高考數(shù)學(xué)重難點培優(yōu)全攻略(新高考專用)第4講　函數(shù)的極值、最值(3大考點+強化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

第4講函數(shù)的極值、最值（3大考點+強化訓(xùn)練）【知識導(dǎo)圖】【考點分析】考點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值判斷函數(shù)的極值點，主要有兩點(1)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的變號零點，即為函數(shù)f(x)的極值點．(2)利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性可得函數(shù)的極值點．一、單選題1．（2023下·上海青浦高級中學(xué)?？计谥校τ谝韵陆Y(jié)論：①若公比，那么等比數(shù)列前n項和存在極限；②為數(shù)列最大的項，那么對任意的n（，，）都成立；③函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若，那么為函數(shù)的極值點；④函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若恒成立，那么是嚴(yán)格增函數(shù).正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個二、填空題2．函數(shù)的極值點是．三、解答題3．（2023上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最值；(2)當(dāng)時，討論函數(shù)的極值點個數(shù).4．（2023上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最值；(2)當(dāng)時，討論函數(shù)的極值點個數(shù).考點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值1．求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值．(2)求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)．(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．2．若函數(shù)含有參數(shù)或區(qū)間含有參數(shù)，則需對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值．一、單選題1．設(shè)函數(shù)，若存在，使，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題2．當(dāng)時，函數(shù)的最大值與最小值的和為.三、解答題3．（2024·河南·方城第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)證明：；(2)若，求當(dāng)面積最大時的值.4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)二次函數(shù)，在“①曲線，有1個交點；②”中選擇一個作為條件，另一個作為結(jié)論，進行證明；(2)若關(guān)于x的不等式在上能成立，求實數(shù)m的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．考點三極值、最值的簡單應(yīng)用一、單選題1．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題2．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A． B．函數(shù)的最大值為C．若方程恰有兩個不等的實根，則實數(shù)的取值范圍為 D．若，則三、填空題3．（2023下·甘肅武威民勤縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若圖象上存在兩點關(guān)于原點對稱，則點對稱為函數(shù)的“友情點對”（點對與視為同一個“友情點對”），若恰有兩個“友情點對”，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題4．已知函數(shù)，在點處的切線為.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，是函數(shù)的兩個極值點，證明.5．（2023上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程.(2)討論函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù).【強化訓(xùn)練】一、單選題1．設(shè)函數(shù)的一個極值點為，則（

）A． B． C． D．2．（2023單元測試）已知函數(shù)與函數(shù)的圖像上恰有兩對關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點，則在區(qū)間上的最大值為（

）A．4 B．10 C．16 D．204．已知函數(shù)，有以下命題：①當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，函數(shù)在上有極大值；③當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；④當(dāng)時，函數(shù)在上有極大值，有極小值．其中不正確命題的序號是A．①③ B．②③ C．①④ D．②④5．已知函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)a的取值范圍為：（

）A． B． C． D．6．函數(shù)的極小值為（

）A．0 B． C． D．二、多選題7．已知函數(shù)，（

）．A．若在區(qū)間上單調(diào)，則B．將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到曲線C，若曲線C對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，最小值為C．函數(shù)在區(qū)間上恰有三個極值點，則D．關(guān)于x的方程在上有兩個不同的解，則8．（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則的值可能是（

