廣東省茂名市高州市2024-2025學年高二上學期期末質量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

第1頁/共1頁高州市2024~2025學年度第一學期期末質量監(jiān)測高二數(shù)學全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內作答，寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內容：選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊第四章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.設直線的傾斜角為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設直線的傾斜角為，根據(jù)題意，得到，即可求解.【詳解】由直線，可得直線的斜率為，設直線的傾斜角為，其中，可得，所以.故選：A.2.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計算出的值，由此可知準線方程.【詳解】因為拋物線，所以，因為準線方程為，所以準線方程為，故選：D.3.已知數(shù)列中，，若，且，則（）A. B. C. D.17【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)已知得出是等差數(shù)列，得出通項公式計算即可.【詳解】，又，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，故選：B.4.已知點是橢圓的左、右焦點，若過焦點的直線交橢圓于兩點，則的周長為（）A.6 B.4 C. D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義求解．【詳解】根據(jù)橢圓方程可得，則，由橢圓的定義得，，BF1+BF故選：D.5.已知圓：與圓：，則圓與圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由兩圓方程可分別得到兩圓圓心坐標及其半徑，借助半徑與圓心間距離可得兩圓位置關系，即可得兩圓公切線條數(shù).【詳解】圓：的圓心為，半徑，圓：圓心為，半徑，所以，則，所以圓與圓相交，所以圓與圓的公切線的條數(shù)為2．故選：B．6.如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系，根據(jù)點到線距離的向量求法和投影的定義計算即可.【詳解】取的中點，則，且，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點連線所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，則，所以在上的投影的長度為，故點到直線的距離為，故選：C.7.如圖，過拋物線的焦點的直線（斜率為正）交拋物線于點兩點（其中點在第一象限），交其準線于點，若，則到拋物線的準線的距離為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】結合圖形特征得出，，得出，再計算得出解得即得.【詳解】如圖，分別過點作準線的垂線，垂足分別為點，設，所以，由拋物線的定義得，所以，在中，，又因為，解得，又記準線與對稱軸交于點，因為，解得，即到拋物線的準線的距離為4.故選：B.8.將正整數(shù)分解為兩個正整數(shù)的積，即，當兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為12的最優(yōu)分解，當是的最優(yōu)分解時，定義，則數(shù)列的前2025項的和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分為奇數(shù)和偶數(shù)，按照最優(yōu)分解定義求數(shù)列的通項，然后可求得前2025項的和.【詳解】當時，，所以，當時，，則，故數(shù)列的前2025項的和為.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.空間直角坐標系中，已知，下列結論正確的有（）A.B.點A關于平面對稱的點的坐標為C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)點的坐標可得向量坐標，即可求得A，根據(jù)對稱的性質可求得B，向量法可判斷直線的位置關系，即可求得C，根據(jù)向量共線定理可判斷D.【詳解】對于A，由題意，A正確；對于B，關于平面對稱的點的坐標相同，坐標相反，因此點關于平面對稱的點的坐標為，B錯誤；對于C，若，則，所以，C正確；對于D，若且，則，解得，D正確，故選：ACD．10.已知數(shù)列的前項和為，，，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)遞推公式計算出數(shù)列的前項，可判斷AB選項；利用數(shù)列的周期性可判斷C選項；利用數(shù)列的周期性求出的值，可判斷D選項.【詳解】因為，，所以，，，，故A正確，B錯誤；所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，則，故C正確；，故D錯誤.故選：AC11.過原點的直線l與圓M：交于A，B兩點，且l不經過點M，則（）A.弦AB長的最小值為8B.△MAB面積的最大值為C.圓M上一定存在4個點到l的距離為D.A，B兩點處圓的切線的交點位于直線上【答案】ABD【解析】【分析】A選項，由圓的幾何性質得到當弦AB與直線垂直時，弦AB長取得最小值，從而由垂徑定理求出答案；B選項，由三角形面積公式得到，設是中點，研究得到始終為鈍角，且當點與原點重合，取得最小值，由二倍角公式和同角三角函數(shù)關系得到此時，結合在上單調性，求出面積最大值即可；C選項，舉出反例；D選項，設出，求出四點所在圓的方程，從而求出切點弦方程，結合直線AB過原點，將原點代入后得到滿足的方程.【詳解】對A，變形為，圓心M為，半徑，因為，故原點在圓內，故當弦AB與直線垂直時，弦AB長取得最小值，其中，故，A正確；對B，由三角形面積公式得：設是中點，故，當點與原點重合，弦長AB最短，取得最小值，此時，，故，此時.