高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)培優(yōu)全攻略(新高考專用)第19講　隨機(jī)變量及其分布(3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

第19講隨機(jī)變量及其分布（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）[考情分析]離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差和概率的計(jì)算問(wèn)題常常結(jié)合在一起進(jìn)行考查，重點(diǎn)考查超幾何分布、二項(xiàng)分布及正態(tài)分布，以解答題為主，中等難度．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類(lèi)講解考點(diǎn)一：分布列的性質(zhì)及應(yīng)用離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.(4)D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn.(5)若Y＝aX＋b，則E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．規(guī)律方法分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1的性質(zhì)可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性．(2)隨機(jī)變量X所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率．【例1】（2024·廣東·一模）已知隨機(jī)變量的分布列如下：12則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：X1234Pp則p為（

）．A． B． C． D．【變式2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為：123m則．【變式3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為：X024P則．考點(diǎn)二：隨機(jī)變量的分布列1．二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．E(X)＝n·eq\f(M,N).規(guī)律方法求隨機(jī)變量X的均值與方差的方法及步驟(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫(xiě)出X可能的全部取值；(2)求X取每個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布列；(3)由均值和方差的計(jì)算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若隨機(jī)變量X的分布列為特殊分布列(如：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解．考向1相互獨(dú)立事件【例2】（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）小張?小王兩人計(jì)劃報(bào)一些興趣班，他們分別從“籃球?繪畫(huà)?書(shū)法?游泳?鋼琴”這五個(gè)隨機(jī)選擇一個(gè)，記事件：“兩人至少有一人選擇籃球”，事件：“兩人選擇的興趣班不同”，則概率（

）A． B． C． D．【變式】(2023·濟(jì)南模擬)某校舉行“學(xué)習(xí)二十大，奮進(jìn)新征程”知識(shí)競(jìng)賽，知識(shí)競(jìng)賽包含預(yù)賽和決賽．(1)下表為某10位同學(xué)預(yù)賽成績(jī)：得分939495969798人數(shù)223111求該10位同學(xué)預(yù)賽成績(jī)的第75百分位數(shù)和平均數(shù)；(2)決賽共有編號(hào)為A，B，C，D，E的5道題，學(xué)生甲按照A，B，C，D，E的順序依次作答，答對(duì)的概率依次為eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，各題作答互不影響，若累計(jì)答錯(cuò)兩道題或五道題全部答完則比賽結(jié)束，記X為比賽結(jié)束時(shí)學(xué)生甲已作答的題數(shù)，求X的分布列和均值．考向2超幾何分布【例3】（23-24高三上·廣東深圳·期末）一袋中裝有大小?質(zhì)地均相同的5個(gè)白球，3個(gè)黃球和2個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則至少含有一個(gè)黑球的概率是（

）A． B． C． D．【變式1】(2023·安陽(yáng)模擬)不負(fù)青山，力換“金山”，民宿旅游逐漸成為一種熱潮，山野鄉(xiāng)村的民宿深受廣大旅游愛(ài)好者的喜愛(ài)．某地區(qū)結(jié)合當(dāng)?shù)刭Y源，按照“山上生態(tài)做減法、山下產(chǎn)業(yè)做加法”的思路，科學(xué)有序發(fā)展環(huán)山文旅康養(yǎng)產(chǎn)業(yè)，溫泉度假小鎮(zhèn)、環(huán)山綠道、農(nóng)家樂(lè)提檔升級(jí)、特色民宿群等一批生態(tài)產(chǎn)業(yè)項(xiàng)目加快實(shí)施．為了在節(jié)假日接待好游客，該地旅游局對(duì)本地區(qū)各鄉(xiāng)村的普通型民宿和品質(zhì)型民宿進(jìn)行了調(diào)研，隨機(jī)抽取了10家鄉(xiāng)村民宿，統(tǒng)計(jì)得到各家的房間數(shù)如下表：民宿甲乙丙丁戊己庚辛壬癸普通型民宿19541713189201015品質(zhì)型民宿61210111091285(1)若旅游局隨機(jī)從乙、丙2家各選2間民宿進(jìn)行調(diào)研，求選出的4間均為普通型民宿的概率；(2)從這10家中隨機(jī)抽取4家民宿，記其中普通型民宿的房間不低于17間的有X家，求X的分布列和均值．【變式2】(多選)(2023·泉州模擬)下列說(shuō)法正確的有()A．某學(xué)校有2023名學(xué)生，其中男生1012人，女生1011人，現(xiàn)選派10名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，記男生的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布B．若隨機(jī)變量X的均值E(X)＝2023，則E(X－1)＝2023C．若隨機(jī)變量X的方差D(X)＝2，則D(2X＋2023)＝8D．隨機(jī)變量X～B(2023,0.5)，則P(X≤1010)＝P(X≥1011)考向3二項(xiàng)分布【例4】（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知某種疾病的某種療法的治愈率為．若有1000位該病患者采取了這種療法，且每位患者治愈與否相互獨(dú)立，設(shè)其中被治愈的人數(shù)為，，則（