）A．2 B． C．3 D．0三、填空題9．若函數(shù)在處有極值，且，則稱為函數(shù)的“點”.已知函數(shù)存在兩個不相等的“點”，，且，則的取值范圍是.10．若關(guān)于x的不等式恒成立，則的最小值是.11．某產(chǎn)品的銷售收入（萬元）是產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)，生產(chǎn)成本（萬元）是產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)，已知，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)（千臺）．12．（2023·遼寧·新民市第一高級中學(xué)校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍為．四、解答題13．函數(shù)．（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：(為自然對數(shù)的底數(shù))．14．已知函數(shù).（1）時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，.15．（2023下·云南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在抗擊新冠肺炎疫情期間，作為重要防控物資之一的防護服是醫(yī)務(wù)人員抗擊疫情的保障，我國企業(yè)依靠自身強大的科研能力，自行研制新型防護服的生產(chǎn)．(1)防護服的生產(chǎn)流水線有四道工序，前三道工序完成成品防護服的生產(chǎn)且互不影響，第四道是檢測工序，包括紅外線自動檢測與人工抽檢，紅外線自動檢測為次品的會被自動淘汰，合格的進入流水線并由工人進行抽查檢驗．已知在批次I的成品防護服的生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為，第四道紅外線自動檢測顯示為合格率為92%，求一件防護服在紅外線自動檢測顯示合格品的條件下，人工抽檢也為合格品的概率（百分號前保留兩位小數(shù)）；(2)①已知某批次成品防護服的次品率為，設(shè)3件該批次成品防護服中恰有1件不合格品的最大概率為，在多次改善生產(chǎn)線后批次J的防護服的次品率，請從次品率的角度比較（1）中的批次I與批次J防護服的質(zhì)量；②某醫(yī)院獲得批次I，J的防護服捐贈并分發(fā)給該院醫(yī)務(wù)人員使用．經(jīng)統(tǒng)計，正常使用這兩個批次的防護服期間，該院醫(yī)務(wù)人員核酸檢測情況的等高堆積條形圖如圖所示，請完善下面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析能否認(rèn)為防護服的質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒有關(guān)聯(lián)？核酸檢測結(jié)果防護服批次合計IJ呈陽性呈陰性合計附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828第4講函數(shù)的極值、最值（3大考點+強化訓(xùn)練）【知識導(dǎo)圖】【考點分析】考點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值判斷函數(shù)的極值點，主要有兩點(1)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的變號零點，即為函數(shù)f(x)的極值點．(2)利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性可得函數(shù)的極值點．一、單選題1．（2023下·上海青浦高級中學(xué)校考期中）對于以下結(jié)論：①若公比，那么等比數(shù)列前n項和存在極限；②為數(shù)列最大的項，那么對任意的n（，，）都成立；③函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若，那么為函數(shù)的極值點；④函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若恒成立，那么是嚴(yán)格增函數(shù).正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【分析】取特殊值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)，即可說明各個結(jié)論，進而得出答案.【詳解】設(shè)數(shù)列前項和為，對于①，當(dāng)時，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.又，所以此時，沒有極限，故①錯誤；對于②，對于數(shù)列，可知中的每一項都為數(shù)列中最大的項，但是顯然不成立，故②錯誤；對于③，對于函數(shù)，有恒成立，所以，函數(shù)為R上的增函數(shù)，即函數(shù)沒有極值點.又，顯然不是的極值點，故③錯誤；對于④，對于常函數(shù)，有恒成立，但顯然不是單調(diào)遞增函數(shù)，故④錯誤.所以，正確的個數(shù)為0個.故選：A.二、填空題2．函數(shù)的極值點是．【答案】【分析】令導(dǎo)數(shù)為0，計算x，即可．【詳解】解得【點睛】本道題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)計算方法，關(guān)鍵抓住，即可，難度較容易．三、解答題3．（2023上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最值；(2)當(dāng)時，討論函數(shù)的極值點個數(shù).【答案】(1)有最小值，沒有最大值.(2)答案見解析【分析】（1）利用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則可得，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推出函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）對函數(shù)求導(dǎo)可得，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)可得，再次利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)當(dāng)、時的性質(zhì)，結(jié)合極值點與零點之間的關(guān)系即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，則.令，則在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，即有最小值，沒有最大值.（2）因為，其中，所以.令，則.因為，令，則，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.設(shè)，其中，則.令，解得.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.①當(dāng)時，，即，也即，所以在上單調(diào)遞增，所以沒有極值點.②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減.設(shè)，則當(dāng)時，，所以，即當(dāng)時，.又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，且在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，所以在上沒有零點，且.又在上單調(diào)遞減，所以在內(nèi)存在唯一，使，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，也即當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以為的一個極大值點.又在上單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，即當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以1為的一個極小值點，所以當(dāng)時，有2個極值點.綜合①②，當(dāng)時，有2個極值點；當(dāng)時，沒有極值點.【點睛】在解決類似的問題時，要熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，要掌握極值與極值點的定義，縷清極值點與方程的根之間關(guān)系，善于培養(yǎng)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，學(xué)會構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.4．（2023上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最值；(2)當(dāng)時，討論函數(shù)的極值點個數(shù).【答案】(1)有最小值，沒有最大值.(2)答案見解析【分析】（1）利用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則可得，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推出函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）對函數(shù)求導(dǎo)可得，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)可得，再次利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)當(dāng)、時的性質(zhì)，結(jié)合極值點與零點之間的關(guān)系即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，則.令，則在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，即有最小值，沒有最大值.（2）因為，其中，所以.令，則.因為，令，則，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.設(shè)，其中，則.令，解得.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.