-詳細(xì)講解導(dǎo)數(shù)在解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用，包括如何利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最大值和最小值。

-介紹拉格朗日乘數(shù)法，并講解其在處理帶約束的優(yōu)化問(wèn)題中的運(yùn)用。

舉例說(shuō)明：

-通過(guò)實(shí)例講解如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如優(yōu)化生產(chǎn)線流程、設(shè)計(jì)最優(yōu)庫(kù)存策略等。

-展示具體案例，如最大化收益、最小化成本等，通過(guò)導(dǎo)數(shù)找到最優(yōu)解。

互動(dòng)探究：

-組織學(xué)生分組討論，提出一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，并嘗試運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解。

-每組選取代表分享討論成果，全班進(jìn)行交流和評(píng)價(jià)。

3.鞏固練習(xí)（約15分鐘）

學(xué)生活動(dòng)：

-發(fā)給學(xué)生一組優(yōu)化問(wèn)題的練習(xí)題，包括簡(jiǎn)單和中等難度，要求學(xué)生獨(dú)立完成。

-學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成練習(xí)，教師巡視，觀察學(xué)生解題思路和過(guò)程。

教師指導(dǎo)：

-針對(duì)學(xué)生遇到的困難，給予個(gè)別指導(dǎo)，幫助學(xué)生找到解題的突破口。

-對(duì)于普遍存在的問(wèn)題，集體講解，確保所有學(xué)生都能理解。

4.拓展延伸（約10分鐘）

-引導(dǎo)學(xué)生思考優(yōu)化問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生提出新的優(yōu)化問(wèn)題。

-提供一些額外的閱讀材料或在線資源，供學(xué)生課后進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

5.總結(jié)反饋（約5分鐘）

-學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，分享自己的學(xué)習(xí)體會(huì)。

-教師總結(jié)重點(diǎn)難點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要性。

-收集學(xué)生反饋，了解學(xué)生對(duì)課程的滿意度和學(xué)習(xí)效果。

6.布置作業(yè)（約5分鐘）

-布置適量的課后作業(yè)，包括實(shí)際案例分析和理論計(jì)算題，要求學(xué)生在下一節(jié)課前完成。

-提醒學(xué)生注意作業(yè)中的易錯(cuò)點(diǎn)和難點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生在課后積極討論和解決。學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果

1.知識(shí)掌握：

-學(xué)生能夠理解并掌握導(dǎo)數(shù)的概念，包括導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義和物理意義。

-學(xué)生能夠熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的瞬時(shí)變化率，并能夠解釋導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

-學(xué)生能夠識(shí)別并建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以用導(dǎo)數(shù)解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2.技能提升：

-學(xué)生能夠運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題，包括單變量和帶約束的多變量函數(shù)。

-學(xué)生能夠使用拉格朗日乘數(shù)法解決帶約束的優(yōu)化問(wèn)題，并能夠解釋其原理和應(yīng)用。

-學(xué)生能夠通過(guò)計(jì)算和邏輯推理，判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)。

3.思維發(fā)展：

-學(xué)生能夠通過(guò)分析實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理能力。

-學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活相結(jié)合，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

-學(xué)生能夠通過(guò)小組討論和合作，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作和溝通能力。

4.應(yīng)用能力：

-學(xué)生能夠?qū)?dǎo)數(shù)應(yīng)用于解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題，如資源分配、生產(chǎn)效率等。

-學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，如計(jì)算機(jī)軟件，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和計(jì)算。

-學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)在科技、經(jīng)濟(jì)、工程等領(lǐng)域的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

5.學(xué)習(xí)習(xí)慣：

-學(xué)生能夠養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，如課前預(yù)習(xí)、課后復(fù)習(xí)、主動(dòng)探究等。

-學(xué)生能夠獨(dú)立完成作業(yè)，并在遇到困難時(shí)尋求幫助，提高自主學(xué)習(xí)能力。

-學(xué)生能夠通過(guò)自我評(píng)價(jià)和同伴評(píng)價(jià)，了解自己的學(xué)習(xí)進(jìn)步和不足。

6.情感態(tài)度：

-學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)產(chǎn)生更深的興趣，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在解決問(wèn)題中的重要性。

-學(xué)生能夠樹(shù)立自信心，相信自己能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。

-學(xué)生能夠培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的敬畏之心，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)。作業(yè)布置與反饋?zhàn)鳂I(yè)布置：

1.完成課后練習(xí)題：選取教材中的課后習(xí)題，涵蓋本節(jié)課所學(xué)的導(dǎo)數(shù)概念、求導(dǎo)方法、最值問(wèn)題和優(yōu)化問(wèn)題等內(nèi)容。要求學(xué)生在課后獨(dú)立完成，并按時(shí)提交。

2.案例分析報(bào)告：選取一個(gè)與生活密切相關(guān)的優(yōu)化問(wèn)題，如家庭用電量?jī)?yōu)化、交通路線規(guī)劃等，要求學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析，撰寫(xiě)報(bào)告。

3.小組合作項(xiàng)目：將學(xué)生分成小組，每組選擇一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，并設(shè)計(jì)解決方案。要求學(xué)生在小組內(nèi)分工合作，完成項(xiàng)目報(bào)告。

作業(yè)反饋：

1.及時(shí)批改：教師應(yīng)在學(xué)生提交作業(yè)后的第二天進(jìn)行批改，確保學(xué)生能夠及時(shí)獲得反饋。

2.詳細(xì)評(píng)價(jià)：在批改作業(yè)時(shí)，教師應(yīng)詳細(xì)記錄學(xué)生的答案、解題思路和錯(cuò)誤，以便進(jìn)行針對(duì)性的指導(dǎo)。