）A． B．C． D．考點(diǎn)三:正態(tài)分布解決正態(tài)分布問(wèn)題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)對(duì)稱軸x＝μ.(2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差σ.(3)分布區(qū)間：利用3σ原則求概率時(shí)，要注意利用μ，σ分布區(qū)間的特征把所求的范圍轉(zhuǎn)化為3σ的特殊區(qū)間．規(guī)律方法利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問(wèn)題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，及曲線與x軸之間的面積為1，注意下面三個(gè)結(jié)論的靈活運(yùn)用：(1)對(duì)任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．(2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0)．(3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．【例5】（23-24高三下·天津·開(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則B．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14C．若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)D．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，且線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是【變式1】（2024·安徽合肥·一模）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則等于（

）A．0.14 B．0.62 C．0.72 D．0.86【變式2】（23-24高三下·湖南湘潭·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從，若，則（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【變式3】（2024·遼寧遼陽(yáng)·一模）遼寧的盤(pán)錦大米以粒粒飽滿、口感香糯而著稱.已知某超市銷(xiāo)售的盤(pán)錦袋裝大米的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且，若從該超市中隨機(jī)選取60袋盤(pán)錦大米，則質(zhì)量在的盤(pán)錦大米的袋數(shù)的方差為（

）A．14.4 B．9.6 C．24 D．48強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（

）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.22．（23-24高三下·北京·開(kāi)學(xué)考試）電燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.8，則3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)內(nèi)恰好壞了一個(gè)的概率為（

）A．0.384 B． C．0.128 D．0.1043．（2024·四川涼山·二模）已知，且，則在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A．5 B．10 C．15 D．204．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)某種疫苗試驗(yàn)的失敗率是成功率的5倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則等于（

）A．0 B． C． D．15．（23-24高三上·湖北荊州·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，則概率最大時(shí)，的取值為（

）A． B． C．或 D．或6．（22-23高三下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）某商場(chǎng)推出一種抽獎(jiǎng)活動(dòng)：盒子中裝有有獎(jiǎng)券和無(wú)獎(jiǎng)券共10張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽中1張有獎(jiǎng)券，則該客戶中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng).客戶甲每天都參加1次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，一個(gè)月（30天）下來(lái)，發(fā)現(xiàn)自己共中獎(jiǎng)11次，根據(jù)這個(gè)結(jié)果，估計(jì)盒子中的有獎(jiǎng)券有（

）A．1張 B．2張 C．3張 D．4張7．（23-24高三上·福建三明·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．隨機(jī)變量，則B．若隨機(jī)變量，，則C．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球是兩個(gè)互斥而不對(duì)立的事件D．從除顏色外完全相同的個(gè)紅球和個(gè)白球中，一次摸出個(gè)球，則摸到紅球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布；8．（23-24高三上·江西·階段練習(xí)）在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中用協(xié)方差來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量的總體誤差，對(duì)于離散型隨機(jī)變量，，定義協(xié)方差為，已知，的分布列如下表所示，其中，則的值為（

）1212A．0 B．1 C．2 D．4二、多選題1．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知某地區(qū)十二月份的晝夜溫差，，該地區(qū)某班級(jí)十二月份感冒的學(xué)生有10人，其中有6位男生，4位女生，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則C．從這10人中隨機(jī)抽取2人，其中至少抽到一位女生的概率為D．從這10人中隨機(jī)抽取2人，其中女生人數(shù)的期望為2．（2024·安徽黃山·一模）下列說(shuō)法正確的有（

）A．若線性相關(guān)系數(shù)越接近，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)B．若隨機(jī)變量，，則C．若樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則數(shù)據(jù)、、、的方差為D．若事件、滿足，，，則有3．（2024·云南貴州·二模）袋子中有2個(gè)黑球，1個(gè)白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次，每次取一個(gè)球，取到白球記0分，黑球記1分，記4次取球的總分?jǐn)?shù)為，則（

