高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第九講 立體幾何初步三大考向（原卷版）

第九講立體幾何初步（三大考向)一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計1.高考對立體幾何初步的考查，重點是掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特征、解決多面體和球體的相關(guān)計算問題。同時需要關(guān)注異面直線的判定和成角問題、空間點線面的位置關(guān)系問題、夾角距離問題、截面問題。這些問題對考生的空間想象能力要求有所提升，需要考生有強大的邏輯推理能力。柱、錐、臺體的表面積與體積2022·新高考Ⅰ卷，42023·新高考Ⅰ卷，142024·新高考Ⅰ卷，52022·新高考Ⅱ卷，112023·新高考Ⅱ卷，92023·新高考Ⅱ卷，14球的切接問題2022·新高考Ⅰ卷，82023·新高考Ⅰ卷，122022·新高考Ⅱ卷，7夾角問題2022·新高考Ⅰ卷，92024·新高考Ⅱ卷，7二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查了圓柱、圓錐表面積、體積的綜合應(yīng)用，Ⅱ卷考查了以棱臺為背景的線面角的求法，總的來說，基本立體圖形的表面積和體積屬于常考點，難度一般是較易和適中，掌握基本的公式和提升計算能力比較重要。預(yù)計2025年高考還是主要考查基本立體圖形的表面積和體積，可以多多關(guān)注臺體的表面積和體積計算。三：試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅰ卷·5）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．2．（2024新高考Ⅱ卷·7）已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3高考真題練一、單選題1．（2022新高考Ⅰ卷·4）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．2．（2022新高考Ⅰ卷·8）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022新高考Ⅱ卷·7）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2022新高考Ⅰ卷·9）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為5．（2023新高考Ⅰ卷·12）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體6．（2022新高考Ⅱ卷·11）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．7．（2023新高考Ⅱ卷·9）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為

三、填空題8．（2023新高考Ⅰ卷·14）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為．9．（2023新高考Ⅱ卷·14）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為．知識點總結(jié)一、棱柱、棱錐、棱臺1、棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；（6）長方體：底面是矩形的直平行六面體；（7）正方體：棱長都相等的長方體．2、棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心；（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐．3、棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺．簡單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示．二、圓柱、圓錐、圓臺、球、組合體1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱．2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐．3、圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺．4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球（球面距離：經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長度）．5、由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體．三、表面積與體積計算公式1、表面積公式表面積柱體為直截面周長錐體臺體球2、體積公式體積柱體錐體臺體球四、空間幾何體的直觀圖1、斜二測畫法斜二測畫法的主要步驟如下：（1）建立直角坐標(biāo)系．在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的，，建立直角坐標(biāo)系．（2）畫出斜坐標(biāo)系．在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于，，使（或），它們確定的平面表示水平平面．（3）畫出對應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸的線段，且長度保持不變；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话悖珊喕癁椤皺M不變，縱減半”．（4）擦去輔助線．圖畫好后，要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）．被擋住的棱畫虛線．注：直觀圖和平面圖形的面積比為．五、四個基本事實基本事實1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點在面內(nèi)的方法基本事實2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．注意：（1）此公理是確定一個平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點共面的依據(jù)推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據(jù)（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點共線、三線共點）（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．六、直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面圖形符號a∥b公共點個數(shù)100特征兩條相交直線確定一個平面兩條平行直線確定一個平面兩條異面直線不同在如何一個平面內(nèi)七、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）圖形符號∥公共點個數(shù)無數(shù)個10八、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直圖形符號∥，公共點個數(shù)0無數(shù)個公共點且都在唯一的一條直線上無數(shù)個公共點且都在唯一的一條直線上九、等角定理1、定義：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．十、直線和平面平行1、定義直線與平面沒有公共點，則稱此直線與平面平行，記作∥2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言線∥線線∥面如果平面外的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（簡記為“線線平行線面平行面∥面線∥面如果兩個平面平行，那么在一個平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個平面3、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言線∥面線∥線如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行十一、兩個平面平行1、定義沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面和，若，則∥2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言判定定理線∥面面∥面如果一個平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（簡記為“線面平行面面平行線面面∥面如果兩個平面同垂直于一條直線，那么這兩個平面平行∥3、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言面//面線//面如果兩個平面平行，那么在一個平面中的所有直線都平行于另外一個平面性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行線面平行”）面//面線面如果兩個平面中有一個垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線十二、直線與平面垂直1、直線與平面垂直的定義如果一條直線和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂直．2、判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言判斷定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直面⊥面?線⊥面兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直___a平行與垂直的關(guān)系一條直線與兩平行平面中的一個平面垂直，則該直線與另一個平面也垂直__平行與垂直的關(guān)系兩平行直線中有一條與平面垂直，則另一條直線與該平面也垂直_b_a3、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理垂直于同一平面的兩條直線平行_b_a文字語言圖形語言符號語言垂直與平行的關(guān)系垂直于同一直線的兩個平面平行__線垂直于面的性質(zhì)如果一條直線垂直于一個平面，則該直線與平面內(nèi)所有直線都垂直十三、平面與平面垂直1、平面與平面垂直的定義如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直．（如圖所示，若，且，則）一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．2、判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直__知識點6：性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直___a十四、直線與平面所成的角1、定義①斜線和斜足：如圖，一條直線l與一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足.②斜線在平面上的射影：如圖，過斜線上斜足以外的一點P向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.③斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.2、直線與平面所成的角的范圍①一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是.②一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是.③與平面相交且不垂直于此平面的直線和此平面所成的角的范圍是<.④直線與平面所成的角的取值范圍是.十五、二面角1、二面角的定義①半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.②二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.2、二面角的表示①棱為AB，面分別為，的二面角記作二面角-AB-，如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角-l-，如圖(1).②若在，內(nèi)分別取不在棱上的點P，Q，這個二面角可記作二面角P-AB-Q，如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角P-l-Q，如圖(2).3、二面角的平面角①自然語言在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.②圖形語言③符號語言∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.4、二面角大小的度量①二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.②當(dāng)二面角的兩個半平面重合時，規(guī)定二面角的大小是；當(dāng)二面角的兩個半平面合成一個平面時，規(guī)定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范圍是.名校模擬練一、單選題1．（2024·重慶·三模）若圓錐的母線長為2，且母線與底面所成角為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．2．（2024·河北秦皇島·三模）已知，表示兩條不同的直線，表示平面，則（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．（2024·新疆喀什·三模）已知底面邊長為2的正四棱柱的體積為16，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．（2024·山東濰坊·三模）某同學(xué)在勞動課上做了一個木制陀螺，該陀螺是由兩個底面重合的圓錐組成．已知該陀螺上、下兩圓錐的體積之比為，上圓錐的高與底面半徑相等，則上、下兩圓錐的母線長之比為（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西·三模）黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器．該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足．器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收．黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑，足徑，高，其中底部圓柱高，則黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（