①當(dāng)時，，即，也即，所以在上單調(diào)遞增，所以沒有極值點.②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減.設(shè)，則當(dāng)時，，所以，即當(dāng)時，.又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，且在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，所以在上沒有零點，且.又在上單調(diào)遞減，所以在內(nèi)存在唯一，使，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，也即當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以為的一個極大值點.又在上單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，即當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以1為的一個極小值點，所以當(dāng)時，有2個極值點.綜合①②，當(dāng)時，有2個極值點；當(dāng)時，沒有極值點.【點睛】在解決類似的問題時，要熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，要掌握極值與極值點的定義，縷清極值點與方程的根之間關(guān)系，善于培養(yǎng)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，學(xué)會構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.考點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值1．求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值．(2)求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)．(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．2．若函數(shù)含有參數(shù)或區(qū)間含有參數(shù)，則需對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值．一、單選題1．設(shè)函數(shù)，若存在，使，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出的最大值，得到關(guān)于的不等式，解出即可.【詳解】的定義域是，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，且，故存在，使；當(dāng)時，令，解得，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，解得.綜上，的取值范圍是.故選D.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題.二、填空題2．當(dāng)時，函數(shù)的最大值與最小值的和為.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求解最值問題，即可求解．屬難題．【詳解】，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在，上都是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，，，，，∴的最大值為，最小值為，它們的和為.【點睛】導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，可求單調(diào)性，分析最值，進而求解最大值與最小值的和．三、解答題3．（2024·河南·方城第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)證明：；(2)若，求當(dāng)面積最大時的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)可得，再結(jié)合商數(shù)關(guān)系及二倍角的余弦公式化簡即可得出結(jié)論；（2）由（1）可得，根據(jù)正弦定理化角為邊可得，再由，結(jié)合正弦定理化角為邊求出，再根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得出答案.【詳解】（1）由已知得，∴，又，且，∴；（2）由（1）可得，由正弦定理可得，∴，.∵，∴，∴，∴，∴，又，∴，∴，令，則，則，設(shè)，，則，令，得，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，取得最大值，此時最大，則.【點睛】方法點睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)二次函數(shù)，在“①曲線，有1個交點；②”中選擇一個作為條件，另一個作為結(jié)論，進行證明；(2)若關(guān)于x的不等式在上能成立，求實數(shù)m的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）若選擇條件①，根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)圖象有1個交點，轉(zhuǎn)化為直線與曲線有1個交點，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定的值；若選擇條件②，由方程，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的極值，確定方程只有1個實數(shù)根；（2）由不等式構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，即可求解的取值范圍.【詳解】（1）若選①為條件：函數(shù)的定義域為，令，即，則．令，則直線與曲線有1個交點，且，令，解得，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)曲線有1個交點時，．若選②為條件：函數(shù)的定義域為，令，則，則．令，則，令，解得，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，故方程僅有1個實數(shù)根，即曲線有1個交點．（2）依題意，，即在上能成立，令，則（提示：不等式能成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題）．的值域為，且單調(diào)遞增．①當(dāng)，即時，，∴在上單調(diào)遞增，∴，解得，與矛盾，；②當(dāng)，即時，，∴在上單調(diào)遞減，∴，解得；③當(dāng)時，存在唯一的，滿足，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，解得，與矛盾，．綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查不等式解決函數(shù)的零點，不等式，最值問題，本題第二問的關(guān)鍵是由的值域為，根據(jù)端點值討論不同的區(qū)間，討論函數(shù)的最值.考點三極值、最值的簡單應(yīng)用一、單選題1．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先確定函數(shù)關(guān)于對稱，由函數(shù)恰有4個零點，根據(jù)對稱性可得時，有兩個零點，結(jié)合圖像解決.【詳解】設(shè)，則所以函數(shù)關(guān)于對稱，因為函數(shù)恰有4個零點，所以，由題可得，時，有兩個零點，由題，去絕對值得，所以時，作出圖像,先考慮與相切的情況，此時切點為，結(jié)合圖像可知時，函數(shù)在上有兩個零點，即在上有四個零點，故選：A.【點睛】零點個數(shù)問題，一般通過數(shù)形結(jié)合方法解決，本題根據(jù)對稱性以及導(dǎo)數(shù)解決參數(shù)的取值范圍.二、多選題2．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A． B．函數(shù)的最大值為C．若方程恰有兩個不等的實根，則實數(shù)的取值范圍為 D．若，則【答案】ABD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可判斷A、B的正誤；由在、上的值域，即可知恰有兩個不等的實根時的取值范圍；若，構(gòu)造及并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進而確定在上的符號判斷的符號，再結(jié)合的單調(diào)性即可證.【詳解】由題意，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；A：，正確；B：的極大值，也是最大值為，正確；C：∵時，即上；時，即上；∴要使恰有兩個不等的實根，則，錯誤；D：由知：若，令，，，∴設(shè)，，則，∴在上單調(diào)遞增，即，故在上恒成立，∴，即，又，，由在上遞減，即，故，正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而比較函數(shù)值的大小及最大值，再由的區(qū)間值域，確定恰有兩個不等的實根時的范圍；利用極值點偏移問題的解法證明即可.三、填空題3．（2023下·甘肅武威民勤縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若圖象上存在兩點關(guān)于原點對稱，則點對稱為函數(shù)的“友情點對”（點對與視為同一個“友情點對”），若恰有兩個“友情點對”，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意分析可得在上有兩解，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和最值，數(shù)形結(jié)合處理問題.【詳解】函數(shù)關(guān)于原點對稱的函數(shù)為，若要恰有兩個“友情點對”，則有兩解，即在上有兩解，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)，，則在內(nèi)為減函數(shù)，當(dāng)，，則在內(nèi)為增函數(shù)，可得，，且當(dāng)趨近于時，趨近于0，所以其圖象為：