）A． B．C．的期望 D．的方差三、填空題1．（23-24高三上·上海浦東新·期末）在100件產(chǎn)品中有90件一等品、10件二等品，從中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，則恰好含1件二等品的概率為（結(jié)果精確到0.01）．2．（23-24高三下·上海·階段練習(xí)）甲乙兩人射擊，每人射擊一次.已知甲命中的概率是，乙命中的概率是，兩人每次射擊是否命中互不影響.已知甲、乙兩人至少命中一次，則甲命中的概率為.3．（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）小張的公司年會(huì)有一小游戲：箱子中有材質(zhì)和大小完全相同的六個(gè)小球，其中三個(gè)球標(biāo)有號(hào)碼1，兩個(gè)球標(biāo)有號(hào)碼2，一個(gè)球標(biāo)有號(hào)碼3，有放回的從箱子中取兩次球，每次取一個(gè)，設(shè)第一個(gè)球的號(hào)碼是，第二個(gè)球的號(hào)碼是，記，若公司規(guī)定時(shí)，分別為一二三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金分別為1000元，500元，200元，其余無(wú)獎(jiǎng)．則小張玩游戲一次獲得獎(jiǎng)金的期望為元．四、解答題1．（23-24高三上·浙江紹興·期末）臨近新年，某水果店購(gòu)入A，B，C三種水果，數(shù)量分別是36箱，27箱，18箱.現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取9箱，進(jìn)行質(zhì)量檢查.(1)應(yīng)從A，B，C三種水果各抽多少箱?(2)若抽出的9箱水果中，有5箱質(zhì)量上乘，4箱質(zhì)量一般，現(xiàn)從這9箱水果中隨機(jī)抽出4箱送有關(guān)部門(mén)檢測(cè).①用X表示抽取的4箱中質(zhì)量一般的箱數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②設(shè)A為事件“抽取的4箱水果中，既有質(zhì)量上乘的，也有質(zhì)量一般的水果”，求事件A發(fā)生的概率.2．（2024·遼寧大連·一模）某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，已知每次投籃的命中率均為0.5.(1)若該同學(xué)共投籃4次，求在投中2次的條件下，第二次沒(méi)有投中的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記則當(dāng)時(shí)，可認(rèn)為η服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.若保證投中的頻率在區(qū)間的概率不低于，求該同學(xué)至少要投多少次.附:若，則，.3．（2024·新疆·一模）地區(qū)生產(chǎn)總值(地區(qū))是衡量一個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要指標(biāo)，在過(guò)去五年(2019年-2023年)中，某地區(qū)的地區(qū)生產(chǎn)總值實(shí)現(xiàn)了“翻一番”的飛躍，從1464億元增長(zhǎng)到了3008億元，若該地區(qū)在這五年中的年份編號(hào)x(2019年對(duì)應(yīng)的x值為1，2020年對(duì)應(yīng)的x值為2，以此類(lèi)推)與地區(qū)生產(chǎn)總值y(百億元)的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：年份編號(hào)x12345地區(qū)生產(chǎn)總值y(百億元)14.6417.4220.7225.2030.08(1)該地區(qū)2023年的人均生產(chǎn)總值為9.39萬(wàn)元，若2023年全國(guó)的人均生產(chǎn)總值X(萬(wàn)元)服從正態(tài)分布，那么在全國(guó)其他城市或地區(qū)中隨機(jī)挑選2個(gè)，記隨機(jī)變量Y為“2023年人均生產(chǎn)總值高于該地區(qū)的城市或地區(qū)的數(shù)量”，求的概率；(2)該地區(qū)的人口總數(shù)t(百萬(wàn)人)與年份編號(hào)x的回歸方程可以近似為，根據(jù)上述的回歸方程，估算該地區(qū)年份編號(hào)x與人均生產(chǎn)總值(人均)u(萬(wàn)元)之間的線性回歸方程.參考公式與數(shù)據(jù)：人均生產(chǎn)總值=地區(qū)生產(chǎn)總值÷人口總數(shù)；線性回歸方程中，斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別是：，若，則.4．（2024·山東日照·一模）隨著科技的不斷發(fā)展，人工智能技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域也將會(huì)更加廣泛，它將會(huì)成為改變?nèi)祟?lèi)社會(huì)發(fā)展的重要力量．某科技公司發(fā)明了一套人機(jī)交互軟件，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫(kù)中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答．在對(duì)該交互軟件進(jìn)行測(cè)試時(shí)，如果輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為；若出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為．假設(shè)每次輸入的問(wèn)題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為．(1)求一個(gè)問(wèn)題能被軟件正確應(yīng)答的概率；(2)在某次測(cè)試中，輸入了個(gè)問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題能否被軟件正確應(yīng)答相互獨(dú)立，記軟件正確應(yīng)答的個(gè)數(shù)為X，的概率記為，則n為何值時(shí)，的值最大？5．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）某項(xiàng)游戲的規(guī)則如下：游戲可進(jìn)行多輪，每輪進(jìn)行兩次分別計(jì)分，每次分?jǐn)?shù)均為不超過(guò)10的正整數(shù)，選手甲參加十輪游戲，分?jǐn)?shù)如下表：輪次一二三四五六七八九十第一次分?jǐn)?shù)76898597107第二次分?jǐn)?shù)87910898779若選手在某輪中，兩次分?jǐn)?shù)的平均值不低于7分，且二者之差的絕對(duì)值不超過(guò)1分，則稱其在該輪“穩(wěn)定發(fā)揮”.(1)若從以上十輪游戲中任選兩輪，求這兩輪均“穩(wěn)定發(fā)揮”的概率；(2)假設(shè)甲再參加三輪游戲，每輪得分情況相互獨(dú)立，并對(duì)是否穩(wěn)定發(fā)揮以頻率估計(jì)概率.記為甲在三輪游戲中“穩(wěn)定發(fā)揮”的輪數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)選手乙參加輪游戲，每輪的兩次分?jǐn)?shù)均不相同.記為各輪較高分的算數(shù)平均值，為各輪較低分的算數(shù)平均值，為各輪兩次的平均分的算數(shù)平均值.試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）.