高考數(shù)學同構(gòu)思想在解析幾何的應(yīng)用（五大題型）（解析版）

特訓14同構(gòu)思想在解析幾何的應(yīng)用（五大題型）數(shù)學中的同構(gòu)式是指除了變量不同，而結(jié)構(gòu)相同的表達式，下面提供其理論基礎(chǔ)：①若實數(shù)a,b分別滿足f(a)=0,f(b)=0,由此a,b可視為方程f(x)=0的兩個根.——雙切線、斜率和(積)為定值時，恒過定點問題的核心思路.②如果A(x1,y?),B(x?,y?)滿足的方程結(jié)構(gòu)相同，則A,B為方程所表示的曲線上的兩點.特別地，若A(x?,y),B(x?,y?)滿足ax1+by1+c=0,ax?+by?+c=0,則直線AB的方程為ax+by+c=0.——切點弦方程推導(dǎo)的核心思路.思維點撥：同構(gòu)思想是數(shù)學中代數(shù)處理的一種重要思想，其關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)代數(shù)式子結(jié)構(gòu)的相似性，對其進行代數(shù)變形的統(tǒng)一構(gòu)造處理.同構(gòu)思想在解析幾何中的應(yīng)用非常廣泛，比如斜率和、斜率積為定值，恒過定點，切點弦，雙切線等問題，使用同構(gòu)思想可以大大簡化運算，實現(xiàn)數(shù)與形的完美結(jié)合.目錄：01定點問題02定值問題03定比分點問題04雙切線問題05切點弦問題01定點問題1．已知橢圓的左、右焦點別為，，離心率為，過點的動直線l交E于A，B兩點，點A在x軸上方，且l不與x軸垂直，的周長為，直線與E交于另一點C，直線與E交于另一點D，點P為橢圓E的下頂點，如圖．(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用橢圓的定義和離心率，求解橢圓方程；（2）設(shè)點Ax1,y1，Bx2,y2，，，【解析】（1）由橢圓定義可知，BF1所以的周長為，所以，又因為橢圓離心率為，所以，所以，又，所以橢圓的方程：．（2）設(shè)點Ax1,y1，B則直線的方程為，則，由得，，所以，因為，所以，所以，故，又，同理，，，由A，，B三點共線，得，所以，直線CD的方程為，由對稱性可知，如果直線CD過定點，則該定點在x軸上，令得，，故直線CD過定點．【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.2．在平面直角坐標系中，拋物線的焦點到準線的距離等于橢圓的短軸長，點在拋物線上，圓（其中）.(1)若為圓上的動點，求線段長度的最小值；(2)設(shè)是拋物線上位于第一象限的一點，過作圓的兩條切線，分別交拋物線于點.證明：直線經(jīng)過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的短軸可得拋物線方程，進而根據(jù)兩點斜率公式，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，即可由二次函數(shù)的性質(zhì)求解，（2）根據(jù)兩點坐標可得直線的直線方程，由直線與圓相切可得是方程的兩個解，即可利用韋達定理代入化簡求解定點.【解析】（1）由題意得橢圓的方程：，所以短半軸所以，所以拋物線的方程是.設(shè)點，則，所以當時，線段長度取最小值.（2）是拋物線上位于第一象限的點，，且.設(shè)，則：直線，即，即.直線，即.由直線與圓相切得，即.同理，由直線與圓相切得.所以是方程的兩個解，.代入方程得，解得直線恒過定點.【點睛】圓錐曲線中定點問題的兩種解法（1）引進參數(shù)法：先引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).技巧：若直線方程為,則直線過定點;若直線方程為(為定值),則直線過定點3．閱讀材料：“到角公式”是解析幾何中的一個術(shù)語，用于解決兩直線對稱的問題.其內(nèi)容為：若將直線繞與的交點逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線第一次重合時所轉(zhuǎn)的角為，則稱為到的角，當直線與不垂直且斜率都存在時，（其中分別為直線和的斜率）.結(jié)合閱讀材料，回答下述問題：已知橢圓的左?右焦點分別為為橢圓上一點，，四邊形的面積為為坐標原點.(1)求橢圓的方程；(2)求的角平分線所在的直線的方程；(3)過點的且斜率存在的直線分別與橢圓交于點（均異于點），若點到直線的距離相等，證明：直線過定點.