模塊三平面向量題型專項訓練答案解析

模塊三平面向量題型專項訓練答案解析考點01平面向量概念及線性運算一、選擇題1．(2022新高考全國I卷·)在中，點D在邊AB上，．記，則 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】因點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．2.(2021年高考浙江卷)已知非零向量，則“”是“”的 ()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【解析】:若，則，推不出；若，則必成立，故“”是“”的必要不充分條件,故選B．3．(2020年新高考全國卷Ⅱ數學·)在中，D是AB邊上的中點，則= ()A． B． C． D．【答案】C【解析】3．二、填空題4．(2023年天津卷·)在中，，，點為的中點，點為的中點，若設，則可用表示為_________；若，則的最大值為_________．【答案】①．②．【解析】空1：因為為的中點，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；：因為，則，可得，得到，即，即．于是．記，則，在中，根據余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當且僅當取得等號，則時，有最大值．故答案：；．5(2020北京高考)已知正方形的邊長為，點滿足，則_________；_________．【答案】(1)．(2)．【解析】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則點、、、，，則點，，，因此，，．故答案為：；．6．（2024·天津·高考真題）在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點，，則；為線段上的動點，為中點，則的最小值為．【答案】【分析】解法一：以為基底向量，根據向量的線性運算求，即可得，設，求，結合數量積的運算律求的最小值；解法二：建系標點，根據向量的坐標運算求，即可得，設，求，結合數量積的坐標運算求的最小值.【詳解】解法一：因為，即，則，可得，所以；由題意可知：，因為為線段上的動點，設，則，又因為為中點，則，可得，又因為，可知：當時，取到最小值；解法二：以B為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，則，可得，因為，則，所以；因為點在線段上，設，且為中點，則，可得，則，且，所以當時，取到最小值為；故答案為：；.考點02平面向量的坐標運算1．(2023年北京卷·)已知向量滿足，則 ()A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】向量滿足，所以．故選：B2．(2023年新課標全國Ⅰ卷·)已知向量，若，則 ()A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．二、填空題3．(2023年新課標全國Ⅱ卷·)已知向量，滿足，，則______．【答案】【解析】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以．法二：設，則，由題意可得：，則，整理得：，即故答案為：．4(2021年高考全國乙卷·)已知向量，若，則__________．【答案】【解析】因為，所以由可得，，解得．故答案為：．5(2020江蘇高考)在中，在邊上，延長到，使得，若(為常數)，則的長度是________．【答案】【解析】三點共線，可設，，，即，若且，則三點共線，，即，，，,,，，設，，則，．根據余弦定理可得，，，，解得，的長度為．當時，，重合，此時的長度為，當時，，重合，此時，不合題意，舍去．故答案為：或．考點03平面向量的數量積及夾角問題選擇題1．（2024·全國·高考Ⅰ卷）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據向量垂直的坐標運算可求的值.【詳解】因為，所以，所以即，故，故選：D.2．（2024·全國·高考Ⅱ卷）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由得，結合，得，由此即可得解.【詳解】因為，所以，即，又因為，所以，從而.故選：B.3．（2024·全國·高考甲卷）設向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【答案】C【分析】根據向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.【詳解】對A，當時，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；對C，當時，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對B，當時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；對D，當時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.故選：C.4．（2024·北京·高考真題）設，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據向量數量積分析可知等價于，結合充分、必要條件分析判斷.【詳解】因為，可得，即，可知等價于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.5(2023年全國甲卷)已知向量滿足，且，則()A． B． C． D．【答案】D【解析】因為,所以,即,即,所以．如圖,設,由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,．故選:D．6(2023年全國乙卷)已知的半徑為1，直線PA與相切于點A．直線PB與交于B．C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為 ()A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得當點位于直線異側時，設，則：，則當時，有最大值．當點位于直線同側時，設，則：，則當時，有最大值．綜上可得，的最大值為．故選：A．7．(2022年高考全國乙卷數學·)已知向量滿足，則 ()A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】∵，又∵∴9，∴故選：C．8．(2020年高考課標Ⅲ卷)已知向量a，b滿足，，，則 ()A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，．，因此，．故選：D．填空題9．(2021年高考浙江卷·)已知平面向量滿足．記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________．【答案】【解析】:由題意，設，則，即，又向量在方向上投影分別為x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值為．故答案為．10．(2021年新高考全國Ⅱ卷·)已知向量，，，_______．【答案】【解析】:由已知可得，因此，．故答案為：．11．(2022年高考全國甲卷數學·)設向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．【答案】【解析】設與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．12．(2020年高考課標Ⅱ卷·)已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________．【答案】【解析】由題意可得：，由向量垂直的充分