第19講隨機(jī)變量及其分布（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）[考情分析]離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差和概率的計(jì)算問(wèn)題常常結(jié)合在一起進(jìn)行考查，重點(diǎn)考查超幾何分布、二項(xiàng)分布及正態(tài)分布，以解答題為主，中等難度．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類(lèi)講解考點(diǎn)一：分布列的性質(zhì)及應(yīng)用離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.(4)D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn.(5)若Y＝aX＋b，則E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．規(guī)律方法分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1的性質(zhì)可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性．(2)隨機(jī)變量X所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率．【例1】（2024·廣東·一模）已知隨機(jī)變量的分布列如下：12則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)、期望和方差公式，結(jié)合充分條件必要條件的定義即可求解.【詳解】由題意可知，若，則，得，故充分性滿足；若，則，解得或.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則或，故必要性不滿足.故選：A.【變式1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：X1234Pp則p為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由分布列的性質(zhì)可知，，得.故選：B【變式2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為：123m則．【答案】/【分析】根據(jù)題意知，求出，然后可求解.【詳解】由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以.故答案為:.【變式3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為：X024P則．【答案】/【分析】由題意表中概率之和為1，且每個(gè)概率不少于0且不超過(guò)1，由此即可列方程求解.【詳解】∵，∴，解得或（舍去），∴．故答案為：.考點(diǎn)二：隨機(jī)變量的分布列1．二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．E(X)＝n·eq\f(M,N).規(guī)律方法求隨機(jī)變量X的均值與方差的方法及步驟(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫(xiě)出X可能的全部取值；(2)求X取每個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布列；(3)由均值和方差的計(jì)算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若隨機(jī)變量X的分布列為特殊分布列(如：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解．考向1相互獨(dú)立事件【例2】（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）小張?小王兩人計(jì)劃報(bào)一些興趣班，他們分別從“籃球?繪畫(huà)?書(shū)法?游泳?鋼琴”這五個(gè)隨機(jī)選擇一個(gè)，記事件：“兩人至少有一人選擇籃球”，事件：“兩人選擇的興趣班不同”，則概率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件及對(duì)立事件概率計(jì)算公式及條件概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題意可知：兩人都沒(méi)選擇籃球，即，所以，而：有一人選擇籃球，另一人選別的興趣班，則，所以，故選:C.【變式】(2023·濟(jì)南模擬)某校舉行“學(xué)習(xí)二十大，奮進(jìn)新征程”知識(shí)競(jìng)賽，知識(shí)競(jìng)賽包含預(yù)賽和決賽．(1)下表為某10位同學(xué)預(yù)賽成績(jī)：得分939495969798人數(shù)223111求該10位同學(xué)預(yù)賽成績(jī)的第75百分位數(shù)和平均數(shù)；(2)決賽共有編號(hào)為A，B，C，D，E的5道題，學(xué)生甲按照A，B，C，D，E的順序依次作答，答對(duì)的概率依次為eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，各題作答互不影響，若累計(jì)答錯(cuò)兩道題或五道題全部答完則比賽結(jié)束，記X為比賽結(jié)束時(shí)學(xué)生甲已作答的題數(shù)，求X的分布列和均值．【解析】解(1)因?yàn)?0×0.75＝7.5，所以第75百分位數(shù)為第8個(gè)成績(jī)，為96；平均數(shù)為eq\f(93×2＋94×2＋95×3＋96＋97＋98,10)＝95.(2)由題意可知X的所有可能取值為2,3,4,5，所以P(X＝2)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，P(X＝3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(X＝4)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(5,18)，P(X＝5)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(11,36)，所以X的分布列為X2345Peq\f(1,6)eq\f(1,4)eq\f(5,18)eq\f(11,36)E(X)＝2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(5,18)＋5×eq\f(11,36)＝eq\f(67,18).考向2超幾何分布【例3】（23-24高三上·廣東深圳·期末）一袋中裝有大小?質(zhì)地均相同的5個(gè)白球，3個(gè)黃球和2個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則至少含有一個(gè)黑球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)超幾何分布的概率公式計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，至少含有一個(gè)黑球的概率是.故選：B.【變式1】(2023·安陽(yáng)模擬)不負(fù)青山，力換“金山”，民宿旅游逐漸成為一種熱潮，山野鄉(xiāng)村的民宿深受廣大旅游愛(ài)好者的喜愛(ài)．某地區(qū)結(jié)合當(dāng)?shù)刭Y源，按照“山上生態(tài)做減法、山下產(chǎn)業(yè)做加法”的思路，科學(xué)有序發(fā)展環(huán)山文旅康養(yǎng)產(chǎn)業(yè)，溫泉度假小鎮(zhèn)、環(huán)山綠道、農(nóng)家樂(lè)提檔升級(jí)、特色民宿群等一批生態(tài)產(chǎn)業(yè)項(xiàng)目加快實(shí)施．