廣東省深圳市羅湖區(qū)2024-2025學年高二上學期期末質量檢測數(shù)學試題（解析版）

第1頁/共1頁2024-2025學年第一學期期末質量檢測高二數(shù)學2025.1注意事項：1．答題前，請將姓名、準考證號和學校用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫在答題卡指定的位置上，并把條形碼粘貼好．2．全卷共4頁，19小題，考試時間120分鐘，滿分150分．3．作答單項選擇題時，選出每題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目答案標號的信息點框涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．作答非選擇題時，用黑色字跡的鋼筆或簽字筆把答案寫在答題卡指定區(qū)域內，寫在本試卷或草稿紙上，其答案一律無效．4．考試結束后，請將答題卡交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A.30° B.60° C.90° D.120°【答案】B【解析】【分析】直接利用直線的傾斜角和斜率的關系直接求解.【詳解】直線，即，直線的斜率為，由于，所以.故選：B2.在空間直角坐標系中，為坐標原點，若，且三點共線，則（）A2 B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間共線向量的坐標表示建立方程組，解之即可求解.【詳解】由題意知，三點共線，則存在實數(shù)，使得，即，得，解得.故選：A3.若直線為雙曲線的一條漸近線，則（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程的概念直接得出結果.【詳解】由題意知，雙曲線的漸近線方程為，所以.故選：B4.若依次成等差數(shù)列，依次成等比數(shù)列，則（）A.3 B. C.或3 D.或4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比中項和等差數(shù)列的性質，可分別求得的值，進而得到答案.【詳解】由于成等差數(shù)列，所以，依次成等比數(shù)列，所以，則或當時，，當時，.故選：C5.已知直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】當時，判斷兩直線的斜率，從而可證明充分性；當時，求的值，從而證明必要性.【詳解】當時，：，：，則，所以，即“”是“”的充分條件；當時，，解得或，所以，當時，或，即“”是“”的不必要條件，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.在平行六面體中，，設，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖，根據(jù)空間向量的基本定理計算即可求解.【詳解】如圖，為的中點，為的中點，則.故選：D7.已知數(shù)列滿足，若，則為（）A.等比數(shù)列 B.等差數(shù)列 C.遞增數(shù)列 D.遞減數(shù)列【答案】D【解析】【分析】取倒數(shù)可得，可得，從而可判斷數(shù)列.【詳解】根據(jù)題意，，所以，且，所以數(shù)列為以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，則所以數(shù)列為遞減數(shù)列.故選：D8.已知為曲線上的動點，記到直線和到軸的距離分別為，則的最小值為（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形：根據(jù)拋物線的定義將問題轉化為焦點到直線的距離減去1，利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形：拋物線方程為，直線l的方程為，，準線為，在拋物線上有一動點到x軸的距離為，到直線的距離為，根據(jù)拋物線的定義可知的最小值為焦點F0,1到直線的距離減去1，最小值.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.記為等差數(shù)列的前項和，若，且，則（）A. B.的公差為負數(shù)C. D.當或8時，取得最大值【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質可得，則，依次分析即可得答案.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，首項，若，則，則，解得，所以，A錯誤，B正確；，由于，所以，C錯誤；由于，所以是中最大的項，故D正確.故選：BD10.已知圓，圓，則（）A.的面積為B.若，則內切C.若外切，則D.當時，相交弦所在直線的方程為【答案】AB【解析】【分析】計算兩圓圓心坐標及半徑，逐項判斷即可確定選項.詳解】由題意得，，圓半徑，，圓半徑.A.圓的面積為，選項A正確.B.若，則，圓心距，故圓內切，選項B正確.C.由題意得，，∵圓外切，∴，即，解得，選項C錯誤.D.當時，，由得，圓與圓相交，兩圓方程作差得，，選項D錯誤.故選：AB.11.在三棱臺中，底面是邊長為2的正三角形，側面為等腰梯形，且，為的中點，記二面角的大小為，則（）A.B.當時，直線與平面所成的角為C.當時，直線與夾角的余弦值為D.當時，平面截該三棱臺所得截面為等腰梯形【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理與性質即可證明A；建立如圖空間直角坐標系，利用空間向量法求解線線角、線面角即可判斷BC；利用空間向量法證明即可判斷D.【詳解】A：如圖，作的中點，連接，在等腰梯形中，，為，的中點，∴，在正中，為的中點，∴，∵，，，平面，∴平面，又平面，∴．故A正確；B：∵平面，在平面內作，以為坐標原點，以，分別為軸正向，如圖建立空間直角坐標系，∵，，∴為二面角的平面角，即，A1,0,0，，，，，，所以，，若，則，得，易知是平面的一個法向量，則，又直線與平面所成的角為銳角，所以其為，故B錯誤；C：由選項B知，若，則，，所以，即直線與的夾角的余弦值為，故C正確；D：由選項B知，若，則，所以，，取的中點，連接，則梯形即為平面截該三棱臺所得的截面，此時，所以，得，而，則，所以該截面不是等腰梯形，故D錯誤.