河南省濮陽(yáng)市2025屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省濮陽(yáng)市2025屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，得，得，由，得或，得，所以.故選：A.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，所以，，故選：D.3.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，圓是圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓，拋物線的準(zhǔn)線方程為，由于拋物線的準(zhǔn)線方程與圓相切，則，解得.故選：B.4.我國(guó)古代《洛書(shū)》中記載著一種三階幻方：將九個(gè)數(shù)字填入一個(gè)的正方形方格，滿足每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和相同（如圖）．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，現(xiàn)將該數(shù)列的前項(xiàng)填入一個(gè)的正方形方格，使其滿足四階幻方，則此四階幻方中每一行的數(shù)字之和為（）A.60 B.72 C.76 D.80【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，四階幻方所有數(shù)字之和為，由于每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等，所以每行的數(shù)字之和為.故選：C.5.在中，，，且的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)中角所對(duì)的邊分別為，因?yàn)?，所以由正弦定理可得，又解得，所以由余弦定理可得，因?yàn)椋?，故選：D.6.已知橢圓的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，過(guò)且與軸垂直的直線與直線交于點(diǎn)，若直線的斜率小于為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線的斜率與直線的斜率之比值的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知得，直線的方程為，設(shè)橢圓的焦距為，由題意設(shè)點(diǎn)，則，即，所以，又，所以，即，設(shè)直線的斜率與直線的斜率之比值為，則，又，所以．故選:D.7.截交線，是平面與空間形體表面的交線，它是畫(huà)法幾何研究的內(nèi)容之一.當(dāng)空間形體表面是曲面時(shí)，截交線是一條平面曲線；當(dāng)空間形體表面由若干個(gè)平面組成時(shí)，截交線是一個(gè)多邊形.已知正三棱錐，滿足，點(diǎn)在內(nèi)部（含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)的軌跡與這個(gè)正三棱錐的截交線長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知，正三棱錐，滿足，可得平面，得底面正的邊長(zhǎng)為，設(shè)正的中心為，由，即，得，又，點(diǎn)在內(nèi)部（含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，所以點(diǎn)的軌跡是以為球心，半徑為的球面與內(nèi)部（含邊界）包含的平面相交所得的弧，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部（含邊界）的弧，如圖，作于，圓與交點(diǎn)為，則，，所以，則，所以，則點(diǎn)的軌跡在內(nèi)部（含邊界）的弧所對(duì)的圓心角為，則弧長(zhǎng)為，即點(diǎn)的軌跡與這個(gè)正三棱錐的截交線長(zhǎng)度為.故選：A.8.表示大于或者等于的最小整數(shù)，表示小于或者等于的最大整數(shù)．已知函數(shù)，且滿足：對(duì)有，則的可能取值是（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】由得在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，要遞減，且，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，不合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，不合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，符合題意，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，不合題意，故D錯(cuò)誤；故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的有（）A.若隨機(jī)變量滿足，則B.若隨機(jī)變量，且，則C.若樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)，則用最小二乘估計(jì)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過(guò)該組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)D.根據(jù)分類變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷X與Y有關(guān)且犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05【答案】BCD【解析】對(duì)A，由方差的性質(zhì)可知，若隨機(jī)變量滿足，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，根據(jù)正態(tài)分布的圖象對(duì)稱性可得，故B正確；對(duì)C，根據(jù)回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)可知C正確；對(duì)D，由可知判斷X與Y有關(guān)且犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05，故D正確故選：BCD.10.已知，且，則（）A. B.C. D.若，則【答案】ACD【解析】因?yàn)椋O(shè)對(duì)A，知，易知.選項(xiàng)A正確.對(duì)C，因?yàn)椋?，所以，，，于是，選項(xiàng)C正確.對(duì)D，若，則，即，則.由知.選項(xiàng)D正確.對(duì)B，取，則，由知，知，所以，即，，此時(shí)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：ACD.11.若函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，且存在常數(shù)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，則稱為“學(xué)步”函數(shù)．下列命題正確的是（）A.是“學(xué)步”函數(shù)B.（為非零常數(shù)）為“學(xué)步”函數(shù)的充要條件是C.若是“學(xué)步”函數(shù)，且時(shí)，，則時(shí)，D.若是的“學(xué)步”函數(shù)，則在上至少有1012個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【解析】對(duì)于A，是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，且，不存在，使得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)（為非零常數(shù)）是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則，解得：，故函數(shù)（為非零常數(shù)）為“學(xué)步”函數(shù)的充要條件是，故B正確；對(duì)于C，若是的“學(xué)步”函數(shù)，則，即，因?yàn)闀r(shí)，，當(dāng)，，，又因?yàn)?