為了在節(jié)假日接待好游客，該地旅游局對(duì)本地區(qū)各鄉(xiāng)村的普通型民宿和品質(zhì)型民宿進(jìn)行了調(diào)研，隨機(jī)抽取了10家鄉(xiāng)村民宿，統(tǒng)計(jì)得到各家的房間數(shù)如下表：民宿甲乙丙丁戊己庚辛壬癸普通型民宿19541713189201015品質(zhì)型民宿61210111091285(1)若旅游局隨機(jī)從乙、丙2家各選2間民宿進(jìn)行調(diào)研，求選出的4間均為普通型民宿的概率；(2)從這10家中隨機(jī)抽取4家民宿，記其中普通型民宿的房間不低于17間的有X家，求X的分布列和均值．【解析】解(1)設(shè)“從乙家選2間民宿，選到的2間民宿為普通型”為事件A；“從丙家選2間民宿，選到的2間民宿為普通型”為事件B；所以選出的4間均為普通型民宿的概率為P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,6))×eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(4,15).(2)這10家民宿，其中普通型民宿的房間不低于17間的有4家，隨機(jī)變量X的可能取值有0,1,2,3,4，則P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(4,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(15,210)＝eq\f(1,14)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(80,210)＝eq\f(8,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(90,210)＝eq\f(3,7)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(24,210)＝eq\f(4,35)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,210)，X的分布列為X01234Peq\f(1,14)eq\f(8,21)eq\f(3,7)eq\f(4,35)eq\f(1,210)所以E(X)＝0×eq\f(15,210)＋1×eq\f(80,210)＋2×eq\f(90,210)＋3×eq\f(24,210)＋4×eq\f(1,210)＝eq\f(8,5).【變式2】(多選)(2023·泉州模擬)下列說(shuō)法正確的有()A．某學(xué)校有2023名學(xué)生，其中男生1012人，女生1011人，現(xiàn)選派10名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，記男生的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布B．若隨機(jī)變量X的均值E(X)＝2023，則E(X－1)＝2023C．若隨機(jī)變量X的方差D(X)＝2，則D(2X＋2023)＝8D．隨機(jī)變量X～B(2023,0.5)，則P(X≤1010)＝P(X≥1011)【答案】AC【解析】A選項(xiàng)，根據(jù)超幾何分布的定義，可知A正確；B選項(xiàng)，E(X－1)＝E(X)－1＝2022，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，D(2X＋2023)＝22D(X)＝8，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)閄～B(2023,0.5)，所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,2023)·0.5k·(1－0.5)2023－k＝Ceq\o\al(k,2023)0.52023，根據(jù)組合數(shù)的對(duì)稱性可知，P(X≤1010)＝P(X≥1013)，故D錯(cuò)誤．考向3二項(xiàng)分布【例4】（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知某種疾病的某種療法的治愈率為．若有1000位該病患者采取了這種療法，且每位患者治愈與否相互獨(dú)立，設(shè)其中被治愈的人數(shù)為，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率列出的表達(dá)式，由題意可得不等式，化簡(jiǎn)并結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由題意知,故，，由得，即，即，則，由于，故，故選：D考點(diǎn)三:正態(tài)分布解決正態(tài)分布問(wèn)題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)對(duì)稱軸x＝μ.(2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差σ.(3)分布區(qū)間：利用3σ原則求概率時(shí)，要注意利用μ，σ分布區(qū)間的特征把所求的范圍轉(zhuǎn)化為3σ的特殊區(qū)間．規(guī)律方法利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問(wèn)題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，及曲線與x軸之間的面積為1，注意下面三個(gè)結(jié)論的靈活運(yùn)用：(1)對(duì)任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．(2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0)．(3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．【例5】（23-24高三下·天津·開(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則B．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14C．若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)D．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，且線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是【答案】B【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)A，利用百分位數(shù)的定義即可判斷選項(xiàng)B，根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)C，利用線性回歸方程中的基本量即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)A：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則，則，A正確；對(duì)B：因?yàn)?，所以第百分位?shù)為，B錯(cuò)誤；對(duì)C：若線性相關(guān)系數(shù)越接近，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C正確；對(duì)于D，樣本點(diǎn)的中心為，所以，，因?yàn)闈M足線性回歸方程，所以，所以，D正確.故選：B【變式1】（2024·安徽合肥·一模）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則等于（

