2022年廣東省深圳市九年級(jí)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（解析版）

2021-2022學(xué)年度第二學(xué)期初三模擬測試數(shù)學(xué)試卷（說明：本試卷考試時(shí)間為90分鐘，滿分為100分）第一部分選擇題一、選擇題（每小題3分，共30分）1.的相反數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用相反數(shù)的定義得出答案．【詳解】解：?18的相反數(shù)是：18．

故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相反數(shù)，正確把握相反數(shù)定義是解題關(guān)鍵．2.下列宣傳圖案中，既中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A.戴口罩講衛(wèi)生 B.少出門少聚集C.有癥狀早就醫(yī) D.勤洗手勤通風(fēng)【答案】C【解析】【詳解】解：A．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D．既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形，把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．3.《長津湖之水門橋》以39.06億元的票房創(chuàng)造中國電影票房的新高，將39.06億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）.A.39.06×109 B.3.906×109 C.390.6×1010 D.0.3906×108【答案】B【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是非負(fù)數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【詳解】解：39.06億=3906000000=3.906×109．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4.下列計(jì)算正確的是（）A.a2+a3＝a5 B.2a3b÷b＝2a3C.（2a2）4＝8a8 D.（﹣a﹣b）2＝a2﹣b2【答案】B【解析】【分析】由題意分別依據(jù)合并同類項(xiàng)原則、整式的除法、冪的運(yùn)算以及乘法公式進(jìn)行計(jì)算判斷即可.【詳解】解：A、a2與a3不是同類項(xiàng)，故A不符合題意．B、原式＝2a3，故B符合題意．C、原式＝16a8，故C不符合題意．D、原式＝a2+2ab+b2，故D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查整式的乘除運(yùn)算，熟練掌握合并同類項(xiàng)原則、整式的除法、冪的運(yùn)算以及乘法公式是解題的關(guān)鍵.5.如圖，OC是∠AOB的角平分線，l//OB，若∠1=52°，則∠2的度數(shù)為（）A.52° B.54° C.64° D.69°【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠AOB=128°，再根據(jù)角平分線的定義得到∠BOC=64°，繼而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】∵l//OB，∴∠1+∠AOB=180°，∴∠AOB=128°，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC=64°，又∵l//OB，∴∠2=∠BOC=64°，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.6.我校一批師生共人參加中考體育測試，現(xiàn)已預(yù)備了座和座的兩種客車共輛，剛好坐滿．設(shè)座客車輛，座客車輛，根據(jù)題意，可以列出方程組()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題目中的已知條件中“兩種客車共輛、師生共人參加中考體育測試”來確定等量關(guān)系并列出方程組即可得解．【詳解】解：根據(jù)題意得．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠從題目中找到兩個(gè)等量關(guān)系并根據(jù)等量關(guān)系列出方程組．7.某村計(jì)劃挖一條引水渠，渠道的橫斷面ABCD是一個(gè)軸對(duì)稱圖形（如圖所示）．若渠底寬BC為2m，渠道深BH為3m，渠壁CD的傾角為，則渠口寬AD為（）A.（）m B.（）mC.（）m D.（）m【答案】D【解析】【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AD交AD于點(diǎn)E，利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)以及三角函數(shù)解直角三角形即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)C作CE⊥AD交AD于點(diǎn)E，如圖，由題可知m，，m，，∴，在中，，∴(m)，(m)．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——坡度坡角問題，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形利用三角函數(shù)求線段的長．8.如圖，△ABC中，AB=2，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，AB1恰好經(jīng)過點(diǎn)C．則陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，由此可得，根據(jù)扇形面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】由旋轉(zhuǎn)得：∠B1AB＝60°，∵，∴＝＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積公式，解決本題的的關(guān)鍵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出陰影部分的面積等于扇形的面積．9.