河北省衡水市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

河北省衡水市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.將三角形數(shù)1，3，6，10，…即為數(shù)列{an}，則a6A.21 B.22 C.28 D.262.設(shè)某曲線上一動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F(3,0)的距離與到直線x=?3的距離相等，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線l與該曲線相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰為等線段AB的中點(diǎn)，則|AF|+|BF|=(

)A.6 B.10 C.12 D.143.已知雙曲線x2a2?y2b2=1的右焦點(diǎn)為F(5,0)，點(diǎn)P，Q在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)OA.52 B.2 C.4.兩圓相交于兩點(diǎn)(1,3)和(m,1)，兩圓的圓心都在直線x?y+c2=0上，則m+c=A.?1 B.2 C.3 D.05.已知雙曲線C：x2?y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若左支上的兩點(diǎn)A，B與左焦點(diǎn)F1三點(diǎn)共線，且A.2 B.3 C.4 D.66.在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，DF，EF，將△ADE，△CDF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合，得到三棱錐O?DEF，則該三棱錐外接球的表面積為(

)

A.3π B.6π C.6π 7.曲線L：x=?1+2cosθy=?1+2sinθ(θ為參數(shù))上的點(diǎn)到曲線C1：A.1 B.22?2 C.8.平面向量a,b滿足|a|=1,|b|=3A.1 B.12 C.33二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為anA.此數(shù)列不能用圖象表示

B.此數(shù)列的圖象僅在第一象限

C.此數(shù)列的圖象為直線y=4x?5

D.此數(shù)列的圖象為直線y=4x?5上滿足x∈N10.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為4，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M(x1,yA.拋物線C的準(zhǔn)線l的方程為x=?2

B.|MN|的最小值為4

C.若A(4,2)，點(diǎn)Q為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，則|QA|+|QF|的最小值為6

D.2x111.對(duì)于棱長(zhǎng)為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))，下列說(shuō)法正確的是(

)A.底面半徑為1m，高為2m的圓錐形罩子(無(wú)底面)能夠罩住水平放置的該正方體

B.以該正方體的三條棱作為圓錐的母線，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為22

C.該正方體內(nèi)能同時(shí)整體放入兩個(gè)底面半徑為0.5m，高為0.7m的圓錐

D.該正方體內(nèi)能整體放入一個(gè)體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知雙曲線C：x2?y2=2，過(guò)右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若A，B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，則弦13.已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a2+b2=1，c2+d14.已知點(diǎn)P是圓x2+y2=2上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線1：3x?4y+15=0上的動(dòng)點(diǎn)，則四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知圓C的圓心坐標(biāo)為(2t,1t)，其中t∈R且t≠0，x軸、y軸被圓C截得的弦分別為OA，OB.

(1)求證：△OAB的面積為定值，并求出這個(gè)定值；

(2)設(shè)直線2x+y?4=0與圓C交于M，N兩點(diǎn)，若|OM|=|ON|，求圓16.(本小題12分)

如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．

(1)求證：MN//平面PAD；

(2)求證：MN⊥CD；

(3)若二面角P?DC?A大小為45°，求證：平面PMC⊥平面PDC.17.(本小題12分)

已知拋物線C：y2=4x的對(duì)稱軸上一點(diǎn)A(a,0)(a>0)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn).

(1)若拋物線C上到點(diǎn)A最近的點(diǎn)恰為拋物線的頂點(diǎn)(0,0)，求a的取值范圍；

(2)設(shè)直線OM的斜率為kOM，直線ON的斜率為kON，若kOM18.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F，E，點(diǎn)M(?1,?32)在C上，且MF⊥x軸.

(1)求C的方程.

(2)已知直線l1過(guò)點(diǎn)D(?2,0)且與x軸垂直，直線l2過(guò)點(diǎn)A(t,0)(t>a)且與橢圓C相切，直線19.(本小題12分)

已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)中，焦距為42，且雙曲線過(guò)點(diǎn)P(?3,1).斜率不為零的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P.

(Ⅰ)求雙曲線的方程；

(Ⅱ)答案和解析1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】ABC

10.【答案】ACD

11.【答案】BCD

12.【答案】613.【答案】214.【答案】3?15.【答案】(1)證明：因?yàn)?2t,1t)(t∈R,t≠0),x軸、y軸被圓C截得的弦分別為OA、OB，

所以AB經(jīng)過(guò)C，又C為AB中點(diǎn)，所以A(4t,0),B(0,2t)，

所以S△OAB=12|OA|?|OB|=12|4t||2t|=4，所以△OAB的面積為定值．

(2)解：因?yàn)橹本€2x+y?4=0與圓C交于M，N兩點(diǎn)，|OM|=|ON|，

所以MN的中垂線經(jīng)過(guò)O，且過(guò)C，所以O(shè)C的方程y=12x，

所以1t=12?2t，所以當(dāng)t=1時(shí)，有圓心C(2,1)，半徑r=5，

所以圓心C到直線2x+y?4=0的距離為d=55<5，

所以直線2x+y?4=0與圓C16.【答案】(1)證明：取PD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE、EN，

∵E、N分別為PD、PC的中點(diǎn)，

∴EN//CD且EN=12CD，

又∵四邊形ABCD是矩形，則AB//CD，AB=CD，

∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，

∴AM//CD且AM=12CD，

∴EN//AM，EN=AM，

∴四邊形AMNE為平行四邊形，

∴MN//AE，

∵M(jìn)N?平面PAD，AE?平面PAD，

∴MN//平面PAD；

(2)證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，

∴CD⊥PA，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴CD⊥AD，

∵PA∩AD=A，PA、AD?平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，

∵AE?平面PAD，

∴AE⊥CD，

由(1)知；MN//AE，

∴MN⊥CD；

(3)證明：因?yàn)镃D⊥平面PAD，AD,PD?平面PAD，

所以CD⊥AD，CD⊥PD，

所以∠PDA就是二面角P?DC?A的平面角，即∠PDA=45°，

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，

所以PA⊥AD，那么△PAD為等腰直角三角形，

因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以AE⊥PD，又AE//MN，所以MN⊥PD，

根據(jù)(2)的結(jié)論MN⊥CD，且PD∩CD=D，PD,CD?平面PDC，

所以MN⊥平面PDC，

又MN?平面PMC17.【答案】解：(I)設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)P(x,y)

則PA2=(x?a)2+4x=[x?(a?2)]2+4a?4

由條件可知，a?2≤0，∴0<a≤2

(II)設(shè)直線l：x=ty+a代入y2=4x得：y2?4ty?4a=0

18.【答案】解：(1)設(shè)F(?c,0)，

因?yàn)辄c(diǎn)M(?1,?32)在C上，且MF⊥x軸

所以c=1且b2a=32，

此時(shí)a2?1a=32，

解得a=2，b=3，

則橢圓C的方程為x24+y23=1；

(2)根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)B在第二象限，

設(shè)B(?2,n)(n>0)，

此時(shí)直線AB的方程為y=?nt+2(x?t)，

聯(lián)立y=?nt+2(x?t)x24+y23=1，消去y并整理得[3(t+2)2+4n2]x2?8tn19.【答案】解：(I