）A．0.14 B．0.62 C．0.72 D．0.86【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且,所以，，所以，故選:D.【變式2】（23-24高三下·湖南湘潭·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從，若，則（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】C【分析】借助正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算即可得.【詳解】由題意可得，所以.故選：C.【變式3】（2024·遼寧遼陽(yáng)·一模）遼寧的盤(pán)錦大米以粒粒飽滿、口感香糯而著稱.已知某超市銷(xiāo)售的盤(pán)錦袋裝大米的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且，若從該超市中隨機(jī)選取60袋盤(pán)錦大米，則質(zhì)量在的盤(pán)錦大米的袋數(shù)的方差為（

）A．14.4 B．9.6 C．24 D．48【答案】A【分析】由題意根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求出的值，確定質(zhì)量在的盤(pán)錦大米的袋數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式，即可求得答案.【詳解】由題意知某超市銷(xiāo)售的盤(pán)錦袋裝大米的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且，故，從該超市中隨機(jī)選取60袋盤(pán)錦大米，則質(zhì)量在的盤(pán)錦大米的袋數(shù)故，故選：A強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（

）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.2【答案】D【分析】由正態(tài)分布的對(duì)稱性直接求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，∴.故選：D.2．（23-24高三下·北京·開(kāi)學(xué)考試）電燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.8，則3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)內(nèi)恰好壞了一個(gè)的概率為（

）A．0.384 B． C．0.128 D．0.104【答案】A【分析】分析知這是二項(xiàng)分布，3重伯努利試驗(yàn).【詳解】電燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.8，1個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)內(nèi)壞了的概率為，則3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)內(nèi)恰好壞了一個(gè)的概率為.故選：A3．（2024·四川涼山·二模）已知，且，則在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】先根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求出，在利用二項(xiàng)式定理求的系數(shù).【詳解】因?yàn)?，且，則，得，則，其含的項(xiàng)為，即的系數(shù)為.故選：B.4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)某種疫苗試驗(yàn)的失敗率是成功率的5倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則等于（

）A．0 B． C． D．1【答案】C【分析】先列出變量X的分布列，從而得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意得，“”表示試驗(yàn)失敗，“”表示試驗(yàn)成功，成功率為p，失敗率為5p，故X的分布列為：X01P5pp所以，得，所以失敗率為，即．故選：C.5．（23-24高三上·湖北荊州·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，則概率最大時(shí)，的取值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量取值的概率公式建立不等關(guān)系，可得最大值時(shí)的．【詳解】依題意，由，即，解得或.故選：C.6．（22-23高三下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）某商場(chǎng)推出一種抽獎(jiǎng)活動(dòng)：盒子中裝有有獎(jiǎng)券和無(wú)獎(jiǎng)券共10張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽中1張有獎(jiǎng)券，則該客戶中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng).客戶甲每天都參加1次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，一個(gè)月（30天）下來(lái)，發(fā)現(xiàn)自己共中獎(jiǎng)11次，根據(jù)這個(gè)結(jié)果，估計(jì)盒子中的有獎(jiǎng)券有（