【答案】(1)(2)(3)直線過定點，證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓過點、四邊形的面積可得答案；（2）求出，設(shè)的角平分線所在的直線的斜率為，根據(jù)到角公式可得答案；（3）設(shè)直線，根據(jù)點到直線的距離相等得，由橢圓方程與直線聯(lián)立求出的坐標，可得直線的斜率，由點斜式求出的方程，根據(jù)方程特點可得答案.【解析】（1）因為四邊形的面積為，解得，可得，即，又為橢圓上一點，所以，得，解得，所以橢圓的方程為；（2）由（1），，設(shè)的角平分線所在的直線的斜率為，則，根據(jù)到角公式可得，化簡得，所以(正值舍去)，此時直線的方程為，即；（3）設(shè)直線的斜率分別為，可得直線，若點到直線的距離相等，則，化簡得，由橢圓方程與方程聯(lián)立可得，所以，可得，所以，所以，同理可得，因為，所以，所以，可得直線的方程為，化簡得，所以，由，解得，可得直線過定點.【點睛】思路點睛：第（3）問解題的思路是由橢圓方程與直線聯(lián)立求出的坐標，利用點斜式求出的方程，根據(jù)方程特點求定點.02定值問題4．如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線的上下焦點分別為，.已知點和都在雙曲線上，其中為雙曲線的離心率.(1)求雙曲線的方程;(2)設(shè)是雙曲線上位于軸右方的兩點，且直線與直線平行，與交于點.(i)若，求直線的斜率；(ii)求證：是定值.【答案】(1)(2)(i)；(ii)【分析】（1）將點的坐標代入雙曲線的方程求解即可；（2）（I）構(gòu)造平行四邊形，求出，然后利用弦長公式求直線的斜率即可；（II）利用三角形相似和雙曲線的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為，然后結(jié)合韋達定理求解即可.【解析】（1）將點和代入雙曲線方程得：，結(jié)合，化簡得：，解得，雙曲線的方程為．（2）(i)設(shè)關(guān)于原點對稱點記為，則．因為，所以，又因為，所以，即，故三點共線．又因為與互相平分，所以四邊形為平行四邊形，故，所以．由題意知，直線斜率一定存在，設(shè)的直線方程為，代入雙曲線方程整理得：，故，直線與雙曲線上支有兩個交點，所以，解得．由弦長公式得，則，且由圖可知，即，代入解得．(ii)因為，由相似三角形得，所以．因為．所以，故為定值．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問(ii)的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達定理即可順利得解.5．已知雙曲線：的離心率為，點在雙曲線上．過的左焦點F作直線交的左支于A、B兩點．(1)求雙曲線的方程．(2)若，試問：是否存在直線l，使得點M在以AB為直徑的圓上？若存在出直線l的方程；若不存在，說明理由．(3)點，直線交直線于點．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析；(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意列式求，進而可得雙曲線方程；（2）設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達定理判斷是否為零即可；（3）用兩點坐標表示出直線，得點坐標，表示出，結(jié)合韋達定理，證明為定值．【解析】（1）由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，可得，解得，所以雙曲線的方程為．（2）雙曲線的左焦點為，當直線的斜率為0時，此時直線為，與雙曲線左支只有一個交點，不符合題意，當直線的斜率不為0時，設(shè)，由，消去得，顯然，，設(shè)Ax1,y1于是，，即，因此與不垂直，所以不存在直線，使得點在以為直徑的圓上．（3）由直線，得，則，又，于是，而，即有，且，所以，即為定值．【點睛】方法點睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；②特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．6．已知拋物線的頂點是橢圓的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合.(1)求拋物線的方程；(2)已知動直線過點，交拋物線于、兩點，坐標原點為中點，①求證：；②是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說明理由.