如圖①，已知Rt△ABC斜邊BC和正方形DEFG的邊DE都在直線l上（BC＜DE），且點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，△ABC沿直線l向右勻速平移，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，△ABC停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)DG被△ABC截得的線段長y與△ABC平移的距離x之間的函數(shù)圖像如圖②，則當(dāng)x＝3時(shí)，△ABC和正方形DEFG重合部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，由圖形可知，當(dāng)點(diǎn)H和點(diǎn)D重合時(shí)，DG被截得的線段長最長，即CH=1；當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)D重合時(shí)，BC=4，由此可解△ABC；畫出當(dāng)x=3時(shí)的圖形，利用相似可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖①，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∴∠AHB=∠AHC=∠BAC=，∴∠ABH+∠BAH=∠BAH+∠HAC=，∴∠ABH=∠HAC，∴△ABH∽△CAH，∴AH：HC=BH：AH，結(jié)合圖①可知，當(dāng)點(diǎn)H和點(diǎn)D重合時(shí)，DG被截得的線段長最長，即CH=1；當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)D重合時(shí)，由函數(shù)圖像可得：BC=4，∴BH=3，∴AH：1=3：AH，即（負(fù)值舍去），當(dāng)x=3時(shí)，，如圖②，∴設(shè)與DG的交點(diǎn)為M，由，則，∴，∴1：3=MD：，即，∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)圖象問題，涉及相似三角形的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是得出BC和DM的長．10.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C、D重合），以CE為邊向右作正方形CEFG，連接AF，點(diǎn)H是AF的中點(diǎn)，連接DH、CH．下列結(jié)論：①△ADH≌△CDH；②AF平分∠DFE；③若BC＝4，CG＝3，則AF＝5；④若，則．其中正確的有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】A【解析】【分析】連接，，利用已知條件可以判定為直角三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得，利用邊邊邊公理即可判定，說明①的結(jié)論正確；假定②成立，則必須，利用點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），可知②不一定成立；延長交于點(diǎn)，利用勾股定理求出的長度即可判定③不正確；利用同高的三角形的面積比等于它們底的比，計(jì)算出，從而判定④的結(jié)論不正確．【詳解】解：連接，，如圖，四邊形和四邊形為正方形，，．．是的中點(diǎn)，．在和中，，．①的結(jié)論正確；，，若平分，則必須，即需要，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），與不一定相等，不一定成立，平分不一定成立，②的結(jié)論不正確；延長交于點(diǎn)，如圖，則，，，，，，．③的結(jié)論錯(cuò)誤；，．．，．．④的結(jié)論錯(cuò)誤．綜上所述，只有①的結(jié)論正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形是判定與性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線長性質(zhì)，勾股定理，同高三角形的面積比等于底的比，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是利用已知條件及相關(guān)的定理與性質(zhì)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷．二、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）11.因式分解：a3－a=______．【答案】a（a－1）（a+1）【解析】【分析】先提取公因式a，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解．【詳解】解：a3-a=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）故答案為：a（a－1）（a+1）．【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法和公式法，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．12.甲、乙，丙3名志愿者報(bào)名參加核酸檢測工作，隨機(jī)抽取2名志愿者，則甲在其中的概率是_____．【答案】【解析】【分析】畫樹狀圖展示所有6種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出甲在其中的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：畫樹狀圖為：

共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲在其中的結(jié)果數(shù)為4，所以甲在其中的概率=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．13.如圖，在等腰中，，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，以大于的長為半徑作圓，相交于點(diǎn)和點(diǎn)；②作直線交于點(diǎn)若，則______．【答案】【解析】【分析】由作法得垂直平分，交于點(diǎn)，如圖，則，DE⊥BC，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，所以，△BDE為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得出．【詳解】解：由作法得垂直平分，交于點(diǎn)，如圖，，，為等腰直角三角形，，，，為等腰直角三角形，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的垂直平分線的作圖和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OBCD的邊OB在x軸負(fù)半軸上．反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過菱形對(duì)角線的交點(diǎn)A，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，4），則k等于_____．【答案】-8【解析】【分析】利用勾股定理求得菱形的邊長為5，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后代入反比例函數(shù)解析式即可得到k的值．【詳解】解：∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，4），∴OD＝＝5，∵四邊形OBCD是菱形，∴OB＝OD＝5，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（﹣5，0），∵A是BD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（﹣4，2），∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，∴k＝xy＝﹣4×2＝﹣8，故答案為：﹣8．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出點(diǎn)A坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，且AE=BE，連接DE，若AB=CD=CE=2，則tan∠DEC=_____．