）A．1張 B．2張 C．3張 D．4張【答案】B【分析】根據(jù)題意，計(jì)算盒子中獎(jiǎng)券數(shù)量對(duì)應(yīng)的概率，結(jié)合期望分析更接近11的可能最大.【詳解】設(shè)中獎(jiǎng)的概率為，30天中獎(jiǎng)的天數(shù)為，則若盒子中的有獎(jiǎng)券有1張，則中獎(jiǎng)的概率為，，若盒子中的有獎(jiǎng)券有2張，則中獎(jiǎng)的概率為，，若盒子中的有獎(jiǎng)券有3張，則中獎(jiǎng)的概率為，，若盒子中的有獎(jiǎng)券有4張，則中獎(jiǎng)的概率為，，根據(jù)題意盒子中的有獎(jiǎng)券有2張，更有可能30天中獎(jiǎng)11天，故選：B.7．（23-24高三上·福建三明·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．隨機(jī)變量，則B．若隨機(jī)變量，，則C．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球是兩個(gè)互斥而不對(duì)立的事件D．從除顏色外完全相同的個(gè)紅球和個(gè)白球中，一次摸出個(gè)球，則摸到紅球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布；【答案】D【分析】選項(xiàng)A根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式進(jìn)行計(jì)算；選項(xiàng)B根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性進(jìn)行計(jì)算；選項(xiàng)C根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的定義進(jìn)行判斷；選項(xiàng)D根據(jù)超幾何分布的定義進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，至少有一個(gè)黑球包含的基本事件有“一黑一紅，兩黑”，至少有一個(gè)紅球包含的基本事件有“一黑一紅，兩紅”，所以兩事件不互斥，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)摸出紅球的個(gè)數(shù)為k，則，符合超幾何分布，故D正確.故選：D8．（23-24高三上·江西·階段練習(xí)）在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中用協(xié)方差來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量的總體誤差，對(duì)于離散型隨機(jī)變量，，定義協(xié)方差為，已知，的分布列如下表所示，其中，則的值為（

）1212A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)題意可得的分布列，，和的值，再根據(jù)的公式計(jì)算即可.【詳解】解：的分布列為124，，，.故選：A.二、多選題1．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知某地區(qū)十二月份的晝夜溫差，，該地區(qū)某班級(jí)十二月份感冒的學(xué)生有10人，其中有6位男生，4位女生，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則C．從這10人中隨機(jī)抽取2人，其中至少抽到一位女生的概率為D．從這10人中隨機(jī)抽取2人，其中女生人數(shù)的期望為【答案】ABD【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性判斷AB；利用超幾何分布的概率公式與期望判斷CD.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，故A正確；對(duì)于B，，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，服從超幾何分布，其中，，，所以，故D正確.故選ABD.2．（2024·安徽黃山·一模）下列說(shuō)法正確的有（

）A．若線性相關(guān)系數(shù)越接近，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)B．若隨機(jī)變量，，則C．若樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則數(shù)據(jù)、、、的方差為D．若事件、滿足，，，則有【答案】ABD【分析】利用線性相關(guān)系數(shù)與線性相關(guān)性之間的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；可以正態(tài)分布的對(duì)稱性可判斷B選項(xiàng)；利用方差的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用條件概率公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若線性相關(guān)系數(shù)越接近，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若隨機(jī)變量，，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則數(shù)據(jù)、、、的方差為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若事件、滿足，，，由條件概率公式可得，則，因此，，D對(duì).故選：ABD.3．（2024·云南貴州·二模）袋子中有2個(gè)黑球，1個(gè)白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次，每次取一個(gè)球，取到白球記0分，黑球記1分，記4次取球的總分?jǐn)?shù)為，則（

