2024-2025學年江蘇省揚州市高郵市高一上冊10月月考數(shù)學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年江蘇省揚州市高郵市高一上學期10月月考數(shù)學檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，．如圖，則陰影部分所表示的集合的元素共有（）A.個 B.個C.個 D.無窮多個2.已知“”必要不充分條件是“或”，則實數(shù)a的最大值為（）A. B.0 C.1 D.23.已知，為實數(shù)，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.若，則下列不等式中，正確不等式有（）A. B. C. D.5.已知且，不等式恒成立，則正實數(shù)m的取值范圍是（）A.m≥2 B.m≥4 C.m≥6 D.m≥86.已知a，b，R，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7.若由，，組成的集合與由，，組成的集合相等，則的值為（）A. B. C. D.8.《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(用幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一方法，很多代數(shù)公理?定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，并稱之為“無字”證明.如圖，AB是半圓O的直徑，點C是AB上一點(不同于A，B，O)，點D在半圓O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于E.設AC=a，BC=b，則該圖形可以完成的“無字”證明為（）A.(a>0，b>0)B.(a>0，b>0，a≠b)C.(a>0，b>0)D.(a>0，b>0，a≠b)二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)．若對于任意，都有，且若，則，則稱P是一個數(shù)域．例如，有理數(shù)集Q是數(shù)域．下列命題正確的是（）A.數(shù)域必含有0，1兩個數(shù)B.整數(shù)集是數(shù)域C.若有理數(shù)集，則數(shù)集M一定數(shù)域D.數(shù)域中有無限多個元素10.下列說法正確的是（）A.任何集合都是它自身的真子集B.集合共有4個子集C.集合D.集合11.已知a，b為正實數(shù)，且，則（）A.ab的最大值為4 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，，若，則實數(shù)的值為_____.13.若x∈R，則與的大小關系為________.14.中國宋代的數(shù)學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內有一個三角形，邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，或．（1）若，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍．16.已知集合，集合，命題，命題.（1）當實數(shù)a為何值時，p是q的充要條件；（2）若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.17.某市近郊有一塊400m×400m正方形的荒地，準備在此荒地上建一個綜合性休閑廣場，需先建一個總面積為3000的矩形場地（如圖所示）．圖中，陰影部分是寬度為2m的通道，三個矩形區(qū)域將鋪設塑膠地面作為運動場地（其中兩個小矩形場地形狀、大小相同），塑膠運動場地總面積為．（1）求S關于x的關系式，并寫出x的取值范圍；（2）當x為何值時S取得最大值，并求最大值．18.（1）已知為正數(shù)，且滿足.證明.（2）若，，其中，試比較的大小.19.設k是正整數(shù)，A是的非空子集（至少有兩個元素），如果對于A中的任意兩個元素x，y，都有，則稱A具有性質．（1）試判斷集合和否具有性質？并說明理由．（2）若．證明：A不可能具有性質．（3）若且A具有性質和．求A中元素個數(shù)的最大值．2024-2025學年江蘇省揚州市高郵市高一上學期10月月考數(shù)學檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，．如圖，則陰影部分所表示的集合的元素共有（）A.個 B.個C.個 D.無窮多個【正確答案】B【分析】化簡集合，結合圖象，根據(jù)交集的定義求結論.【詳解】不等式的解集為，所以，由圖象可得陰影部分所表示的集合為，又，，所以所以陰影部分所表示的集合的元素共有個.故選：B.2.