【答案】3【解析】【分析】作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)交于點(diǎn)，先證明四邊形是平行四邊形，得，再證明，由，求得，再根據(jù)，求出、的長，進(jìn)而求出、的長，即可求出的值．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)交于點(diǎn)，，∴DH//AB，∴AD//BC，四邊形是平行四邊形，，，，設(shè)，，，，，，，，，，∵GH//BE，，，，，，，，，故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、解直角三角形等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．三．解答題（本題共7小題，其中第16小題6分，第17小題6分，第18小題8分，第19、20小題8分，第21小題10分，第22小題9分，共55分）16.先化簡，再求值：，其中x＝．【答案】，【解析】【分析】先把括號(hào)內(nèi)通分和除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，再約分得到原式＝，然后把x的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值和二次根式的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式和二次根式的運(yùn)算方法．17.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，△ABO的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）（1）畫出△ABO關(guān)于x軸對(duì)稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）畫出△ABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）【答案】（1）圖見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣3）；（2）圖見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1）；（3）【解析】【分析】（1）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)分別作出A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，順次連接可得，然后根據(jù)所作圖形寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別作出A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，順次連接可得，然后根據(jù)所作圖形寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．（3）利用弧長公式計(jì)算即可．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求，點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣3）；【小問2詳解】解：如圖所示，即為所求，點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1）；【小問3詳解】∵，∴點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為：．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—旋轉(zhuǎn)變換，軸對(duì)稱變換，弧長公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換，軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，屬于中考常考題型．18.為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某中學(xué)開展“學(xué)史明理、學(xué)史增信、學(xué)史崇德、學(xué)史力行”知識(shí)競賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績分成A、B、C、D、E五個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查中共抽取________學(xué)生；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求B等級(jí)所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；（4）若該校有1200名學(xué)生參加此次競賽，估計(jì)這次競賽成績?yōu)锳和B等級(jí)的學(xué)生共有多少名？【答案】（1）100；（2）圖見詳解；（3）144°；（4）這次競賽成績?yōu)锳和B等級(jí)的學(xué)生共有792名．【解析】【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖及題意可直接進(jìn)行求解；（2）由（1）及統(tǒng)計(jì)圖可得C等級(jí)的人數(shù)為20名，然后可求出B等級(jí)的人數(shù)，進(jìn)而問題可求解；（3）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；（4）由（2）可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）由題意得：26÷26％=100（名），故答案為100；（2）由題意得：C等級(jí)的人數(shù)為100×20％=20（名），B等級(jí)的人數(shù)為100-26-20-10-4=40（名），則補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：（3）由（2）可得：；答：B等級(jí)所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為144°．（4）由（2）及題意得：（名）；答：這次競賽成績?yōu)锳和B等級(jí)的學(xué)生共有792名．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形統(tǒng)計(jì)及條形統(tǒng)計(jì)圖，熟練掌握扇形統(tǒng)計(jì)及條形統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．19.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝，點(diǎn)O在AC上，以O(shè)A為半徑的半圓O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作半圓O的切線DF，交BC于點(diǎn)F．（1）求證：BF＝DF；（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圓O的半徑長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接OD，由切線性質(zhì)得∠ODF=，進(jìn)而證明∠BDF+∠A=∠A+∠B=，得∠B=∠BDF，便可得BF=DF；（2）設(shè)半徑為r，連接OD，OF，則OC=4-r，求得DF，再由勾股定理，利用OF為中間變量列出r的方程便可求得結(jié)果．