2025年高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)歸納第13講、函數(shù)模型及其應(yīng)用特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

第13講函數(shù)模型及其應(yīng)用知識(shí)梳理1、幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型：函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型，為常數(shù)且反比例函數(shù)模型，為常數(shù)且二次函數(shù)模型，，為常數(shù)且指數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，對(duì)數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，冪函數(shù)模型，為常數(shù)，2、解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟：（1）審題：弄清題意，識(shí)別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；（2）建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用已有知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；（4）還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題．必考題型全歸納題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型【例1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）汽車(chē)在行駛中，由于慣性，剎車(chē)后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱(chēng)這段距離為“剎車(chē)距離”.剎車(chē)距離是分析交通事故的一個(gè)重要依據(jù).在一個(gè)限速為的彎道上，甲、乙兩輛汽車(chē)相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車(chē)，但還是相碰了.事后現(xiàn)場(chǎng)勘查，測(cè)得甲車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)，乙車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò).已知甲車(chē)的剎車(chē)距離與車(chē)速之間的關(guān)系為，乙車(chē)的剎車(chē)距離與車(chē)速之間的關(guān)系為.請(qǐng)判斷甲、乙兩車(chē)哪輛車(chē)有超速現(xiàn)象（

）A．甲、乙兩車(chē)均超速 B．甲車(chē)超速但乙車(chē)未超速C．乙車(chē)超速但甲車(chē)未超速 D．甲、乙兩車(chē)均未超速【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖為某小區(qū)七人足球場(chǎng)的平面示意圖，為球門(mén)，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線(xiàn)上距離邊線(xiàn)米的點(diǎn)處接球，此時(shí)，假設(shè)甲沿著平行邊線(xiàn)的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)處射門(mén)，為獲得最佳的射門(mén)角度（即最大），則射門(mén)時(shí)甲離上方端線(xiàn)的距離為（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·云南·統(tǒng)考二模）下表是某批發(fā)市場(chǎng)的一種益智玩具的銷(xiāo)售價(jià)格：一次購(gòu)買(mǎi)件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上每件價(jià)格37元32元30元27元25元張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)這種玩具，贈(zèng)送給一所幼兒園，張師傅最多可買(mǎi)這種玩具（

）A．116件 B．110件 C．107件 D．106件【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來(lái)的發(fā)展機(jī)遇，開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另投入成本萬(wàn)元.其中，若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價(jià)為70元，則該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為（

）A．720萬(wàn)元 B．800萬(wàn)元C．875萬(wàn)元 D．900萬(wàn)元【解題方法總結(jié)】1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化規(guī)律分別找出來(lái)，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值．2、構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，不重不漏．題型二：對(duì)勾函數(shù)模型【例2】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某企業(yè)投入萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加萬(wàn)元．為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來(lái)一段時(shí)期內(nèi)，成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方向.某品牌行車(chē)記錄儀支架銷(xiāo)售公司從2018年1月起開(kāi)展網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷(xiāo)售模式.根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營(yíng)發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷(xiāo)量x萬(wàn)件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t萬(wàn)元之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬(wàn)元，產(chǎn)品每1萬(wàn)件進(jìn)貨價(jià)格為32萬(wàn)元，若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，則該公司最大月利潤(rùn)是___________萬(wàn)元.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）迷你KTV是一類(lèi)新型的娛樂(lè)設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類(lèi)似電話(huà)亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場(chǎng)中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中，，曲線(xiàn)段是圓心角為的圓弧，設(shè)該迷你KTV橫截面的面積為，周長(zhǎng)為，則的最大值為_(kāi)__________．（本題中取進(jìn)行計(jì)算）【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書(shū)卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形截去同心扇形所得部分．已知扇環(huán)周長(zhǎng)，大扇形半徑，設(shè)小扇形半徑，弧度，則①關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式_________．②若雕刻費(fèi)用關(guān)于x的解析式為，則磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為_(kāi)_______．【解題方法總結(jié)】1、解決此類(lèi)問(wèn)題一定要注意函數(shù)定義域；2、利用模型求解最值時(shí)，注意取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件．題型三：指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型【例3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）2020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng)．該企業(yè)2021年初有資金150萬(wàn)元，資金的年平均增長(zhǎng)率固定，每三年政府將補(bǔ)貼10萬(wàn)元．若要實(shí)現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬(wàn)元的目標(biāo)，資金的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)為（參考值：）（