3.存在問(wèn)題指出：對(duì)于學(xué)生在作業(yè)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，教師應(yīng)明確指出錯(cuò)誤原因，如概念理解不準(zhǔn)確、計(jì)算錯(cuò)誤、邏輯推理錯(cuò)誤等。

4.改進(jìn)建議給出：針對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，教師應(yīng)給出具體的改進(jìn)建議，如查閱相關(guān)資料、重新審題、調(diào)整解題方法等。

5.集體講解：對(duì)于普遍存在的問(wèn)題，教師應(yīng)在下一節(jié)課前進(jìn)行集體講解，幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤，加深理解。

6.學(xué)生自評(píng)與互評(píng)：鼓勵(lì)學(xué)生在完成作業(yè)后進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，并參與互評(píng)，以提高學(xué)生的自我監(jiān)控能力和批判性思維能力。

7.反饋記錄：教師應(yīng)將作業(yè)反饋情況記錄在學(xué)生的成長(zhǎng)記錄中，作為學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)步的依據(jù)。

作業(yè)布置示例：

1.課后練習(xí)題：

-求函數(shù)f(x)=x^3-3x+1在x=2處的導(dǎo)數(shù)。

-利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g(x)=x^2-4x+3的單調(diào)性，并求出其最大值和最小值。

-分析函數(shù)h(x)=1/x在x>0時(shí)的極值情況。

2.案例分析報(bào)告：

-選取家庭用電量?jī)?yōu)化案例，分析家庭用電量的影響因素，建立數(shù)學(xué)模型，并提出優(yōu)化方案。

3.小組合作項(xiàng)目：

-小組選擇一個(gè)交通路線規(guī)劃案例，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，設(shè)計(jì)出一條最優(yōu)交通路線，并說(shuō)明理由。

作業(yè)反饋示例：

1.課后練習(xí)題反饋：

-對(duì)于學(xué)生求導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題，如果出現(xiàn)概念理解錯(cuò)誤，教師應(yīng)提醒學(xué)生復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義。

-對(duì)于求函數(shù)最值的問(wèn)題，如果學(xué)生沒(méi)有正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，教師應(yīng)指出錯(cuò)誤并講解最值求解的方法。

2.案例分析報(bào)告反饋：

-對(duì)于學(xué)生分析家庭用電量?jī)?yōu)化案例，如果模型建立不準(zhǔn)確，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生如何提取有效信息，重新建模。

3.小組合作項(xiàng)目反饋：

-對(duì)于小組設(shè)計(jì)的交通路線規(guī)劃方案，如果方案不合理，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，重新設(shè)計(jì)方案。板書(shū)設(shè)計(jì)1.重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

①導(dǎo)數(shù)的定義：導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，是函數(shù)在該點(diǎn)的切線斜率。

②導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像在某一點(diǎn)的切線斜率，反映了函數(shù)在該點(diǎn)的變化趨勢(shì)。

③導(dǎo)數(shù)的物理意義：導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中用來(lái)描述速度、加速度等物理量的變化率。

2.關(guān)鍵詞：

①切線斜率

②瞬時(shí)變化率

③極值點(diǎn)

④最值問(wèn)題

⑤拉格朗日乘數(shù)法

3.重點(diǎn)句子：

①“導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù)在該點(diǎn)的變化趨勢(shì)?！?/p>

②“導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)圖像在某一點(diǎn)的切線斜率?！?/p>

③“導(dǎo)數(shù)的物理意義是描述物理量在某一時(shí)刻的變化率?！?/p>

④“求函數(shù)的最值問(wèn)題可以通過(guò)求導(dǎo)數(shù)來(lái)解決?！?/p>

⑤“拉格朗日乘數(shù)法是解決帶約束的最優(yōu)化問(wèn)題的有效方法?！闭n后作業(yè)1.作業(yè)題目：求函數(shù)f(x)=x^2-4x+3的導(dǎo)數(shù)，并解釋其幾何意義。

答案：f'(x)=2x-4，幾何意義為函數(shù)在任意點(diǎn)x處的切線斜率。

2.作業(yè)題目：已知函數(shù)g(x)=2x^3-6x^2+9x+1，求其在x=1處的導(dǎo)數(shù)，并判斷函數(shù)在該點(diǎn)的單調(diào)性。

答案：g'(1)=2*1^2-6*1+9=5，由于g'(1)>0，函數(shù)在x=1處單調(diào)遞增。

3.作業(yè)題目：求函數(shù)h(x)=e^x-x-1的極值，并說(shuō)明極值點(diǎn)是極大值還是極小值。

答案：h'(x)=e^x-1，令h'(x)=0，得x=0。由于h''(x)=e^x>0，故x=0是函數(shù)的極小值點(diǎn)。

4.作業(yè)題目：已知函數(shù)p(x)=x^4-8x^3+18x^2-24x+5，求其在x=2處的導(dǎo)數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

答案：p'(x)=4x^3-24x^2+36x-24，p'(2)=4*2^3-24*2^2+36*2-24=0。由于p'(x)在x=2兩側(cè)符號(hào)相同，故x=2不是極值點(diǎn)，但可以判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

5.作業(yè)題目：利用拉格朗日乘數(shù)法求解函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y在約束條件g(x,y)=x^2+y^2-4