2023年人教版高中數(shù)學(xué)選修一必考考點(diǎn)訓(xùn)練

(名師選題)2023年人教版高中數(shù)學(xué)選修一必考考點(diǎn)訓(xùn)練

單選題1、已知拋物線：，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)向圓：作切線，切點(diǎn)分別為，，則四邊形的面積的最小值為（

）A．1B．2C．D．答案：C分析：由題意圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，可得連接，則，而，所以當(dāng)最小時(shí)，四邊形的面積最小，再拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離的最小值，結(jié)合拋物線的性質(zhì)可求得結(jié)果如圖，連接，圓：，該圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，半徑為1，則．又，所以當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，最?。^點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，當(dāng)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，最小，此時(shí)．故．故選：C2、直線恒過定點(diǎn)（

）A．B．C．D．答案：B分析：由時(shí)，可得到定點(diǎn)坐標(biāo).當(dāng)，即時(shí)，，直線恒過定點(diǎn).故選：B.3、如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)．若雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，，則E的離心率為（

）A．B．C．D．答案：B分析：利用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及雙曲線定義，用表示，再在兩個(gè)直角三角形中借助勾股定理求解作答.依題意，直線都過點(diǎn)，如圖，有，，設(shè)，則，顯然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：B小提示：方法點(diǎn)睛：求雙曲線離心率的三種方法：①定義法，通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法，由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.4、平面的一個(gè)法向量是,,，平面的一個(gè)法向量是,6,，則平面與平面的關(guān)系是（

）A．平行B．重合C．平行或重合D．垂直答案：C分析：由題設(shè)知，根據(jù)空間向量共線定理，即可判斷平面與平面的位置關(guān)系.平面的一個(gè)法向量是,,，平面的一個(gè)法向量是,6,，

，平面與平面的關(guān)系是平行或重合．故選：C．5、拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（

）A．1B．2C．D．4答案：B分析：首先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得的值.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.6、已知點(diǎn)和，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則最大值是（

）A．B．C．D．答案：A分析：設(shè)左焦點(diǎn)為，為橢圓右焦點(diǎn)，利用橢圓定義轉(zhuǎn)化，然后利用平面幾何的性質(zhì)得最大值．解：橢圓，所以為橢圓右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為，則由橢圓定義，于是.當(dāng)不在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，??三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是，而當(dāng)在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)，有，在第三象限交點(diǎn)時(shí)有.顯然當(dāng)在直線與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)有最大值，其最大值為.故選：A.7、已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的周長為（

）A．B．C．D．答案：D分析：運(yùn)用橢圓的定義進(jìn)行求解即可.由.因?yàn)椋菣E圓的上的點(diǎn)，、是橢圓的焦點(diǎn)，所以，因此的周長為，故選：D8、已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，則k的取值范圍是（

）A．(－∞，－1)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．答案：A分析：把圓的方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0化為標(biāo)準(zhǔn)型，利用，解出k的取值范圍.方程可化為(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1時(shí)才能表示圓．故選：A.9、已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A．B．C．5D．6答案：B分析：根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式、配方法進(jìn)行求解即可.解：設(shè)圓的圓心為，則，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，所以．故選：B．10、“”是“直線與直線相互垂直”的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案：A分析：直線與直線相互垂直得到，再利用充分必要條件的定義判斷得解.因?yàn)橹本€與直線相互垂直，所以，所以.所以時(shí)，直線與直線相互垂直，所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分條件；當(dāng)直線與直線相互垂直時(shí)，不一定成立，所以“”是“直線與直線相互垂直”的非必要條件.所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分非必要條件.故選：A小提示：方法點(diǎn)睛：充分必要條件的判定，常用的方法有：（1）定義法；（2）集合法；（3）轉(zhuǎn)化法.

要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.11、已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點(diǎn)，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（

）A．B．C．D．答案：D分析：由圖形可得，根據(jù)比例關(guān)系可得，，再根據(jù)向量減法，代入整理并代換為基底向量．即故選：D．12、已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程（

）A．x2－＝1(x≤－1)B．x2－＝1C．x2－＝1(x1)D．－x2＝1答案：A分析：根據(jù)雙曲線定義求解,則根據(jù)雙曲線定義知的軌跡為的左半支故選：A雙空題13、已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，是雙曲線左支上的一點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的周長最小為_________，此時(shí)其面積為___________．答案：

32

分析：作出圖形，由雙曲線的定義可得，再由、、三點(diǎn)共線可求得周長的最小值；求得直線的方程，將該直線的方程與雙曲線的方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可求得的面積.設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由雙曲線方程可知，，故、.當(dāng)點(diǎn)在雙曲線左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由雙曲線定義知，所以，從而的周長為．因?yàn)闉槎ㄖ?，所以?dāng)最小時(shí)，的周長最小．由圖可知，此時(shí)點(diǎn)為線段與雙曲線的交點(diǎn)，則的周長為．由題意可知直線的方程為．由消去，得，解得或（舍去），所以．所以答案是：；.14、如圖，一個(gè)酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬cm，杯深8cm，稱為拋物線酒杯．①在杯口放一個(gè)表面積為的玻璃球，則球面上的點(diǎn)到杯底的最小距離為______

cm；②在杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為______(單位：cm)．答案：

分析：根據(jù)題意，，進(jìn)而得，，故最小距離為；進(jìn)而建立坐標(biāo)系，得拋物線的方程為，當(dāng)杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，此時(shí)設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，進(jìn)而只需滿足拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.因?yàn)楸诜乓粋€(gè)表面積為的玻璃球，所以球的半徑為，又因?yàn)楸趯抍m，所以如圖1所示，有，所以，所以，所以，又因?yàn)楸?cm，即故最小距離為如圖1所示，建立直角坐標(biāo)系，易知，設(shè)拋物線的方程為，所以將代入得，故拋物線方程為，當(dāng)杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，如圖2，