若要在上有兩解，則，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題4．已知函數(shù)，在點處的切線為.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，是函數(shù)的兩個極值點，證明.【答案】（1）的單調(diào)減區(qū)間是和，單調(diào)增區(qū)間是；（2）證明見解析.【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和求得，然后由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）首先題意說明有兩個變號的零點，從而轉(zhuǎn)化為有兩個不等實根，通過（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得（不妨設(shè)），然后由分析法，要證，即證，只要證，即證，構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性后可證得結(jié)論．【詳解】（1）因為，所以由題意可知，，即，，可解得，.所以，則，由，得，由得，由得；的定義域為,,所以的單調(diào)減區(qū)間是和，單調(diào)增區(qū)間是.（2）由，是函數(shù)的兩個極值點，得有兩個變號零點，令即，當(dāng)時，上述等式不成立；當(dāng)時，上式轉(zhuǎn)化為，由（1）知的單調(diào)減區(qū)間是和，單調(diào)增區(qū)間是，且時，，則函數(shù)的圖象大致如圖所示；不妨設(shè)，則，∴要證，即證，即證，即證，∵，∴，由（1）知在上單調(diào)遞增，∴要證只需證，又，故即證令，∴又在上為增函數(shù)，∴，∴，在上單調(diào)遞減，∴，即∴.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式，考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力，等價轉(zhuǎn)化思想．屬于難題．5．（2023上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程.(2)討論函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù).【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先求得導(dǎo)函數(shù)，是切線的斜率，利用點斜式方程求切線方程即可；（2）先對參數(shù)分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的最值和區(qū)間的邊界值，利用零點存在性定理判斷零點個數(shù)即可.【詳解】（1）因為，所以，則，所以，切線方程為即（2）由（1）知，.①當(dāng)時，在區(qū)間上大于零，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以在區(qū)間上有一個零點.②當(dāng)時，在區(qū)間上小于零，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間上有一個零點.③當(dāng)時，在區(qū)間上小于零，在區(qū)間上大于零，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而.當(dāng)，即時，在區(qū)間上有兩個零點.當(dāng)，即時，在區(qū)間上有一個零點.綜上可知，當(dāng)或時，在上有一個零點，當(dāng)時，在區(qū)間上有兩個零點.【強化訓(xùn)練】一、單選題1．設(shè)函數(shù)的一個極值點為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先對函數(shù)進行求導(dǎo)，根據(jù)其一個極值點為，可得關(guān)系式，再利用兩角和的正切公式即可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，故.故選：B.2．（2023單元測試）已知函數(shù)與函數(shù)的圖像上恰有兩對關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意函數(shù)與的圖像上恰有兩對關(guān)于軸對稱的點，得到方程有兩解，分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，結(jié)合題意分析即可得.【詳解】因為函數(shù)與的圖像上恰有兩對關(guān)于軸對稱的點，所以，即有兩解，所以有兩解，令，則，所以當(dāng)時，0，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，，且時，的值域為，時，的值域為，因此有兩解時，實數(shù)的取值范圍為，故選：C.3．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點，則在區(qū)間上的最大值為（