已知“”的必要不充分條件是“或”，則實數(shù)a的最大值為（）A. B.0 C.1 D.2【正確答案】D【分析】解不等式可得，或.根據(jù)已知列出不等式組，即可得出答案.【詳解】解，可得，或.由題意，，解得，檢驗符合題意.故選：D．3.已知，為實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷.【詳解】當時，，即成立，由，得，解得或，所以當時，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A4.若，則下列不等式中，正確的不等式有（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由可得，根據(jù)不等式的性質即可判斷ABC，根據(jù)基本不等式即可判斷D.【詳解】A：因，所以，故A正確；B：因為，所以，故B錯誤；C：因為，所以，則，故C錯誤；D：由，得且，由基本不等式得，故D錯誤.故選：A5.已知且，不等式恒成立，則正實數(shù)m的取值范圍是（）A.m≥2 B.m≥4 C.m≥6 D.m≥8【正確答案】D【分析】由條件結合基本不等式可求的范圍，化簡不等式可得，利用二次函數(shù)性質求的最大值，由此可求m的取值范圍.【詳解】不等式可化為，又，，所以，令，則，因為，，所以，當且僅當時等號成立，又已知在上恒成立，所以因為，當且僅當時等號成立，所以m≥8，當且僅當，或，時等號成立，所以m的取值范圍是，故選：D.6.已知a，b，R，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】C【分析】結合不等式性質利用反例說明選項AB不成立，利用作差法比大小來判斷CD的正誤即得結果.【詳解】選項A中，時，不成立；選項B中，時，則，故結論不成立；選項C中，若，則，故，結論成立；選項D中，若，則，故，結論不成立.故選：C.7.若由，，組成的集合與由，，組成的集合相等，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由集合相等列方程求，再求的值.【詳解】因為，，，所以，又，所以，故，因為，故，又，所以，所以.故選：C.8.《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(用幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一方法，很多代數(shù)公理?定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，并稱之為“無字”證明.如圖，AB是半圓O的直徑，點C是AB上一點(不同于A，B，O)，點D在半圓O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于E.設AC=a，BC=b，則該圖形可以完成的“無字”證明為（）A.(a>0，b>0)B.(a>0，b>0，a≠b)C.(a>0，b>0)D.(a>0，b>0，a≠b)【正確答案】D【分析】求出半圓O的半徑DO=，DC=，DE=，根據(jù)DE<DC<DO即得解.【詳解】由AC=a，BC=b，可得半圓O的半徑DO=，因為是直徑，所以.易得DC=，所以DE=，∵DE<DC<DO，∴(a>0，b>0，a≠b).故選：D.本題主要考查基本不等式的證明，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)．若對于任意，都有，且若，則，則稱P是一個數(shù)域．例如，有理數(shù)集Q是數(shù)域．下列命題正確的是（）A.數(shù)域必含有0，1兩個數(shù)B.整數(shù)集是數(shù)域C.若有理數(shù)集，則數(shù)集M一定是數(shù)域D.數(shù)域中有無限多個元素【正確答案】AD【分析】根據(jù)數(shù)域的定義逐項進行分析即可．【詳解】因為P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，可知P中必有一個非零實數(shù)，對于選項A：當時，、，故A正確；對于選項B：例如，，但，不滿足條件，故B錯誤；對于選項C：例如，取，，但，所以數(shù)集M不是一個數(shù)域，故C錯誤；對于選項D：由選項A可知：數(shù)域必含有0，1兩個數(shù)，根據(jù)數(shù)域的性質可知：數(shù)域必含有，必為無限集，故可知D正確．故選：AD.10.下列說法正確的是（）A.任何集合都是它自身的真子集B集合共有4個子集C.集合D.集合【正確答案】BC【分析】A選項，舉出反例；B選項，根據(jù)元素個數(shù)求出子集個數(shù)；C選項，兩個集合中的元素均為被3除余1的所有整數(shù)，C正確；D選項，舉出，但，D錯誤.【詳解】對于A，空集不是它自身的真子集，故A錯誤；對于B，因為集合中有2個元素，所以有個子集，故B正確；對于C，因為兩個集合中的元素均為被3除余1的所有整數(shù)，所以兩個集合相等，故C正確；對于D，因為，當時，，所以，但，故兩個集合不相等，故D錯誤.