設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，依題意，需滿足拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立，即，則有恒成立，解得，可得.所以玻璃球的半徑的取值范圍為.所以答案是：；小提示：本題考查拋物線的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模能力，運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于設(shè)出球觸及酒杯底部的軸截面圓的方程，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立求解.15、已知F為橢圓的左焦點(diǎn)，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，M為橢圓上的任一點(diǎn)，則______；若軸，垂足為E，BE與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P，的余弦值為______．答案：

##

0分析：設(shè)出，，，表達(dá)出，結(jié)合點(diǎn)M，A在橢圓上，滿足橢圓方程，化簡后求出；表達(dá)出，結(jié)合，化簡得到，求出，得到余弦值.設(shè)，，則，，因?yàn)辄c(diǎn)M，A在橢圓上，，，兩式相減得，，故．由題意得，，因?yàn)?，，而，因?yàn)闉闄E圓上一點(diǎn)，所以，則，得，故，則，，故余弦值為0．所以答案是：，016、已知橢圓，雙曲線．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為__________；雙曲線N的離心率為__________．答案：

2分析：方法一：由正六邊形性質(zhì)得漸近線的傾斜角，解得雙曲線中關(guān)系，即得雙曲線N的離心率；由正六邊形性質(zhì)得橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，再根據(jù)橢圓定義得，解得橢圓M的離心率.［方法一］：【最優(yōu)解】數(shù)形結(jié)合＋定義法由正六邊形性質(zhì)得橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，再根據(jù)橢圓定義得，所以橢圓M的離心率為雙曲線N的漸近線方程為，由題意得雙曲線N的一條漸近線的傾斜角為，

所以答案是：；．［方法二］：

數(shù)形結(jié)合＋齊次式求離心率設(shè)雙曲線的一條漸近線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，橢圓的右焦點(diǎn)為．由題可知，為正六邊形相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，所以（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．所以．因此雙曲線的離心率．由與聯(lián)立解得．因?yàn)槭钦切?，所以，因此，可得．將代入上式，化簡、整理得，即，解得，（舍去）．所以，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為2．所以答案是：；．［方法三］：數(shù)形結(jié)合＋橢圓定義＋解焦點(diǎn)三角形

由條件知雙曲線N在第一、三象限的漸近線方程為，于是雙曲線N的離心率為．設(shè)雙曲線的一條漸近線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為A，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為．在中，．由正弦定理得．于是．即橢圓的離心率．所以答案是：；．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接根據(jù)橢圓的定義以及正六邊形性質(zhì)求解，是該題的最優(yōu)解；方法二：利用正六邊形性質(zhì)求出雙曲線的離心率，根據(jù)平面幾何條件創(chuàng)建齊次式求出橢圓的離心率，運(yùn)算較為復(fù)雜；方法三：利用正六邊形性質(zhì)求出雙曲線的離心率，再根據(jù)通過解焦點(diǎn)三角形求橢圓離心率．17、已知點(diǎn).

若從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線反射后過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程為_____________；若從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線反射，再經(jīng)直線反射后回到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是__________（結(jié)果用表示）.答案：

解析：首先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，由結(jié)合點(diǎn)斜式即可求解；求出點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，

即為光線經(jīng)過的路程.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，直線：，所以解得，，故，由：，即.

點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，

由解得，，故.故

所以答案是：；小提示：本題主要考查點(diǎn)斜式方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間的距離公式，考查了學(xué)生的基本知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.解答題18、如圖，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD，B1C的中點(diǎn)，利用向量法證明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析.分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方向向量和平面的法向量，利用直線的方向向量和平面的法向量的數(shù)量積為0進(jìn)行證明；（2）證明兩個(gè)平面有相同的一個(gè)法向量即可..（1）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).由正方體的性質(zhì)，知AD⊥平面CC1D1D，所以＝(2，0，0)為平面CC1D1D的一個(gè)法向量.由于＝(0，1，－1)，則＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.又MN?平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.（2）證明：因?yàn)椋?2，0，0)為平面CC1D1D的一個(gè)法向量，由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，則，即＝(2，0，0)也是平面MNP的一個(gè)法向量，所以平面MNP∥平面CC1D1D.19、已知直線和直線.(1)當(dāng)m為何值時(shí)，直線和平行？(2)當(dāng)m為何值時(shí)，直線和重合？答案：(1)或(2)分析：（1）（2）由直線平行與重合的公式列方程組求解.（1）由題意，，得，解得或當(dāng)或時(shí)，直線和平行.（2）由題意，，得，解得，當(dāng)時(shí)，直線和重合.20、在平面直角坐標(biāo)系中，已知四點(diǎn)，，，.（1）這四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上?如果是，求出這個(gè)圓的方程；如果不是，請(qǐng)說明理由；（2）求出到點(diǎn)，，，的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo).答案：（1）四點(diǎn)，，，都在圓上；（2）.分析：