）A．10% B．20% C．22% D．32%【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）近年來(lái)，天然氣表觀消費(fèi)量從2006年的不到m3激增到2021年的m3.從2000年開(kāi)始統(tǒng)計(jì)，記k表示從2000年開(kāi)始的第幾年，，.經(jīng)計(jì)算機(jī)擬合后發(fā)現(xiàn)，天然氣表觀消費(fèi)量隨時(shí)間的變化情況符合，其中是從2000年后第k年天然氣消費(fèi)量，是2000年的天然氣消費(fèi)量，是過(guò)去20年的年復(fù)合增長(zhǎng)率.已知2009年的天然氣消費(fèi)量為m3，2018年的天然氣消費(fèi)量為m3，根據(jù)擬合的模型，可以預(yù)測(cè)2024年的天然氣消費(fèi)量約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，A．m3 B．m3C．m3 D．m3【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）血氧飽和度是血液中被氧結(jié)合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結(jié)合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).正常人體的血氧飽和度一般情況下不低于，否則為供養(yǎng)不足.在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型:描述血氧飽和度（單位）隨機(jī)給氧時(shí)間（單位:時(shí)）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，為參數(shù).已知，給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為，若使血氧飽和度達(dá)到正常值，則給氧時(shí)間至少還需要（

）小時(shí).（參考數(shù)據(jù):）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）昆蟲(chóng)信息素是昆蟲(chóng)用來(lái)表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學(xué)物質(zhì)，是昆蟲(chóng)之間起化學(xué)通訊作用的化合物，是昆蟲(chóng)交流的化學(xué)分子語(yǔ)言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲(chóng)信息素在生產(chǎn)中有較多的應(yīng)用，尤其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的病蟲(chóng)害的預(yù)報(bào)和防治中較多使用．研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲(chóng)釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測(cè)得的信息素濃度y滿(mǎn)足，其中k，a為非零常數(shù)．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測(cè)得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為，則b＝（

