北京市密云區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2025北京密云高一（上）期末數(shù)學(xué)2025.1一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，根據(jù)交集的概念與運(yùn)算直接得出結(jié)果.【詳解】由題意知，.故選：C2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題求解即可.【詳解】因?yàn)槿Q(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，否定全稱(chēng)命題時(shí)，一是要將全稱(chēng)量詞改寫(xiě)為存在量詞，二是否定結(jié)論，所以，全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，故選：A.3.一元二次不等式的解集是（）A.或 B.C.或 D.【答案】B【解析】【分析】先分解因式，再求得不等式的解集.【詳解】由可得，故得.故選：B.4.設(shè)，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A和D，利用作差法排除；對(duì)于B，利用不等式性質(zhì)推理排除；對(duì)于C，利用基本不等式可推理得到.【詳解】對(duì)于A，由，因，故得，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由兩邊同除以，可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因，故得，即C正確；對(duì)于D，由，因，故得，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是（）A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理,把選項(xiàng)代入驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù),又,,所以,由零點(diǎn)存在性定理可得,包含零點(diǎn)的區(qū)間(2，3).故選：C6.“是等腰三角形”是“是等邊三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用充分條件和必要條件的判斷方法，即可求解.【詳解】因?yàn)榈妊切尾灰欢ㄊ堑冗吶切?，所以“是等腰三角形”推不出“是等邊三角形”，又等邊三角形一定是等腰三角形，所以“是等邊三角形”可以推出“是等腰三角形”，所以“是等腰三角形”是“是等邊三角形”的必要不充分條件，故選：B.7.在平面直角坐標(biāo)系中，角α以為始邊，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】角α以為始邊，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，故選：B.8.如圖，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，記位于直線(xiàn)左側(cè)的圖形的面積為，則下列正確的命題是（）A.函數(shù)的定義域是B.函數(shù)是增函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，有最大值D.函數(shù)的最大值是【答案】D【解析】【分析】由題意，根據(jù)可得，作出圖形，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以作出的圖象，如圖，由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取到最大值，為，故D正確.故選：D9.荀子《勸學(xué)》中說(shuō)：“不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海．”所以說(shuō)學(xué)習(xí)是日積月累的過(guò)程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一點(diǎn)點(diǎn)．若每天學(xué)習(xí)的“進(jìn)步率”都是1%，記一年后學(xué)習(xí)的“進(jìn)步值”為，每天學(xué)習(xí)的“退步率”都是1%，記一年后學(xué)習(xí)的“退步值”為，則一年后學(xué)習(xí)的“進(jìn)步值”約為學(xué)習(xí)的“退步值”的1481倍．若學(xué)習(xí)的“進(jìn)步值”是學(xué)習(xí)的“退步值”的4倍，則至少需要經(jīng)過(guò)的天數(shù)約為（）參考數(shù)據(jù)：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010．A.50 B.60 C.70 D.80【答案】C【解析】【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)的天數(shù)為天，依題得方程，運(yùn)用兩邊取對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，代入近似值計(jì)算即得.【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)天后，學(xué)習(xí)的“進(jìn)步值”是學(xué)習(xí)的“退步值”的4倍，由題意，可得，化簡(jiǎn)得，兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得：，即大約經(jīng)過(guò)70天，學(xué)習(xí)的“進(jìn)步值”是學(xué)習(xí)的“退步值”的4倍.故選：C.10.已知函數(shù)函數(shù)．若有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)與方程的思想，將有四個(gè)不同的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，作出圖象，求得，利用對(duì)稱(chēng)性得，根據(jù)函數(shù)的圖象特征可得，，借助于對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得的取值范圍.詳解】由函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，可知函數(shù)與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)這四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，如圖所示，則，可得，因點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故；由可得，則有，且，即得，于是，，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，故可得，則的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵有二：其一，一般應(yīng)將函數(shù)的零點(diǎn)情況轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況，數(shù)形結(jié)合處理；其二，要注意圖象的對(duì)稱(chēng)性和翻折變化蘊(yùn)含的結(jié)論，由此求得等量關(guān)系和自變量范圍.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知扇形的圓心角是1弧度，半徑為2，則扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)______，面積為_(kāi)______．【答案】①.2②.1【解析】【分析】利用扇形得弧長(zhǎng)，和扇形的面積求解即可.【詳解】扇形弧長(zhǎng)為扇形面積故答案為：2，1.12.計(jì)算：_______；_______．（用數(shù)字作答）【答案】①.2②.3【解析】【分析】空一可利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算求解；空二利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解.【詳解】;故答案為：13.函數(shù)的定義域是_______；最小正周期是_______．【答案】①.②.【解析】【分析】略【詳解】略14.已知函數(shù)，則的最小值等于_______．