）A． B．C．的期望 D．的方差【答案】ABCD【分析】求出一次摸到黑球的概率，根據(jù)題意可得隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，再根據(jù)二項(xiàng)分布列及期望公式、方差公式求解即可.【詳解】從袋子中有放回的取球4次，則每次取球互不影響，并且每次取到的黑球概率相等，又每次取一個(gè)球，取到白球記0分，黑球記1分，故4次取球的總分?jǐn)?shù)相當(dāng)于抽到黑球的總個(gè)數(shù)，又每次摸到黑球的概率為，因?yàn)槭怯蟹呕氐厝?次球，所以，故A正確；，故B正確；根據(jù)二項(xiàng)分布期望公式得，故C正確；根據(jù)二項(xiàng)分布方差公式得，故D正確.故選：ABCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～，，且有，.三、填空題1．（23-24高三上·上海浦東新·期末）在100件產(chǎn)品中有90件一等品、10件二等品，從中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，則恰好含1件二等品的概率為（結(jié)果精確到0.01）．【答案】0.25【分析】由題意先求出事件總數(shù)，再求出恰好有一件二等品的事件，結(jié)合古典概型的概率公式計(jì)算即可求解.【詳解】從這批產(chǎn)品中抽取3件，則事件總數(shù)為，其中恰好有一件二等品的事件有，所以恰好有一件二等品的概率為.故答案為：0.252．（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）甲乙兩人射擊，每人射擊一次.已知甲命中的概率是，乙命中的概率是，兩人每次射擊是否命中互不影響.已知甲、乙兩人至少命中一次，則甲命中的概率為.【答案】【分析】根據(jù)題意，由條件概率的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)事件A為“兩人至少命中一次”，事件B為“甲命中”，，，所以.故答案為：3．（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）小張的公司年會(huì)有一小游戲：箱子中有材質(zhì)和大小完全相同的六個(gè)小球，其中三個(gè)球標(biāo)有號(hào)碼1，兩個(gè)球標(biāo)有號(hào)碼2，一個(gè)球標(biāo)有號(hào)碼3，有放回的從箱子中取兩次球，每次取一個(gè)，設(shè)第一個(gè)球的號(hào)碼是，第二個(gè)球的號(hào)碼是，記，若公司規(guī)定時(shí)，分別為一二三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金分別為1000元，500元，200元，其余無(wú)獎(jiǎng)．則小張玩游戲一次獲得獎(jiǎng)金的期望為元．【答案】【分析】根據(jù)兩球號(hào)碼數(shù)和積分規(guī)則分別求出時(shí)的概率即為獎(jiǎng)金分別為1000元，500元，200元的概率，利用分布列計(jì)算可得期望值.【詳解】由題可知，取一次球，取得號(hào)碼是1的概率是，取一次球，取得號(hào)碼是2的概率是，取一次球，取得號(hào)碼是3的概率是，因?yàn)?，，?dāng)，所以或，故；當(dāng)，則，所以，當(dāng)，則，所以，設(shè)獎(jiǎng)金為，則．則它的分布列為10005002000所以．故答案為：四、解答題1．（23-24高三上·浙江紹興·期末）臨近新年，某水果店購(gòu)入A，B，C三種水果，數(shù)量分別是36箱，27箱，18箱.現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取9箱，進(jìn)行質(zhì)量檢查.(1)應(yīng)從A，B，C三種水果各抽多少箱?(2)若抽出的9箱水果中，有5箱質(zhì)量上乘，4箱質(zhì)量一般，現(xiàn)從這9箱水果中隨機(jī)抽出4箱送有關(guān)部門(mén)檢測(cè).①用X表示抽取的4箱中質(zhì)量一般的箱數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②設(shè)A為事件“抽取的4箱水果中，既有質(zhì)量上乘的，也有質(zhì)量一般的水果”，求事件A發(fā)生的概率.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)①分布列見(jiàn)詳解，；②【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合分層抽樣的性質(zhì)分析求解；（2）①根據(jù)題意結(jié)合超幾何分別求分布列和期望；②根據(jù)題意利用對(duì)立事件以及①中結(jié)果運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意知：，所以應(yīng)從A，B，C三種水果各抽4，3，2箱.（2）①由題意可知：X的可能取值為0，1，2，3，4，則有：，，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為X01234P所以隨機(jī)變量X的期望為；②由題意可知：為事件“抽取的4箱水果中，都是質(zhì)量上乘的，或都是質(zhì)量一般的水果”，所以.2．（2024·遼寧大連·一模）某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，已知每次投籃的命中率均為0.5.(1)若該同學(xué)共投籃4次，求在投中2次的條件下，第二次沒(méi)有投中的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記則當(dāng)時(shí)，可認(rèn)為η服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.若保證投中的頻率在區(qū)間的概率不低于，求該同學(xué)至少要投多少次.附:若，則，.【答案】(1)(2)68【分析】（1）設(shè)出事件，由條件概率公式即可求解；（2）首先將題目條件轉(zhuǎn)換為的概率至少為，進(jìn)一步通過(guò)計(jì)算得，從而可得，由此即可得解.【詳解】（1）該同學(xué)投籃了四次，設(shè)分別表示“第二次沒(méi)有投中”和“恰投中兩次”.則有.（2）隨機(jī)變量代表次投籃后命中的次數(shù)，則服從二項(xiàng)分布，然后令隨