由求得取得最小值時為鈍角，所以始終為鈍角，因為在上單調遞減，所以當時，面積取得最大值，最大值為，B正確；對C，當弦AB與直線垂直時，圓心M到直線l的距離為，由于半徑為，所以在直線l的左上方有2個點到直線l的距離為，在直線l的右下方，只有1個點到直線l的距離為，此時圓M上存在3個點到l的距離為，C錯誤；對D，設，則四點共圓，且MP為直徑，其中線段MP的中點坐標為，即圓心坐標為，半徑為，故四點所在圓的方程為：，化簡得：①，②，①－②得：，則直線AB的方程為，又因為直線AB過原點，將原點代入得：，故A，B兩點處圓的切線的交點位于直線上，D正確.故選：ABD【點睛】已知圓的方程為，為圓上一點，則過點的切線方程為：；若為圓外一點，則表示切點弦所在方程.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.焦點在軸上的橢圓的離心率為，則值為__________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)離心率公式計算求參即可.【詳解】由，故離心率為，解得.故答案為：4.13.記為等比數(shù)列的前項和.若，則的公比為__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式求解．【詳解】若，則由得，則，不合題意.所以.當時，因為，所以，即，即，即，解得.故答案為：2.14.已知為坐標原點，，且動點在雙曲線的右支上，動點滿足，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】依題意，求出的運動軌跡，結合表示的幾何意義求解.【詳解】因為，，所以，即，即，所以的運動軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，因為動點在雙曲線的右支上，所以，即，因為，最小值幾何意義為點到圓上點與到距離和的最小值，又因為，所以表示為最小，即最小，所以當三點共線時符合題意，即，所以的最小值為，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題重點在于幾何意義的理解，轉化為點共線時最小.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前n項和滿足，.（1）求的通項公式；（2），求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的前項和公式求出，進而求出通項公式.（2）由（1）的結論，利用裂項相消法求和.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以【小問2詳解】由（1）知，，則，所以.16.已知圓過兩點，且圓心在直線上.（1）求圓C的標準方程；（2）若過圓心的直線在軸，軸上的截距相等，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）求出線段中垂線方程，與已知直線方程聯(lián)立求出圓心坐標及半徑即可.（2）按截距為0和不為0分類，并借助直線的截距式方程求解.【小問1詳解】由點，得線段的中點，直線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，由，解得，即圓心，半徑，所以圓C的標準方程為.【小問2詳解】由（1）知，點，當直線過原點時，直線在軸，軸上的截距相等，此時直線的方程為，當直線不過原點時，設直線的方程為，則，解得，方程為，所以直線的方程為或.17.如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，點是棱上的一點，且.（1）求證：四邊形為正方形；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證，再由條件推導平面，得到即可證得；（2）依題建系，寫出相關點坐標，求得相關向量的坐標，利用空間向量的夾角公式計算即得.【小問1詳解】如圖，連接，在直四棱柱中，平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又四邊形是矩形，所以四邊形為正方形；【小問2詳解】如圖，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為，所以，故可取，設直線與平面所成角的大小為，所以即直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓：在左、右焦點分別為，，上頂點為點，若是面積為的等邊三角形.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，是橢圓上的兩點，且，求使的面積最大時直線的方程（為坐標原點）.【答案】解（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由是面積為的等邊三角形，結合性質，列出關于、的方程組，求出、，即可得結果;（2）先證明直線的斜率存在，設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，利用弦長公式可得，化簡得.原點到直線的距離為，的面積，當最大時，的面積最大.由，利用二次函數(shù)的性質可得結果.【詳解】（1）由是面積為的等邊三角形，得，所以，，從而，所以橢圓的標準方程為.（2）由（1）知，當軸時，，則為橢圓的短軸，故有，，三點共線，不合題意.所以直線的斜率存在，設直線的方程為，點，點，聯(lián)立方程組消去，得，所以有，，則，即，化簡得.因為，所以有且.原點到直線的距離為，的面積，所以當最大時，的面積最大.因為，而，所以當時，取最大值為3，面積的最大值.把代入，得，所以有，即直線的方程為或.【點睛】求橢圓標準方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關于的方程組，解出從而寫出橢圓的標準方程．解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關系建立方程，解決相關問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單.19.已知數(shù)列，，，為數(shù)列的前項和，且.（1）令.（i）求證:數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（ii）求數(shù)列的前項和；（2）設數(shù)列的前項和，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（i）證明見解析，；（ii）（2）【解析】【分析】（1）（i）利用等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，求出數(shù)列的通項公式，進而可求得數(shù)列的通項公式；（ii）利用