高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第十五講 橢圓四大考向（原卷版）

第十五講橢圓（四大考向)一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計1.高考對橢圓的考查，重點是（1）橢圓的定義、幾何圖形、標準方程。（2）橢圓的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）。（3）直線和橢圓的位置關(guān)系及綜合應(yīng)用。橢圓的定義和弦長2022·新高考Ⅰ卷，16橢圓的離心率2023·新高考Ⅰ卷，5直線與橢圓的應(yīng)用2022·新高考Ⅱ卷，162023·新高考Ⅱ卷，5橢圓的軌跡方程2024·新高考Ⅱ卷，5二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷橢圓的考查體現(xiàn)在大題中，后續(xù)專題會解讀。Ⅱ卷考查了橢圓的軌跡方程求法，難度較易。橢圓是圓雉曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓定義的運用、橢圓方程的求法以及橢圓的簡單幾何性質(zhì)，尤其是對離心率的求解，更是高考的熱點問題，因方法多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn)。預(yù)計2025年高考還是主要考查橢圓的定義和離心率。三：試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅱ卷·5）已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點M的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）高考真題練一、單選題1．（2023新高考Ⅰ卷·5）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．2．（2023新高考Ⅱ卷·5）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．二、填空題3．（2022新高考Ⅰ卷·16）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是．4．（2022新高考Ⅱ卷·16）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為．知識點總結(jié)一、橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：注意：當時，點的軌跡是線段；當時，點的軌跡不存在．二、橢圓的方程、圖形與性質(zhì)焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程統(tǒng)一方程參數(shù)方程第一定義到兩定點的距離之和等于常數(shù)2，即（）范圍且且頂點、、、、軸長長軸長，短軸長長軸長，短軸長對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點中心對稱焦點、、焦距離心率準線方程點和橢圓的關(guān)系切線方程（為切點）（為切點）對于過橢圓上一點的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得切點弦所在的直線方程焦點三角形面積①，（為短軸的端點）②③焦點三角形中一般要用到的關(guān)系是焦半徑左焦半徑：又焦半徑：上焦半徑：下焦半徑：焦半徑最大值，最小值通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點的弦）弦長公式設(shè)直線與橢圓的兩個交點為，，，則弦長（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）【橢圓常用結(jié)論】1、過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為．①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點．②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點．距離的最大值為，距離的最小值為．2、橢圓的切線①橢圓上一點處的切線方程是；②過橢圓外一點，所引兩條切線的切點弦方程是；③橢圓與直線相切的條件是．名校模擬練一、單選題1．（2024·湖北荊州·三模）已知橢圓C：的一個焦點為，則k的值為（

）A．4 B．8 C．10 D．122．（2024·山東煙臺·三模）若橢圓與橢圓（）的離心率相同，則實數(shù)b的值為（

）A． B． C． D．3．（2024·江西九江·三模）已知橢圓的左右焦點分別為,過且傾斜角為的直線交于第一象限內(nèi)一點.若線段的中點在軸上,的面積為,則的方程為（

）A． B．C． D．4．（2024·河南·三模）已知橢圓的右焦點為，短軸長為，點在橢圓上，若的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（

）A．3 B．4 C．1 D．25．（2024·浙江紹興·三模）已知直線與橢圓C：交于，兩點，以線段為直徑的圓過橢圓的左焦點，若，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．6．（2024·江西鷹潭·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，傾斜角為且過原點的直線交橢圓于兩點.若，設(shè)橢圓的離心率為，則（

）A． B．C． D．7．（2024·天津河西·三模）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（

）A． B． C． D．48．（2024·四川·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上一點，若的內(nèi)心為，連接并延長交軸于點，且，則橢圓的短軸長為（

）A．2 B． C． D．9．（2024·廣東汕頭·三模）已知橢圓：的兩個焦點分別為，，是上任意一點，則下列不正確的是（

）A．的離心率為 B．的最小值為2C．的最大值為16 D．可能存在點，使得10．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知橢圓的左?右焦點分別為，過向圓引切線交橢圓于點為坐標原點，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．11．（2024·浙江·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線l與橢圓相交于A、B兩點，與y軸相交于點C．連接，．若O為坐標原點，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題12．（2024·河南開封·三模）橢圓的焦點為，，上頂點為A，直線與C的另一個交點為B，若，則（

）A．C的焦距為2 B．C的短軸長為C．C的離心率為 D．的周長為813．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知長軸長、短軸長和焦距分別為、和的橢圓，點是橢圓與其長軸的一個交點，點是橢圓與其短軸的一個交點，點和為其焦點，．點在橢圓上，若，則（

）A．，，成等差數(shù)列B．，，成等比數(shù)列C．橢圓的離心率D．的面積不小于的面積14．（2024·河南·三模）已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為．記在處的切線為，平行于OP的直線與交于A，B兩點，則（

）A．C的方程B．直線OP與的斜率之積為-1C．直線OP，l與坐標軸圍成的三角形是等腰三角形D．直線PA，PB與坐標軸圍成的三角形是等腰三角形15．（2024·全國·二模）已知圓O：經(jīng)過橢圓C：（）的兩個焦點，，且P為圓O與橢圓C在第一象限內(nèi)的公共點，且的面積為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓C的長軸長為2 B．橢圓C的短軸長為2C．橢圓C的離心率為 D．點P的坐標為16．（2024·江西南昌·三模）將橢圓上所有的點繞原點旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，則下列說法中正確的是（

）A． B．橢圓的離心率為C．是橢圓的一個焦點 D．17．（2024·江西宜春·三模）設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為，，坐標原點為O．若橢圓C上存在一點P，使得，則下列說法正確的有（

）A． B．C．的面積為2 D．的內(nèi)切圓半徑為三、填空題18．（2024·上?！と＃┮阎獧E圓C的焦點、都在x軸上，P為橢圓C上一點，的周長為6，且，，成等差數(shù)列，則橢圓C的標準方程為．19．（2024·四川攀枝花·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，點在上，且，則橢圓的離心率為．20．（2024·山西·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，若C上存在一點P，使線段的中垂線過點，則C的離心率的最小值是．21．（2024·陜西咸陽·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上任意一點，為曲線上