，即，即，所以，故C正確；對(duì)于D，由題意得：，令得：，所以與異號(hào)，即，由零點(diǎn)存在性定理得：在上至少存在一個(gè)零點(diǎn)，同理可得：在區(qū)間上均至少有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上至少有1012個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.向量在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則以向量為鄰邊的平行四邊形的面積是_________.【答案】3【解析】根據(jù)題意，將兩個(gè)向量平移至相同的起點(diǎn)，以起點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系如下所示：則，故.又兩向量的夾角為銳角，故，則該平行四邊形的面積為.故答案為：3.13.橢球面鏡具有改變光路的方向、使光束會(huì)聚的作用，它經(jīng)常被用來(lái)制作精密的光學(xué)儀器的部件．橢球面鏡是以橢圓的長(zhǎng)軸為旋轉(zhuǎn)軸，把橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)形成的立體圖形，其內(nèi)表面全部做成反射面，中空，橢球面鏡可以將從某個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線全部反射到另一個(gè)焦點(diǎn)處．從橢球面鏡的焦點(diǎn)射出的兩條光線，經(jīng)橢球面鏡上的兩點(diǎn)反射后匯聚于焦點(diǎn)，若，且，則橢球面鏡的軸截面橢圓的離心率為_(kāi)_____．【答案】或【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，短軸長(zhǎng)為，則，由橢圓的定義得，所以，因?yàn)?，所以，又，所以為橢圓的短軸端點(diǎn)．設(shè)為橢圓的中心，因?yàn)?，所以，又在Rt中，，所以，所以，故答案為：.14.用一張紙圍繞半徑為的石膏圓柱體包裹若干圈，然后用裁紙刀將圓柱體切為兩段，如圖①所示設(shè)圓柱體母線與截面的夾角為，如圖②將其中一段圓柱體外包裹的紙展開(kāi)鋪平，如果忽略紙的厚度造成的誤差，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)剪裁邊緣形成的曲線是正弦型曲線，如圖③建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，這條曲線的解析式可設(shè)為若的最小正周期為，則__________此時(shí)，若再有，則__________．【答案】1【解析】因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，若，則的最大值是，最小值是，則切口的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的豎直方向的距離為，所以，是銳角，所以．故答案為；.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種被稱為“曲池”的幾何體.該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.在如圖所示的“曲池”中，平面，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，，，為弧的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接，，因?yàn)闉榛〉闹悬c(diǎn)，則，為正三角形，于是，因?yàn)槠矫?，，則有平面，又平面，于是，而，平面，因此平面，又平面，所以．（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．16.假設(shè)在數(shù)字通信中傳送信號(hào)0與1的概率為0.8和0.2.由于隨機(jī)干擾，當(dāng)傳送信號(hào)0時(shí)，接收到信號(hào)為0的概率為0.8，當(dāng)傳送信號(hào)1時(shí)，接收到信號(hào)為1的概率為0.9.求：（1）當(dāng)接收到信號(hào)0時(shí)，傳送的信號(hào)是0的概率；（2）在信息傳送過(guò)程中，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)人接收到信息后，將信息發(fā)送給第二個(gè)人，這樣依次傳遞下去，在n次傳遞中，0出現(xiàn)的次數(shù)為，求.解：（1）記“傳送信號(hào)0”，“傳送信號(hào)1”，“接收信號(hào)0”.可知，，，，由貝葉斯公式得所求的概率為：，即當(dāng)接收到信號(hào)0時(shí)，傳送的信號(hào)是0的概率為.（2）在一次傳送中，接收到0的概率為，每次傳送都有相同的傳送概率和接收概率，則有，所以.17.已知橢圓C：離心率為，橢圓C的動(dòng)弦過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，當(dāng)垂直x軸時(shí)，橢圓C在A，B處的兩條切線的交點(diǎn)為M．（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（2）若直線的斜率為，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線l，點(diǎn)N為l上一點(diǎn)，且點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，證明：為定值．（1）解：，解得，所以橢圓方程，又，所以右焦點(diǎn)，當(dāng)垂直x軸時(shí)，不妨設(shè)，根據(jù)對(duì)稱性可知點(diǎn)在軸上，且直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得：，則，化簡(jiǎn)得，解得，所以直線的方程為，令，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）證明：如圖，由題意可得直線的方程為，即，設(shè)，由題可知，所以，故直線與垂直，聯(lián)立，消去得：，則，，所以.同理，，所以，故為定值.18.隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代來(lái)臨，數(shù)據(jù)傳輸安全問(wèn)題引起了人們的高度關(guān)注，國(guó)際上常用的數(shù)據(jù)加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密鑰長(zhǎng)度也不同，其中RSA的密鑰長(zhǎng)度較長(zhǎng)，用于傳輸敏感數(shù)據(jù).在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用.設(shè)p，q是兩個(gè)正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱p，q互素.對(duì)于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過(guò)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為.（1）試求，的值；（2）設(shè)p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，試用p，k表示（），并探究與和的關(guān)系；（3）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），求該數(shù)列的前m項(xiàng)的和.解：（1）易得，不超過(guò)9且與9互素的正整數(shù)有1，2，4，5，7，8，則，不超過(guò)7且與7互素的正整數(shù)有1，2，3，4，5，6，則，不超過(guò)21且與21互素的正整數(shù)有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，則，所以，.（2）在不大于的正整數(shù)中，只有p的倍數(shù)不與互素，而p的倍數(shù)有個(gè)，因此.由p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，得，，在不超過(guò)的正整數(shù)中，p的倍數(shù)有個(gè)，q的倍數(shù)有個(gè)，于是，所以.（3）根據(jù)（2）得，所以，，兩式相減，得，所以，故.19.已知函數(shù).（1）函數(shù)與的圖象關(guān)于對(duì)稱