【答案】5【解析】【分析】湊項(xiàng)利用基本不等式即可求得的最小值.【詳解】由，因，故，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，取得最小值為5.故答案為：5.15.如圖，太極圖通常被描繪為一個(gè)圓形圖案，中間有一條S形曲線(xiàn)將圓形圖案分為兩部分，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱(chēng)美”．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若函數(shù)的圖象將圓O的圓周二等分，并且將這個(gè)圓及其內(nèi)部分成面積相等的兩部分，則記為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”．給出下列四個(gè)結(jié)論：①對(duì)于圓O，它的“太極函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)；②函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”；③函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”；④函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，只需判斷所給函數(shù)的奇偶性即可得答案.【詳解】①：圓O，過(guò)圓心直線(xiàn)都可以將圓的周長(zhǎng)和面積等分成兩部分，所以對(duì)于任意一個(gè)圓,其“太極函數(shù)”不止1個(gè)，故①正確；②：由于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，,則，故為偶函數(shù)，故根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知函數(shù)不是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，故②錯(cuò)誤；③：函數(shù)定義域?yàn)镽，，也是奇函數(shù)，故為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，故③正確；④：函數(shù)定義域?yàn)镽，，故為奇函數(shù)，故函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，故④正確.故選：①③④【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過(guò)推理、運(yùn)算等解決問(wèn)題在新環(huán)境下研究舊性質(zhì)主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì).三、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.已知集合，．（1）求集合；（2）當(dāng)時(shí)，求；（3）若，寫(xiě)出一個(gè)符合條件的m的值．【答案】（1）或（2）（3）(區(qū)間里的任何實(shí)數(shù)都符合)【解析】【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)集定義易得；（2）利用并集的定義易得；（3）根據(jù)條件可得，從而得不等式組，求出的范圍，依題只需在范圍內(nèi)取任何實(shí)數(shù)都符合.【小問(wèn)1詳解】由可得或；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，則；【小問(wèn)3詳解】由可得.，因恒成立，故；要使，需使，解得，故區(qū)間里的任何實(shí)數(shù)都符合.17.已知，.（1）求的值；（2）求的值；（3）將的終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)π后得到角的終邊，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)同角的平方關(guān)系求出，解兩角和正弦公式計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)二倍角的余弦公式計(jì)算直接得出結(jié)果；（3）由題意可得，結(jié)合同角的商數(shù)關(guān)系即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意知，，所以；【小問(wèn)2詳解】由題意知，；【小問(wèn)3詳解】將的終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到角的終邊，則，所以.18.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最小值，最大值為【解析】【分析】（1）利用整體代換法計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.【小問(wèn)1詳解】由，，得，所以的增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由，得，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)即時(shí)，取到最小值，為；當(dāng)即時(shí)，取到最大值，為；19.已知函數(shù)．（1）解關(guān)于x的不等式：；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由原不等式可得，對(duì)分三種情況討論，分別利用二次不等式的解法即可得解；（2）恒成立等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問(wèn)1詳解】，即為，即可得，令可得或，當(dāng)，即時(shí)，或；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，或，綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最小值為，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：為偶函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的單調(diào)性，并解不等式；（3）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得的最小值為4，若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）在上遞增，不等式解集為（3）存在，【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)奇偶性定義可證明為偶函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得的單調(diào)性，將不等式化為，再利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可；（3）當(dāng)時(shí)，根據(jù)基本不等式求出函數(shù)的最小值，再根據(jù)的最小值為4，列方程求解即可，【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)镽，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)?，所以是偶函?shù)；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槎际荝上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上遞增，不等式，即，所以，即不等式的解集為；【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，即存在，使得的最小值為4.21.已知集合A包含有個(gè)元素，．（1）若，寫(xiě)出；（2）寫(xiě)出一個(gè)，使得；（3）當(dāng)時(shí)，是否存在集合A，使得？若存在，求出此時(shí)的集合A，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（3）不存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)集合的新定義，寫(xiě)出中的元素即得；（2）根據(jù)條件分析集合中的元素性質(zhì)