【答案】(1)(2)①證明見解析；②存在，【分析】（1）由題意，設(shè)拋物線方程由，得由此能求出拋物線的方程；（2）①設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，由于為中點，則,故當軸時由拋物線的對稱性知，當不垂直軸時，設(shè)，由，得，由此能夠證明.②設(shè)存在直線滿足題意，則圓心，過作直線的垂線，垂足為，故，由此能夠推出存在直線：滿足題意．【解析】（1）由題意，可設(shè)拋物線方程為．由，可得，拋物線的焦點為1,0，，拋物線的方程為；（2）①設(shè)Ax1,由于為中點且，則，故當軸時，由拋物線的對稱性知，一定有，當不垂直軸時，顯然直線的斜率不為，設(shè)，由，得，，則，則，，所以，則，綜上證知，；②設(shè)存在直線滿足題意，設(shè)圓心，過作直線的垂線，垂足為，圓與直線的一個交點為，，即

，當時，，此時直線被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值，因此存在直線：滿足題意.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.03定比分點問題7．已知拋物線經(jīng)過點，直線與拋物線有兩個不同的交點，直線交軸于，直線交軸于．(1)若直線過點，求直線的斜率的取值范圍；(2)若直線過拋物線的焦點，交軸于點，求的值；(3)若直線過點，設(shè)，求的值．【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）由題意易得直線斜率存在且不為，且直線、斜率存在，設(shè)出直線方程，并聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)交點有兩個，得出，解不等式即可得直線斜率的范圍.（2）設(shè)直線的方程為：聯(lián)立直線與拋物線的方程得出點縱坐標之間的關(guān)系，再由，，得出、與點坐標之間的關(guān)系，對化簡可求得的值.（3）根據(jù)，，得出、與點坐標之間的關(guān)系，再根據(jù)在同一直線上，在同一直線上，得出，與點坐標之間的關(guān)系，根據(jù)（1）中聯(lián)立所得的方程得出點橫坐標之間的關(guān)系，對原式進行化簡，即可得的值.【解析】（1）因為拋物線經(jīng)過點，所以，所以，所以拋物線的解析式為．又因為直線過點，且直線與拋物線有兩個不同的交點．易知直線斜率存在且不為，故可設(shè)直線的方程式為.根據(jù)題意可知直線不能過點，所以直線的斜率.若直線與拋物線的一個交點為，此時該點與點所在的直線斜率不存在，則該直線與軸無交點，與題目條件矛盾，此時，所以直線斜率.聯(lián)立方程，得，因為直線與拋物線有兩個不同交點，所以，所以．故直線的斜率的取值范圍是且且.即率的取值范圍是.（2）如圖所示設(shè)直線的方程為：由，得，設(shè)Ax1,則，∵，，，，∴，，∴，.（3）如圖所示設(shè)點，，則，，因為，所以，故，由得，設(shè)Ax1,直線方程為，令，得①，由直線可得②，因為③，將①②代入③可得，，又由根與系數(shù)的關(guān)系：，，所以，所以.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.8．橢圓：的離心率，短軸的兩個端點分別為、（位于上方），焦點為、，四邊形的內(nèi)切圓半徑為.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線交于M、N兩點（M位于P與N之間），記、的面積分別為、，令，，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可求得標準方程；（2）對直線斜率是否存在分類討論，斜率不存在的時候特殊位置分析，斜率存在的時候，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，根據(jù)韋達定理和題中已知條件分析計算即可得到結(jié)果.【解析】（1）由題意得，解得，所以橢圓C的方程為.（2）當?shù)男甭什淮嬖跁r，與重合，與重合，不符合題意；當?shù)男甭蚀嬖跁r，其方程為，設(shè)Mx1,由得：，所以，解得，則，由于，，則，，所以，，由知，從而，亦即，將代入，得，代入，得，所以，又，所以，則，即，解得，從而的取值范圍為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.9．