）A．3 B．4 C．5 D．6【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線(xiàn)性數(shù)量關(guān)系通常以?xún)绾瘮?shù)形式表示．比如，某類(lèi)動(dòng)物的新陳代謝率與其體重滿(mǎn)足，其中和為正常數(shù)，該類(lèi)動(dòng)物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】1、在解題時(shí)，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來(lái)越快（底數(shù)大于1）的一類(lèi)函數(shù)模型，與增長(zhǎng)率、銀行利率有關(guān)的問(wèn)題都屬于指數(shù)模型．2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型問(wèn)題時(shí)，一般先需通過(guò)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求解最值問(wèn)題．題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題【例4】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：，其中為時(shí)間（單位：），為環(huán)境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度），假設(shè)在室內(nèi)溫度為的情況下，一桶咖啡由降低到需要.則的值為_(kāi)________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)碳14會(huì)按照確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，照此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量與死亡時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，（其中為生物死亡之初體內(nèi)的碳14含量，為死亡時(shí)間（單位：年），通過(guò)測(cè)定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為，則該生物的死亡時(shí)間大約是______年前．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）隨時(shí)間（小時(shí)）變化的規(guī)律近似滿(mǎn)足表達(dá)式《酒后駕車(chē)與醉酒駕車(chē)的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)處罰》規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量不得超過(guò)毫克/毫升此駕駛員至少要過(guò)小時(shí)后才能開(kāi)車(chē)___________.（精確到小時(shí)）【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）能源是國(guó)家的命脈，降低能源消耗費(fèi)用是重要抓手之一，為此，某市對(duì)新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價(jià)，每厘米厚的隔熱層造價(jià)成本是9萬(wàn)元人民幣.又根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間的每年的能源消耗費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度（單位：厘米）滿(mǎn)足關(guān)系：，經(jīng)測(cè)算知道，如果不建隔熱層，那么30年間的每年的能源消耗費(fèi)用為10萬(wàn)元人民幣.設(shè)為隔熱層的建造費(fèi)用與共30年的能源消耗費(fèi)用總和，那么使達(dá)到最小值時(shí)，隔熱層厚度__________厘米.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某地在20年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長(zhǎng)，GDP的值（單位，億元）與時(shí)間（單位：年）之間的關(guān)系為，其中為時(shí)的值.假定，那么在時(shí)，GDP增長(zhǎng)的速度大約是___________.（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：，當(dāng)取很小的正數(shù)時(shí)，【解題方法總結(jié)】求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn)．題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題【例5】（2024·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長(zhǎng)的水渠，水渠的過(guò)水橫斷面為底角為120°的等腰梯形（如圖）水渠底面與側(cè)面的修建造價(jià)均為每平方米100元，為了提高水渠的過(guò)水率，要使過(guò)水橫斷面的面積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬(wàn)元，當(dāng)過(guò)水橫斷面面積最大時(shí)，水果的深度（即梯形的高）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2024·北京·高三北京市八一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）某純凈水制造廠在凈化水的過(guò)程中，每增加一次過(guò)濾可使水中雜質(zhì)減少50%，若要使水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的5%以下，則至少需要過(guò)濾（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2次 B．3次 C．4次 D．5次【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類(lèi)歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿(mǎn)足方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為（）A． B．C． D．【解題方法總結(jié)】構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟（1）建模：抽象出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型；（2）推理、演算：對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問(wèn)題在數(shù)學(xué)意義上的解；（3）評(píng)價(jià)、解釋?zhuān)簩?duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)、解釋、返回到原來(lái)的實(shí)際問(wèn)題中去，得到實(shí)際問(wèn)題的解第13講函數(shù)模型及其應(yīng)用知識(shí)梳理1、幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型：函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型，為常數(shù)且反比例函數(shù)模型，為常數(shù)且二次函數(shù)模型，，為常數(shù)且指數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，對(duì)數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，冪函數(shù)模型，為常數(shù)，2、解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟：（1）審題：弄清題意，識(shí)別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；（2）建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用已有知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；（4）還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題．必考題型全歸納題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型【例1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）汽車(chē)在行駛中，由于慣性，剎車(chē)后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱(chēng)這段距離為“剎車(chē)距離”.剎車(chē)距離是分析交通事故的一個(gè)重要依據(jù).在一個(gè)限速為的彎道上，甲、乙兩輛汽車(chē)相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車(chē)，但還是相碰了.事后現(xiàn)場(chǎng)勘查，測(cè)得甲車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)，乙車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò).已知甲車(chē)的剎車(chē)距離與車(chē)速之間的關(guān)系為，乙車(chē)的剎車(chē)距離與車(chē)速之間的關(guān)系為.請(qǐng)判斷甲、乙兩車(chē)哪輛車(chē)有超速現(xiàn)象（

）A．甲、乙兩車(chē)均超速 B．甲車(chē)超速但乙車(chē)未超速C．乙車(chē)超速但甲車(chē)未超速 D．甲、乙兩車(chē)均未超速【答案】C【解析】對(duì)于甲車(chē)，令，即解得（舍）或，所以甲未超速；對(duì)于甲車(chē)，令，即解得（舍）或，所以乙超速；故選:C.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖為某小區(qū)七人足球場(chǎng)的平面示意圖，為球門(mén)，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線(xiàn)上距離邊線(xiàn)米的點(diǎn)處接球，此時(shí)，假設(shè)甲沿著平行邊線(xiàn)的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)處射門(mén)，為獲得最佳的射門(mén)角度（即最大），則射門(mén)時(shí)甲離上方端線(xiàn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：，，所以，且，所以，又，所以，解得，即，設(shè)，，則，，所以在中，有，令，所以，所以，因?yàn)?，所以，則要使最大，即要取得最小值，即取得最大值，即在取得最大值，令，，所以的對(duì)稱(chēng)軸為：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即最大，此時(shí)，即，所以，所以，即為獲得最佳的射門(mén)角度（即最大），則射門(mén)時(shí)甲離上方端線(xiàn)的距離為：.故選：B.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·云南·統(tǒng)考二模）下表是某批發(fā)市場(chǎng)的一種益智玩具的銷(xiāo)售價(jià)格：一次購(gòu)買(mǎi)件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上每件價(jià)格37元32元30元27元25元張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)這種玩具，贈(zèng)送給一所幼兒園，張師傅最多可買(mǎi)這種玩具（

）A．116件 B．110件 C．107件 D．106件【答案】C【解析】設(shè)購(gòu)買(mǎi)的件數(shù)為，花費(fèi)為元，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以最多可購(gòu)買(mǎi)這種產(chǎn)品件，故選：C.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來(lái)的發(fā)展機(jī)遇，開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另投入成本萬(wàn)元.其中，若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價(jià)為70元，則該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為（