【小問1詳解】解：（1）連接OD，如圖1，∵過點(diǎn)D作半圓O的切線DF，交BC于點(diǎn)F，∴∠ODF=，∴∠ADO+∠BDF=，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠OAD+∠BDF=，∵∠C=，∴∠OAD+∠B=，∴∠B=∠BDF，∴BF=DF；【小問2詳解】連接OF，OD，如圖2，設(shè)圓的半徑為r，則OD=OE=r，∵AC=4，BC=3，CF=1，∴OC=4-r，DF=BF=3-1=2，∵∴∴．故圓的半徑為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，已知切線，往往連接半徑為輔助線，第（2）題關(guān)鍵是由勾股定理列出方程．20.為支持國家南水北調(diào)工程建設(shè)，小王家由原來養(yǎng)殖戶變?yōu)榉N植戶，經(jīng)市場調(diào)查得知，當(dāng)種植櫻桃的面積x不超過15畝時(shí)，每畝可獲得利潤y＝1900元；超過15畝時(shí)，每畝獲得利潤y（元）與種植面積x（畝）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）請(qǐng)求出種植櫻桃的面積超過15畝時(shí)每畝獲得利潤y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果小王家計(jì)劃承包荒山種植櫻桃，受條件限制種植櫻桃面積x不超過50畝，設(shè)小王家種植x畝櫻桃所獲得的總利潤為W元，求小王家承包多少畝荒山獲得的總利潤最大，并求出總利潤W的最大值．【答案】（1）（2）小王家承包50畝荒山獲得的總利潤最大，且總利潤W的最大值為60000元．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)y＝kx＋b，如何待定系數(shù)法求解可得；（2）根據(jù)總利潤＝每畝利潤×畝數(shù)，分0＜x≤15和15＜x≤50兩種情況分別求解可得．【小問1詳解】解：設(shè)y＝kx＋b，將x＝15、y＝1900和x＝35、y＝1500代入得：，解得：，∴y＝?20x＋2200．【小問2詳解】當(dāng)0＜x≤15時(shí)，W＝1900x，∴當(dāng)x＝15時(shí)，W最大＝28500元；當(dāng)15＜x≤50時(shí)，W＝（?20x＋2200）x＝?20x2＋2200x＝?20（x?55）2＋60500，∵15＜x≤50，∴當(dāng)x＝50時(shí)，W最大＝60000元；綜上所述，小王家承包50畝荒山獲得總利潤最大，且總利潤W的最大值為60000元．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法和由題意依據(jù)相等關(guān)系列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．21.（1）[閱讀與證明]如圖1，在正△ABC的外角∠CAH內(nèi)引射線AM，作點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在∠CAH內(nèi)），連接BE，BE、CE分別交AM于點(diǎn)F、G．①完成證明：∵點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，∴AE＝AB，得∠3＝∠4．在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝°．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝°．②求證：BF＝AF+2FG．（2）[類比與探究]把（1）中的“正△ABC”改為“正方形ABDC”，其余條件不變，如圖2．類比探究，可得：①∠FEG＝°；②線段BF、AF、FG之間存在數(shù)量關(guān)系．（3）[歸納與拓展]如圖3，點(diǎn)A在射線BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH內(nèi)引射線AM，作點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在∠CAH內(nèi)），連接BE，BE、CE分別交AM于點(diǎn)F、G．則線段BF、AF、GF之間的數(shù)量關(guān)系為．【答案】（1）①60，30；②見解析；（2）①45；②BFAFFG．（3）【解析】【分析】（1）①利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理解決問題即可．②如圖1中，連接CF，在FB上取一點(diǎn)T，使得FT=CF，連接CT．證明△BCT≌△ACF（SAS）可得結(jié)論．（2）①如圖2中，利用圓周角定理解決問題即可．②結(jié)論：BF=AF+FG．如圖2中，連接CF，在FB上取一點(diǎn)T，使得FT=CF，連接CT．證明△BCT∽△ACF，推出，推出BT=AF可得結(jié)論．（3）如圖3中，連接CF，BC，在BF上取一點(diǎn)T，使得FT=CF．構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】（1）①解：如圖1中，∵點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)，∴∠AGE=90°，AE=AC，∠1=∠2．∵正△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，∴AE=AB，得∠3=∠4．△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=60°．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1=90°，∴∠FEG=30°．故答案為：60，30．②證明：如圖1中，連接CF，在FB上取一點(diǎn)T，使得FT=CF，連接CT．∵C，E關(guān)于AM對(duì)稱，∴AM垂直平分線段EC，∴FE=FC，∴∠FEC=∠FCE=30°，EF=2FG，∴∠CFT=∠FEC+∠FCE=60°．∵FC=FT，∴△CFT是等邊三角形，∴∠ACB=∠FCT=60°，CF=CT=FT，∴∠BCT=∠ACF．∵CB=CA，∴△BCT≌△ACF（SAS），∴BT=AF，∴BF=BT+FT=AF+EF=AF+2FG．（2）①如圖2中，∵AB=AC=AE，∴點(diǎn)A是△ECB的外接圓的圓心，∴∠BEC∠BAC．∵∠BAC=90°，∴∠FEG=45°．故答案為：45．②結(jié)論：BFAFFG．理由：如圖2中，連接CF，在FB上取一點(diǎn)T，使得FT=CF，連接CT．∵AM⊥EC，CG=CE，∴FC=EF，∴∠FEC=∠FCE=45°，EFFG，∴∠CFT=∠FEC+∠FCE=90°．∵CF=CT，∴△CFT是等腰直角三角形，∴CTCF．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BCAC，∴，∵∠BCA=∠TCF=45°，∴∠BCT=∠ACF，∴△BCT∽△ACF，∴，∴BTAF，∴BF=BT+TFAFFG．（3）如圖3中，連接CF，BC，在BF上取一點(diǎn)T，使得FT=CF．∵AB=AC，∠BAC=α，∴sinα，∴2?sinα．∵AB=AC=AE，∴∠BEC∠BACα，，∵FC=FE，∴∠FEC=∠FCEα，∴∠CFT=∠FEC+∠FCE=α，同法可證，△BCT∽△ACF，∴2?sinα，∴BT=2AF?sinα，∴BF=BT+FT=2AF