已知橢圓的一個焦點為，其左頂點為A，上頂點為B，且到直線的距離為（O為坐標原點）．(1)求C的方程；(2)若橢圓，則稱橢圓E為橢圓C的倍相似橢圓．已知橢圓E是橢圓C的3倍相似橢圓，直線與橢圓C，E交于四點（依次為M，N，P，Q，如圖），且，證明：點在定曲線上．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由已知條件推導(dǎo)出，，由此能求出橢圓的方程．（2）分別聯(lián)立直線與橢圓、橢圓的方程消元，可證明線段、中點相同，然后結(jié)合可得，由此可證明.【解析】（1），直線的方程為，即，到直線的距離為，，又，解得，，橢圓的方程為：．（2）橢圓的3倍相似橢圓的方程為，設(shè)，，，各點坐標依次為，，，，，，，，將代入橢圓方程，得：，，，，，將代入橢圓的方程得，，，，，線段，中點相同，，由可得，，所以，，化簡得，滿足式，，即點在定曲線上．04雙切線問題10．已知橢圓過點，A、B為左右頂點，且.(1)求橢圓C的方程；(2)過點A作橢圓內(nèi)的圓的兩條切線，交橢圓于C、D兩點，若直線CD與圓O相切，求圓O的方程；(3)過點P作（2）中圓O的兩條切線，分別交橢圓于兩點Q、R，求證：直線QR與圓O相切.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的基本量可得，代入即可得橢圓的方程；（2）根據(jù)對稱性可得直線CD與軸垂直，再根據(jù)相切的性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系列式求解半徑即可；（3）設(shè)圓O的切線方程為，根據(jù)切線到圓心的距離可得的二次方程，進而得到的斜率，再聯(lián)立的方程與橢圓方程可得的橫坐標，進而表達出的方程，求解圓心到的距離表達式，代入數(shù)據(jù)求解得即可證明.【解析】（1）依題意，則，代入可得，解得，故橢圓方程為（2）由橢圓與圓的對稱性可得，直線關(guān)于軸對稱，故直線CD與軸垂直.代入到，不妨設(shè)，設(shè)為與圓的切點，為與圓的切點.則由切線的性質(zhì)，，，故，故.故，故.故圓O的方程為.（3）設(shè)圓O的切線方程為，即.則，故，化簡得.則該方程兩根分別為的斜率，則，.聯(lián)立，則.設(shè)，則，即，同理.故，，所以.又，故直線的方程為，即，故到直線的距離，代入數(shù)據(jù)可得，故直線QR與圓O相切.【點睛】本題主要考查了根據(jù)直線與圓和直線與橢圓的位置關(guān)系問題，需要根據(jù)題意設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程得出對應(yīng)的點坐標，從而得出直線方程，根據(jù)點到直線的距離公式化簡求解.計算量較大，屬于難題.11．點P為曲線C上任意一點，直線l：x＝－4，過點P作PQ與直線l垂直，垂足為Q，點，且．(1)求曲線C的方程；(2)過曲線C上的點作圓的兩條切線，切線與y軸交于A，B，求△MAB面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)點，通過得到等式關(guān)系，化簡求得曲線方程；（2）設(shè)切線方程，通過點到切線的距離，化簡成的一元二次方程，再韋達定理得出與的等式關(guān)系，再求出弦長，消去，再求面積即可．【解析】（1）設(shè)，由，得，兩邊平方得，所以曲線C的方程為；（2）設(shè)點的切線方程為（斜率必存在），圓心為，r＝1所以到的距離為：平方化為，設(shè)PA，PB的斜率分別為，則，因為PA：，令x＝0有，同理所以又因為代入上式化簡為所以，令，，求導(dǎo)知在為增函數(shù)，所以．12．如圖，已知和拋物線是圓上一點，M是拋物線上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點．（1）當直線與圓相切，且時，求點的坐標；（2）過P作拋物線的兩條切線分別為切點，求證：存在兩個，使得面積等于．【答案】（1）或；（2）證明見解析.【分析】（1）焦點F坐標為，設(shè)，利用圓的切線長公式、拋物線的定義建立方程求解即得；（2）設(shè)Px0,y0，設(shè)直線、的斜率,由與拋物線相切求得，，知是方程的兩根，得到，求得切點坐標，，得到直線方程并化簡整理為，利用已知面積得到，與聯(lián)立得，然后利用零點存在定理判定解的個數(shù)即可.