河南省開封市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省開封市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“，”的否定是（）A， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命題“，”的否定是，，故選：C.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題設(shè)，則或，由，顯然有、、、，所以A、B、D錯(cuò)，C對(duì).故選：C.3.已知是函數(shù)的零點(diǎn)，且，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在為增函數(shù)，因?yàn)?，，，則，由零點(diǎn)存在定理可得，又因?yàn)?，，?故選：B.4.已知，是第三象限角，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，則，而，且是第三象限角，則，所以.故選：A.5.設(shè)、，則的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若，不妨取，，則，故“”“”，A不滿足要求；對(duì)于B選項(xiàng)，若，且函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，故“”“”，所以，是的一個(gè)充要條件，B不滿足要求；對(duì)于C選項(xiàng)，由可得，則，且，則，由不等式的基本性質(zhì)可得，故，則，則有或，所以，“”“”，C不滿足要求；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，且函?shù)為增函數(shù)，故，可得，所以，“”“”，且“”“”，所以，“”是“”的一個(gè)充分不必要條件，D滿足要求.故選：D.6.已知是第一象限角，則下列正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，∴，所以則角的終邊在一、二象限或y軸非負(fù)半軸上，，A不正確；，B不正確；由，角的終邊在第一象限或第三象限，所以

，D正確；角的終邊在第三象限時(shí)，，C不正確；故選：D.7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，（）A. B.C. D.【答案】A【解析】若，則，故，由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則.故選：A.8.已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最大值為2B.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.直線與函數(shù)的圖象所有公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為【答案】D【解析】，由，則，當(dāng)，即時(shí)，取最大值為3，A錯(cuò)；由正弦函數(shù)的單調(diào)性，知和，即和時(shí)，單調(diào)遞增，B錯(cuò)；，但不關(guān)于對(duì)稱，C錯(cuò)；令，則，又，所以或或，即或或，故所有公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，D對(duì).故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.集合A，B與對(duì)應(yīng)關(guān)系f如圖所示，則是從集合A到集合B的函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】選項(xiàng)A：集合A中任何一個(gè)元素在集合B中都有唯一一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的，是函數(shù)，選項(xiàng)B：集合A中存在元素3在集合B中沒有對(duì)應(yīng)的，不是函數(shù)，選項(xiàng)C：集合A中任何一個(gè)元素在集合B中都有唯一一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的，是函數(shù)，選項(xiàng)D：集合A中存在元素5在集合B中有2個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，不是函數(shù).故選：AC.10.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，狄利克雷函數(shù)就以其名命名，該函數(shù)解析式為，則下列關(guān)于函數(shù)的命題中，是真命題的為（）A.為偶函數(shù)B.任意非零有理數(shù)都是的周期C.，D.若，則【答案】ABC【解析】選項(xiàng)A：當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，則也是有理數(shù)，則，當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，則也是無理數(shù)，則，故當(dāng)時(shí)，，故A正確；選項(xiàng)B：，當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，則也是有理數(shù)，，當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，則也是無理數(shù)，，故B正確選項(xiàng)C：當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，，，當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，，，故C正確；選項(xiàng)D：若，，則，但，故D錯(cuò)誤，故選：ABC.11.如圖，已知直線，與函數(shù)，的圖象分別交于，，，四點(diǎn)，且為平行四邊形，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，在圖象下方，所以在圖象上，在圖象上，所以，，，又因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，即，即，又因?yàn)椋裕?故A正確，B錯(cuò)誤.由均值不等式，化簡可得，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由于，故，D正確，C錯(cuò)誤.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且無限接近直線但又不與該直線相交，則________．【答案】1【解析】因?yàn)楹瘮?shù)無限接近直線但又不與該直線相交，所以，又函數(shù)圖象過原點(diǎn)，所以.所以.所以.故答案為：1.13.設(shè)，為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合，若，，則集合的子集的個(gè)數(shù)為________．【答案】32【解析】因?yàn)槎x集合，且，，又，所以集合A中的元素分別為1，2，3，4，5共5個(gè)，則集合的子集的個(gè)數(shù)為.故答案為：32.14.設(shè)，表示不超過的最大整數(shù)，例如：．．若存在實(shí)數(shù)，使得，，，同時(shí)成立，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】由，得；由，得，則；由，得，則；由，得，則，而，，所以的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.求滿足下列條件的各式的值：（1）若，，求的值；（2）若，求的值．解：（1）由，，得，所以.（2）由，得，所以.16.某公司生產(chǎn)某種儀器的固定成本為4000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入500元，已知總收入（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量（單位：臺(tái)，，）滿足函數(shù)：，利潤是總收入與總成本之差．（1）將利潤（單位：元）表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？解：（1）利潤是總收入與總成本之差，所以．（2），所以當(dāng)或時(shí)，公司獲得最大利潤為74120元．17.如圖，以軸的非負(fù)半軸為始邊的角，的終邊分別交圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)）于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，已知扇形的弧長與面積的數(shù)值都是．（1）求圓心角的弧度數(shù)；（2）若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．解：（1）記圓的半徑為，扇形的弧長與面積分別為，，則由得，由得，所以圓心角的弧度數(shù)為．（2）由題意，所以，，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)．18.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，．?）借助，證明：函數(shù)總能表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和；（2）設(shè)函數(shù)．（i）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并根據(jù)定義進(jìn)行證明；（ii）求不等式的解集．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)，的定義域也為，由，，得，函數(shù)為偶函數(shù)，由，，得，函數(shù)為奇函數(shù)，又，所以函數(shù)總能表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和.（2）（i）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，且，，由，知，則，，，因此，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.（ii）因?yàn)闉榕己瘮?shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不等式等價(jià)于，即，解之得，所以不等式的解集為.19.如圖，正方形的邊長為1，，分別為邊，上的點(diǎn)（，不與點(diǎn)重合），已知．（1）求證：的周長為定值，并求出該定值；（2）求面積的最小值．（1）證明：法一：設(shè)，，，，則，，因?yàn)?，所以，變形得①，的周長為②，將①變形得代入②，所