）A．4 B．10 C．16 D．20【答案】D【分析】對函數(shù)求導(dǎo)整理得，分類討論當(dāng)時，在上單調(diào)遞增且，則不符合題意；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則該零點處就是極值處，進而構(gòu)建方程求得參數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)的最值即可.【詳解】因為，則，當(dāng)時，顯然，則原函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為，則在上沒有零點，不符合題意；當(dāng)時，由于，令即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又因為函數(shù)在有且僅有一個零點，則所以，即，令，解得或2故其單調(diào)性為：02+0-0+極大值極小值20所以函數(shù)的極大值為，右端點值為，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為20故選：D【點睛】本題考查由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)，并求三次函數(shù)在指定區(qū)間的最值，屬于中檔題.4．已知函數(shù)，有以下命題：①當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，函數(shù)在上有極大值；③當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；④當(dāng)時，函數(shù)在上有極大值，有極小值．其中不正確命題的序號是A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】B【詳解】試題分析：，①當(dāng)時，，在上遞增，①正確；②當(dāng)時，正確時，，時，，是的極小值，且只有這一個極值，②錯；③當(dāng)時，，，遞增，③錯；④時，或時，，在兩個區(qū)間上都是遞增的，時，，遞減，因此極大值，有極小值，④正確，故選B．考點：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值．【名師點睛】求函數(shù)f（x）極值的步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）解方程＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；（4）列表檢驗在＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)，那么f（x）在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f（x）在x0處取極小值．5．已知函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)a的取值范圍為：（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得在上能成立，利用參變分離法進行轉(zhuǎn)化，進而構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最大值即可.【詳解】由題意可得在上能成立，所以在上能成立，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，且，即，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，故選：B.6．函數(shù)的極小值為（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析原函數(shù)的單調(diào)性，得到極小值即可.【詳解】由，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)或時，，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，極小值為.故選：A.二、多選題7．已知函數(shù)，（