故選：BC11.已知a，b為正實數(shù)，且，則（）A.ab的最大值為4 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為2【正確答案】BD【分析】根據(jù)基本不等式及“1”代換即可判斷各選項.【詳解】對于A，，因為（當且僅當時取“=”），所以ab的最小值為4，A錯誤；對于B，由，得（當且僅當時取“=”），B正確；對于C，（當且僅當時，取“=”），C錯誤；對于D，（當且僅當時，取“=”），D正確．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，，若，則實數(shù)的值為_____.【正確答案】【分析】由于方程中項含參數(shù)，需要對其分兩種情況和討論即可.【詳解】由題意知，當時，，滿足題意；當時，方程的根是，由得：，即或，解得或，綜上，值為.故答案是.13.若x∈R，則與的大小關系為________.【正確答案】【分析】利用作差比較法,將化簡后的代數(shù)式與0比較大小,得出結論.【詳解】∵－＝＝≤0，∴≤.故答案為:本題考查不等式的應用,考查作差法比較大小,考查學生的計算能力,屬于基礎題.14.中國宋代的數(shù)學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內有一個三角形，邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為________．【正確答案】12【分析】算得，直接由基本不等式即可求解.【詳解】依題意，所以當且僅當，時等號成立．故12．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，或．（1）若，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）分和兩種情況討論求解即可；（2）由題意得，從而可求出的取值范圍．【小問1詳解】①當時，，∴，∴．②當時，要使，必須滿足，解得．綜上所述，的取值范圍是．【小問2詳解】∵，，或，∴，解得，故所求的取值范圍為．16.已知集合，集合，命題，命題.（1）當實數(shù)a為何值時，p是q的充要條件；（2）若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）解分式不等式求出集合，根據(jù)p是q的充要條件，可得，即可得解；（2）由p是q的充分不必要條件，可得A是B的真子集，再分和兩種情況討論，從而可得出答案.【小問1詳解】解：，即，有，解得，故，因為p是q的充要條件，所以，故的解集也為，所以，解得；【小問2詳解】解：因為p是q的充分不必要條件，所以A是B的真子集，①時，此時，即或，符合題意，②時，當或時，，即，此時（不同時取等號），解得，當時，，即，此時（不同時取等號），解得，綜上所述a的取值范圍.17.某市近郊有一塊400m×400m正方形的荒地，準備在此荒地上建一個綜合性休閑廣場，需先建一個總面積為3000的矩形場地（如圖所示）．圖中，陰影部分是寬度為2m的通道，三個矩形區(qū)域將鋪設塑膠地面作為運動場地（其中兩個小矩形場地形狀、大小相同），塑膠運動場地總面積為．（1）求S關于x的關系式，并寫出x的取值范圍；（2）當x為何值時S取得最大值，并求最大值．【正確答案】（1），（2）m，最大值為2430【分析】（1）設矩形場地的另一條邊的長為y，可得，，即可得出面積關系式．（2）根據(jù)已知條件，結合基本不等式的公式，即可求解．小問1詳解】解：（1）設矩形場地的另一條邊的長為y，則，即，且，，∵，∴，∴，；【小問2詳解】，當且僅當，即，滿足，等號成立，故當m時，S取得最大值，其最大值為2430．18.（1）已知為正數(shù)，且滿足.證明.（2）若，，其中，試比較的大小.【正確答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）利用將所證不等式可變?yōu)?，再利用基本不等式即可得證；（2）利用完全平方公式，結合不等式的性質即可得解.【詳解】（1），，，，當且僅當時，等號成產，，即.（2）因為，，又，則，所以，則，所以，即.19.設k是正整數(shù)，A是的非空子集（至少有兩個元素），如果對于A中的任意兩個元素x，y，都有，則稱A具有性質．（1）試判斷集合和是否具有性質？并說明理由．（2）若．證明：A不可能具有性質．（3）若且A具有性質和．求A中元素個數(shù)的最大值．【正確答案】（1）不具有性質，具有性質，理由見解析（2）證明見解析（3）920【分析】（1）根據(jù)定義判斷是否具有性質即可；（2）將分為個子集，結合抽屜原理證明結論；（3）先證明連續(xù)個自然數(shù)中至多有個元素屬于，由此可得集合A中元素個數(shù)不超過個，再舉例說明存在含有個元素的滿足要求的集合.【小問1詳解】因為，又，但，所以集合不具有性質，因為，