）A．720萬(wàn)元 B．800萬(wàn)元C．875萬(wàn)元 D．900萬(wàn)元【答案】C【解析】該企業(yè)每年利潤(rùn)為當(dāng)時(shí)，在時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），即在時(shí)，取得最大值；由，可得該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為.故選：C【解題方法總結(jié)】1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化規(guī)律分別找出來(lái)，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值．2、構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，不重不漏．題型二：對(duì)勾函數(shù)模型【例2】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某企業(yè)投入萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加萬(wàn)元．為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為，設(shè)備年平均費(fèi)用為萬(wàn)元，則年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為，所以年的平均費(fèi)用為（萬(wàn)元），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為.故選：B.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來(lái)一段時(shí)期內(nèi)，成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方向.某品牌行車(chē)記錄儀支架銷(xiāo)售公司從2018年1月起開(kāi)展網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷(xiāo)售模式.根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營(yíng)發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷(xiāo)量x萬(wàn)件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t萬(wàn)元之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬(wàn)元，產(chǎn)品每1萬(wàn)件進(jìn)貨價(jià)格為32萬(wàn)元，若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，則該公司最大月利潤(rùn)是___________萬(wàn)元.【答案】【解析】根據(jù)題意，得到，進(jìn)而得到月利潤(rùn)的表示，結(jié)合基本不等式，即可求解.由題意，產(chǎn)品的月銷(xiāo)量萬(wàn)件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用萬(wàn)元之間滿(mǎn)足，即，所以月利潤(rùn)為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，即月最低利潤(rùn)為萬(wàn)元.故答案為:.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）迷你KTV是一類(lèi)新型的娛樂(lè)設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類(lèi)似電話(huà)亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場(chǎng)中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中，，曲線(xiàn)段是圓心角為的圓弧，設(shè)該迷你KTV橫截面的面積為，周長(zhǎng)為，則的最大值為_(kāi)__________．（本題中取進(jìn)行計(jì)算）【答案】【解析】設(shè)圓弧的半徑為，根據(jù)題意可得：令，則根據(jù)基本不等式，，當(dāng)卻僅當(dāng)，即時(shí)取“=”.，時(shí)，故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書(shū)卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形截去同心扇形所得部分．已知扇環(huán)周長(zhǎng)，大扇形半徑，設(shè)小扇形半徑，弧度，則①關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式_________．②若雕刻費(fèi)用關(guān)于x的解析式為，則磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為_(kāi)_______．【答案】，；【解析】由題意可知，，，，所以，，，扇環(huán)周長(zhǎng)，解得，磚雕面積即為圖中環(huán)形面積，記為，則，即雕刻面積與雕刻費(fèi)用之比為，則，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)（即）取等號(hào)，所以磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為.故答案為：，；【解題方法總結(jié)】1、解決此類(lèi)問(wèn)題一定要注意函數(shù)定義域；2、利用模型求解最值時(shí)，注意取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件．題型三：指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型【例3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）2020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng)．該企業(yè)2021年初有資金150萬(wàn)元，資金的年平均增長(zhǎng)率固定，每三年政府將補(bǔ)貼10萬(wàn)元．若要實(shí)現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬(wàn)元的目標(biāo)，資金的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)為（參考值：）（

）A．10% B．20% C．22% D．32%【答案】B【解析】由題意，設(shè)年平均增長(zhǎng)率為，則，所以，故年平均增長(zhǎng)率為20%.故選：B【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）近年來(lái)，天然氣表觀消費(fèi)量從2006年的不到m3激增到2021年的m3.從2000年開(kāi)始統(tǒng)計(jì)，記k表示從2000年開(kāi)始的第幾年，，.經(jīng)計(jì)算機(jī)擬合后發(fā)現(xiàn)，天然氣表觀消費(fèi)量隨時(shí)間的變化情況符合，其中是從2000年后第k年天然氣消費(fèi)量，是2000年的天然氣消費(fèi)量，是過(guò)去20年的年復(fù)合增長(zhǎng)率.已知2009年的天然氣消費(fèi)量為m3，2018年的天然氣消費(fèi)量為m3，根據(jù)擬合的模型，可以預(yù)測(cè)2024年的天然氣消費(fèi)量約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，A．m3 B．m3C．m3 D．m3【答案】B【解析】據(jù)題意，，兩式相除可得，又因?yàn)?，故選：B．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）血氧飽和度是血液中被氧結(jié)合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結(jié)合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).正常人體的血氧飽和度一般情況下不低于，否則為供養(yǎng)不足.在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型:描述血氧飽和度（單位）隨機(jī)給氧時(shí)間（單位:時(shí)）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，為參數(shù).已知，給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為，若使血氧飽和度達(dá)到正常值，則給氧時(shí)間至少還需要（