故選：AC【點睛】關鍵點點睛：解決本題BC選項的關鍵是建立合適的空間直角坐標系，確定，將點的坐標表示出來.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線的一個單位方向向量為_________．【答案】（或填）【解析】【分析】根據(jù)直線方向向量即可求解.【詳解】因為直線的斜率為，所以直線的一個方向向量是，所以直線的單位方向向量為或.故答案為：（或填）13.已知等比數(shù)列的前n項和為Sn，若，，則______．【答案】14【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質得：，，成等比數(shù)列，即2，4，成等比數(shù)列，由此能求出．【詳解】等比數(shù)列的前n項和為Sn，，，由等比數(shù)列的性質得：，，成等比數(shù)列，，4，成等比數(shù)列，，解得．故答案為14．【點睛】本題考查等比數(shù)列性質的應用，已知數(shù)列為等比數(shù)列，則Sn，，也成等比數(shù)列．14.已知橢圓，設，若上存在3個不同的點使得，則的離心率的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】設，由題意，根據(jù)兩點距離公式化簡求解點的軌跡，作出圖形，將圓的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理和求出的取值范圍，結合離心率的概念計算即可求解.【詳解】設，由，得，整理得，即點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓.因為橢圓與圓有3個不同的交點，由橢圓，則.結合圖形可知，點是橢圓與圓的一個公共點.由，消去，整理得，易知，且為該方程的一個根，由橢圓與圓有3個不同的交點，則方程必有另一根，且在內.設另一個根為（），且此根對應橢圓與圓的個公共點，由韋達定理得，即，所以，解得，所以，又，所以.故答案為：【點睛】思路點睛：解決本題的思路是先求解確定點的軌跡為圓，將條件轉化為圓與橢圓需有3個不同的交點，聯(lián)立方程組，利用韋達定理和根的范圍求出的取值范圍，結合計算即可.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知圓的半徑為，點在直線上，且圓經(jīng)過點．（1）求圓的方程；（2）若直線與平行，且與圓相切，求的方程．【答案】（1）（2）x+y=0或【解析】【分析】（1）先設圓心坐標，再根據(jù)圓心與圓上點距離為半徑進行計算.（2）根據(jù)直線平行的相同斜率設直線再應用點到直線距離等于半徑求參即可.【小問1詳解】點在直線上，設為得到，所以，化簡得，所以,,圓的方程為.【小問2詳解】設，，所以，所以的方程為：x+y=0或.16.設數(shù)列的前項和為，．（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)和等差數(shù)列的定義與通項公式計算即可求解；（2）由（1）可得，結合裂項相消法求和即可.【小問1詳解】由，得，即，又，所以數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】由（1）知，，所以數(shù)列的前項和為.17.如圖，在四棱錐中，平面平面，，點在棱上，．（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖，根據(jù)面面垂直的性質和線面垂直的性質可得，建立如圖空間直角坐標系，即可利用空間向量法證明線面平行；（2）由（1），利用空間向量法求解線面角即可【小問1詳解】如圖，取的中點，連接，則，且，由平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，建立如圖空間直角坐標系，由，得，則，由，得，即，得，解得，即.所以，設平面的一個法向量為，則，令，得，所以，有，則，又平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，，設平面的一個法向量為，則，令，得，所以，設與平面所成角為（為銳角），則，所以，即與平面所成角的余弦值為.18.在直角坐標系中，已知點，平面上的動點滿足，記的軌跡為．（1）求的方程；（2）設直線與的另一個交點為．（i）證明：為定值；（ii）求面積的最小值．【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）12【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義即可確定E的方程；（2）（i）設方程為，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達定理和焦半徑公式表示，化簡計算即可證明；（ii）由三角形面積公式可得，利用換元法（令）可得，結合導數(shù)的應用求出的最小值即可.【小問1詳解】由，得，，由雙曲線的定義知，點的軌跡是以為左右焦點的雙曲線的右支，且，則，，所以，所以的方程為；【小問2詳解】設直線方程為，，消去得，則，，，又，由焦半徑公式，得，所以，即證；（ii），結合（2）知，令，則，得，設，則該函數(shù)在上單調遞減，則，故，即面積的最小值為12.19.設為拋物線上一點，按如下方式構造：設，線段與交于點，為關于軸的對稱點．（1）求；（2）記，且．（i）判斷無窮數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；（ii）當時，證明：．【答案】（1）（2）（i）為等比數(shù)列，理由見解析；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)坐標得到拋物線方程，然后聯(lián)立直線和拋物線方程得到點，最后根據(jù)對稱關系求；（2）（i）聯(lián)立直線和拋物線方程，利用對稱關系和韋達定理得到的關系，最后利用等比數(shù)列的定義判斷