【解析】（1）焦點F坐標為，設(shè)，則，由拋物線定義，M到焦點距離等于到拋物線準線的距離，所以，由，得，所以或，所以或，（2）設(shè)Px0,設(shè)直線方程為，代入，得，整理得①，同理，直線方程為，有②，由①②知，是方程的兩根，所以，由切線意義知，在中，，則所以，同理直線方程為即即Px0,y所以，與聯(lián)立得所以或，設(shè)，顯然，又在上遞增，所以在12,1上有唯一零點所以存在兩個，使得面積等于.【點睛】本題考查直線與圓，直線與拋物線的位置關(guān)系，面積問題，零點個數(shù)問題，難度較大，其中利用圓的切線長和拋物線的定義建立方程求解是第一問中的關(guān)鍵；第二問中關(guān)鍵點由同構(gòu)方程，，知是方程的兩根，從而得到;利用零點存在定理判定三次函數(shù)在給定區(qū)間上的零點個數(shù)問題.05切點弦問題13．已知拋物線，直線與交于，兩點，且．(1)求的值；(2)過點作的兩條切線，切點分別為，，證明：直線過定點；(3)直線過的焦點，與交于，兩點，在，兩點處的切線相交于點，設(shè)，當時，求面積的最小值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）將代入求出，進而可列式求；（2）令，對求導(dǎo)，設(shè)，求出直線的方程，并將代入計算，構(gòu)造方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系計算直線方程中的值即可；（3）設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出的面積，然后求其最值即可.【解析】（1）將代入中得，故，解得；（2）由（1）知拋物線，令，可得，由求導(dǎo)可得，設(shè)，則直線的方程分別為，將代入上面兩個方程得，結(jié)合整理得，所以是方程的兩根，所以，而直線的方程為，即，即，則直線過定點；（3）由題意得，直線的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立得，得，則，聯(lián)立，解得，故，即，由，得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可知，從而，所以，而，故，由于在時為增函數(shù)，因此當時，的面積取得最小值.【點睛】方法點睛：求定點問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值點，再證明這個點與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定點．14．已知拋物線C：（）的焦點為F，直線與C交于A，B兩點，．(1)求C的方程；(2)過A，B作C的兩條切線交于點P，設(shè)D，E分別是線段PA，PB上的點，且直線DE與C相切，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)Ax1,y1，（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線PA、PB方程，進而求得，設(shè)，求得、，結(jié)合弦長公式表示與，即證，由（1），化簡計算即可證明.【解析】（1）設(shè)Ax1,y1聯(lián)立，得，則，，，則，故，所以C的方程為．（2）由（1）知，因為拋物線C：，則，則，，則直線PA方程為，即，同理直線PB方程為．聯(lián)立，得，則，將代入得，兩式相加得，即，所以點．設(shè)直線DE與拋物線相切于點，則直線DE方程為．設(shè)，，聯(lián)立，兩式作比，即，同理，因為，同理，故要證，即證，即證，即證，即證，即證，由（1）知，又，故，上式成立，故．【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．15．已知平面直角坐標系中，橢圓與雙曲線．(1)若的長軸長為8，短軸長為4，直線與有唯一的公共點，過且與垂直的直線分別交軸，軸于點兩點，當運動時，求點的軌跡方程；(2)若的長軸長為4，短軸長為2，過的左焦點作直線與相交于兩點（在軸上方），分別過作的切線，兩切線交于點，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，得到雙曲線的標準方程，然后利用直線與有唯一的公共點，過且與垂直的直線分別交軸，軸于點兩點，即可求解；（2）依題意，，設(shè)，聯(lián)立結(jié)合韋達定理，得到切線方程，然后根據(jù)兩條切線方程聯(lián)立，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)求解三角形面積最值即可．