2024-2025學(xué)年重慶市南開中學(xué)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年重慶市南開中學(xué)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知A={x|3x?3x≤2},B={x|2xA.(2,3] B.(0,3] C.(0,2) D.[1,2)2.已知一個扇形的圓心角為π3，且所對應(yīng)的弧長為π，則該扇形面積為(

)A.π B.32π C.2π 3.在△ABC中，“sinA=sinB”是“A=B”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.函數(shù)f(x)=x3?xeA. B.

C. D.5.已知a=sin17°+cos17°,b=223,c=log32，則a，A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b6.tan40°+A.?4 B.?23 C.27.已知φS(x)=1,x∈S?1,x?S，若A={x|sinx≥12}A.?2 B.0 C.1 D.28.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=?f(x)，且x∈[0,1]時，f(x)=2x+1?2，則f(loA.?1732 B.?98 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知實(shí)數(shù)x，y>0，x+y=1，則(

)A.4x+1y≥9 B.x10.已知f(x)=sinx?cos(x+π6)，且A.f(π6)=34 B.f(x)值域為[?34,11.已知函數(shù)f(x)=2?|x|,x≤1|log2(x?1)|,x>1，且關(guān)于x的方程f(x)=a恰有四個不同的根，從小到大依次為x1，xA.a∈[1,2)

B.x1+x2+4x3+x4最小值為9

C.f(f(x))?f(x)=0恰有三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知角α終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)，則sin2α=______．13.已知冪函數(shù)f(x)=(m2?m?1)?xm3在(0,+∞)單調(diào)遞增，則關(guān)于14.聲音是由于物體振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y=Asinωt.我們平時聽到的樂音不只是一個音在響，而是許多個音的結(jié)合，稱為復(fù)合音，一般地，我們聽到的聲音的函數(shù)可以表示為y=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+?.四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知tan(α+π4)=13．

(1)求tanα；

16.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=4x?a?2x．

(1)若f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(2)若f(x)在[1,2]17.(本小題12分)

學(xué)校準(zhǔn)備用一段長為30米的籬笆在墻角(墻的長度足夠長)圍出一個如圖的直角三角形ABC區(qū)域進(jìn)行栽種(其中BC為籬笆，AB，AC為墻)，設(shè)∠ABC=α.劃定正方形區(qū)域DEFG栽種鮮花，其中頂點(diǎn)E，F(xiàn)在斜邊BC上，頂點(diǎn)D，G分別在直角邊AB，AC上．

(1)設(shè)鮮花栽種區(qū)域面積為f(α)，求f(α)最大值并求此時的α；

(2)將鮮花栽種面積占圍出的整塊三角形區(qū)域面積的比例稱為土地有效利用率，求土地有效利用率的最大值．18.(本小題12分)

已知定義在(0,+∞)的函數(shù)f(x)滿足：對任意x，y>0，f(x)+f(y)=f(xy)+1，且當(dāng)x>1時，f(x)>1，f(2)=2．

(1)求證：f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增；

(2)已知f(a2?2a+32)=0，求證：函數(shù)g(x)=f(a?x2)?2f(a?x)+a為奇函數(shù)；

(3)19.(本小題12分)

對于函數(shù)f(x)，若f(x)存在兩個不同零點(diǎn)m，n滿足|m?n|≤1，則稱函數(shù)f(x)為“零點(diǎn)相近函數(shù)”．

(1)判斷函數(shù)f(x)=4x?5(x<2)log2x+2x?6(x≥2)是否為“零點(diǎn)相近函數(shù)”？

(2)設(shè)g(x)=2x+2+2?x．

(ⅰ)已知a∈(4,3參考答案1.C

2.B

3.C

4.D

5.C

6.D

7.B

8.B

9.ACD

10.BC

11.ABD

12.4513.(0,2)

14.[?15.解：(1)因為tan(α+π4)=tanα+11?tanα=13，

解得tanα=?12．

16.解：(1)根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=4x?a?2x，

令t=2x，則y=t2?at，

在區(qū)間[1,2]上，有t=2x∈[2,4]，且該函數(shù)為增函數(shù)，

因為f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=t2?at在t∈[2,4]上單調(diào)遞增，

故a2≤2，即a≤4，a的取值范圍為(?∞,4]；

(2)根據(jù)題意，令t=2x，則y=t2?at，

由于x∈[1,2]上，有t∈[2,4]，則函數(shù)y=?(t)=t2?at(t∈[2,4])的最大值為0，17.解：(1)設(shè)∠ABC=α，劃定正方形區(qū)域DEFG栽種鮮花，其中頂點(diǎn)E，F(xiàn)在斜邊BC上，頂點(diǎn)D，G分別在直角邊AB，AC上，

設(shè)EF=DE=GF=x，則BE=xtanα,CF=x?tanα，

∴x+xtanα+xtanα=30，即x=301+tanα+1tanα,α∈(0,π2)，

∴f(α)=x2=(301+tanα+1tanα)2≤(301+2tanα?1tanα)2=100，

當(dāng)且僅當(dāng)tanα=1即α=π4時取等，

所以f(α)的最大值為18.解：(1)證明：定義在(0,+∞)的函數(shù)f(x)滿足：對任意x，y>0，f(x)+f(y)=f(xy)+1，

且當(dāng)x>1時，f(x)>1，f(2)=2．

任取0<x1<x2，令x=x1,y=x2x1得f(x1)+f(x2x1)=f(x2)+1，

所以f(x2)?f(x1)=f(x2x1)?1，因為0<x1<x2,x2x1>1，則f(x2x1)?1>0，

所以f(x2)>f(x1)，即f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增；

(2)證明：定義在(0,+∞)的函數(shù)f(x)滿足：對任意x，y>0，f(x)+f(y)=f(xy)+1，

令x=y=1得f(1)=1；令x=12,y=2得f(12)+f(2)=f(1)+1,f(12)=0．

由f(a2?2a+32)=0=f(12)且f(x)單調(diào)遞增可知a2?2a+32=12?a=1，

所以g(x)=f(1?x2)?2f(1?x)+1，要使g(x)有意義，則1?x2>01?x>0?x∈(?1,1)19.解：(1)已知函數(shù)f(x)=4x?5(x<2)log2x+2x?6(x≥2)，

所以f(x)在(?∞,2)單調(diào)遞增，且有唯一零點(diǎn)54，

所以只需判斷在[2,94]是否有零點(diǎn)，由于f(x)在(2,+∞)單調(diào)遞增，

f(2)=1+4?6<0,f(52)=log252+5?6=log252?1>0．

f(94)=log294+92?6=log29?72=log29?log282<0

所以在[2,94]沒有零點(diǎn)，不是“零點(diǎn)相近函數(shù)”．

(2)(ⅰ)證明：函數(shù)g(x)?a的零點(diǎn)即方程g(x)?a=2x+2+2?x?a=0