）（附：的值取3，）A． B． C． D．6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）我們把所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，在這兩個平行平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，過高的中點且平行于底面的平面截擬柱體所得的截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為，其中分別是上?下底面的面積，是中截面的面積，為擬柱體的高.一堆形為擬柱體的建筑材料，其兩底面是矩形且對應(yīng)邊平行（如圖），下底面長20米，寬10米，堆高1米，上底的長?寬比下底的長?寬各少2米.現(xiàn)在要徹底運走這堆建筑材料，若用最大裝載量為5噸的卡車裝運，則至少需要運（

）（注：1立方米該建筑材料約重1.5噸）A．51車 B．52車 C．54車 D．56車7．（2024·天津河西·三模）如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，平面將三棱柱分成體積為，兩部分，則（

）A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶58．（2024·新疆·三模）設(shè)四棱臺的上、下底面積分別為，，側(cè)面積為，若一個小球與該四棱臺的每個面都相切，則（

）A． B．C． D．9．（2024·天津北辰·三模）中國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個國家能夠獨立開展載人航天活動.從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬月”到壁畫“仕女飛天”……千百年來，中國人以不同的方式表達(dá)著對未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個容器，其內(nèi)部可以看成由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為6，圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7，則該容器中液體的體積為（

）A． B． C． D．10．（2024·山東泰安·二模）已知四面體的各頂點都在同一球面上，若，平面平面，則該球的表面積是（

）A． B． C． D．11．（2024·天津·二模）在如圖所示的幾何體中，底面是邊長為4的正方形，，，，均與底面垂直，且，點E、F分別為線段、的中點，記該幾何體的體積為，平面將該幾何體分為兩部分，則體積較小的一部分的體積為（

）A． B． C． D．12．（2024·江西鷹潭·三模）在菱形中，，，將沿對角線折起，使點到達(dá)的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題13．（2024·山西·三模）將一個直徑為的鐵球磨制成一個零件，能夠磨制成的零件可以是（

）A．底面直徑為，高為的圓柱體 B．底面直徑為，高為的圓錐體C．底面直徑為，高為的圓錐體 D．各棱長均為的四面體14．（2024·浙江·二模）正方體中，，分別為棱和的中點，則下列說法正確的是（

）A．平面B．平面C．異面直線與所成角為60°D．平面截正方體所得截面為等腰梯形15．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為為的中點，為線段上一動點，則（

）A．異面直線與所成角為B．平面C．平面平面D．三棱錐的體積為定值16．（2024·湖南長沙·三模）已知一圓錐的底面半徑為，該圓錐的母線長為2，A，B為底面圓的一條直徑上的兩個端點，則下列說法正確的是（

）A．其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形B．該圓錐的體積為πC．從A點經(jīng)過圓錐的側(cè)面到達(dá)B點的最短距離為D．過該圓錐的頂點作圓錐的截面，則截面面積的最大值