）小時(shí).（參考數(shù)據(jù):）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，，則，，所以，則使血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時(shí)間至少還需要小時(shí).故選：D.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）昆蟲(chóng)信息素是昆蟲(chóng)用來(lái)表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學(xué)物質(zhì)，是昆蟲(chóng)之間起化學(xué)通訊作用的化合物，是昆蟲(chóng)交流的化學(xué)分子語(yǔ)言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲(chóng)信息素在生產(chǎn)中有較多的應(yīng)用，尤其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的病蟲(chóng)害的預(yù)報(bào)和防治中較多使用．研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲(chóng)釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測(cè)得的信息素濃度y滿(mǎn)足，其中k，a為非零常數(shù)．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測(cè)得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為，則b＝（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由題意，，所以），即．又，所以．因?yàn)?，所以．故選：B．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線(xiàn)性數(shù)量關(guān)系通常以?xún)绾瘮?shù)形式表示．比如，某類(lèi)動(dòng)物的新陳代謝率與其體重滿(mǎn)足，其中和為正常數(shù)，該類(lèi)動(dòng)物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)初始狀態(tài)為，則，，又，，即，，，，，．故選：D．【解題方法總結(jié)】1、在解題時(shí)，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來(lái)越快（底數(shù)大于1）的一類(lèi)函數(shù)模型，與增長(zhǎng)率、銀行利率有關(guān)的問(wèn)題都屬于指數(shù)模型．2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型問(wèn)題時(shí)，一般先需通過(guò)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求解最值問(wèn)題．題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題【例4】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：，其中為時(shí)間（單位：），為環(huán)境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度），假設(shè)在室內(nèi)溫度為的情況下，一桶咖啡由降低到需要.則的值為_(kāi)________．【答案】【解析】由題意，把，，，代入中，得，所以，所以，解得.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)碳14會(huì)按照確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，照此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量與死亡時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，（其中為生物死亡之初體內(nèi)的碳14含量，為死亡時(shí)間（單位：年），通過(guò)測(cè)定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為，則該生物的死亡時(shí)間大約是______年前．【答案】【解析】由題意，生物體內(nèi)碳14含量與死亡時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，因?yàn)闇y(cè)定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為，令，可得，所以，解得年.故答案為：年.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）隨時(shí)間（小時(shí)）變化的規(guī)律近似滿(mǎn)足表達(dá)式《酒后駕車(chē)與醉酒駕車(chē)的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)處罰》規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量不得超過(guò)毫克/毫升此駕駛員至少要過(guò)小時(shí)后才能開(kāi)車(chē)___________.（精確到小時(shí)）【答案】4【解析】當(dāng)時(shí)，由得，解得，舍去；當(dāng)時(shí)，由得，即，解得，因?yàn)?，所以此駕駛員至少要過(guò)4小時(shí)后才能開(kāi)車(chē).故答案為：4【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）能源是國(guó)家的命脈，降低能源消耗費(fèi)用是重要抓手之一，為此，某市對(duì)新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價(jià)，每厘米厚的隔熱層造價(jià)成本是9萬(wàn)元人民幣.又根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間的每年的能源消耗費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度（單位：厘米）滿(mǎn)足關(guān)系：，經(jīng)測(cè)算知道，如果不建隔熱層，那么30年間的每年的能源消耗費(fèi)用為10萬(wàn)元人民幣.設(shè)為隔熱層的建造費(fèi)用與共30年的能源消耗費(fèi)用總和，那么使達(dá)到最小值時(shí)，隔熱層厚度__________厘米.【答案】【解析】由題意得，當(dāng)時(shí)，，解得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某地在20年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長(zhǎng)，GDP的值（單位，億元）與時(shí)間（單位：年）之間的關(guān)系為，其中為時(shí)的值.假定，那么在時(shí)，G