）．A．若在區(qū)間上單調(diào)，則B．將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到曲線C，若曲線C對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，最小值為C．函數(shù)在區(qū)間上恰有三個極值點，則D．關(guān)于x的方程在上有兩個不同的解，則【答案】BCD【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可判斷A，根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)三角函數(shù)的圖像性質(zhì)可判斷CD.【詳解】對于A，，，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，又，所以，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得，又，所以，綜上，或，A錯誤；對于B，的圖象向左平移個單位得到，若為偶函數(shù)，則有，解得，，而，所以最小值為，B正確；對于C，，，函數(shù)在區(qū)間上恰有三個極值點，則有，解得：，C正確；對于D，，即，，，則，解得：，D正確.故選：BCD8．（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則的值可能是（

）A．2 B． C．3 D．0【答案】ABC【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)和絕對值函數(shù)畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象分析即可.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時，的最小值為.又在上，的圖像如圖所示：

因為有兩個不同的零點，所以方程有兩個不同的解，即直線與有兩個不同交點且交點的橫坐標(biāo)分別為，故或或.若，則；若，則；若，則.故選：ABC.三、填空題9．若函數(shù)在處有極值，且，則稱為函數(shù)的“點”.已知函數(shù)存在兩個不相等的“點”，，且，則的取值范圍是.【答案】【分析】由于，由題意得關(guān)于的方程的兩個相異實數(shù)根，由此可求得，再將轉(zhuǎn)化為結(jié)合韋達定理即可求得的取值范圍.【詳解】因為，所以，又因為函數(shù)存在不相等的兩個“點”和，所以，是關(guān)于的方程的兩個相異實數(shù)根．所以，又，，所以，即，從而，因為，所以，即，所以，因為，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，考查等價轉(zhuǎn)化思想及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，考查邏輯思維與綜合運算能力，屬于難題.10．若關(guān)于x的不等式恒成立，則的最小值是.【答案】【分析】由函數(shù)的定義域進行參變分離可得恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，即可求出的最小值.【詳解】由于，則原不等式可化為，設(shè)，則，當(dāng)時，，遞增；，，遞減，可得在處取得極大值，且為最大值.所以，則a的最小值為.故答案為:.【點睛】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括、運算求解等數(shù)學(xué)能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法.本題的關(guān)鍵是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題.11．某產(chǎn)品的銷售收入（萬元）是產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)，生產(chǎn)成本（萬元）是產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)，已知，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)（千臺）．【答案】6【詳解】分析：由題意得到利潤關(guān)于產(chǎn)量的函數(shù)式，再由導(dǎo)數(shù)求得使利潤最大時的產(chǎn)量．詳解：由題意，利潤y=（x＞0）．y′=36x﹣6x2，由y′=36x﹣6x2=6x（6﹣x）=0，得x=6（x＞0），當(dāng)x∈（0，6）時，y′＞0，當(dāng)x∈（6，+∞）時，y′＜0．∴函數(shù)在（0，6）上為增函數(shù)，在（6，+∞）上為減函數(shù)．則當(dāng)x=6（千臺）時，y有最大值為144（萬元）．故答案為：6．點睛：解決函數(shù)模型應(yīng)用的解答題，還有以下幾點容易造成失分：①讀不懂實際背景，不能將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型．②對涉及的相關(guān)公式，記憶錯誤．③在求解的過程中計算錯誤.另外需要熟練掌握求解方程、不等式、函數(shù)最值的方法，才能快速正確地求解．含有絕對值的問題突破口在于分段去絕對值，分段后在各段討論最值的情況.12．（2023·遼寧·新民市第一高級中學(xué)校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍為．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，等價于，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求出最小值，即可求出的值.【詳解】等價于，令，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以故轉(zhuǎn)化為，即令，，則，則，故的取值范圍為．故答案為：【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，處理問題的關(guān)鍵是通過不等式的形式構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，再結(jié)合常變量分離法，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進行求解是解題的關(guān)鍵.四、解答題13．函數(shù)．（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：(為自然對數(shù)的底數(shù))．【答案】（1）答案見解析．（2）答案見解析【解析】（1）求導(dǎo)得，根據(jù)、分類討論，求出與的解集即可得解；（2）令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得在時取得極小值，即為最小值，可得，即可得證.【詳解】（1）的定義域為，，①當(dāng)時，，在單調(diào)遞增．②當(dāng)時，時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時在單調(diào)遞增；當(dāng)時，時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增．（2），，即，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在時取得極小值，即為最小值，所以.令，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在時取得極小值，即為最小值．所以即，所以恒成立．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和證明不等式，考查了換元法的應(yīng)用，屬于中檔題.14．已知函數(shù).（1）時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，.【答案】（1）函數(shù)在上遞減，在上遞增；（2）見解析【分析】（1）時，對求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號求出對應(yīng)得范圍，即可求出答案；（2）由（1）可知，問