【解析】（1）因為的長軸長為8，短軸長為4，所以，，聯(lián)立方程，得，又與有唯一的公共點，所以，即，的橫坐標為，把代入中，，所以，過且與垂直的直線為，則，所以，，又，所以，即，所以的軌跡方程為．（2）因為的長軸長為4，短軸長為2，所以，，左焦點，當斜率為0時，分別為橢圓的左、右頂點，此時切線平行無交點，當斜率不為0時，設(shè)，由得，設(shè)，則，，橢圓在軸上方對應(yīng)方程為，則點處切線斜率為，點處切線方程為，即，同理可得點處的切線方程為，由得，代入①得，所以，所以，而，所以，即，又，所以．令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則當時，．所以面積的最小值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了直線與雙曲線及橢圓的位置關(guān)系，利用直線和圓錐曲線聯(lián)立，根據(jù)交點情況（1）中，（2）中，（2）中的關(guān)鍵是結(jié)合韋達定理，表示出切線方程，再聯(lián)立切線方程，構(gòu)造函數(shù)求解三角形面積最值.16．已知橢圓.(1)若點在橢圓C上，證明：直線與橢圓C相切；(2)設(shè)曲線的切線l與橢圓C交于兩點，且以為切點的橢圓C的切線交于M點，求面積的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）分類討論，及，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系結(jié)合判別式計算即可證明；（2）法一、先確定圓的切線方程，設(shè)坐標，聯(lián)立切線方程與橢圓方程利用韋達定理得A、B坐標關(guān)系，結(jié)合（1）得過的橢圓切線方程，聯(lián)立兩切線方程求交點得M坐標與坐標的關(guān)系，再結(jié)合點在圓上消元化簡得，根據(jù)三角形面積結(jié)合導(dǎo)數(shù)求其值域即可；法二、設(shè)，由直線與圓的位置關(guān)系得參數(shù)間關(guān)系，再由橢圓的切線方程得切點弦方程，由待定系數(shù)法得，利用弦長公式及點到直線的距離公式計算面積求范圍即可.【解析】（1）若，則，此時橢圓切線方程為，滿足，若，則，此時橢圓切線方程為，滿足，若，聯(lián)立方程，得，，∴與橢圓C只有一個交點，是其切線；綜上，是橢圓C在Px0（2）法一、依題意作圖：設(shè)圓O的切點為Px若，可設(shè)，由直線與圓的位置關(guān)系知：，則，若，顯然切線方程為，滿足，若，顯然切線方程為，滿足，故圓在切點P處的切線方程為；當，設(shè)，聯(lián)立方程：，得，，，結(jié)合（1）知：在A點的橢圓C的切線方程為，在B點的橢圓C的切線方程為，聯(lián)立方程，得，，得，所以，因為Ax1,y1點在切線上，所以使用水平底鉛垂高計算的面積，鉛垂高為，又，從而，即，，∵點P在圓O上，∴，由題意，，設(shè)函數(shù)，，∴；當時，切線方程為，代入橢圓C的方程得，，，同理時，.綜上取值范圍是.法二、設(shè)直線，因為AB與曲線O相切，則有，即.設(shè)，將代入橢圓方程得：，，則.由（1）的結(jié)論，過點A的橢圓切線為，過點B的橢圓切線為，而兩條切線交于點M，則，所以A，B的坐標滿足直線，即直線AB方程.易知，則，故有，則點P到直線的距離，所以，易知，隨增大而增大，則，所以，當時，，故取值范圍是.【點睛】思路點睛：法一、利用圓與橢圓的切線方程及直線的交點坐標，得出切點的坐標關(guān)系，根據(jù)水平底鉛錘高求面積即可；法二、利用直線與圓的位置關(guān)系得圓的切線方程參數(shù)關(guān)系，再由橢圓的切線方程及其切點弦方程得出切點與圓的切線方程參數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)點到直線的距離公式、弦長公式計算面積即可.一、解答題1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知雙曲線過點，離心率為2.(1)求的方程；(2)過點的直線交于，兩點（異于點），證明：當直線，的斜率均存在時，，的斜率之積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題中條件找到雙曲線中的，從而求出的方程.（2）利用平移齊次化進行證明即可.【解析】（1）由雙曲線C:x2a2?又離心率為2，則，即，，即，代入，可得，，，因此，的方程為：.（2）將雙曲線向左平移2個單位長度，向下平移3個單位長度，得到雙曲線為，得到的雙曲線如圖所示，則平移到，平移到，平移后，變?yōu)椋?，設(shè)，，直線的方程為：①，②，將①代入②，用“1”的代換得，則，各項同時除以，得，則，又直線過，則，即，因此，故當直線，的斜率存在時，，的斜率之積為定值.【點睛】方法點睛：平移齊次化的步驟，（1）平移；（2）與圓錐曲線聯(lián)立并其次化；（3）同除；（4）利用根與系數(shù)的關(guān)系進行證明結(jié)論；如果是過定點的問題還需要平移回去.2．（2024·云南·模擬預(yù)測）拋物線的圖象經(jīng)過點，焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線交于點，，如圖．

(1)求拋物線的標準方程；(2)當時，求弦AB的長；(3)已知點，直線，分別與拋物線交于點，．證明：直線過定點．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由曲線圖象經(jīng)過點，可得，則得拋物線的標準方程；（2）寫出的方程,和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達定理可得，則；（3）設(shè)直線的方程為，，，，，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達定理可得，．直線的方程為，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達定理可得，同理可得，由，可得，則直線的方程為，由對稱性知，定點在軸上，令，可得，則的直線過定點．【解析】（1）曲線圖象經(jīng)過點，所以，所以，所以拋物線的標準方程為．（2）由（1）知，當時，,所以的方程為，聯(lián)立，得，則，由，所以弦．（3）由（1）知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立得，，因此，．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則，因此，，得，同理可得，所以．因此直線的方程為，由對稱性知，定點在軸上，令得，，所以，直線過定點．【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；(3)求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.3．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線的上下焦點分別為，.已知點和都在雙曲線上，其中為雙曲線的離心率.(1)求雙曲線的方程;(2)設(shè)是雙曲線上位于軸右方的兩點，且直線與直線平行，與交于點.(i)若，求直線的斜率；(ii)求證：是定值.【答案】(1)(2)(i)；(ii)【分析】（1）將點的坐標代入雙曲線的方程求解即可；（2）（I）構(gòu)造平行四邊形，求出，然后利用弦長公式求直線的斜率即可；（II）利用三角形相似和雙曲線的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為，然后結(jié)合韋達定理求解即可.【解析】（1）將點和代入雙曲線方程得：，結(jié)合，化簡得：，解得，雙曲線的方程為．（2）(i)設(shè)關(guān)于原點對稱點記為，則．因為，所以，又因為，所以，即，故三點共線．又因為與互相平分，所以四邊形為平行四邊形，故，所以．由題意知，直線斜率一定存在，設(shè)的直線方程為，代入雙曲線方程整理得：，故，直線與雙曲線上支有兩個交點，所以，解得．由弦長公式得，則，且由圖可知，即，代入解得．(ii)因為，由相似三角形得，所以．因為．所以，故為定值．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問(ii)的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達定理即可順利得解.4．（2024·福建南平·模擬預(yù)測）已知拋物線的準線與圓相切．(1)求的方程；(2)點是上的動點，且，過點作圓的兩條切線分別與交于兩點，求面積的最小值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用準線與圓相切求出可得答案；（2）設(shè)直線、的方程分別為、，可得，過點的圓的切線方程與圓相切可得，再由韋達定理，再利用換元法、基本不等式求最值可得答案．【解析】（1）因為準線與圓相切，所以，即，所以的方程為；（2）由（1）知準線的方程為，因為，所以直線的斜率均存在，設(shè)直線的